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专题01 平面向量及其应用
题型1 平面向量的概念与几何表示 题型2 平面向量的模
题型3 平面向量中的零向量与单位向量 题型4 平面向量的相等向量
题型5 平面向量的平行向量 题型6 平面向量的加法
题型7 平面向量的减法 题型8 两个平面向量的和或差的模的最值
题型9 平面向量的数乘与线性运算 题型10 平面向量的投影向量
题型11 数量积表示两个平面向量的夹角 题型12 数量积判断两个平面向量的垂直关系
题型13 平面向量的基底 题型14 平面向量数量积的坐标运算
题型15 平面向量的綜合题 题型16 正弦定理与三角形解的存在性和个数
题型17 解三角形
【知识点1 向量的概念】
1．向量的概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
2．向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法：
①字母表示法：如等.
②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用
一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
3．向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
注：
①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定.
②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量.
【知识点2 相等向量与共线向量】
1．向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.
注：
①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
3．平行向量有关概念的三个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
【知识点3 平面向量的线性运算】
1．向量的加法运算
(1)向量加法的定义及两个重要法则
定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
向量
加法
的三
角形
法则 前提 已知非零向量，在平面内任取一点A.
作法 作，连接AC.
结论 向量叫做与的和，记作，即.
图形
向量
加法
的平
行四
边形
法则 前提 已知两个不共线的向量，在平面内任取一点O.
作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB.
结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即.
图形
规定 对于零向量与任一向量，我们规定.
(2)多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一
个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
2．向量加法的运算律
(1)交换律：；
(2)结合律：.
3．向量的减法运算
(1)相反向量
我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是
零向量.
(2)向量减法的定义：
向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减
法.
(3)向量减法的三角形法则
如图，已知向量，在平面内任取一点O，作，，则.即
可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
4．向量的数乘运算
(1)向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与
方向规定如下：
①；
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.
(2)向量的数乘的运算律
设为实数，那么①；②；③.
特别地，我们有，.
(3)向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有.
5．平面向量线性运算问题的求解思路：
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
【知识点4 向量共线定理】
1．向量共线定理
(1)向量共线定理
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
(2)向量共线定理的应用——求参
一般地，解决向量共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量，设，
化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可.
2．利用共线向量定理解题的策略
(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线.
(3)若与不共线且，则.
(4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.
【知识点5 向量的数量积】
1．向量的数量积
(1)向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中是与的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
(2)向量的夹角
已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示.
(3)两个向量数量积的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即.
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即.
(4)向量的投影
如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，
分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
2．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①.
②.
③当与同向时，；当与反向时，.
特别地，或.
④，当且仅当向量共线，即时，等号成立.
⑤.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量和实数，有
①交换律：；
②数乘结合律：；
③分配律：.
3．向量数量积的常用结论
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边
等号成立.
以上结论可作为公式使用.
4．向量数量积的两大应用
(1)夹角与垂直
根据平面向量数量积的性质：若与为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)向量的模的求解方法：
①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
【知识点6 平面向量基本定理】
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数
，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
【知识点7 平面向量的坐标表示】
1．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基
底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.
显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
区 别 表示形
式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号.
意义
不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y).
联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
2．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量，等价于，，所以
，即.同理得.
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由，可得，则，即.
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量，等价于，，所以
.又，，，所以.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若，则或.
其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么，
.
4．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果
用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是.
②三点共线的坐标表示
若，，三点共线，则有，从而，即，
或由得到，
或由得到.
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
(2)夹角的坐标表示
设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得.
(3)垂直的坐标表示
设，，则.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
5．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
【知识点8 平面几何中的向量方法】
1．平面几何中的向量方法
(1)用向量研究平面几何问题的思想
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将
几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.
(2)向量在平面几何中常见的应用
①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：.
②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：.
③求夹角问题，利用夹角公式：.
④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或
.
(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系.
【知识点9 向量在物理中的应用】
1．力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.
2．速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
3．向量与功、动量
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.
(1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即.功是一个实数，它可正，可
负，也可为零.
(2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算.
【知识点10 余弦定理、正弦定理】
1．余弦定理
(1)余弦定理及其推论的表示
文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.
推论
(2)对余弦定理的理解
①余弦定理对任意的三角形都成立.
②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量.
③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦
定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角.
④余弦定理的另一种常见变式：b2+c2-a2=2bccosA，a2+c2-b2=2accosB，a2+b2-c2=2abcosC.
2．正弦定理
(1)正弦定理的表示
在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==.
(2)正弦定理的常见变形
在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由此可
得正弦定理的下列变形：
①=，=，=，a=b，a=c，b=c；
②======；
③a:b:c=::；
④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）.
(3)三角形的边角关系
由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系.
3．解三角形
(1)解三角形的概念
一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个
元素求其他元素的过程叫做解三角形.
(2)余弦定理在解三角形中的应用
利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：
①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角；
③已知三边，求三角形的三个角.
(3)正弦定理在解三角形中的应用
公式==反映了三角形的边角关系.
由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的
每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：
①已知两角和任意一边，求其他的边和角，
③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.
4．对三角形解的个数的研究
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三
角形不能被唯一确定.
(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知
a,b和A，解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
①若=>1，则满足条件的三角形的个数为0；
②若==1，则满足条件的三角形的个数为1；
③若=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2.
显然由0<=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三
角形内角和等于”等，此时需进行讨论.
(2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下：
图形 关系式 解的个数
A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解
bsinAaA为钝角或直角 a>b 一解
a≤b 无解
5．判定三角形形状的途径：
(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
6．三角形的面积公式
(1)常用的三角形的面积计算公式
①(分别为边a,b,c上的高).
②将，，代入上式可得=ab=bc=ac，即三
角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半.
(2)三角形的其他面积公式
①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.
②=，=，=.
【知识点11 测量问题】
1．测量问题
(1)测量距离问题的基本类型和解决方案
当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得
B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得
C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.
(2)测量高度问题的基本类型和解决方案
当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
底部
可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C.
底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.
点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.
