资源简介

专题03 面向量初步
题型1 平面向量的概念与几何表示 题型2 平面向量中的零向量与单位向量
题型3 平面向量的相等向量 题型4 平面向量的平行向量
题型5 平面向量的加法 题型6 平面向量的减法
题型7 平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题型8 平面向量的加减混合运算
题型9 两个平面向量的和或差的模的最值 题型10 平面向量的数乘与线性运算
题型11 平面向量的基底 题型12 用平面向量的基底表示平面向量
题型13 平面向量加减法的坐标运算 题型14 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
题型15 平面向量共线（平行）的坐标表示 题型16 平面向量在物理中的应用
知识点一、向量的概念及表示
1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量.
2.表示:
（1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度.
（2）向量的表示：
①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.
②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作.
3.两个特殊向量:
（1）零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量.
（2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
知识点二、向量间的关系
1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.
2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作.
知识点三、向量的线性运算
1.向量的加法
三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作
平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和
,
规定：零向量与任意向量的和,都有
运算律：①交换律：；②结合律：
2.相反向量
1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量,
3.性质：①；②若互为相反向量,则；
③的相反向量是
3.向量的减法
1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2.运算法则:在平面内取一点O,作,则.
3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量.
4.向量减法的两个重要结论:
①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量；
②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”.
4.向量的数乘运算
1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下:
①;
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，
2.运算律:设为任意实数,则有①；②；
③
特别地,有.
向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有.
知识点四、共线向量定理
1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使.
2.三点共线向量表示的两个结论
结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得.
结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得.
知识点五、平面向量基本定理
1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.
2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作
3.对平面向量基本定理的理解
（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
（2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．
知识点六、平面向量的坐标表示
（1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量.
（2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底.
（3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标.
（4）坐标表示.
（5）特殊向量的坐标:
知识点七、平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示
设向量则有下表
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和
减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则
平面向量共线的坐标表示
（1）条件: ,其中；
（2）结论:当且仅当时,向量共线.
知识点八、向量线性运算的应用
1.用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题.
（2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题.
2.用向量解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题.
（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
（3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值.
