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专题02 复数
题型1 虚数单位i及其性质 题型2 复数的实部与虚部
题型3 纯虚数 题型4 复数的相等
题型5 复数对应复平面中的点 题型6 共轭复数
题型7 复数的模 题型8 复数的加、减运算及其几何意义
题型9 复数的乘法及乘方运算 题型10 复数的除法运算
题型11 复数的混合运算 题型12 复数的代数形式与三角形式互化
题型13 复数的辐角和辐角主值 题型14 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
▉【知识点1 数系的扩充和复数的概念】
1．数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入
为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
①，即i是方程的根；
②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果
记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了.
(3)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(4)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R是复数集C的真子集，即.
复数z=a+bi可以分类如下：
复数，
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.
2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当
a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
▉【知识点2 复数的几何意义】
1．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3)复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.
2．复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它
的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
3．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.
(3)性质
①.
②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
4．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以
原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.
▉【知识点3 复数的四则运算】
1．复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律
对任意∈C，有
①交换律：；
②结合律：.
(3)复数加法的几何意义
在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
2．复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义
两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复
数的差对应的向量是，即向量.
如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示).
这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
3．复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(2)复数乘法的运算律
对于任意∈C，有
①交换律：；
②结合律：；
③分配律：.
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有，
，.
4．复数的除法
(1)定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除
以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(2)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义
设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则
，又复数=(a-c)+(b-d)i，则.
故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离.
6．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
▉【知识点4 复数范围内方程的根】
1．复数范围内实数系一元二次方程的根
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当 >0时，方程有两个不相等的实根
，；
当 =0时，方程有两个相等的实根；
当 <0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭
复数.
2．复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
▉【知识点5 复数的三角表示式】
1．复数的三角表示式
(1)复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z.
一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.
概念名称 概念的说明
模r r是复数z的模，
辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且
三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连
(2)辅角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是
，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz<2π.
(3)三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
▉【知识点6 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义】
1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数乘法运算的三角表示
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
，
即.
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
(2)几何意义
两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量
绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义.
2．复数除法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数除法运算的三角表示
设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有.
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角所得的差.
(2)几何意义
如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按
顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义.
▉一．虚数单位i及其性质（共5小题）
1．已知z1，z2∈C，语句α：z1，z2中至少有一个为虚数，语句β：z1﹣z2为虚数．则α是β的（　　）条件．
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
2．以2i的虚部为实部，以i+2i2的实部为虚部的新复数是（　　）
A．2﹣2i B．i C．2+i D．i