(3)测量角度问题
测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方
位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
一．平面向量的概念与几何表示（共5小题）
1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．以下选项中，都是向量的是（　　）
A．时间、海拔 B．质量、位移
C．加速度、体积 D．浮力、速度
3．若向量分别表示两个力，则（　　）
A． B．2 C． D．
4．下列说法正确的是（　　）
①有向线段三要素是始点、方向、长度
②向量两要素是大小和方向
③同向且等长的有向线段表示同一向量
④在平行四边形ABCD中，．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
5．请写出与向量反向的单位向量：　 ．（用坐标表示）
二．平面向量的模（共5小题）
6．已知向量，，，则t＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
7．在四边形ABCD中，，则“”是“四边形ABCD是正方形“的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知向量，且，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．已知向量，满足||＝2，||＝5，则||的取值范围是（　　）
A．[2，5] B．[2，7] C．[3，5] D．[3，7]
10．已知，均为非零向量，其夹角为θ，则“sinθ＝0”是“||＝||﹣||”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
三．平面向量中的零向量与单位向量（共5小题）
11．与向量（﹣3，4）反向的单位向量是（　　）
A． B．
C． D．
12．设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（　　）
A．与同向 B． C．且 D．
13．下列命题正确的是（　　）
A．平面内所有的单位向量都相等
B．模为0的向量与任意非零向量共线
C．平行向量不一定是共线向量
D．若满足，且同向，则
14．已知点A（2，3），B（﹣1，7），则与向量方向相反的单位向量为（　　）
A． B． C． D．
15．以下说法正确的是（　　）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若向量和都是单位向量，则
四．平面向量的相等向量（共5小题）
16．已知点O是矩形四边形ABCD的对角线的交点，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
17．设为两个非零向量，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
18．已知四边形ABCD，则“四边形ABCD是平行四边形”是“的（　　）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
（多选）19．关于平面向量，，，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若向量不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数λ，μ使
C．若不相等，则一定不共线
D．若，则
（多选）20．下列结论中错误的为（　　）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量，是一个单位向量
D．零向量没有方向
五．平面向量的平行向量（共5小题）
21．已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
22．已知，是两个不共线的向量，且向量x3，y同向，则x+2y的最小值为（　　）
A．12 B．6 C． D．
23．已知0＜θ＜π，向量，且，则θ＝（　　）
A． B． C． D．
24．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为（　　）
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
25．设平面向量与不共线，k，s∈R，则“k与s2共线”是“sk＝2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
六．平面向量的加法（共5小题）
26．在边长为1的正六边形ABCDEF中，设，，则向量（　　）
A． B． C． D．
27.在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，点F满足，则（　　）
A． B． C． D．
28．若点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，，则向量（　　）
A． B． C． D．
29．（　　）
A． B． C． D．
30．已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边A处出发，向对岸航行，若船的速度（m，3m）（m＞0），水流速度（﹣3，0），且船实际航行的速度的大小为9，则m＝（　　）
A．3 B． C． D．12
七．平面向量的减法（共5小题）
31．化简（　　）
A． B． C． D．
32．下列表达式化简结果与相等的是（　　）
A． B． C． D．
33．已知向量（1，5），（0，3），则||＝（　　）
A． B． C．3 D．5
34．若从同一发射源射出的两个粒子α，β在某一时刻的位移分别为，，则该时刻β相对于α的位移的坐标为　 ．
35．在复平面内，复数3+2i，﹣2+3i对应的向量分别是，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为 　．
八．两个平面向量的和或差的模的最值（共5小题）
36．如图，A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM＝2，则的最大值是（　　）
A．5 B．8 C．10 D．12
（多选）37．已知，则（　　）
A．若，则
B．若，则t＝0
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则t的取值范围为（0，+∞）
（多选）38．已知向量，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．的最大值为6
C．若，则
D．若，则
39．若平面向量，，满足，，，，则的最小值为 　　 ．
40．已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时λ＝　　 ．
九．平面向量的数乘与线性运算（共5小题）
41．在△ABC中，若I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于D，则有称之为三角形的内角平分线定理，现已知AC＝2，BC＝3，AB＝4且，则实数x+y＝（　　）
A．1 B． C． D．2
42．△ABC中，D是AC的中点，H在BD上，且，则x2+y2的最小值是（　　）
A． B． C．1 D．2
43．如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
44．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，点F在AB上，且AB＝3AF，则（　　）
A． B． C． D．
（多选）45．如图，在边长为6的等边△ABC中，，点P在以AB为直径的半圆上（不含点A，B），则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
十．平面向量的投影向量（共5小题）
46．已知非零向量（0，t），（1，﹣4），若向量在方向上的投影向量为2，则t＝（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
47．已知向量，，则在上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
48．已知向量与的夹角为，且||||，则2在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
49．已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（　　）
A．3 B． C． D．
50．已知某发射管内1个原子核裂变成α，β两个粒子，这两个粒子被加速器加速后同时射出，在某一时刻，它们的位移分别是，．
（1）写出此时粒子β相对于α的位移；
（2）计算在上的投影向量．
十一．数量积表示两个平面向量的夹角（共5小题）
51．已知向量，满足，且，，则与的夹角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
52．已知向量满足：，若，则的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
53．已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
54．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，定义余弦相似度为cos（A，B）＝cos，余弦距离为1﹣cos（A，B）．已知点，B（0，﹣1），则A，B两点的余弦距离为（　　）
A． B． C． D．
55．已知点A（2，3），B（4，﹣1），C（﹣2，1），求：
（1）的值；
（2）∠ACB的大小；
（3）点A到直线BC的距离．
十二．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共5小题）
56．已知向量，若与垂直，则实数m的值为（　　）
A．﹣3 B． C． D．1
57．已知向量，满足||＝2，⊥（2），且（1，1），则||＝（　　）
A． B．2 C． D．3
58．设向量（x+1，x），（x，2），则（　　）
A．“x＝﹣3”是“”的必要条件
B．“”是“”的必要条件
C．“x＝0”是“”的充分条件
D．“”是“”的充分条件
59．已知，，与的夹角为45°，要使与垂直，则λ的值为（　　）
A． B． C． D．1
60．向量（4，2），（﹣1，2）．
（1）求向量的模长；
（2）若向量（3，﹣1），且（k）⊥，求实数k的值．
十三．平面向量的基底（共5小题）
61．已知向量，是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
62．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（　　）
A．和
B．与
C．与
D．与
63．在下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
64．设平面向量，若不是表示平面内所有向量的一个基底，则tanθ＝（　　）
A． B． C． D．
65．若{，}是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（　　）
A．{2，2}
B．{2，}
C．{32，64}
D．{2，3}
十四．平面向量数量积的坐标运算（共5小题）
66．已知向量，，若，则（　　）
A．3 B．5 C． D．
67．已知，，若，则（　　）
A．3 B． C． D．
68．设x∈R，向量且，则（　　）
A． B． C． D．
69．已知，，则的值为（　　）
A．3 B．5 C．4 D．6
70．已知平面向量（λ，2），（1，λ+1），若⊥，则λ＝（　　）
A．1 B．﹣2 C． D．
十五．平面向量的综合题（共5小题）
71．在锐角△ABC中，，若点O为△ABC的外心，且，实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
72．在△ABC中，内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是（　　）
A．若点G为△ABC的重心，则
B．若满足a＝t，b＝2，A＝30°的△ABC有两解，则t的取值范围为（1，2）