（4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
一．平面向量的概念与几何表示（共3小题）
1．下面命题中，正确的是（　　）
A．零向量没有方向 B．若，则
C．若∥，∥，则∥ D．若，则∥
【答案】D
【解答】解：A：我们规定零向量的方向是任意的，A错误；
B：向量不能比较大小，B错误；
C：时得不到，C错误；
D：当时，两者方向相同，大小相等，，D正确．
故选：D．
2．飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减．已知某飞行器逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为（45，25），地速对应的向量为（315，245），则飞行器在该时刻的空速大小约为（单位：km/h）（　　）
A．400 B．450 C．560 D．630
【答案】B
【解答】解：因为某时刻测得风速对应向量为（45，25），地速对应的向量为（315，245），
则飞行器在该时刻的空速向量为（45，25）+（315，245）＝（360，270），
大小为450．
故选：B．
（多选）3．下列说法正确的是（　　）
A．若都是单位向量，则
B．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是平行四边形
C．若，则
D．若是平面内的一组基底，则和也能作为一组基底
【答案】BD
【解答】解：若都是单位向量，只是模长相等，方向不确定，A说法错误；
在四边形ABCD中，若，则AB与DC平行且相等，四边形ABCD是平行四边形，B说法正确；
向量的模长能比较大小，但向量本身不能比较大小，C说法错误；
若是平面内的一组基底，则不共线，
假设和共线，即存在实数λ，使得，
即，此时无解，
所以和不共线，和也能作为一组基底，D说法正确．
故正确的只有选项BD．
故选：BD．
二．平面向量中的零向量与单位向量（共4小题）
4．下列向量中，与向量（3，4）共线的一个单位向量是（　　）
A．（﹣6，﹣8） B． C．（8，6） D．
【答案】B
【解答】解：设与向量（3，4）共线的一个单位向量为，
则有，解得，
故选项B符合题意．
故选：B．
5．已知点A（2，3），B（﹣1，7），则与向量方向相反的单位向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题可得：，且，
故所求向量为：．
故选：B．
6．以下说法正确的是（　　）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若向量和都是单位向量，则
【答案】C
【解答】解：长度相等且方向相同的两个向量相等，与它们的起点和终点无关，故A错误；
零向量的方向是任意的，不是没有方向，故B错误；
共线向量又叫平行向量，故C正确；
若向量和都是单位向量，则，故D错误．
故选：C．
7．与（5，﹣12）垂直的单位向量的坐标为 　或　 ．
【答案】或．
【解答】解：设与垂直的单位向量的坐标为，
则，解得或，
故答案为：或．
三．平面向量的相等向量（共3小题）
8．已知平面向量，，则“或”是“||＝||”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：若或，则；
且不共线时，得不出或，
所以“或”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
9．已知点O是矩形四边形ABCD的对角线的交点，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图所示，
为相反向量，则，故A正确；
在矩形ABCD中，|AC|＝|BD|，所以，故B正确；
如图所示，为相等向量，则，故C正确；
如图所示，则，故D错误．
故选：D．
（多选）10．下列结论中错误的为（　　）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量，是一个单位向量
D．零向量没有方向
【答案】ACD
【解答】解：对于A：由单位向量的定义可知，单位向量是模为1的向量，方向不一定相同，故A错误；
对于B：由相反向量的定义，向量与向量的长度相等，故B正确；
对于C：当向量时，不满足，故C错误；
对于D：零向量是定义大小为0，方向任意，故D错误．
故选：ACD．
四．平面向量的平行向量（共4小题）
11．已知是同一平面内两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则k的值为（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
【答案】B
【解答】解：由A，B，C三点共线，
得，
是同一平面内两个不共线的向量，，
则，所以．
故选：B．
12．已知向量，，，若点A，B，C不能构成三角形，则x的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】B
【解答】解：由题意可得（4，﹣3），（x﹣7，x+7），
若点A，B，C三点共线，则4（x+7）+3（x﹣7）＝0，
解得x＝﹣1，
∴x的值不可以为﹣1．
故选：B．
（多选）13．下列关于向量说法，正确的是（　　）
A．对于非零向量，若，，则
B．若且与方向相同，则
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若∥，则存在唯一实数λ使得
【答案】AC
【解答】解：对于A，对于非零向量，若，，则，故A正确；
对于B，向量无法比较大小，故B错误；
对于C，由，得，
所以，因为，为非零向量，所以与共线且反向，故C正确；
对于D，当时，λ不唯一，所以D错误．
故选：AC．
14．（1）已知是两个不共线的向量，，，若，是共线向量，求k的值．
（2）已知向量，，．若A，B，D三点共线，求m的值．
【答案】（1）；
（2）m＝3．
【解答】解：（1）由题可得：存在实数t，使得，
所以，而，是两个不共线的向量，
故，故．
（2），
因为A，B，D三点共线，故为共线向量，故9×1＝1×（m+6），故m＝3．
五．平面向量的加法（共4小题）
15．在如图所示的方格纸中，（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，．
故选：B．
16．在四边形ABCD中，若，则（　　）