3．复数i+i2+i3+……+i2020+i2021的值为（　　）
A．0 B．i C．1+i D．﹣1﹣i
（多选）4．已知实数x，a，b和虚数单位i，定义：复数z0＝cosx+isinx为单位复数，复数z1＝a+bi为伴随复数，复数z＝z0z1＝f（x）+g（x）i为目标复数，目标复数的实部f（x）和虚部g（x）分别为实部函数f（x）和虚部函数g（x），则正确的说法有（　　）
A．f（x）＝acosx﹣bsinx
B．g（x）＝asinx﹣bcosx
C．若，则a，b＝﹣1
D．若a，b＝﹣1且g（x），则锐角x的正弦值sinx
5．1+i+i2+i3+…+i2024＝　　 ．
▉二．复数的实部与虚部（共3小题）
6．若复数z满足z＝1+3i（i是虚数单位），则z的虚部是（　　）
A．﹣3i B．﹣3 C．3i D．3
7．若复数z满足（2﹣i）z＝i2022，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
8．若复数为实数，则实数a等于（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
▉三．纯虚数（共3小题）
9．若（x2﹣1）+（2x+2）i是纯虚数，则实数x的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．﹣2
10．复数z＝m2﹣3m+（m2﹣9）i是纯虚数，则实数m的值为（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．0或3
▉四．复数的相等（共3小题）
11．若i2＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
12．已知复数z满足（i+3）z＝2，则z＝（　　）
A． B． C． D．
13．设a+3i＝（b+i）i，其中a，b为实数，则（　　）
A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝1，b＝3
▉五．复数对应复平面中的点（共2小题）
14．在复平面内，复数2i（i+m）对应的点的坐标为（﹣2，4），则实数m＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
15．在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
▉六．共轭复数（共3小题）
16．若复数z＝1﹣3i，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
17．复数的共轭复数对应的点在复平面的（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
18．复数z满足，则的虚部为（　　）
A．﹣2 B．﹣2025i C．2 D．﹣2025
▉七．复数的模（共2小题）
19．已知复数z满足i z+3＝3i，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．
20．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝2，则|z|＝（　　）
A． B．1 C． D．
▉八．复数的加、减运算及其几何意义（共3小题）
21．已知复数z满足|z﹣2﹣2i|＝2，则|z|最大值为（　　）
A． B． C． D．
22．已知复数a，b∈R，ai（1+2i）＝b+3i，则a+b＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
23．已知复数z1＝6﹣5i，z2＝3+2i，其中i为虚数单位，则z1+z2＝（　　）
A．9﹣3i B．9+3i C．9﹣7i D．9+7i
▉九．复数的乘法及乘方运算（共2小题）
24．已知复数z满足，则z＝（　　）
A．1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1+3i
25．已知复数z＝i（1+i），则z的虚部是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
▉十．复数的除法运算（共3小题）
26．已知，则|z+i|＝（　　）
A．1 B． C． D．
27．若复数z满足，则z＝（　　）
A． B． C．﹣1+i D．﹣1﹣i
28．已知（1﹣i）2z＝3+2i，则（　　）
A． B． C． D．
▉十一．复数的混合运算（共3小题）
29．已知复数z满足（1+z）（2﹣i）＝i（i为虚数单位），则z＝（　　）
A． B． C． D．
30．已知i为虚数单位，x，y∈R，若（x﹣i）i＝y﹣2i，则（　　）
A．x＝﹣2，y＝﹣1 B．x＝2，y＝﹣1 C．x＝﹣2，y＝1 D．x＝2，y＝1
31．已知，（m，n∈R），则（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
▉十二．复数的代数形式与三角形式互化（共3小题）
32．复数的三角形式为（　　）
A． B．
C． D．
33．复数z＝1+cosα+isinα（π＜α＜2π），则|z|为（　　）
A． B． C． D．
34．复数的三角形式是（　　）
A．cos60°+isin60° B．﹣cos60°+isin60°
C．cos120°+isin60° D．cos120°+isin120°
▉十三．复数的辐角和辐角主值（共2小题）
35．复数的辐角主值为（　　）
A． B． C． D．
36．复数的辐角主值是（　　）
A． B． C． D．
26．设，，则argz2＝（　　）
A． B． C． D．
▉十四．复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（共4小题）
27．设复数z1，z2对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则z2＝（　　）
A． B． C． D．
28．复数z＝1﹣i，将复数z的对应向量按逆时针方向旋转，所得向对应的复数为（　　）
A． B． C．1 D．i
29．将复数1+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（　　）
A．2i B． C．i D．
30．设z（i是虚数单位），则z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6＝（　　）
A．6z B．6z2 C．6 D．﹣6z专题02 复数
题型1 虚数单位i及其性质 题型2 复数的实部与虚部
题型3 纯虚数 题型4 复数的相等
题型5 复数对应复平面中的点 题型6 共轭复数
题型7 复数的模 题型8 复数的加、减运算及其几何意义
题型9 复数的乘法及乘方运算 题型10 复数的除法运算
题型11 复数的混合运算 题型12 复数的代数形式与三角形式互化
题型13 复数的辐角和辐角主值 题型14 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
▉【知识点1 数系的扩充和复数的概念】
1．数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入
为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
①，即i是方程的根；
②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果
记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了.
(3)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(4)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R是复数集C的真子集，即.
复数z=a+bi可以分类如下：
复数，
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.
2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当
a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
▉【知识点2 复数的几何意义】
1．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3)复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.
