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专题03 立体几何初步
题型1 棱柱的结构特征 题型2 棱锥的结构特征
题型3 棱台的结构特征 题型4 圆柱的结构特征
题型5 圆锥的结构特征 题型6 圆台的结构特征
题型7 球的结构特征 题型8 平面图形的直观图
题型9 空间几何体的直观图 题型10 斜二测法画直观图
题型11 简单空间图形的三视图 题型12 棱柱的侧面积和表面积
题型13 棱锥的侧面积和表面积 题型14 棱台的侧面积和表面积
题型15 点直线平面的交点交线及包含关系的符号语言表示 题型16 平面与平面之间的位置关系
题型17 平行公理 题型18 异面直线及其所成的角
题型19 异面直线的判定 题型20 几何法求解直线与平面所成的角
▉【知识点1 空间几何体的结构特征】
1．空间几何体的有关概念
(1)空间几何体的定义
对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间
图形就叫做空间几何体.
例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体.
(2)定理的实质
多面体及其相关概念
①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等.
③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等.
④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等.
(3)旋转体及其相关概念
①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭
的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的.
②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴.
2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
棱柱 棱锥 棱台
定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.
相关概念 (1)底面(底)：两个互相平行的面；
(2)侧面：其余各面；
(3)侧棱：相邻侧面的公共边；
(4)顶点：侧面与底面的公共顶点. (1)底面(底):多边形面；
(2)侧面：有公共顶点的各个三角形面；
(3)侧棱：相邻侧面的公共边；
(4)顶点：各侧面的公共顶点. (1)上底面：原棱锥的截面；
(2)下底面：原棱锥的
底面 .
(3)侧面：其余各面.
(4)侧棱：相邻侧面的公共边；
(5)顶点：侧面与底面的公共顶点.
图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
(或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D'
结构特征 (1)底面互相平行且全等；
(2)侧面都是平行四边形；
(3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形；
(2)侧面都是三角形；
(3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形；
(2)各侧棱的延长线交于一点； (3)各侧面为梯形.
分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几 棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台.
3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
圆柱 圆锥 圆台 球
定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部 分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.
相关概念 (1)轴：旋转轴.
(2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.
(3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面.
(4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴.
(2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.
(3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面.
(4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线
(5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面.
(2)下底面：原圆锥的底面.
(3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线.
(4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面.
(5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心.
(2)半径：连接球心和球面上任意一点 的线段.
(3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段.
图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O
结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆.
(2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等.
(3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面.
(2)有无数条母线，长度相等且交于顶点.
(3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面.
(2)有无数条母线，等长且延长线交于一点.
(3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴
的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合.
(2)球的截面都是圆面.
棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.
4．空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
▉【知识点2 简单组合体】
1．简单组合体的结构特征
(1)简单组合体的定义
由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
(2)简单组合体的构成形式
①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示.
②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.
(3)常见的几种组合体
①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.
②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.
③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.
2．正方体的截面形状的探究
通过尝试、归纳，有如下结论.
(1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形.
(2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四
边形中至少有一组对边平行.
(3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是
正五边形.
(4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形.
对应截面图形如图中各图形所示
▉【知识点3 立体图形的直观图】
1．空间几何体的直观图
(1)直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全
在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
(2)斜二测画法及其步骤
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其
步骤是：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'
轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度
为原来的一半.
(3)旋转体及其相关概念
斜二测画法画空间几何体的直观图的规则
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有
以下规则.
①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.
②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原
来的一半.
③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系
(1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积
.
(2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原.
3．斜二测画法的常用结论：
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：.
▉【知识点4 简单几何体的表面积与体积】
1．多面体的侧面积、表面积和体积
多面体 图形 侧面积与表面积 体积
棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形，
S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)，
S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高)
棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高)
棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高)
2．旋转体的侧面积、表面积和体积
旋转体 图形 侧面积与表面积 体积
圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高)
圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积
S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高)
圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l，
表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高)
球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积
3．空间几何体表面积与体积的常见求法
(1)常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解.
②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.
③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.
④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
(2)求组合体的表面积与体积的方法
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该
怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
▉【知识点5 球的截面、几何体与球的切、接问题】
1．球的截面
(1)球的截面形状
①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；
②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.
(2)球的截面的性质
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.
图形解释如下：
在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径
为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即.
2．几何体与球的切、接问题
常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.
常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
▉考点01 平面
1．平面
(1)平面的概念
生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等，几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.
(2)平面的画法
①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.
②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向.
(3)平面的表示方法
平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.
2．点、直线、平面的位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合。点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示。
3．三个基本事实及其推论
(1)三个基本事实及其表示
基本事实 自然语言 图形语言 符号语言
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α.
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α.
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l.
(2)三个基本事实的作用
基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.
基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.
基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.
(2)基本事实1和2的三个推论
推论 自然语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A aa与A共面于平面α，且平面唯一.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α，且平面唯一.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α，且平面唯一.
▉考点02 空间点、线、面之间的位置关系
1．空间中直线与直线的位置关系
(1)三种位置关系
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：
(2)异面直线的画法
为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.
2．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
直线在平面内 有无数个公共点
直线与平面相交 有且只有一个公共点
直线与平面平行 没有公共点
3．空间中平面与平面的位置关系
(1)两种位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平面平行 没有公共点
两个平面相交 有一条公共直线
(2)平行平面的画法技巧
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
4．平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢 三个平面呢
(1)两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；
②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).
(2)三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).
▉考点03 空间中的平行关系
1．直线与直线平行
(1)基本事实4
①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行.
②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.
③作用：判断或证明空间中两条直线平行.
(2)空间等角定理
①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.
2．直线与平面平行
(1)判定定理
①自然语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.
(2)性质定理
①自然语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.
(3)性质定理的作用
①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.
②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.
3．平面与平面平行
(1)判定定理
①自然语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语售
.
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.
(2)判定定理的推论
①自然语言
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语言
.
(3)性质定理
①自然语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.
(4)两个平面平行的其他性质
①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.
②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
【注】
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α//β.
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α//β，β//γ，则α//γ.
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a//b.
4．若α//β，aα，则a//β.
▉考点04 平行关系的相互转化及综合应用
1．平行关系的相互转化及综合应用
(1)证明线线平行的常用方法
①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.