C．若点O为△ABC内一点，且，则S△BOC：S△ABC＝1：6
D．若，则sinC的最大值为
73．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量．类似的，可以把有序复数对（z1，z2）（z1，z2∈C）看作一个向量，记，则称a为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，z1，z2，z3，z4∈C，规定如下运算法则：
①；
②；
③；
④．
则下列结论错误的是（　　）
A．若，，则
B．若，则
C．
D．
74．向量集合，对于任意，，以及任意λ∈[0，1]，都有，则称集合S是“凸集”，现有四个命题：
①集合是“凸集”；
②若S为“凸集”，则集合也是“凸集”；
③若A1，A2都是“凸集”，则A1∪A2也是“凸集”；
④若A1，A2都是“凸集”，且交集非空，则A1∩A2也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
（多选）75．已知O为坐标原点，点P1（﹣sinα，﹣cosα），P2（sinβ，cosβ），P3（sin（α+β），cos（α+β）），A（0，2），则（　　）
A． B．的最大值为
C．的范围是[1，3] D．∠P1AP3的范围是
十六．正弦定理与三角形解的存在性和个数（共3小题）
76．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a＝5，b＝6，则满足条件的三角形有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
77．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若三角形有两解，则边a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
78．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，，A＝45°，则满足条件的三角形有（　　）
A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定
十七．解三角形（共2小题）
79．如图，为了测量河对岸的塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C和D，测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD长a米，并在C处测得塔顶A的仰角为γ，则塔高AB＝（　　）米．
A． B．
C． D．
（多选）80．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3a2+b2+c2＝5，则（　　）
A．若sinA：sinB：sinC＝5：4：3，则△ABC外接圆半径为
B．若a＝1，则
C．若b＝1，则
D．△ABC面积的最大值为专题01 平面向量及其应用
题型1 平面向量的概念与几何表示 题型2 平面向量的模
题型3 平面向量中的零向量与单位向量 题型4 平面向量的相等向量
题型5 平面向量的平行向量 题型6 平面向量的加法
题型7 平面向量的减法 题型8 两个平面向量的和或差的模的最值
题型9 平面向量的数乘与线性运算 题型10 平面向量的投影向量
题型11 数量积表示两个平面向量的夹角 题型12 数量积判断两个平面向量的垂直关系
题型13 平面向量的基底 题型14 平面向量数量积的坐标运算
题型15 平面向量的綜合题 题型16 正弦定理与三角形解的存在性和个数
题型17 解三角形
【知识点1 向量的概念】
1．向量的概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
2．向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法：
①字母表示法：如等.
②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用
一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
3．向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
注：
①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定.
②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量.
【知识点2 相等向量与共线向量】
1．向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.
注：
①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
3．平行向量有关概念的三个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
【知识点3 平面向量的线性运算】
1．向量的加法运算
(1)向量加法的定义及两个重要法则
定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
向量
加法
的三
角形
法则 前提 已知非零向量，在平面内任取一点A.
作法 作，连接AC.
结论 向量叫做与的和，记作，即.
图形
向量
加法
的平
行四
边形
法则 前提 已知两个不共线的向量，在平面内任取一点O.
作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB.
结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即.
图形
规定 对于零向量与任一向量，我们规定.
(2)多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一
个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
2．向量加法的运算律
(1)交换律：；
(2)结合律：.
3．向量的减法运算
(1)相反向量
我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是
零向量.
(2)向量减法的定义：
向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减
法.
(3)向量减法的三角形法则
如图，已知向量，在平面内任取一点O，作，，则.即
可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
4．向量的数乘运算
(1)向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与
方向规定如下：
①；
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.
(2)向量的数乘的运算律
设为实数，那么①；②；③.
特别地，我们有，.
(3)向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有.
5．平面向量线性运算问题的求解思路：
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
【知识点4 向量共线定理】
1．向量共线定理
(1)向量共线定理
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
(2)向量共线定理的应用——求参
一般地，解决向量共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量，设，
化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可.
2．利用共线向量定理解题的策略
(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线.
(3)若与不共线且，则.
(4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.
【知识点5 向量的数量积】
1．向量的数量积
(1)向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中是与的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
(2)向量的夹角
已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示.
(3)两个向量数量积的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即.
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即.
(4)向量的投影
如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，
分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
2．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①.
②.
③当与同向时，；当与反向时，.
特别地，或.
④，当且仅当向量共线，即时，等号成立.
⑤.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量和实数，有
①交换律：；
②数乘结合律：；
③分配律：.
3．向量数量积的常用结论
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边
等号成立.
以上结论可作为公式使用.
4．向量数量积的两大应用
(1)夹角与垂直
根据平面向量数量积的性质：若与为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)向量的模的求解方法：
①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
【知识点6 平面向量基本定理】
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数
，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
【知识点7 平面向量的坐标表示】
1．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基
底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.
显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
区 别 表示形
式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号.
意义
不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y).
联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
2．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量，等价于，，所以
，即.同理得.
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由，可得，则，即.
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量，等价于，，所以
.又，，，所以.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若，则或.
其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么，
.
4．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果
用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是.
②三点共线的坐标表示
若，，三点共线，则有，从而，即，
或由得到，
或由得到.