2．复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它
的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
3．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.
(3)性质
①.
②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
4．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以
原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.
▉【知识点3 复数的四则运算】
1．复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律
对任意∈C，有
①交换律：；
②结合律：.
(3)复数加法的几何意义
在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
2．复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义
两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复
数的差对应的向量是，即向量.
如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示).
这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
3．复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(2)复数乘法的运算律
对于任意∈C，有
①交换律：；
②结合律：；
③分配律：.
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有，
，.
4．复数的除法
(1)定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除
以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(2)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义
设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则
，又复数=(a-c)+(b-d)i，则.
故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离.
6．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
▉【知识点4 复数范围内方程的根】
1．复数范围内实数系一元二次方程的根
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当 >0时，方程有两个不相等的实根
，；
当 =0时，方程有两个相等的实根；
当 <0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭
复数.
2．复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
▉【知识点5 复数的三角表示式】
1．复数的三角表示式
(1)复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z.
一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.
概念名称 概念的说明
模r r是复数z的模，
辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且
三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连
(2)辅角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是
，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz<2π.
(3)三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
▉【知识点6 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义】
1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数乘法运算的三角表示
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
，
即.
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
(2)几何意义
两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量
绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义.
2．复数除法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数除法运算的三角表示
设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有.
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角所得的差.
(2)几何意义
如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按
顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义.
▉一．虚数单位i及其性质（共5小题）
1．已知z1，z2∈C，语句α：z1，z2中至少有一个为虚数，语句β：z1﹣z2为虚数．则α是β的（　　）条件．
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解答】解：若z1、z2皆是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，
因此当z1﹣z2是虚数时，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；
当z1、z2中至少有一个数是虚数，z1﹣z2不一定是虚数，如z1＝z2＝i，即充分性不成立．