②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半.
④利用平行线分线段成比例定理.
⑤利用线面平行的性质定理.
⑥利用面面平行的性质定理.
⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的.
(2)证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.
②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可.
③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥.
④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视.
(3)平面与平面平行的判定方法
①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.
②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行
于另一个平面，则这两个平面平行.
③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相
交的直线平行，则这两个平面平行.
④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行.
⑤利用反证法.
(4)平行关系的相互转化
常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示.
▉考点05 直线与直线垂直
1．异面直线所成的角
(1)两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<.
(3)两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b.
▉考点06 直线与平面垂直
1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.
(2)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a α，b α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b l⊥α.
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
3．直线与平面所成的角
(1)定义
①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.
②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.
③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
(2)直线与平面所成的角的范围
①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.
②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是.
③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<.
④直线与平面所成的角的取值范围是.
4．直线与平面垂直的性质定理
(1)直线与平面垂直的性质定理
①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
②图形语言：如图所示．
③符号语言：a⊥α，b⊥α a∥b.、
(2)性质定理的作用
①由线面垂直证明线线平行.
②构造平行线.
5．点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
▉考点07 二面角
1．二面角
(1)二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的表示
①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α-l-β，如图(1).
②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).
(3)二面角的平面角
①自然语言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②图形语言
③符号语言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
(4)二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是.
2．几何法求二面角
作二面角的平面角的方法：
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
▉考点08 平面与平面垂直
1．面面垂直的定义及判定定理
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.
(2)两个平面互相垂直的画法
如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理
①自然语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
2．平面与平面垂直的性质定理
(1)平面与平面垂直的性质定理
①自然语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
(2)性质定理的作用
①证明线面垂直、线线垂直；
②构造面的垂线.
3．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化
(1)判定直线与直线垂直的方法
①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直.
②利用直线与平面垂直的性质来判定.
③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条.
(2)判定直线与平面垂直的方法
①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直.
②利用直线与平面垂直的判定定理来判定.
③利用平面与平面垂直的性质定理来判定.
④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥α b⊥α.
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即α∥β，a⊥α a⊥β.
(3)平面与平面垂直的其他性质与结论
①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
(4)线、面垂直位置关系的相互转化
(5)平行关系与垂直关系的相互转化
4．点到平面的距离的常见求法
(1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离.
(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求.
(3)等体积法.
▉一．棱柱的结构特征（共3小题）
1．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为A1B1、BC的中点，则过点E、F、D1的平面α与侧面BCC1B1的交线长为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，∠ACB＝90°，，BC＝CC1＝4，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．圆柱高为4，底面积为π，在圆柱内部有一个可自由转动的正四面体，则该正四面体的最大棱长为（　　）
A． B． C． D．
▉二．棱锥的结构特征（共2小题）
4．已知三棱锥A﹣BCD的棱长均为2，点P在△BCD内，且，则点P的轨迹的长度为（　　）
A． B． C． D．π
5．两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起不可能拼成的是（　　）
A．一个三棱锥 B．一个四棱锥
C．一个三棱柱 D．一个四棱柱
▉三．棱台的结构特征（共4小题）
6．下列几何体中，有且仅有8个面的是（　　）
A．六棱柱 B．六棱锥 C．八棱锥 D．五棱柱
7．下列命题中为真命题的是（　　）
A．圆台的侧面展开图是一个扇形
B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体是棱柱
D．五棱锥共有6个顶点，11条棱
8．已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（　　）
A． B． C． D．
（多选）9．下列关于几何体的描述错误的有（　　）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
▉四．圆柱的结构特征（共2小题）
10．一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（　　）
A．32 B． C． D．
11．以下说法正确的个数为（　　）
①圆柱的所有母线长都相等
②棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
③底面是正多边形的棱锥是正棱锥
④棱台的侧棱延长后必交于一点
A．1 B．2 C．3 D．4
▉五．圆锥的结构特征（共4小题）
12．已知圆锥母线长为，底面半径为2，则经过两条母线的平面截此圆锥所得截面的面积最大值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
13．若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
14．下列说法正确的是（　　）
A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．三棱锥的四个面都可以是直角三角形
C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
15．下列说法不正确的是（　　）
A．圆柱的轴截面是矩形
B．圆锥的轴截面是等腰三角形
C．所有空间几何体都是多面体
D．有些三棱锥的四个面都是直角三角形
▉六．圆台的结构特征（共2小题）
16．下列几何体为旋转体的是（　　）
A．三棱锥 B．四棱台 C．六棱柱 D．圆台
17．有下列命题，其中错误命题个数是（　　）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体
②过圆锥顶点的截面是等腰三角形
③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥
④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
▉七．球的结构特征（共3小题）
18．棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，点E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则过点E、F的直线被球O截得的线段长为（　　）
A． B．2a C． D．
19．下列说法正确的是（　　）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面
（多选）20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1中点，以O为球心的球的半径为r，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，球O的球面与该正方体的面没有公共点
B．当时，球O的球面与该正方体的棱有12个公共点
C．当r＝3时，球O的球面与该正方体的棱共有24个公共点
D．当时，该正方体的表面被球O截得的所有弧长之和为
▉八．平面图形的直观图（共2小题）
21．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，则四边形ABCD的面积是（　　）
A．3 B． C．8 D．
22．如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'O'＝O'B'＝1，B′C′＝1，则四边形ABCD的周长为（　　）
A． B． C．8 D．10
▉九．空间几何体的直观图（共2小题）
23．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（　　）
A．8cm B．6cm C．2（1）cm D．2（1）cm
24．如图，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝6，CD＝2，AD＝2，则直角梯形ABCD的直观图A′B′C′D′的面积为（　　）
A．2 B． C．4 D．
▉十．斜二测法画直观图（共2小题）
25．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是（　　）
A．AB＝2
B．
C．四边形ABCD的周长为
D．四边形ABCD的面积为
26．已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′B′＝2，B′C＝1，则四边形ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．8
▉十一．简单空间图形的三视图（共4小题）
27．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，以面BCC1B1的前面为正前方画出的三视图，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
28．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（　　）
A． B．
C． D．
29．一个水平放置的正方体的正视图不可能是（　　）
A． B．
C． D．