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
(2)夹角的坐标表示
设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得.
(3)垂直的坐标表示
设，，则.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
5．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
【知识点8 平面几何中的向量方法】
1．平面几何中的向量方法
(1)用向量研究平面几何问题的思想
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将
几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.
(2)向量在平面几何中常见的应用
①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：.
②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：.
③求夹角问题，利用夹角公式：.
④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或
.
(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系.
【知识点9 向量在物理中的应用】
1．力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.
2．速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
3．向量与功、动量
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.
(1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即.功是一个实数，它可正，可
负，也可为零.
(2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算.
【知识点10 余弦定理、正弦定理】
1．余弦定理
(1)余弦定理及其推论的表示
文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.
推论
(2)对余弦定理的理解
①余弦定理对任意的三角形都成立.
②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量.
③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦
定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角.
④余弦定理的另一种常见变式：b2+c2-a2=2bccosA，a2+c2-b2=2accosB，a2+b2-c2=2abcosC.
2．正弦定理
(1)正弦定理的表示
在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==.
(2)正弦定理的常见变形
在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由此可
得正弦定理的下列变形：
①=，=，=，a=b，a=c，b=c；
②======；
③a:b:c=::；
④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）.
(3)三角形的边角关系
由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系.
3．解三角形
(1)解三角形的概念
一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个
元素求其他元素的过程叫做解三角形.
(2)余弦定理在解三角形中的应用
利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：
①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角；
③已知三边，求三角形的三个角.
(3)正弦定理在解三角形中的应用
公式==反映了三角形的边角关系.
由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的
每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：
①已知两角和任意一边，求其他的边和角，
③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.
4．对三角形解的个数的研究
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三
角形不能被唯一确定.
(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知
a,b和A，解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
①若=>1，则满足条件的三角形的个数为0；
②若==1，则满足条件的三角形的个数为1；
③若=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2.
显然由0<=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三
角形内角和等于”等，此时需进行讨论.
(2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下：
图形 关系式 解的个数
A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解
bsinAaA为钝角或直角 a>b 一解
a≤b 无解
5．判定三角形形状的途径：
(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
6．三角形的面积公式
(1)常用的三角形的面积计算公式
①(分别为边a,b,c上的高).
②将，，代入上式可得=ab=bc=ac，即三
角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半.
(2)三角形的其他面积公式
①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.
②=，=，=.
【知识点11 测量问题】
1．测量问题
(1)测量距离问题的基本类型和解决方案
当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得
B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得
C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.
(2)测量高度问题的基本类型和解决方案
当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
底部
可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C.
底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.
点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.
(3)测量角度问题
测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方
位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
一．平面向量的概念与几何表示（共5小题）
1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解答】解：速度、力、加速度和位移都是向量，其它是标量，即向量共4个．
故选：A．
2．以下选项中，都是向量的是（　　）
A．时间、海拔 B．质量、位移
C．加速度、体积 D．浮力、速度
【答案】D
【解答】解：时间、海拔、质量、体积只有大小没有方向，不是向量；
浮力和速度既有大小又有方向，是向量．
故选：D．
3．若向量分别表示两个力，则（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意，向量分别表示两个力，
可得，
所以．
故选：C．
4．下列说法正确的是（　　）
①有向线段三要素是始点、方向、长度