A．四边形ABCD一定是等腰梯形
B．四边形ABCD一定是菱形
C．四边形ABCD一定是直角梯形
D．四边形ABCD一定是平行四边形
【答案】D
【解答】解：可知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形．
故选：D．
17．点O是△ABC所在平面上一点，且满足，则点O为△ABC的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【解答】解：作BD∥OC，CD∥OB，连结OD，OD与BC相交于G，则BG＝CG，（平行四边形对角线互相平分），
∴，
又∵，可得：，
∴，
∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，
同理：BO，CO的延长线也为△ABC的中线．
∴O为三角形ABC的重心．
故选：C．
18．化简2233　　 ．
【答案】
【解答】解：∵222，333，
∴22332333，
故答案为：．
六．平面向量的减法（共4小题）
19．化简（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：．
故选：C．
20．如图，在平行四边形ABCD中，（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：在平行四边形ABCD中，．
故选：B．
21．下列表达式化简结果与相等的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，具体不知．
故选：B．
22．已知向量（1，5），（0，3），则||＝（　　）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【解答】解：向量，，则，
所以．
故选：B．
七．平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则（共4小题）
23．（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：．
故选：B．
24．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝3DA，记，，则（　　）
A．﹣43 B．﹣34 C．34 D．34
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，点D在边AB上，BD＝3DA，
记，，
则．
故选：B．
（多选）25．给出下面四个推论，其中正确的是（　　）
A．若线段AC＝AB+BC，则向量
B．若向量，则线段AC＝AB+BC
C．若向量与共线，则线段AC＝AB+BC
D．若向量与反向共线，则||＝AB+BC
【答案】AD
【解答】解：∵线段AC＝AB+BC，
∴点B在线段AC上，
∴，故选项A正确，
在△ABC中，，但由三角形的性质可知，AC≠AB+BC，故选项B错误，
向量与反向共线时，则AC≠AB+BC，故选项C错误，
向量与反向共线，||，故选项D正确．
故选：AD．
26．已知D、E、F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点，求证：．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：因为D、E、F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点，
所以，
，
，
三式相加得．
八．平面向量的加减混合运算（共4小题）
27．（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：原式．
故选：B．
28．化简：（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由向量的线性运算，．
故选：C．
29．化简（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：，
．
故选：A．
（多选）30．对于任意一个四边形，下列式子能化简为的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解答】解：对于A，，故A正确，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C错误，
对于D，，故D正确．
故选：ABD．
九．两个平面向量的和或差的模的最值（共4小题）
31．如图，A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM＝2，则的最大值是（　　）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解答】解：连接AB，如下图所示：
因为AC⊥BC，则AB为圆O的一条直径，故O为AB的中点，
所以，，
所以，
＝4×2+2×1＝10，
当且仅当M、O、C共线且、同向时，等号成立，
因此，的最大值为10．
故选：C．
（多选）32．已知向量，，则（　　）
A．若，则
B．若，则
C．的最大值为6
D．若，则
【答案】ACD
【解答】解：对于A，因为，所以4cosθ+3sinθ＝0，即tanθ，故A正确；
对于B，因为，所以，又因为sin2θ+cos2θ＝1，所以，所以，故B错误；
对于C，，（其中），
所以，故C正确；
对于D，因为，所以，所以，1﹣2+25＝24，所以，故D正确．
故选：ACD．
33．已知向量，满足，，则的最小值为 　6　 ，当且仅当与的方向 　相反　 时取得最小值．
【答案】6；相反．
【解答】解：向量，满足，，
则：，当且仅当与的方向相反时等号成立，
取得最小值．
故答案为：6，相反．
34．如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，，∠BAC＝45°，则的最小值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
如图所示：
设B（b，0），D（0，d），
因为∠BAC＝45°，且，故C（1，1），
故，，
故，
而∠BCD＝90°，故，故﹣1×（b﹣1）﹣1×（d﹣1）＝0，
即b+d＝2，
所以
，
当d＝1时，．
故答案为：．
十．平面向量的数乘与线性运算（共4小题）