30．一条线段长为5，其侧视图长这5，俯视图长为，则其正视图长为（　　）
A．5 B． C．6 D．
▉十二．棱柱的侧面积和表面积（共2小题）
31．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，且AB＝AC＝1．若球O的表面积为4π，则这个三棱柱的表面积是（　　）
A． B． C． D．
32．已知一个直四棱柱的高为4，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（　　）
A．40 B． C． D．
▉十三．棱锥的侧面积和表面积（共2小题）
33．不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为（　　）
A．240π B．220π C．160π D．176π
34．现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（　　）
A． B． C． D．
▉十四．棱台的侧面积和表面积（共2小题）
35．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（　　）
A．6 B． C．24 D．44
36．正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积和体积分别为（　　）
A． B．
C． D．
▉十五. 点直线平面的交点交线及包含关系的符号语言表示（共2小题）
37．如图所示，用符号语言可表达为（　　）
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
38．点A在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示，正确的是（　　）
A．A∈l，l∈α B．A∈l，l α C．A l，l α D．A∈l，l α
▉十六. 平面与平面之间的位置关系（共2小题）
30．已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足m⊥α，n β，则m∥n是α⊥β的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
40．已知a，b是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列命题正确的是（　　）
A．若a∥b，b α，则a∥α
B．若a⊥α，b β，α∥β，则a⊥b
C．若a∥α，a∥β，则α∥β
D．若α∩β＝b，a α，a⊥b，则α⊥β
▉十七. 平行公理（共3小题）
41．如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是（　　）
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．空间四边形
42．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝60°，则∠PQR等于（　　）
A．60° B．60°或120°
C．120° D．以上结论都不对
43．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝（　　）
A．30° B．150°
C．30°或150° D．大小无法确定
▉十八. 异面直线及其所成的角（共2小题）
44．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则直线BC1与A1C所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
45．在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为AB，CD的中点（如图（1）），将矩形ABCD绕直线EF逆时针旋转，点A，B，C，D分别位于Q，P，N，M处（如图（2），则异面直线PC与QF所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
▉十九. 异面直线的判定（共2小题）
46．如图，已知A、B、C、D、E、F、G分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　　）
A．AB、AC B．AC、AD C．AD、AG D．AC、AG
47．在图示正方体中，O为BD的中点，直线A1C∩平面C1BD＝M，下列说法错误的是（　　）
A．A，C，C1，A1四点共面 B．C1，M，O三点共线
C．M∈平面BB1D1D D．A1C与BD异面
▉二十. 几何法求解直线与平面所成的角（共2小题）
48．已知直线a与平面α所成的角为，直线b与直线a垂直，则直线b与平面α所成角的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
49．在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是棱AB的中点，N是侧面ACC1A1内任意一点（包含边界），则直线MN与平面ACC1A1所成角的正弦值的取值范围是（　　）
A． B． C． D．专题03 立体几何初步
题型1 棱柱的结构特征 题型2 棱锥的结构特征
题型3 棱台的结构特征 题型4 圆柱的结构特征
题型5 圆锥的结构特征 题型6 圆台的结构特征
题型7 球的结构特征 题型8 平面图形的直观图
题型9 空间几何体的直观图 题型10 斜二测法画直观图
题型11 简单空间图形的三视图 题型12 棱柱的侧面积和表面积
题型13 棱锥的侧面积和表面积 题型14 棱台的侧面积和表面积
题型15 点直线平面的交点交线及包含关系的符号语言表示 题型16 平面与平面之间的位置关系
题型17 平行公理 题型18 异面直线及其所成的角
题型19 异面直线的判定 题型20 几何法求解直线与平面所成的角
▉【知识点1 空间几何体的结构特征】
1．空间几何体的有关概念
(1)空间几何体的定义
对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间
图形就叫做空间几何体.
例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体.
(2)定理的实质
多面体及其相关概念
①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等.
③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等.
④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等.
(3)旋转体及其相关概念
①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭
的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的.
②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴.
2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
棱柱 棱锥 棱台
定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.
相关概念 (1)底面(底)：两个互相平行的面；
(2)侧面：其余各面；
(3)侧棱：相邻侧面的公共边；
(4)顶点：侧面与底面的公共顶点. (1)底面(底):多边形面；
(2)侧面：有公共顶点的各个三角形面；
(3)侧棱：相邻侧面的公共边；
(4)顶点：各侧面的公共顶点. (1)上底面：原棱锥的截面；
(2)下底面：原棱锥的
底面 .
(3)侧面：其余各面.
(4)侧棱：相邻侧面的公共边；
(5)顶点：侧面与底面的公共顶点.
图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
(或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D'
结构特征 (1)底面互相平行且全等；
(2)侧面都是平行四边形；
(3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形；
(2)侧面都是三角形；
(3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形；
(2)各侧棱的延长线交于一点； (3)各侧面为梯形.
分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几 棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台.
3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
圆柱 圆锥 圆台 球
定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部 分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.
相关概念 (1)轴：旋转轴.
(2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.
(3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面.
(4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴.
(2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.
(3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面.
(4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线
(5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面.
(2)下底面：原圆锥的底面.
(3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线.
(4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面.
(5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心.
(2)半径：连接球心和球面上任意一点 的线段.
(3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段.
图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O
结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆.
(2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等.
(3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面.
(2)有无数条母线，长度相等且交于顶点.
(3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面.
(2)有无数条母线，等长且延长线交于一点.
(3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴
的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合.
(2)球的截面都是圆面.
棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.
4．空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
▉【知识点2 简单组合体】
1．简单组合体的结构特征
(1)简单组合体的定义
由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
(2)简单组合体的构成形式
①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示.
②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.
(3)常见的几种组合体
①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.
②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.
③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.
2．正方体的截面形状的探究
通过尝试、归纳，有如下结论.
(1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形.
(2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四
边形中至少有一组对边平行.
(3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是
正五边形.
(4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形.
对应截面图形如图中各图形所示
▉【知识点3 立体图形的直观图】
1．空间几何体的直观图
(1)直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全
在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
(2)斜二测画法及其步骤
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其
步骤是：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'
轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度
为原来的一半.