②向量两要素是大小和方向
③同向且等长的有向线段表示同一向量
④在平行四边形ABCD中，．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：①始点、方向、长度可以确定一条有向线段；
即有向线段三要素是始点、方向、长度，∴该说法正确；
②根据向量的定义知，向量的两要素是大小和方向，∴该说法正确；
③根据向量的定义知同向且等长的有向线段表示同一向量，∴该说法正确；
④∵，且与方向相同，∴；
∴该说法正确．
故选：D．
5．请写出与向量反向的单位向量：　　 ．（用坐标表示）
【答案】．
【解答】解：根据题意，设所求向量为，
由题可知：﹣3y＝4x且，解得：或，
又与反向，所以所求向量坐标为．
故答案为：．
二．平面向量的模（共5小题）
6．已知向量，，，则t＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：由题可得：，
因为3，
所以，即（2+t）2＝0，
解得t＝﹣2．
故选：A．
7．在四边形ABCD中，，则“”是“四边形ABCD是正方形“的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：因为在四边形ABCD中，，所以AB∥CD且AB＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形，
由向量加减运算的几何意义知，若，等价于对角线BD与AC相等，等价于平行四边形ABCD为矩形，
由矩形与正方形的关系知，“”是“四边形ABCD是正方形“的必要不充分条件．
故选：B．
8．已知向量，且，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，
所以，
化简得，所以AB⊥AC，
又因为，
所以，解得，
所以，
则，，
所以△ABC的面积为．
故选：A．
9．已知向量，满足||＝2，||＝5，则||的取值范围是（　　）
A．[2，5] B．[2，7] C．[3，5] D．[3，7]
【答案】D
【解答】解：根据三角不等式，，
整理得，即||的取值范围是[3，7]．
故选：D．
10．已知，均为非零向量，其夹角为θ，则“sinθ＝0”是“||＝||﹣||”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：若sinθ＝0，结合夹角的取值范围是[0，π]，可得θ＝0或π，
当θ＝0时，则，同向共线，则，可知充分性不成立，
若非零向量满足，则、反向共线，
此时θ＝π，必有sinθ＝0，可知必要性成立．
综上所述，“sinθ＝0”是“”的必要不充分条件．
故选：C．
三．平面向量中的零向量与单位向量（共5小题）
11．与向量（﹣3，4）反向的单位向量是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设与向量（﹣3，4）反向的单位向量是，
则．
故答案为：A．
12．设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（　　）
A．与同向 B． C．且 D．
【答案】A
【解答】解：分别表示与同向的单位向量，
若使得，则根据向量等的条件可知，与必须方向相同，
故使其成立的充要条件是与同向．
故选：A．
13．下列命题正确的是（　　）
A．平面内所有的单位向量都相等
B．模为0的向量与任意非零向量共线
C．平行向量不一定是共线向量
D．若满足，且同向，则
【答案】B
【解答】解：A．单位向量的方向可能不同，所以所有的单位向量不相等，A错误；
B．零向量和任何非零向量共线，B正确；
C．平行向量一定是共线向量，C错误；
D．向量不能比较大小，D错误．
故选：B．
14．已知点A（2，3），B（﹣1，7），则与向量方向相反的单位向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题可得：，且，
故所求向量为：．
故选：B．
15．以下说法正确的是（　　）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若向量和都是单位向量，则
【答案】C
【解答】解：长度相等且方向相同的两个向量相等，与它们的起点和终点无关，故A错误；
零向量的方向是任意的，不是没有方向，故B错误；
共线向量又叫平行向量，故C正确；
若向量和都是单位向量，则，故D错误．
故选：C．
四．平面向量的相等向量（共5小题）
16．已知点O是矩形四边形ABCD的对角线的交点，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图所示，
为相反向量，则，故A正确；
在矩形ABCD中，|AC|＝|BD|，所以，故B正确；
如图所示，为相等向量，则，故C正确；
如图所示，则，故D错误．
故选：D．
17．设为两个非零向量，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：因为，所以同向共线，所以，
因为，所以同向共线，此时不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
18．已知四边形ABCD，则“四边形ABCD是平行四边形”是“的（　　）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：由于“四边形ABCD是平行四边形”，所以AB＝DC且AB∥DC，即，反之也成立，
故“四边形ABCD是平行四边形”是“充要条件．
故选：A．
（多选）19．关于平面向量，，，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若向量不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数λ，μ使
C．若不相等，则一定不共线
D．若，则
【答案】BD
【解答】解：A：当，可满足，但不一定得到，故A错误；
B：根据平面向量基本定理知道B正确；
C：当时，与不相等，但与共线，故C错误；
D：由，两边同时平方得，解得，即，故D正确．
故选：BD．
（多选）20．下列结论中错误的为（　　）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量，是一个单位向量
D．零向量没有方向
【答案】ACD
【解答】解：对于A：由单位向量的定义可知，单位向量是模为1的向量，方向不一定相同，故A错误；
对于B：由相反向量的定义，向量与向量的长度相等，故B正确；
对于C：当向量时，不满足，故C错误；
对于D：零向量是定义大小为0，方向任意，故D错误．
故选：ACD．
五．平面向量的平行向量（共5小题）
21．已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴与共线，
∴存在实数k，使，即，
又向量不共线，∴，
由λ＞0，μ＞0，∴，
当且仅当λ＝4μ时，取“＝”号．
故选：B．
22．已知，是两个不共线的向量，且向量x3，y同向，则x+2y的最小值为（　　）
A．12 B．6 C． D．
【答案】C
【解答】解：由向量，同向，，是两个不共线的向量，
得，且x＞0，y＞0，则xy＝3，
因此x+2y，当且仅当，时取等号，
所以x+2y的最小值为．
故选：C．
23．已知0＜θ＜π，向量，且，则θ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：向量，且，
则，
故，变形可得cosθ＝﹣cos2θ，解得cosθ＝0或cosθ＝﹣1，
又0＜θ＜π，则必有．
故选：C．
24．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为（　　）
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
【答案】B
【解答】解：因为，且ABCD为四边形，
则AB∥CD，且，
所以四边形ABCD是梯形．
故选：B．
25．设平面向量与不共线，k，s∈R，则“k与s2共线”是“sk＝2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：平面向量与不共线，所以k与s2均不为零向量，
根据向量共线定理，“k与s2共线” 存在λ（λ≠0），
使得kλ（s2） 2λ＝kλs ks＝2，
则“k与s2共线”是“sk＝2”的充要条件．
故选：C．
六．平面向量的加法（共5小题）
26．在边长为1的正六边形ABCDEF中，设，，则向量（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，，，
如图，在正六边形ABCDEF中，AE∥BD，且AE＝BD，
则，所以．
故选：A．
27.在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，点F满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意，D，E分别是边BC，AC的中点，点F满足，