35．在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，m＞0，n＞0，则的最小值为（　　）
A．3 B．8 C． D．9
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，点O是BC的中点，则，
又若，，m＞0，n＞0，
则有，
因为M，O，N三点共线，所以，即m+n＝2，
所以（）（m+n）
8，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为8．
故选：B．
36．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，m＞0，n＞0，则的最小值（　　）
A．2 B．8 C．9 D．18
【答案】C
【解答】解：点O是BC的中点，，，m＞0，n＞0，
由题意，，又M，O，N共线，则m+n＝2，
且m＞0，n＞0，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9．
故选：C．
37．三角板是一种用于几何绘图和测量的工具．如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中AB⊥BC，AC⊥AD，AB＝BC＝2，AD＝AC，若，则xy＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：以B为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，
建立如图所示的直角坐标系．
所以（2，4）＝（2x+2y，﹣2x+2y），
则作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，
AB＝BC＝2，AD＝AC，
则A（0，2），B（0，0），C（2，0），D（2，4），
则，（2，﹣2），．
因为，
所以，解得，
故．
故选：B．
38．在平行四边形ABCD中，．设，请用表示　　 ．
【答案】．
【解答】解：如图，
因为，
所以．
故答案为：．
十一．平面向量的基底（共4小题）
39．已知向量，是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：对于A，假设共线，则存在λ∈R，使得，
因为，不共线，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立，即假设不成立，
也即 不共线，则能作为基底；
对于B，假设，共线，则存在λ∈R，使得，
即，无解，所以没有任何一个λ能使该等式成立，即假设不成立，
也即，不共线，则能作为基底；
对于C，因为，所以两向量共线，不能作为一组基底，C错误；
对于D，假设共线，则存在λ∈R，使得，
即，无解，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立，即假设不成立，也即23， 不共线，则能作为基底．
故选：C．
40．若{，}是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（　　）
A．{2，2}
B．{2，}
C．{32，64}
D．{2，3}
【答案】D
【解答】解：对于A，因为2（2），所以两向量共线，不能作为基底；
对于B，因为22（），所以两向量共线，不能作为基底；
对于C，642（32），所以两向量共线，不能作为基底；
对于D，不存在λ∈R，使得2λ（3），所以两向量不共线，能作为基底．
故选：D．
（多选）41．下列各组向量中，可以作基底的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AC
【解答】解：对于A，由3×1≠﹣2×4，得，不平行，则向量，可以作基底，A是；
对于B，由2，得，平行，则向量，不可以作基底，B不是；
对于C，由2×3≠0×0，得，不平行，则向量，可以作基底，C是；
对于D，由2，得，平行，则向量，不可以作基底，D不是．
故选：AC．
（多选）42．已知{，}是平面向量的一组基底，能组成平面向量的一组基底的有（　　）
A．{3，3} B．{3，}
C．{，2} D．{23，46}
【答案】BC
【解答】解：对于A：已知{，}是平面向量的一组基底，由于，故A错误；
对于B：不存在实数λ，使得，故B正确；
对于C：不存在实数λ，使得，故C正确；
对于D：由于，故D错误．
故选：BC．
十二．用平面向量的基底表示平面向量（共4小题）
43．在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且，，D在边BC上（不包含端点）．若，则的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且，，D在边BC上（不包含端点），
因为D在边BC上（不包含端点），不妨设，其中0＜λ＜1，
即，
所以，，
又因为，则x＝2﹣2λ，y＝4λ，其中x、y均为正数，
且有2x+y＝4，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故则的最小值是2．
故选：A．
44．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝3DA．记，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据BD＝3DA，可得，
即，整理得，
结合，可得．
故选：C．
45．设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（　　）
A．和
B．和
C．和
D．和
【答案】D
【解答】解：对于A，假设和是共线向量，因此有，
因为，为平面向量的一组基底，
所以，不是共线向量，且，因此不成立，
因此假设不成立，因此和不是共线向量，故和可以作基底；
对于B，假设和是共线向量，则有，
与A选项同理可知假设不成立，因此和不是共线向量，可以作基底；
对于C，假设和是共线向量，
因此有，
因为，为平面向量的一组基底，
所以，不是共线向量，且，
因此要想成立，
一定有，显然无实数解，因此假设不成立，
因此和是不共线向量，可以作基底；
对于D，因为，
所以和是共线向量，不可以作基底．
故选：D．
46．在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，，E是AB的中点，，，设，．