(3)旋转体及其相关概念
斜二测画法画空间几何体的直观图的规则
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有
以下规则.
①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.
②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原
来的一半.
③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系
(1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积
.
(2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原.
3．斜二测画法的常用结论：
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：.
▉【知识点4 简单几何体的表面积与体积】
1．多面体的侧面积、表面积和体积
多面体 图形 侧面积与表面积 体积
棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形，
S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)，
S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高)
棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高)
棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高)
2．旋转体的侧面积、表面积和体积
旋转体 图形 侧面积与表面积 体积
圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高)
圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积
S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高)
圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l，
表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高)
球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积
3．空间几何体表面积与体积的常见求法
(1)常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解.
②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.
③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.
④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
(2)求组合体的表面积与体积的方法
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该
怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
▉【知识点5 球的截面、几何体与球的切、接问题】
1．球的截面
(1)球的截面形状
①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；
②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.
(2)球的截面的性质
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.
图形解释如下：
在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径
为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即.
2．几何体与球的切、接问题
常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.
常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
▉考点01 平面
1．平面
(1)平面的概念
生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等，几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.
(2)平面的画法
①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.
②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向.
(3)平面的表示方法
平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.
2．点、直线、平面的位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合。点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示。
3．三个基本事实及其推论
(1)三个基本事实及其表示
基本事实 自然语言 图形语言 符号语言
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α.
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α.
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l.
(2)三个基本事实的作用
基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.
基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.
基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.
(2)基本事实1和2的三个推论
推论 自然语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A aa与A共面于平面α，且平面唯一.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α，且平面唯一.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α，且平面唯一.
▉考点02 空间点、线、面之间的位置关系
1．空间中直线与直线的位置关系
(1)三种位置关系
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：
(2)异面直线的画法
为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.
2．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
直线在平面内 有无数个公共点
直线与平面相交 有且只有一个公共点
直线与平面平行 没有公共点
3．空间中平面与平面的位置关系
(1)两种位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平面平行 没有公共点
两个平面相交 有一条公共直线
(2)平行平面的画法技巧
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
4．平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢 三个平面呢
(1)两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；
②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).
(2)三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).
▉考点03 空间中的平行关系
1．直线与直线平行
(1)基本事实4
①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行.
②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.
③作用：判断或证明空间中两条直线平行.
(2)空间等角定理
①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.
2．直线与平面平行
(1)判定定理
①自然语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.
(2)性质定理
①自然语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.
(3)性质定理的作用
①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.
②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.
3．平面与平面平行
(1)判定定理
①自然语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语售
.
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.
(2)判定定理的推论
①自然语言
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语言
.
(3)性质定理
①自然语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.
(4)两个平面平行的其他性质
①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.
②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
【注】
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α//β.
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α//β，β//γ，则α//γ.
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a//b.
4．若α//β，aα，则a//β.
▉考点04 平行关系的相互转化及综合应用
1．平行关系的相互转化及综合应用
(1)证明线线平行的常用方法
①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.
②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半.
④利用平行线分线段成比例定理.
⑤利用线面平行的性质定理.
⑥利用面面平行的性质定理.
⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的.
(2)证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.
②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可.
③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥.
④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视.
(3)平面与平面平行的判定方法
①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.
②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行
于另一个平面，则这两个平面平行.
③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相
交的直线平行，则这两个平面平行.
④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行.
⑤利用反证法.
(4)平行关系的相互转化
常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示.
▉考点05 直线与直线垂直
1．异面直线所成的角
(1)两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<.
(3)两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b.
▉考点06 直线与平面垂直
1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.
(2)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a α，b α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b l⊥α.
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
3．直线与平面所成的角
(1)定义
①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.
②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.
③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
(2)直线与平面所成的角的范围
①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.
②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是.
③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<.
④直线与平面所成的角的取值范围是.
4．直线与平面垂直的性质定理
(1)直线与平面垂直的性质定理
①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
②图形语言：如图所示．
③符号语言：a⊥α，b⊥α a∥b.、
(2)性质定理的作用
①由线面垂直证明线线平行.
②构造平行线.
5．点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
▉考点07 二面角
1．二面角
(1)二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的表示
①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α-l-β，如图(1).
②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).
(3)二面角的平面角
①自然语言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②图形语言
③符号语言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
(4)二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是.
2．几何法求二面角
作二面角的平面角的方法：
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
▉考点08 平面与平面垂直
1．面面垂直的定义及判定定理
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.
(2)两个平面互相垂直的画法
如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理
①自然语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
2．平面与平面垂直的性质定理
(1)平面与平面垂直的性质定理
①自然语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
(2)性质定理的作用
①证明线面垂直、线线垂直；
②构造面的垂线.
3．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化
(1)判定直线与直线垂直的方法
①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直.
②利用直线与平面垂直的性质来判定.
③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条.
(2)判定直线与平面垂直的方法
①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直.
②利用直线与平面垂直的判定定理来判定.
③利用平面与平面垂直的性质定理来判定.
④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥α b⊥α.
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即α∥β，a⊥α a⊥β.
(3)平面与平面垂直的其他性质与结论
①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
(4)线、面垂直位置关系的相互转化
(5)平行关系与垂直关系的相互转化
4．点到平面的距离的常见求法
(1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离.
(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求.
(3)等体积法.