故选：C．
2．以2i的虚部为实部，以i+2i2的实部为虚部的新复数是（　　）
A．2﹣2i B．i C．2+i D．i
【答案】A
【解答】解：以2i的虚部为2，i+2i2的＝﹣2i实部为﹣2，
则以2i的虚部为实部，以i+2i2的实部为虚部的新复数是2﹣2i，
故选：A．
3．复数i+i2+i3+……+i2020+i2021的值为（　　）
A．0 B．i C．1+i D．﹣1﹣i
【答案】B
【解答】解：∵i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，
∴i+i2+i3+i4+ +i2021＝505（i+i2+i3+i4）+i2021＝505（i﹣1﹣i+1）+（i2）1010 i＝0+i＝i，
故选：B．
（多选）4．已知实数x，a，b和虚数单位i，定义：复数z0＝cosx+isinx为单位复数，复数z1＝a+bi为伴随复数，复数z＝z0z1＝f（x）+g（x）i为目标复数，目标复数的实部f（x）和虚部g（x）分别为实部函数f（x）和虚部函数g（x），则正确的说法有（　　）
A．f（x）＝acosx﹣bsinx
B．g（x）＝asinx﹣bcosx
C．若，则a，b＝﹣1
D．若a，b＝﹣1且g（x），则锐角x的正弦值sinx
【答案】AD
【解答】解：因为z＝z0z1＝f（x）+g（x）i＝（acosx﹣bsinx）+（asinx+bcosx）i，
所以f（x）＝acosx﹣bsinx，g（x）＝asinx+bcosx，
故选项A正确，选项B错误；
因为f（x），
所以a，b＝1，
故选项C错误；
因为g（x）＝asinx+bcosx，
所以，
又因为x为锐角，则，
所以，
故sinx＝sin[（x）]＝sin（x）coscos（x）sin，
故选项D正确．
故选：AD．
5．1+i+i2+i3+…+i2024＝　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：∵i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3＝0，
∴1+i+i2+i3+…+i2024＝1+i+i2+i3+i4＝1．
故答案为：1．
▉二．复数的实部与虚部（共3小题）
6．若复数z满足z＝1+3i（i是虚数单位），则z的虚部是（　　）
A．﹣3i B．﹣3 C．3i D．3
【答案】D
【解答】解：由复数z＝1+3i，得z的虚部是3．
故选：D．
7．若复数z满足（2﹣i）z＝i2022，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由（2﹣i）z＝i4×505+2＝﹣1，
得，
则，即的虚部为．
故选：B．
8．若复数为实数，则实数a等于（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】C
【解答】解：复数为实数，
则，解得a＝1．
故选：C．
▉三．纯虚数（共3小题）
9．若（x2﹣1）+（2x+2）i是纯虚数，则实数x的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：由（x2﹣1）+（2x+2）i是纯虚数，
，解得x＝1．
故选：A．
10．复数z＝m2﹣3m+（m2﹣9）i是纯虚数，则实数m的值为（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．0或3
【答案】A
【解答】解：由z＝m2﹣3m+（m2﹣9）i是纯虚数，
由纯虚数的定义可知，，所以m＝0．
故选：A．
▉四．复数的相等（共3小题）
11．若i2＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：由i2＝a+bi＝﹣1，可得，则a+b＝﹣1．
故选：A．
12．已知复数z满足（i+3）z＝2，则z＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：复数z满足（i+3）z＝2，
则z．
故选：A．
13．设a+3i＝（b+i）i，其中a，b为实数，则（　　）
A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝1，b＝3
【答案】B
【解答】解：a+3i＝﹣1+bi，而a，b为实数，故a＝﹣1，b＝3．
故选：B．
▉五．复数对应复平面中的点（共2小题）
14．在复平面内，复数2i（i+m）对应的点的坐标为（﹣2，4），则实数m＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：复数2i（i+m）对应的点的坐标为（﹣2，4），
则2i（i+m）＝﹣2+2mi＝﹣2+4i，
所以2m＝4，
故m＝2．
故选：C．
15．在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解答】解：∵复数，它在复平面内对应的点的坐标为（，），
故选：D．
▉六．共轭复数（共3小题）
16．若复数z＝1﹣3i，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由复数z＝1﹣3i，得，
则．
所以的虚部为．
故选：C．
17．复数的共轭复数对应的点在复平面的（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解答】解：复数2﹣i，
它的共轭复数为﹣2+i，在复平面内的对应点的坐标为（﹣2，1），
故选：B．
18．复数z满足，则的虚部为（　　）
A．﹣2 B．﹣2025i C．2 D．﹣2025
【答案】A
【解答】解：由，可得z＝2025+2i，
则，
故的虚部为﹣2．
故选：A．
▉七．复数的模（共2小题）
19．已知复数z满足i z+3＝3i，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由i z+3＝3i，得，
则|z|．
故选：A．
20．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝2，则|z|＝（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解答】解：因为z（1+i）＝2，所以，
则|z|．
故选：A．
▉八．复数的加、减运算及其几何意义（共3小题）
21．已知复数z满足|z﹣2﹣2i|＝2，则|z|最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：|z﹣2﹣2i|＝2表示复平面内复数z对应的点在以点（2，2）为圆心，2为半径的圆上，
所以|z|最大值为．
故选：D．