（1）用，表示、；
（2）求与的夹角．
【答案】（1），．
（2）．
【解答】解：（1）因为E是AB的中点，，又，，
所以，
．
（2）因为，，，
所以，，
，
故，
而，
故．
十三．平面向量加减法的坐标运算（共3小题）
47．若，，则的坐标为（　　）
A．（0，1） B．（2，﹣5） C．（﹣2，5） D．（2，5）
【答案】C
【解答】解：因为，，
所以（﹣2，5）．
故选：C．
48．已知向量（﹣2，1），（1，1），则32（　　）
A．（﹣8，1） B．（﹣4，5） C．（﹣4，1） D．（﹣8，5）
【答案】A
【解答】解：因为向量（﹣2，1），（1，1），
所以323（﹣2，1）﹣2（1，1）＝（﹣8，1）．
故选：A．
49．已知，，则为（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
【答案】A
【解答】解：由题可得：．
故选：A．
十四．平面向量数乘和线性运算的坐标运算（共4小题）
50．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则m＝（　　）
A． B．62 C．28 D．
【答案】C
【解答】解：因为，，，
由题可知，，
因为A，B，D三点共线，所以，
所以20＝m﹣8 m＝28．
故选：C．
51．如图，已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，解得λ＝2，μ＝1，
∴．
故选：A．
52．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若，，则（　　）
A．（3，5） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣3，﹣5） D．（2，4）
【答案】A
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，，，
可得（﹣1，﹣1），
故（3，5）．
故选：A．
53．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，
以BC中点为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，如图，
则，
由，得，
而E为AD的中点，则，
∴．
故选：B．
十五．平面向量共线（平行）的坐标表示（共3小题）
54．已知向量，，，若与共线，则实数x＝（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【答案】B
【解答】解：根据题意，向量，，，
则，
因为与共线，所以﹣6x＝﹣3（x﹣2），解得x＝﹣2．
故选：B．
55．已知向量，则的值是（　　）
A． B．﹣2 C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意可得3sinα＝﹣4cosα，
即，
可得11．
故选：A．
56．已知向量（4，x），（x，1），那么“x＝2”是“∥”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：向量（4，x），（x，1），∥，则4＝x2，解之得x＝±2，
则“x＝2”是“x＝±2”的充分而不必要条件，
即向量（4，x），（x，1），那么“x＝2”是“∥”的充分而不必要条件，
故选：A．
十六．平面向量在物理中的应用（共4小题）
57．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝6km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2km/h，船的速度与水流速度的合速度为v，那么当航程最短时，下列说法正确的是（　　）
A．船头方向与水流方向垂直
B．
C．
D．该船到达对岸所需时间为3分钟
【答案】C
【解答】解：设A′是河对岸一点，且AA′与河岸垂直，那么当这艘船实际沿AA′方向行驶时船的航程最短，
由，得||4（km/h），选项C正确；
设船头方向与AA′的夹角为θ，则sinθ，即船头方向与水流方向不垂直，选项A错误；
cos，cos（θ）＝﹣sinθ，选项B错误；
该船到达对岸的时间为t60＝34.4（分钟），选项D错误．
故选：C．
58．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为，那么的大小为（　　）
A．5N B． C． D．10N
【答案】B
【解答】解：∵两个力，的夹角为，
∴，
∵它们的合力大小为10N，合力与的夹角为，
∴，解得．
故选：B．
59．河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（　　）
A．10 m/s B．2m/s C．4m/s D．12 m/s
【答案】B
【解答】解：根据题意，设河水的流速为v1，则|v1|＝2m/s，小船的静水速度为v2，合速度为v，|v|＝10，且v⊥v1，
有v＝v1+v2，则v2＝v﹣v1，
则有|v2|2，
故选：B．
60．两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则F1与F2大小之比为　　 ．
【答案】．
【解答】解：设这捆书所受的重力为G，进行力的合成，如图所示：
根据正弦定理得：，
∴．
故答案为：．专题03 面向量初步
题型1 平面向量的概念与几何表示 题型2 平面向量中的零向量与单位向量
题型3 平面向量的相等向量 题型4 平面向量的平行向量
题型5 平面向量的加法 题型6 平面向量的减法
题型7 平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题型8 平面向量的加减混合运算
题型9 两个平面向量的和或差的模的最值 题型10 平面向量的数乘与线性运算
题型11 平面向量的基底 题型12 用平面向量的基底表示平面向量
题型13 平面向量加减法的坐标运算 题型14 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
题型15 平面向量共线（平行）的坐标表示 题型16 平面向量在物理中的应用
知识点一、向量的概念及表示
1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量.