▉一．棱柱的结构特征（共3小题）
1．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为A1B1、BC的中点，则过点E、F、D1的平面α与侧面BCC1B1的交线长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为A1B1、BC的中点，
设平面α分别交棱CD、BB1于点M、N，
如下图所示：
因为平面EFD1∩平面ABCD＝FM，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面EFD1∩平面A1B1C1D1＝D1E，所以D1E∥FM，
又因为A1D1∥BC，由等角定理及图形可知∠A1D1E＝∠CFM，
则tan∠A1D1E＝tan∠CFM，即，故，
故，
因为平面AA1B1B∥平面CC1D1D，平面EFD1∩平面AA1B1B＝EN，
平面EFD1∩平面CC1D1D＝D1M，所以EN∥D1M，
又因为BB1∥DD1，由等角定理及图形可得∠DD1M＝∠B1NE，
所以tan∠DD1M＝tan∠B1NE，即，所以，
所以，故．
因此，平面α与侧面BCC1B1的交线长为．
故选：A．
2．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，∠ACB＝90°，，BC＝CC1＝4，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：连接A1B，沿BC1将△CBC1翻折至与△A1BC1在同一个平面内，如图，连接A1C，
则A1C的长度即为CP+PA1的最小值，
因为A1C1⊥B1C1，又A1C1⊥CC1，CC1∩B1C1＝C1，CC1，B1C1 平面B1C1CB，
所以A1C1⊥平面B1C1CB，因为BC1 平面B1C1CB，
所以A1C1⊥BC1．
在平面图形中，因为BC＝CC1＝4，∠BCC1＝90°，
所以∠BC1C＝45°，∠A1C1C＝135°，，
所以
．
故选：B．
3．圆柱高为4，底面积为π，在圆柱内部有一个可自由转动的正四面体，则该正四面体的最大棱长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意可知，圆柱高为4，底面积为π，则圆柱的底面半径为1，
当圆柱底面半径等于正四面体的外接球的半径时，正四面体有最大棱长a，
如图，在正四面体ABCD中，棱长为a，其外接球的半径为R＝1，
E为CD的中点，M为△BCD的中心，连接AM，则AM⊥平面BCD，
设O为正四面体ABCD外接球的球心，连接OB，
因为△BCD为正三角形，
所以，
在Rt△ABM中，，
所以，
在Rt△OBM中，由OM2+BM2＝OB2，
得，
解得，
则．
故选：D．
▉二．棱锥的结构特征（共2小题）
4．已知三棱锥A﹣BCD的棱长均为2，点P在△BCD内，且，则点P的轨迹的长度为（　　）
A． B． C． D．π
【答案】C
【解答】解：设A在底面正三角形BCD内的射影为H，
则BH，
所以AH，又点P在△BCD内，且，
所以PH，
作出底面BCD的平面图，如下图所示：
作HG⊥CD于G，E，F为以H为圆心，为半径的圆与三角形BCD的其中的两个交点，
又H到正三角形BCD各边的距离为HG，HE＝HF，
所以cos∠EHG，所以∠EHG，所以∠EHF，
所以点P的轨迹为底面BCD内以H为圆心，为半径的三段对称的弧，且每段弧所对的圆心角为，
所以点P的轨迹的长度为．
故选：C．
5．两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起不可能拼成的是（　　）
A．一个三棱锥 B．一个四棱锥
C．一个三棱柱 D．一个四棱柱
【答案】D
【解答】解：根据题意，两个三棱锥和一个四棱锥能否拼成某几何体，可以看该几何体是否可拆割成两个三棱锥和一个四棱锥，
依次分析选项：
对于A，三棱锥ABCD中，分别取BC，BD中点为E，F，EF中点为M，连接AM，则三棱锥A﹣BCD可拆割为三棱锥A﹣BEM，A﹣BFM和四棱锥A﹣CDFE，
故两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起可能拼成一个三棱锥，符合题意；
对于B，取BC、AD的中点分别为E，F，则四棱锥P﹣ABCD可拆割为三棱锥P﹣AFB，P﹣BEF和四棱锥P﹣EFDC，
故两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起可能拼成一个四棱锥，符合题意，符合题意；
对于C，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，取B1C1的中点为E，则三棱柱ABC﹣A1B1C1可拆割为三棱锥B1﹣A1BE，C1﹣A1BE和四棱柱B﹣ACC1A1，
故两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起可能拼成一个三棱柱，符合题意；
对于D，一个四棱柱割去一个四棱锥后的几何体不可能由两个三棱锥拼成，故D不可能．
故选：D．
▉三．棱台的结构特征（共4小题）
6．下列几何体中，有且仅有8个面的是（　　）
A．六棱柱 B．六棱锥 C．八棱锥 D．五棱柱
【答案】A
【解答】解：根据六棱柱有6个侧面、2个底面，共8个面，可知A项符合题意；
根据六棱锥有6个侧面、1个底面，共7个面，可知B项不符合题意；
根据八棱锥有8个侧面、1个底面，共9个面，可知C项不符合题意；
根据五棱柱有5个侧面、2个底面，共7个面，可知D项不符合题意．
故选：A．
7．下列命题中为真命题的是（　　）
A．圆台的侧面展开图是一个扇形
B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体是棱柱
D．五棱锥共有6个顶点，11条棱
【答案】C
【解答】解：A选项，圆台的侧面展开图是一个扇环的一部分，故A选项错误；
B选项，用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台，故B选项错误；
C选项，由棱柱的定义知，故C选项正确；
D选项，五棱锥共有6个顶点，10条棱，故D选项错误．
故选：C．
8．已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设正四棱台的高为h，
则V（49+81）hh＝193，
所以h＝3，
所以此正四棱台的侧棱长为：．
故选：C．
（多选）9．下列关于几何体的描述错误的有（　　）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案】ABC
【解答】解：对于A，将底面全等的，但侧棱相交的两个斜三棱柱按底面重合拼在一起，显然该组合体不是棱柱，A错；
对于B，再加上条件“侧棱延长后交于一点”，该几何体才是棱台，B错误；
对于C，底面是长方形的直四棱柱才是长方体，C错误；
对于D，由正棱锥的概念可知，各侧面是全等的等边三角形，D对．
故选：ABC．
▉四．圆柱的结构特征（共2小题）
10．一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（　　）
A．32 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为；
若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为．
故选：D．
11．以下说法正确的个数为（　　）
①圆柱的所有母线长都相等
②棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
③底面是正多边形的棱锥是正棱锥
④棱台的侧棱延长后必交于一点
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①，由圆柱的性质知，所以母线相等，故①正确；
对于②，所有棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形，故②正确；
对于③，底面是正多边形，侧面是全等的等腰三角形是正棱锥，故③错误；
对于④，用平行于底面的平面去截棱锥可得到棱台，所以棱台的侧棱延长后必交于一点，故④正确．
故选：C．
▉五．圆锥的结构特征（共4小题）