则
．
故选：D．
28．若点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，，则向量（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，，
则．
故选：B．
29．（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据平面向量的加法运算及数乘运算可知，
．
故选：B．
30．已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边A处出发，向对岸航行，若船的速度（m，3m）（m＞0），水流速度（﹣3，0），且船实际航行的速度的大小为9，则m＝（　　）
A．3 B． C． D．12
【答案】A
【解答】解：设船实际航行的速度为，
则（m﹣3，3m），
又，所以，
解得m＝3（负值舍去）．
故选：A．
七．平面向量的减法（共5小题）
31．化简（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：．
故选：C．
32．下列表达式化简结果与相等的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，具体不知．
故选：B．
33．已知向量（1，5），（0，3），则||＝（　　）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【解答】解：向量，，则，
所以．
故选：B．
34．若从同一发射源射出的两个粒子α，β在某一时刻的位移分别为，，则该时刻β相对于α的位移的坐标为　（3，1）　 ．
【答案】（3，1）．
【解答】解：，，
则β相对于α的位移为．
故答案为：（3，1）．
35．在复平面内，复数3+2i，﹣2+3i对应的向量分别是，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为 　﹣5+i ．
【答案】﹣5+i．
【解答】解：复数3+2i，﹣2+3i对应的向量分别是，则，
．则向量对应的复数为﹣5+i．
故答案为：﹣5+i．
八．两个平面向量的和或差的模的最值（共5小题）
36．如图，A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM＝2，则的最大值是（　　）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解答】解：连接AB，如下图所示：
因为AC⊥BC，则AB为圆O的一条直径，故O为AB的中点，
所以，，
所以，
＝4×2+2×1＝10，
当且仅当M、O、C共线且、同向时，等号成立，
因此，的最大值为10．
故选：C．
（多选）37．已知，则（　　）
A．若，则
B．若，则t＝0
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则t的取值范围为（0，+∞）
【答案】ABC
【解答】解：对于A，若，则t2﹣8＝0，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得t＝0，故B正确；
对于C，，
则，
当t＝﹣3时，，故C正确；
对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，
所以且不共线，
由，得t＞0，
由得，
所以t的取值范围为，故D错误．
故选：ABC．
（多选）38．已知向量，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．的最大值为6
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【解答】解：对于A，若，，且，
则4cosθ＝﹣3sinθ，可得tanθ，故A项正确；
对于B，（cosθ+3，sinθ﹣4），
可得（）2＝（cosθ+3）2+（sinθ﹣4）2
＝26+6cosθ﹣8sinθ＝26﹣10sin（θ﹣φ），其中tanφ，φ∈（0，）．
当θ﹣φ2kπ（k∈Z）时，（）2的最大值为36，
所以的最大值为6，故B项正确；
对于C，若，则，
结合sin2θ+cos2θ＝1，解得，故C项错误；
对于D，若，则，
所以，，可得||，故D项正确．
故选：ABD．
39．若平面向量，，满足，，，，则的最小值为 　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：在平面直角坐标系中，不妨设，，，
∵，，，
∴x1x2+y1y2＝0，x1＝1，x2＝﹣1，
∴y1y2＝1，
∴|y1+y2|，
当且仅当y1＝±1时，等号成立，
故的最小值为2．
故答案为：2．
40．已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时λ＝　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：∵，而 ||||cos，2，
∴cos，，，∈[[0，π]，∴，
∴||2，
||2，2||＝4，
∵向量满足|22|＝||，∴|22|，
如图所示，
若，，2（），，
则，，
∴||＝|2（）|＝2，∴C在以E为圆心，2为半径的圆上，
若，则，
由图象可得当且仅当E，C，D三点共线且ED⊥OD时，||最小，即（λ∈R）取最小值，
此时，，
又，，∴λ＝3．
故答案为：3．
九．平面向量的数乘与线性运算（共5小题）
41．在△ABC中，若I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于D，则有称之为三角形的内角平分线定理，现已知AC＝2，BC＝3，AB＝4且，则实数x+y＝（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解答】解：已知I是△ABC的内心，延长AI交BC于D，由AC＝2，AB＝4，
得，则，
即，整理可得，
又因为BC＝3，所以2，
连接BI，则BI为∠ABD的角平分线，则，即，
得，
又，且向量、不共线，
所以x，y，所以．
故选：C．
42．△ABC中，D是AC的中点，H在BD上，且，则x2+y2的最小值是（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，D是AC的中点，则，
∴，
∵B，H，D三点共线，∴x+2y＝1（x＞0，y＞0），
∴，故x2+y2的最小值为．
故选：A．
43．如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵E、G、F三点共线，
∴设，
∵，F为BC的中点，
∴，，
则，
又，
∴，解得．
故选：B．
44．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，点F在AB上，且AB＝3AF，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题可得：，
则．
故选：B．
（多选）45．如图，在边长为6的等边△ABC中，，点P在以AB为直径的半圆上（不含点A，B），则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
【答案】ABD
【解答】解：边长为6的等边△ABC中，，
，A正确；
因为点P在以AB为直径的半圆上，所以PA⊥PB，所以，B正确；
，C错误；
过点D作DH⊥AB交AB于点H，过点C作CO⊥AB交AB于点O，易得O为AB的中点，
因为，所以，则，由图可知在上的投影向量为，即为，D正确．
故选：ABD．
十．平面向量的投影向量（共5小题）
46．已知非零向量（0，t），（1，﹣4），若向量在方向上的投影向量为2，则t＝（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【答案】A
【解答】解：由（0，t），（1，﹣4），
可得在方向上的投影向量为，
解得t＝﹣2．
故选：A．
47．已知向量，，则在上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】因为，，
则，
所以在上的投影向量为：
．
故选：C．
48．已知向量与的夹角为，且||||，则2在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：，
则，
所以在上的投影向量为．
故选：D．
49．已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由向量与的夹角为，
得，①
由在方向上的投影向量为，
得，则，
即，②
联立①②，可得，所以．
故选：A．