2.表示:
（1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度.
（2）向量的表示：
①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.
②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作.
3.两个特殊向量:
（1）零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量.
（2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
知识点二、向量间的关系
1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.
2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作.
知识点三、向量的线性运算
1.向量的加法
三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作
平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和
,
规定：零向量与任意向量的和,都有
运算律：①交换律：；②结合律：
2.相反向量
1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量,
3.性质：①；②若互为相反向量,则；
③的相反向量是
3.向量的减法
1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2.运算法则:在平面内取一点O,作,则.
3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量.
4.向量减法的两个重要结论:
①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量；
②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”.
4.向量的数乘运算
1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下:
①;
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，
2.运算律:设为任意实数,则有①；②；
③
特别地,有.
向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有.
知识点四、共线向量定理
1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使.
2.三点共线向量表示的两个结论
结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得.
结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得.
知识点五、平面向量基本定理
1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.
2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作
3.对平面向量基本定理的理解
（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
（2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．
知识点六、平面向量的坐标表示
（1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量.
（2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底.
（3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标.
（4）坐标表示.
（5）特殊向量的坐标:
知识点七、平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示
设向量则有下表
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和
减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则
平面向量共线的坐标表示
（1）条件: ,其中；
（2）结论:当且仅当时,向量共线.
知识点八、向量线性运算的应用
1.用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题.
（2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题.
2.用向量解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题.
（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
（3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值.
（4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
一．平面向量的概念与几何表示（共3小题）
1．下面命题中，正确的是（　　）
A．零向量没有方向 B．若，则
C．若∥，∥，则∥ D．若，则∥
2．飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减．已知某飞行器逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为（45，25），地速对应的向量为（315，245），则飞行器在该时刻的空速大小约为（单位：km/h）（　　）
A．400 B．450 C．560 D．630
（多选）3．下列说法正确的是（　　）
A．若都是单位向量，则
B．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是平行四边形
C．若，则
D．若是平面内的一组基底，则和也能作为一组基底
二．平面向量中的零向量与单位向量（共4小题）
4．下列向量中，与向量（3，4）共线的一个单位向量是（　　）
A．（﹣6，﹣8） B． C．（8，6） D．
5．已知点A（2，3），B（﹣1，7），则与向量方向相反的单位向量为（　　）
A． B． C． D．
6．以下说法正确的是（　　）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若向量和都是单位向量，则
7．与（5，﹣12）垂直的单位向量的坐标为 　 　 ．
三．平面向量的相等向量（共3小题）
8．已知平面向量，，则“或”是“||＝||”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．已知点O是矩形四边形ABCD的对角线的交点，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
（多选）10．下列结论中错误的为（　　）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量，是一个单位向量
D．零向量没有方向
四．平面向量的平行向量（共4小题）
11．已知是同一平面内两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则k的值为（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
12．已知向量，，，若点A，B，C不能构成三角形，则x的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
（多选）13．下列关于向量说法，正确的是（　　）
A．对于非零向量，若，，则
B．若且与方向相同，则