12．已知圆锥母线长为，底面半径为2，则经过两条母线的平面截此圆锥所得截面的面积最大值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，设该圆锥的截面为△SMN，
由于该圆锥母线长为，底面半径为2，
则，MN＝4，
则，
所以，
故截面三角形面积的最大值为．
故选：A．
13．若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意得，圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，圆锥的母线长为l＝3，
设过圆锥顶点的截面三角形顶角为α，则，
则截面面积为，当时，．
故选：C．
14．下列说法正确的是（　　）
A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．三棱锥的四个面都可以是直角三角形
C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
【答案】B
【解答】解：如图所示．
对于A，将两个相同的斜平行六面体叠放，符合条件但不是棱柱，如图①，故A错误；
对于B，PA⊥底面ABC，AB是圆O的直径，C是圆上一点，
则三棱锥PABC的四个面都是直角三角形，如图②，故B正确；
对于C，延长其侧棱不交于一点，符合条件但不是棱台，如图③，故C错误；
对于D，以Rt△ABC的斜边AB为轴旋转得到的是两个对底的圆锥，如图④，故D错误．
故选：B．
15．下列说法不正确的是（　　）
A．圆柱的轴截面是矩形
B．圆锥的轴截面是等腰三角形
C．所有空间几何体都是多面体
D．有些三棱锥的四个面都是直角三角形
【答案】C
【解答】解：对于A，圆柱的轴截面是矩形，所以A正确，
对于B，圆锥的轴截面是等腰三角形，所以B正确，
对于C，因为旋转体不是多面体，所以C项不正确，
对于D，如图，三棱锥A﹣BCD中，当AB⊥平面BCD时，AB⊥BC，AB⊥BD，
所以△ABC，△ABD，△ACD，△BCD均为直角三角形，所以D正确．
故选：C．
▉六．圆台的结构特征（共2小题）
16．下列几何体为旋转体的是（　　）
A．三棱锥 B．四棱台 C．六棱柱 D．圆台
【答案】D
【解答】解：在四个选项涉及的几何体中，只有圆台是旋转体．
故选：D．
17．有下列命题，其中错误命题个数是（　　）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体
②过圆锥顶点的截面是等腰三角形
③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥
④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：对于①：圆柱是将矩形以一边为轴旋转一周所得的几何体，故①错误；
对于②：过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故②正确；
对于③：以直角三角形一直角边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥，故③错误；
对于④；平行于母线的平面截圆锥，截面不是等腰三角形，是抛物线，故④错误．
所以其中错误命题个数为3．
故选：C．
▉七．球的结构特征（共3小题）
18．棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，点E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则过点E、F的直线被球O截得的线段长为（　　）
A． B．2a C． D．
【答案】C
【解答】解：因为正方体内接于球，所以，，
过球心O和点E、F的大圆的截面图如图所示，
则直线被球截得的线段为QR，过点O作OP⊥QR于点P，
易知EF＝a，所以在△QPO中，．
故选：C．
19．下列说法正确的是（　　）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面
【答案】D
【解答】解：对于选项A：各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故选项A错误；
对于选项B：有两个面互相平行且相似，其余面都是梯形的多面体不一定是棱台，
只有当梯形的腰延长后交于一点时，这个多面体才是棱台，故选项B错误；
对于选项C：直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，故选项C错误；
对于选项D：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故选项D正确．
故选：D．
（多选）20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1中点，以O为球心的球的半径为r，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，球O的球面与该正方体的面没有公共点
B．当时，球O的球面与该正方体的棱有12个公共点
C．当r＝3时，球O的球面与该正方体的棱共有24个公共点
D．当时，该正方体的表面被球O截得的所有弧长之和为
【答案】BCD
【解答】解：由题设，易知O为正方体的中心，且其外接球半径为，内切球半径为2，
侧面正方形内切圆半径为，
由，则球O的球面与该正方体的面有公共点，A错；
由，则球O的球面与该正方体每条棱都相切，共12个切点，B对；
由，则球O的球面与该正方体每条棱都都有两个交点，共24个，C对；
由，
则各面截球O所得圆的半径为，
所以该圆截各棱所得弦长为，
该弦对应圆心角为，
所以该圆被一个侧面所截的弧长为，
故所有弧长之和为，D对．
故选：BCD．
▉八．平面图形的直观图（共2小题）
21．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，则四边形ABCD的面积是（　　）
A．3 B． C．8 D．
【答案】D
【解答】解：由题意可知，等腰梯形A′B′C′D′中，A′B′＝4，C′D′＝2，
所以等腰梯形A′B′C′D′的高为1，
所以等腰梯形A′B′C′D′的面积为S'3，
所以四边形ABCD的面积是S6．
故选：D．
22．如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'O'＝O'B'＝1，B′C′＝1，则四边形ABCD的周长为（　　）
A． B． C．8 D．10
【答案】D
【解答】解：根据题意，矩形A'B'C'D'，A'O'＝O'B'＝1，B'C'＝1，
则O′C′，
如图：平面图形是平行四边形ABCD，
▉九．空间几何体的直观图（共2小题）
23．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（　　）
A．8cm B．6cm C．2（1）cm D．2（1）cm
【答案】A
【解答】解：由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，
正方形的对角线在y'轴上，
可求得其长度为 ，故在平面图中其在y轴上，
且其长度变为原来的2倍，长度为2 ，其原来的图形如图所示，
则原图形中的平行四边形中，一边长为1，另一边长为3，它的周长是8
观察四个选项，A选项符合题意．
故选：A．
24．如图，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝6，CD＝2，AD＝2，则直角梯形ABCD的直观图A′B′C′D′的面积为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解答】解：易知直观图A′B′C′D′为梯形，
其高，
C′D′＝CD＝2，A′B′＝AB＝6，
所以直观图A′B′C′D′的面积为．
故选：C．
AB＝AO+OB＝A'O'+O'B'＝2，OC＝2O′C′＝2，
BC3，
则四边形ABCD的周长l＝2（AB+BC）＝10．
故选：D．
▉十．斜二测法画直观图（共2小题）
25．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是（　　）
A．AB＝2
B．
C．四边形ABCD的周长为
D．四边形ABCD的面积为
【答案】D
【解答】解：如图过D'作DE⊥O'B'，
由等腰梯形A'B'C'D'可得：△A'D'E是等腰直角三角形，
即，即B错误；
