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19.1.3 中位数和众数
一、教学目标
1.理解中位数、众数的概念，能准确求出一组数据的中位数和众数.
2.能运用中位数和众数解决简单的实际统计问题，会用中位数、众数描述一组数据的集中趋势.
二、教学重点及难点
重点：中位数和众数的概念与计算方法.
难点：根据数据的特点和实际问题的背景，合理选择中位数或众数描述数据的集中趋势，理解两者各自的适用场景.
三、教学过程
【复习引入】
复习提问：我们已经学均数，它是如何计算的？它能反映数据的什么特征？
情境导入： 4 个生活问题，让学生思考并回答：
（1）小明妈妈的 9 双鞋鞋号：23,23,23,23.5,23,24,23,23,24
（2）小红去年每月体育锻炼时间（单位：h）：35,10,10,10,10,15,10,20,10,10,10,10
（3）小兵三次打字速度（单位：字 /min）：38,31,36
（4）小店 5 名员工月收入（单位：元）：8000,3200,2100,2000,2000
引导思考：上述问题中，哪些用平均数作为数据代表不合适？为什么？
学生讨论后得出：（1）（2）（4）不适合用平均数，因为极端值会严重影响平均数的代表性，需要引入新的统计量 —— 中位数和众数.
设计意图：通过生活中的实际问题引发学生认知冲突，激发学习兴趣，自然引入新课.
【探究新知】
探究 1：中位数的概念与性质
问题呈现：展示我国 31 个直辖市和省会城市 2022 年 8 月 28 日最高气温数据，已知其平均数约为 26.5℃，提问：还能从其他角度找到这组数据的代表吗？
动手操作：让学生将气温数据按由小到大的顺序排列，用 “去掉两端逐步接近中心” 的方法找中间位置的数.
概念生成：引导学生总结中位数的定义：一般地，将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，处于中间位置的数据（或中间位置两个数据的平均数）即为这组数据的中位数.
性质探究：
（1）提问：如果数据个数是偶数，如何确定中位数？
学生回答后明确：偶数个数据时，取中间两个数的平均数作为中位数.
（2）结合员工月收入例子分析：平均数为 3460 元，中位数为 2100 元，说明中位数不受极端值影响，能更好地反映数据的中等水平.
注意事项强调：
① 中位数是唯一的，可能是数据中的数，也可能不是；
② 排序时，所有数据（包括相等的数据）都要参与排列；
③ 当数据中有个别极端值时，适合用中位数描述集中趋势.
设计意图：通过动手排序和实例分析，让学生自主建构中位数的概念，理解其性质和适用场景.
探究 2：众数的概念与性质
问题延伸：继续分析气温数据，统计每个气温出现的频数，找出出现次数最多的气温值.
概念生成：引导学生总结众数的定义：一组数据中出现频数最多的数据就是这组数据的众数.
易错点强调：众数是数据本身，不是数据出现的频数.
性质探究：
（1）提问：如果有多个数据出现的频数并列最多，众数如何确定？
学生回答后明确：此时这几个数据都是这组数据的众数.
（2）提问：如果每个数据出现的次数都相同，还有众数吗？
明确：此时没有研究众数的必要.
实例验证：结合小明妈妈的鞋号（众数 23）和小红的锻炼时间（众数 10h），说明众数能反映数据的多数水平.
设计意图：通过统计频数的活动，让学生直观理解众数的概念，掌握其特点和适用情况.
【典型例题】
例 1 分别求出下列各组数据的中位数和众数：
（1）23,23,23,23.5,23,24,23,23,24
（2）35,10,10,10,10,15,10,20,10,10,10,10
（3）8000,3200,2100,2000,2000
【师生活动】 学生独立完成，小组内交流答案，教师巡视指导，最后展示规范解答过程：
（1）排序：23,23,23,23,23,23,23.5,24,24
中位数：23；众数：23
（2）排序：10,10,10,10,10,10,10,10,15,20,35
中位数：(10+10)÷2=10；众数：10
（3）排序：2000,2000,2100,3200,8000
中位数：2100；众数：2000
设计意图：通过基础例题巩固中位数和众数的计算，通过实际应用例题让学生学会根据问题背景选择合适的统计量.
【当堂检测】
数据 1,2,3,4,5 的中位数是 ，众数是 .
数据 2,2,3,3,4 的众数是 .
数据 1,3,5,7,9,11 的中位数是 .
某校八年级（1）班 50 名学生的年龄情况如下表：
不同年龄的人数统计表
年龄（单位：岁） 人数
13 4
14 21
15 22
16 3
求该班学生年龄的平均数、中位数和众数，并说明哪个统计量更能代表该班学生的年龄特征.
【师生活动】 学生独立完成，教师当堂批改，针对错误较多的地方进行讲解.
设计意图：通过当堂检测及时反馈学生的学习效果，巩固所学知识.
【课堂小结】
中位数：将数据排序后，中间位置的数（或中间两数的平均数），反映数据的中等水平，不受极端值影响.
众数：数据中出现次数最多的数，反映数据的多数水平，可能有多个或没有.
四、板书设计
19.1.3 中位数和众数
中位数
定义：排序后中间位置的数（或中间两数的平均数）
特点：唯一，不受极端值影响，反映中等水平
众数
定义：出现次数最多的数据
特点：不唯一（可能多个或没有），反映多数水平

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