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若∥，则存在唯一实数λ使得
14．（1）已知是两个不共线的向量，，，若，是共线向量，求k的值．
（2）已知向量，，．若A，B，D三点共线，求m的值．
五．平面向量的加法（共4小题）
15．在如图所示的方格纸中，（　　）
A． B． C． D．
16．在四边形ABCD中，若，则（　　）
A．四边形ABCD一定是等腰梯形
B．四边形ABCD一定是菱形
C．四边形ABCD一定是直角梯形
D．四边形ABCD一定是平行四边形
17．点O是△ABC所在平面上一点，且满足，则点O为△ABC的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
18．化简2233　 　 ．
六．平面向量的减法（共4小题）
19．化简（　　）
A． B． C． D．
20．如图，在平行四边形ABCD中，（　　）
A． B． C． D．
21．下列表达式化简结果与相等的是（　　）
A． B． C． D．
22．已知向量（1，5），（0，3），则||＝（　　）
A． B． C．3 D．5
七．平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则（共4小题）
23．（　　）
A． B． C． D．
24．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝3DA，记，，则（　　）
A．﹣43 B．﹣34 C．34 D．34
（多选）25．给出下面四个推论，其中正确的是（　　）
A．若线段AC＝AB+BC，则向量
B．若向量，则线段AC＝AB+BC
C．若向量与共线，则线段AC＝AB+BC
D．若向量与反向共线，则||＝AB+BC
26．已知D、E、F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点，求证：．
八．平面向量的加减混合运算（共4小题）
27．（　　）
A． B． C． D．
28．化简：（　　）
A． B． C． D．
29．化简（　　）
A． B． C． D．
（多选）30．对于任意一个四边形，下列式子能化简为的是 （　　）
A． B． C． D．
九．两个平面向量的和或差的模的最值（共4小题）
31．如图，A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM＝2，则的最大值是（　　）
A．5 B．8 C．10 D．12
（多选）32．已知向量，，则（　　）
A．若，则
B．若，则
C．的最大值为6
D．若，则
33．已知向量，满足，，则的最小值为 　 　 ，当且仅当与的方向 　 　 时取得最小值．
34．如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，，∠BAC＝45°，则的最小值为 　 　 ．
十．平面向量的数乘与线性运算（共4小题）
35．在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，m＞0，n＞0，则的最小值为（　　）
A．3 B．8 C． D．9
36．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，m＞0，n＞0，则的最小值（　　）
A．2 B．8 C．9 D．18
37．三角板是一种用于几何绘图和测量的工具．如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中AB⊥BC，AC⊥AD，AB＝BC＝2，AD＝AC，若，则xy＝（　　）
A． B． C． D．
38．在平行四边形ABCD中，．设，请用表示　 　 ．
十一．平面向量的基底（共4小题）
39．已知向量，是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
40．若{，}是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（　　）
A．{2，2}
B．{2，}
C．{32，64}
D．{2，3}
（多选）41．下列各组向量中，可以作基底的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
（多选）42．已知{，}是平面向量的一组基底，能组成平面向量的一组基底的有（　　）
A．{3，3} B．{3，}
C．{，2} D．{23，46}
十二．用平面向量的基底表示平面向量（共4小题）
43．在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且，，D在边BC上（不包含端点）．若，则的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
44．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝3DA．记，则（　　）
A． B． C． D．
45．设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（　　）
A．和
B．和
C．和
D．和
46．在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，，E是AB的中点，，，设，．
（1）用，表示、；
（2）求与的夹角．
十三．平面向量加减法的坐标运算（共3小题）
47．若，，则的坐标为（　　）
A．（0，1） B．（2，﹣5） C．（﹣2，5） D．（2，5）
48．已知向量（﹣2，1），（1，1），则32（　　）
A．（﹣8，1） B．（﹣4，5） C．（﹣4，1） D．（﹣8，5）
49．已知，，则为（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
十四．平面向量数乘和线性运算的坐标运算（共4小题）
50．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则m＝（　　）
A． B．62 C．28 D．
51．如图，已知，则（　　）
A． B． C． D．
52．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若，，则（　　）
A．（3，5） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣3，﹣5） D．（2，4）
53．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
十五．平面向量共线（平行）的坐标表示（共3小题）
54．已知向量，，，若与共线，则实数x＝（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
55．已知向量，则的值是（　　）
A． B．﹣2 C． D．
56．已知向量（4，x），（x，1），那么“x＝2”是“∥”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
十六．平面向量在物理中的应用（共4小题）
57．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝6km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2km/h，船的速度与水流速度的合速度为v，那么当航程最短时，下列说法正确的是（　　）
A．船头方向与水流方向垂直
B．
C．
D．该船到达对岸所需时间为3分钟
58．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为，那么的大小为（　　）
A．5N B． C． D．10N
59．河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（　　）
A．10 m/s B．2m/s C．4m/s D．12 m/s
60．两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则F1与F2大小之比为　 　 ．

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