还原平面图为下图，
即，即A错误；
过C作CF⊥AB，由勾股定理得，
故四边形ABCD的周长为：，即C错误；
四边形ABCD的面积为：，即D正确．
故选：D．
26．已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′B′＝2，B′C＝1，则四边形ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．8
【答案】B
【解答】解：根据题意，直观图为矩形A′B′C′D′，若A′B′＝2，B′C＝1，则其面积S′＝2×1＝2，
则原图四边形ABCD的面积S＝2S′＝4．
故选：B．
▉十一．简单空间图形的三视图（共4小题）
27．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，以面BCC1B1的前面为正前方画出的三视图，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：从正面看，AA′，BB′重合，故几何体的正视图中没有棱被平面BCC1B1遮挡，排除B，C，
从上面看，几何体的俯视图为矩形，排除D，
故选：A．
28．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．
∴其正视图和侧视图是一个圆，
∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上
∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，
故选：B．
29．一个水平放置的正方体的正视图不可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：对于A：当正方体的每一个面与视线垂直时，正视图为A，故A正确；
对于B：当正方体的内一条棱与视线垂直时，正视图为B，故B正确；
对于D：当与B放置的方向差不多时，有一条棱是实线，有一条棱为虚线，故D正确；
对于C：无论怎样放置正方体，都不可能是有四条实线构成平行关系，故C错误．
故选：C．
30．一条线段长为5，其侧视图长这5，俯视图长为，则其正视图长为（　　）
A．5 B． C．6 D．
【答案】D
【解答】解：由题意知本题是一个简单的三视图问题，
实际上本题可以看作长方体的体对角线长是5，
两个面上的对角线分别长5和，
要求的正视图的长相当于第三个面上的对角线，设长度为x，
∴，
∴x，
故选：D．
▉十二．棱柱的侧面积和表面积（共2小题）
31．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，且AB＝AC＝1．若球O的表面积为4π，则这个三棱柱的表面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设BC，B1C1的中点分别为M，M1，连接MM1，取MM1的中点O．
直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BM∥B1M1，，
四边形BMM1B1是平行四边形，有MM1∥AA1，
因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，AB＝AC＝1，所以AB⊥AC，A1B1⊥A1C1，
M，M1分别是Rt△ABC，Rt△A1B1C1的外接圆圆心．
因为AA1⊥平面ABC，所以MM1⊥平面ABC，
所以O为ABC﹣A1B1C1的外接球的球心．
连接OB，因为球O的表面积为4π，所以球O的半径为1，即OB＝1，
AB＝AC＝1，则，，可得，，
所以三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．
故选：C．
32．已知一个直四棱柱的高为4，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（　　）
A．40 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由于直观图是边长为2的正方形，
所以ABCD是两邻边分别为2与6，高为的平行四边形，
其周长是2+6+2+6＝16，面积是，
所以直四棱柱的表面积是．
故选：C．
▉十三．棱锥的侧面积和表面积（共2小题）
33．不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为（　　）
A．240π B．220π C．160π D．176π
【答案】A
【解答】解：因为圆柱的底面直径为16，所以半径为8，
则底面圆面面积为：π×82＝64π，
因为圆柱的高为6，
所以圆柱的侧面为：2×8π×6＝96π，
根据圆锥的高为6，底面圆的半径为8，
得圆锥母线长为，
所以圆锥的侧面为：，
所以该陀螺的表面积为：64π+96π+80π＝240π．
故选：A．
34．现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：已知有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，
由正四面体木料知，底面为边长为2的正三角形，故底面面积为，
因为平面平行于该木料底面，故该平面在木料上的截面也为正三角形，
设该正三角形与底面的相似比为k，则该平面在木料上的截面面积为，
截下部分一部分为小四面体，一部分为正三棱台，其中小四面体部分的表面积即，
正三棱台表面积为，
故，解得，所以该平面在木料上的截面面积为．
故选：D．
▉十四．棱台的侧面积和表面积（共2小题）
35．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（　　）
A．6 B． C．24 D．44
【答案】C
【解答】解：∵正四棱台的侧面为等腰梯形，
又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、4，高为，
∴侧面梯形的斜高为h'2，
∴棱台的侧面积为S（a+b）h'＝4（2+4）×2＝24．
故选：C．
36．正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积和体积分别为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：如图在正六棱台ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，
因为A1B1＝2，AB＝6，AA1＝5，
所以侧面的梯形ABB1A1的高即正六棱台斜高为：，
所以梯形ABB1A1的面积为：，
所以该正六棱台的上底面积为：，
同理下底面积为：，
所以正六棱台的表面积为：，
正六棱台的高为，
所以正六棱台的体积为：，
故选：C．
▉十五. 点直线平面的交点交线及包含关系的符号语言表示（共2小题）
37．如图所示，用符号语言可表达为（　　）
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
【答案】A
【解答】解：B中，直线n是集合，所以n α，所以B不正确；
C中A点是元素，所以A∈m，A∈n，所以C不正确；
D中，错在n∈α，
故选：A．
38．点A在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示，正确的是（　　）
A．A∈l，l∈α B．A∈l，l α C．A l，l α D．A∈l，l α
【答案】D
【解答】解：点A在直线l上，则A∈l，
因为直线l在平面α内，则l α，
故选：D．
▉十六. 平面与平面之间的位置关系（共2小题）
30．已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足m⊥α，n β，则m∥n是α⊥β的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：因为两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足m⊥α，n β，
所以若m∥n，m⊥α时，则n⊥α，又n β，所以α⊥β，即充分性成立；
若α⊥β，m⊥α，n β，则m∥β或m β，则m∥n或m与n相交或异面，即必要性不成立，
所以“m∥n“是“α⊥β“的充分非必要条件．
故选：B．