50．已知某发射管内1个原子核裂变成α，β两个粒子，这两个粒子被加速器加速后同时射出，在某一时刻，它们的位移分别是，．
（1）写出此时粒子β相对于α的位移；
（2）计算在上的投影向量．
【答案】（1）（﹣4，4）；
（2）．
【解答】解：（1）根据题意，粒子β相对于α的位移；
（2）因为||，||10，4×8+4×6＝﹣8，
所以在上的投影向量为 （，）．
十一．数量积表示两个平面向量的夹角（共5小题）
51．已知向量，满足，且，，则与的夹角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【解答】解：由，
可得，
又，
所以，解得，
所以，
又，
所以与的夹角为120°．
故选：C．
52．已知向量满足：，若，则的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解答】解：如图所示，
由向量加法的三角形法则可得，
的最小值为图中点A到射线OB的距离，
故．
故选：B．
53．已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【解答】解：设向量与向量的夹角为α，
由题意得，||＝||＝1，
因为向量在向量上的投影向量为，
所以，
即，
所以||1，
则cosα1，
因为0°≤α≤180°，
所以α＝60°．
故选：B．
54．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，定义余弦相似度为cos（A，B）＝cos，余弦距离为1﹣cos（A，B）．已知点，B（0，﹣1），则A，B两点的余弦距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，，，
则，
则A，B两点的余弦距离为．
故选：C．
55．已知点A（2，3），B（4，﹣1），C（﹣2，1），求：
（1）的值；
（2）∠ACB的大小；
（3）点A到直线BC的距离．
【答案】（1）20；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）依题意，得，
，
；
（2）因为，
又∠ACB∈[0，π]，所以；
（3）点A到直线BC的距离为
．
十二．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共5小题）
56．已知向量，若与垂直，则实数m的值为（　　）
A．﹣3 B． C． D．1
【答案】B
【解答】解：已知向量，若与垂直，
故，故m．
故选：B．
57．已知向量，满足||＝2，⊥（2），且（1，1），则||＝（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解答】解：因为，所以，即，
又因为，所以，
又，所以，
所以，所以，所以．
故选：D．
58．设向量（x+1，x），（x，2），则（　　）
A．“x＝﹣3”是“”的必要条件
B．“”是“”的必要条件
C．“x＝0”是“”的充分条件
D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【解答】解：对A，当时，则，
所以x （x+1）+2x＝0，解得x＝0或﹣3，即必要性不成立，故A错误；
对B，当时，则2（x+1）＝x2，解得，即必要性不成立，故B错误；
对C，当x＝0时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对D，当时，不满足2（x+1）＝x2，所以不成立，即充分性不立，故D错误．
故选：C．
59．已知，，与的夹角为45°，要使与垂直，则λ的值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解答】解：若与垂直，
则，即，
所以．
故选：A．
60．向量（4，2），（﹣1，2）．
（1）求向量的模长；
（2）若向量（3，﹣1），且（k）⊥，求实数k的值．
【答案】（1）5；（2）2．
【解答】解：（1）∵，，
∴，则；
（2）∵，，
∴，又，且，
∴3（4﹣k）﹣（2+2k）＝0，解得k＝2．
十三．平面向量的基底（共5小题）
61．已知向量，是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：对于A，假设共线，则存在λ∈R，使得，
因为，不共线，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立，即假设不成立，
也即 不共线，则能作为基底；
对于B，假设，共线，则存在λ∈R，使得，
即，无解，所以没有任何一个λ能使该等式成立，即假设不成立，
也即，不共线，则能作为基底；
对于C，因为，所以两向量共线，不能作为一组基底，C错误；
对于D，假设共线，则存在λ∈R，使得，
即，无解，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立，即假设不成立，也即23， 不共线，则能作为基底．
故选：C．
62．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（　　）
A．和
B．与
C．与
D．与
【答案】C
【解答】解：A，令λ（2），∵、不共线，∴λ＝1且λ＝0，∴λ不存在，∴与2不共线，∴能作为基底，
B，令2λ（3），∵、不共线，∴λ且λ＝﹣2，∴λ不存在，∴2与3不共线，∴能作为基底，
C，∵﹣242（2），∴2与﹣24共线，不能作为基底，
D，令3λ（4），∵、不共线，∴λ＝﹣3且λ，∴λ不存在，∴3与4不共线，能作为基底．
故选：C．
63．在下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解答】解：对于A，零向量与任一向量都共线，所以零向量不可以作为向量的基底，故A错误；
对于B，因为﹣1×7﹣2×5≠0，所以，（5，7）不共线，可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故B正确；
对于C，因为3×10﹣5×6＝0，所以，（6，10）共线，不可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故C错误；
对于D，因为，所以，共线，不可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故D错误．
故选：B．
64．设平面向量，若不是表示平面内所有向量的一个基底，则tanθ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为不是表示平面内所有向量的一个基底，所以，
又，
所以，解得．
故选：B．
65．若{，}是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（　　）
A．{2，2}
B．{2，}
C．{32，64}
D．{2，3}
【答案】D
【解答】解：对于A，因为2（2），所以两向量共线，不能作为基底；
对于B，因为22（），所以两向量共线，不能作为基底；
对于C，642（32），所以两向量共线，不能作为基底；
对于D，不存在λ∈R，使得2λ（3），所以两向量不共线，能作为基底．
故选：D．
十四．平面向量数量积的坐标运算（共5小题）
66．已知向量，，若，则（　　）
A．3 B．5 C． D．
【答案】B
【解答】解：由题可得：，
故，解得k＝3，
则，故．
故选：B．
67．已知，，若，则（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：，，
则（x﹣4，﹣5），
若，
则x（x﹣4）﹣5＝0，解得x＝5或x＝﹣1，
当x＝5时，（3，﹣2），，
当x＝5时，（﹣3，﹣2），．
故选：C．
68．设x∈R，向量且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为，又，所以3﹣x＝0，解得x＝3，
所以，
所以，
所以．
故选：B．
69．已知，，则的值为（　　）
A．3 B．5 C．4 D．6
【答案】B
【解答】解：由题意，可得，
又，所以．
故选：B．
70．已知平面向量（λ，2），（1，λ+1），若⊥，则λ＝（　　）
A．1 B．﹣2 C． D．
【答案】C
【解答】解：因为，平面向量（λ，2），（1，λ+1），
所以λ+2（λ+1）＝0，即．
故选：C．
十五．平面向量的综合题（共5小题）
71．在锐角△ABC中，，若点O为△ABC的外心，且，实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为O为△ABC的外心，且，
所以，
所以，
，
即，
由圆的性质有∠AOB＝2∠C，∠AOC＝2∠B，设△ABC的外接圆半径为R，
则，
由于二倍角公式可得，
即﹣2sinCcosB+（﹣2sinBcosC）＝﹣m，
故，
故，故，
因为，故，又cos2A+sin2A＝1，可得，
由于角A为锐角，所以，即，