22．已知复数a，b∈R，ai（1+2i）＝b+3i，则a+b＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【答案】B
【解答】解：因为ai（1+2i）＝b+3i＝﹣2a+ai，复数a，b∈R，所以，解得，
则a+b＝﹣3．
故选：B．
23．已知复数z1＝6﹣5i，z2＝3+2i，其中i为虚数单位，则z1+z2＝（　　）
A．9﹣3i B．9+3i C．9﹣7i D．9+7i
【答案】A
【解答】解：由z1＝6﹣5i，z2＝3+2i，可得z1+z2＝6﹣5i+3+2i＝9﹣3i．
故选：A．
▉九．复数的乘法及乘方运算（共2小题）
24．已知复数z满足，则z＝（　　）
A．1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1+3i
【答案】C
【解答】解：因为，
所以z＝（2﹣i）（1﹣i）＝2﹣2i﹣i+i2＝2﹣3i﹣1＝1﹣3i．
故选：C．
25．已知复数z＝i（1+i），则z的虚部是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【答案】B
【解答】解：复数z＝i（1+i）＝﹣1+i，其虚部为1．
故选：B．
▉十．复数的除法运算（共3小题）
26．已知，则|z+i|＝（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：，将分子分母同时乘以分母的共轭复数得，
，所以，
故．
故选：D．
27．若复数z满足，则z＝（　　）
A． B． C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【答案】A
【解答】解：，
则，
故．
故选：A．
28．已知（1﹣i）2z＝3+2i，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：（1﹣i）2z＝3+2i，
则，故．
故选：A．
▉十一．复数的混合运算（共3小题）
29．已知复数z满足（1+z）（2﹣i）＝i（i为虚数单位），则z＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题可得：，
所以z1i．
故选：A．
30．已知i为虚数单位，x，y∈R，若（x﹣i）i＝y﹣2i，则（　　）
A．x＝﹣2，y＝﹣1 B．x＝2，y＝﹣1 C．x＝﹣2，y＝1 D．x＝2，y＝1
【答案】C
【解答】解：由i为虚数单位，x，y∈R，（x﹣i）i＝y﹣2i，化简得xi+1＝y﹣2i，
故x＝﹣2，y＝1．
故选：C．
31．已知，（m，n∈R），则（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：由得2﹣mi＝i（1+ni），即2﹣mi＝﹣n+i，
所以m＝﹣1，n＝﹣2，所以．
故选：A．
▉十二．复数的代数形式与三角形式互化（共3小题）
32．复数的三角形式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵cos，sin，
∴，，故A，C错误；
∵cos，sin，
∴，，故B正确，D错误．
故选：B．
33．复数z＝1+cosα+isinα（π＜α＜2π），则|z|为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由复数z＝1+cosα+isinα，
得|z|
|2|，
∵π＜α＜2π，∴cos0，则|z|＝﹣2cos．
故选：B．
34．复数的三角形式是（　　）
A．cos60°+isin60° B．﹣cos60°+isin60°
C．cos120°+isin60° D．cos120°+isin120°
【答案】D
【解答】解：令，
则r＝|z|＝1，所以，
因为0°≤θ＜360°，所以θ＝120°，
的三角形式是cos120°+isin120°．
故选：D．
▉十三．复数的辐角和辐角主值（共2小题）
35．复数的辐角主值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：，
则复数z的辐角主值为．
故选：C．
36．复数的辐角主值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：复数，
所以复数的辐角主值是．
故选：D．
26．设，，则argz2＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由，
则z2（﹣1）2cosisin，
即argz2，
故选：B．
▉十四．复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（共4小题）
27．设复数z1，z2对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则z2＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意知，2（i）＝2（cosisin），
所以z＝2（cosisin）[cos（）+isin（）]＝2（cos0+isin0）＝2，
由z＝z2（cosisin）＝2，
所以z22（cossin）＝﹣1i．
故选：B．
28．复数z＝1﹣i，将复数z的对应向量按逆时针方向旋转，所得向对应的复数为（　　）
A． B． C．1 D．i
【答案】A
【解答】解：z＝1﹣i（cos（）+isin（）），
将复数z的对应向量按逆时针方向旋转所得向量对应的复数为
（cos（）+isin（）），
故选：A．
29．将复数1+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（　　）
A．2i B． C．i D．
【答案】B
【解答】解：∵向量对应的复数为1+i，
把向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，
则对应的复数是（1+i）（cosisin）＝（1+i）（）
．
故选：B．
30．设z（i是虚数单位），则z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6＝（　　）
A．6z B．6z2 C．6 D．﹣6z
【答案】C
【解答】解：∵zcos，
z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6＝cos2cos2sini+3cosπ
+3sinπi+4cos4sini+5cos5sini+6cos2π+6sin2πi
＝6（）＝6
故选：C．

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