40．已知a，b是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列命题正确的是（　　）
A．若a∥b，b α，则a∥α
B．若a⊥α，b β，α∥β，则a⊥b
C．若a∥α，a∥β，则α∥β
D．若α∩β＝b，a α，a⊥b，则α⊥β
【答案】B
【解答】解：若a∥b，b α，则a∥α、或a α，故A错误；
若a⊥α，α∥β，推得a⊥β，又b β，则a⊥b，故B正确；
若a∥α，a∥β，则α∥β或α、β相交，故C错误；
若α∩β＝b，a α，a⊥b，不能判定α和β是否垂直，故D错误．
故选：B．
▉十七. 平行公理（共3小题）
41．如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是（　　）
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．空间四边形
【答案】C
【解答】解：连接AC、BD，则
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，EF＝GH，EH＝FGBD
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC＝BD
∴EF＝EH
∴四边形EFGH是菱形
故选：C．
42．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝60°，则∠PQR等于（　　）
A．60° B．60°或120°
C．120° D．以上结论都不对
【答案】B
【解答】解：∵AB∥PQ，BC∥QR，
且∠ABC＝60°，
∴∠PQR＝60°或120°
故选：B．
43．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝（　　）
A．30° B．150°
C．30°或150° D．大小无法确定
【答案】C
【解答】解：已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，
当角的方向相同时，∠B′A′C′＝30°，
当角的方向相反时，∠B′A′C′＝150°，
故选：C．
▉十八. 异面直线及其所成的角（共2小题）
44．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则直线BC1与A1C所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：记，，，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝90°，
∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
则，，，
又，，
所以，
可得24+4+2×2＝12，
2224+4+4+0﹣2×2﹣2×2＝4，
所以||＝2，||＝2，
可得cos，，
记BC1与A1C所成的角为θ，
则cosθ＝|cos，|．
故选：B．
45．在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为AB，CD的中点（如图（1）），将矩形ABCD绕直线EF逆时针旋转，点A，B，C，D分别位于Q，P，N，M处（如图（2），则异面直线PC与QF所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：延长FN到H，使得HN＝FN，连接CH，PH，
则四边形FHPQ为平行四边形，
故PH∥EN∥QF，
故∠CPH或其补角为直线PC与QF所成角，
设AB＝2AD＝2a，则，
在△FCH中，∠CFH，FCCD＝a，FH＝2a，
由余弦定理可得：CH2＝FC2+FH2﹣2FC FHcosa2+4a2﹣2 a 2a 3a2，
，
故在△PHC中，CH2＝PC2+FH2﹣2PC FHcos∠CPH＝2a2+2a2﹣2cos∠CPH＝3a2，
解得，
故直线PC与QF所成角的余弦值为．
故选：D．
▉十九. 异面直线的判定（共2小题）
46．如图，已知A、B、C、D、E、F、G分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　　）
A．AB、AC B．AC、AD C．AD、AG D．AC、AG
【答案】D
【解答】解：如图，取正方体底边的中点H，和正方体的顶点M，N，P，Q，
因为A、B、C、D、E、F、G分别是正方体所在棱的中点，
连接EF，AB，AC，AD，AG，BE，AF，GH，MN，PQ，
在正方体中有AF∥PQ，PQ∥BE，
所以AF∥BE，
所以点A，B，E，F四点共面，
所以直线EF与直线AB共面；
因为A∈平面ABEF且A EF，EF 平面ABEF，C 平面ABEF，
所以直线EF与直线AC是异面直线；
在正方体中，有EF∥MN，MN∥AD，所以EF∥AD；
直线AG 平面AFG，直线EF∩平面AFG＝F，F AG，
所以直线AG与直线EF是异面直线．
综上可知ABC错误；D正确．
故选：D．
47．在图示正方体中，O为BD的中点，直线A1C∩平面C1BD＝M，下列说法错误的是（　　）
A．A，C，C1，A1四点共面 B．C1，M，O三点共线
C．M∈平面BB1D1D D．A1C与BD异面
【答案】C
【解答】解：A，根据题意可知，AA1∥CC1且AA1＝CC1，∴A，C，C1，A1共面，故A正确；
B，根据题意可知，直线A1C∩平面C1BD＝M，∴M∈平面C1BD，
∵M∈直线A1C，又A1C 平面ACC1A1，∴M∈平面ACC1A1，
∵O为BD中点，BD 平面C1BD，∴O∈平面C1BD，
底面ABCD为正方形，∴O为AC中点，AC 平面ACC1A1，∴O∈底面ACC1A1，
又C1∈平面ACC1A1，C1∈平面C1BD，
∴平面C1BD与平面ACC1A1相交，且C1，M，O在交线上，即C1，M，O三点共线，故B正确；
C，平面C1BD∩平面BB1D1D＝BD，M∈平面C1BD，但M 直线BD，
∴M 平面BB1D1D，故C错误；
D，直线A1C∩平面ABCD＝C，直线BD 平面ABCD，M BD，
∴直线A1C与BD为异面直线，故D正确．
故选：C．
▉二十. 几何法求解直线与平面所成的角（共2小题）
48．已知直线a与平面α所成的角为，直线b与直线a垂直，则直线b与平面α所成角的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图：
由图AC⊥BC，AC＝BC，平面ABC⊥平面ABB1A1，
平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，直线AC，BC在平面ABB1A1内的投影是直线AB，
因此直线AC，BC与平面ABB1A1所成的角都是，
由CC1⊥平面ABC，AC 平面ABC，得AC⊥CC1，而CC1∩BC＝C，
CC1，BC 平面BB1C1C，因此AC⊥平面BB1C1C，
不妨设直线AC为直线a，平面ABB1A1为平面α，直线b在平面BB1C1C内，
此时满足直线a与平面α所成的角为，直线b与直线a垂直，
当b与BC平行或重合时，直线b与平面α所成的角取得最大值为，
当b与CC1平行或重合时，直线b与平面α所成的角取得最小值为0，
所以直线b与平面α所成角的取值范围为．
故选：A．
49．在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是棱AB的中点，N是侧面ACC1A1内任意一点（包含边界），则直线MN与平面ACC1A1所成角的正弦值的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1棱长均为2，取AC的中点为O，
则BO⊥平面ACC1A1，
当点N是靠近点A的四等分点时，MN∥BO，则MN⊥平面ACC1A1，
此时直线MN与平面ACC1A1所成角的正弦值最大为1；
当点N与C1重合时，此时MN最长，
因为，CC1＝2，
所以，
因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是棱AB的中点，
所以点M到平面ACC1A1的距离为，
此时直线MN（即MC1）与平面ACC1A1所成角的正弦值最小，为，
所以直线MN与平面ACC1A1所成角的正弦值取值范围是．
故选：D．

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