故选：B．
72．在△ABC中，内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是（　　）
A．若点G为△ABC的重心，则
B．若满足a＝t，b＝2，A＝30°的△ABC有两解，则t的取值范围为（1，2）
C．若点O为△ABC内一点，且，则S△BOC：S△ABC＝1：6
D．若，则sinC的最大值为
【答案】D
【解答】解：A选项、若点G为△ABC的重心，设BC的中点为D，则由重心的性质得，
所以，A选项正确；
B选项、首先t＞0，且c必有两种可能的取值，而c满足b2+c2﹣2bccosA＝a2，
即，故关于c的方程，
必有两个不同的正数解，从而判别式为正数，且两根之积为正数，即12﹣4（4﹣t2）＞0，4﹣t2＞0，结合t＞0，
得1＜t＜2，另一方面当1＜t＜2时，△ABC有两解，，
所以t的取值范围是（1，2），B选项正确；
C选项、若点O为△ABC内一点，且，
延长AO到BC于点D，由于D在AO的延长线上，故存在实数u，使得，
从而，
由于D在直线BC上，故2u+3u＝1，从而，故，
即，从而，
所以，C选项正确；
D选项、由于，
故由数量积的定义，知该条件就算 bccosA+2accosB＝3abcosC，
使用余弦定理又可化为（b2+c2﹣a2）+2（a2+c2﹣b2）＝3（a2+b2﹣c2），
展开再合并同类项得a2+2b2＝3c2，
所以，
这意味着，所以sinC的最大值为，D选项错误．
故选：D．
73．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量．类似的，可以把有序复数对（z1，z2）（z1，z2∈C）看作一个向量，记，则称a为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，z1，z2，z3，z4∈C，规定如下运算法则：
①；
②；
③；
④．
则下列结论错误的是（　　）
A．若，，则
B．若，则
C．
D．
【答案】C
【解答】解：对于A，2i+3i+2+i2＝1+5i；故A正确；
对于B，若，则，
所以z1＝z2＝0，
所以，故B正确；
对于C，，
而，
设z1＝x1+y1i，z2＝x2+y2i，z3＝x3+y3i，z4＝x4+y4i，x1，y1，x2，y2，x3，y3，x4，y4∈R，
则x1﹣y1i，x2﹣y2i，x3﹣y3i，x4﹣y4i，
则
＝（x1x3+y1y3+x2x4+y3y4）+（﹣x1y3+x3y1﹣x2y4+x4y2）i，
＝（x1x3+y1y3+x2x4+y3y4）﹣（﹣x1y3+x3y1﹣x2y4+x4y2）i，
所以与互为共轭复数，不一定相等，故C错误；
对于D，设，
则（z3+z5，z4+z6），
则将，代入可得：
，故D正确．
故选：C．
74．向量集合，对于任意，，以及任意λ∈[0，1]，都有，则称集合S是“凸集”，现有四个命题：
①集合是“凸集”；
②若S为“凸集”，则集合也是“凸集”；
③若A1，A2都是“凸集”，则A1∪A2也是“凸集”；
④若A1，A2都是“凸集”，且交集非空，则A1∩A2也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解答】解：由题意得，若对于任意，∈S，线段AB上任意一点C，都有∈S，
则集合S是“凸集”，由此对结论逐一分析：
对于①，M＝{|（x，y），y≥x2}，若对于任意A（x1，y1），B（x2，y2）满足y1，y2，则∈M，∈M，
由函数y＝x2的图象知，对线段AB上任意一点C（x3，y3），都有y3，
即∈M，故M为“凸集”，①正确；
对于②，若S为“凸集”，则对于任意，∈N，
此时2，2，其中，∈S，
对于任意λ∈[0，1]，λ（1﹣λ）2[λ（1﹣λ）]∈N，所以N为“凸集”，②正确；
对于③，可举反例，若，，
任取，，
则对于任意任意λ∈[0，1]，，
所以集合A1是“凸集”，
任取，，
则对于任意任意λ∈[0，1]，，
所以集合A2是“凸集”，
取，，
但，
所以A1∪A2不是“凸集”，故③错误；
对于④，若A1，A2都是“凸集”，则对于任意，
任意λ∈[0，1]，则，且，
故，故A1∩A2也是“凸集”，④正确．
故选：B．
（多选）75．已知O为坐标原点，点P1（﹣sinα，﹣cosα），P2（sinβ，cosβ），P3（sin（α+β），cos（α+β）），A（0，2），则（　　）
A． B．的最大值为
C．的范围是[1，3] D．∠P1AP3的范围是
【答案】ACD
【解答】解：选项A，已知O（0，0），P1（﹣sinα，﹣cosα），P2（sinβ，cosβ），P3（sin（α+β），cos（α+β）），
所以，，，
则，，
，
所以，故A正确．
选项B，由，
可得
＝sin2β+sin2α+2sinβsinα+cos2β+cos2α+2cosβcosα
＝2+2cos（α﹣β），仅当α﹣β＝2kπ（k∈Z）时，，
即，故B错误；
选项C，，
sin2（α+β）+cos2（α+β）﹣4cos（α+β）+4
＝5﹣4cos（α+β），因为﹣1≤cos（α+β）≤1，
所以，所以的范围是[1，3]，故C正确；
当β∈R时，点P1与点P3之间没有关联，则两点都在单位圆上运动，
如图所示，当点P1与点P3重合时，∠P1AP3最小时为0，
当AP1，AP3都与单位圆相切时，∠P1AP3最大，
此时可知，所以，
同理可得，此时，故D正确．
故选：ACD．
十六．正弦定理与三角形解的存在性和个数（共3小题）
76．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a＝5，b＝6，则满足条件的三角形有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】C
【解答】解：因为，a＝5，b＝6，可得，
所以bsinA＜a＜b，可知满足条件的三角形有2个．
故选：C．
77．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若三角形有两解，则边a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据正弦定理，可得，
在△ABC中，，可得，
要使得△ABC有两解，则必须且，即，
所以，解得，边a的取值范围是（，）．
故选：C．
78．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，，A＝45°，则满足条件的三角形有（　　）
A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定
【答案】B
【解答】解：，A＝45°，
则，∴bsinA＜a＜b．
∴满足条件的三角形有2个．
故选：B．
十七．解三角形（共2小题）
79．如图，为了测量河对岸的塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C和D，测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD长a米，并在C处测得塔顶A的仰角为γ，则塔高AB＝（　　）米．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：因为∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD长a米，可得∠CBD＝π﹣（α+β），
所以sin∠CBD＝sin[π﹣（α+β）]＝sin（α+β），
在△BCD中，由正弦定理可得：，
所以BC a，
在Rt△ABC中，AB＝CD tanγ（米）．
故选：D．
（多选）80．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3a2+b2+c2＝5，则（　　）
A．若sinA：sinB：sinC＝5：4：3，则△ABC外接圆半径为
B．若a＝1，则
C．若b＝1，则
D．△ABC面积的最大值为
【答案】ACD
【解答】解：A选项，若sinA：sinB：sinC＝5：4：3，
由正弦定理知a：b：c＝5：4：3，则b2+c2＝a2，代入3a2+b2+c2＝5，解得，
又△ABC是以A为直角的直角三角形，故外接圆半径为，故A正确；
B选项，若a＝1，则b2+c2＝5﹣3a2＝2，，
当且仅当b＝c＝1时取等，故，故B错误；
C选项，若b＝1，则3a2+c2＝5﹣b2＝4，由于a，b，c是三角形的三条边，
故必有|a﹣b|＜c＜a+b，即|a﹣1|＜c＜a+1，代入3a2+c2＝4得3a2+（a﹣1）2＜4＜3a2+（a+1）2，
解得，故C正确；
D选项，设AD为BC边上的中线，
由中线长公式知，
S△ABC
，
当且仅当sin∠ADC＝1（即b＝c）和同时成立时取等，
此时，b＝c即可，故△ABC面积的最大值为，D正确．
故选：ACD．

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