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19.1.4 平均数、中位数和众数的选用
一、教学目标
理解平均数、中位数和众数的区别与联系，掌握各自的优势与局限.
能根据实际问题情境，合理选择平均数、中位数或众数分析和描述数据特征.
二、教学重点及难点
重点：平均数、中位数和众数的区别与适用场景.
难点：根据具体问题情境，恰当选择数据代表解决实际问题.
三、教学过程
【复习引入】
提问：我们已经学习了哪些描述数据集中趋势的统计量？（学生回答：平均数、中位数、众数）
回顾三者的定义：
平均数：一组数据的总和除以数据个数.
中位数：将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数（数据个数为奇数时）或中间两个数的平均数（数据个数为偶数时）.
众数：一组数据中出现次数最多的数.
引入：这三个统计量都可以作为一组数据的 “代表”，但它们各有特点.当它们不全相等时，我们应该如何选用才能最恰当地代表这组数据呢？这就是我们今天要学习的内容.
设计意图：通过复习旧知，唤醒学生已有的知识储备，自然引出本节课的核心问题，激发学生的探究兴趣.
【探究新知】
探究 1：成绩比较中的数据代表选用
问题 4：八年级某班的教室里，三位同学正在为谁的数学成绩最好而争论，他们的 5 次数学成绩分别是：
小华：62，94，95，98，98；
小明：62，62，98，99，100；
小丽：40，62，85，99，99.
他们都认为自己的成绩比另两位同学好，你认为呢？
师生活动：
学生独立计算三位同学成绩的平均数、中位数和众数.
小组讨论：三位同学分别是从哪个统计量的角度认为自己成绩最好的？
教师引导学生分析：
小华的平均数最高（89.4），所以他认为自己成绩最好；
小明的中位数最高（98），所以他认为应该比较中位数；
小丽的众数最高（99），所以她认为应该比较众数.
提问：通常学科测试成绩主要以什么来衡量高低？（学生回答：总分或平均分）
结论：由于小华的平均分最高，即总分最高，所以小华的成绩较好.
拓展思考：高一级学校录取新生主要依据考生的总分，这与哪个统计量关系较大？（学生回答：平均数）
设计意图：通过贴近学生生活的成绩比较问题，让学生初步体会三个统计量的不同意义，感受在不同评价标准下会得出不同的结论.
探究 2：交通路况衡量中的数据代表选用
问题 5：随着汽车的日益普及，越来越多的城市出现了令人烦恼的交通堵塞问题.你认为用过往车辆一天车速的平均数衡量某条交通主干道的路况合适吗？
师生活动：
学生独立思考后小组交流.
教师引导学生分析：人们上、下班的时候是一天中道路较为繁忙的两个时段，其他时段车流量明显减少.如果用一天车速的平均数来衡量路况，那么上、下班时交通堵塞的问题就会被掩盖.
结论：较为合理的做法是按道路繁忙的不同程度，将一天分为几个时段分别计算平均车速.
设计意图：通过交通路况的实际问题，让学生认识到平均数的局限性 —— 易受极端值或不同时段数据差异的影响，从而理解在某些情况下不能简单地使用平均数.
探究 3：平均数、中位数和众数的对比
师生活动：
教师引导学生结合前面两个问题，总结三个统计量的区别与联系，完成下表：
统计量 意义 优点 缺点
平均数 反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数据都有关 所有数据都参加运算，能充分地利用数据所提供的信息，在现实中较为常用 易受极端值的影响
中位数 反映一组数据的中等水平 计算简单，受极端值影响较小 不能充分利用所有数据的信息
众数 反映一组数据的多数水平，只与数据出现的次数有关 着眼于各数据出现的频数，不受极端值的影响 当各个数据的重复次数大致相等时，众数就没有特别意义了
联系：
都是数据的代表，描述数据的集中趋势.
实际问题中求得的平均数、中位数和众数的单位与原数据的单位一致.
补充三个生活实例，加深学生理解：
实例 1：草地上有 6 个人正在玩游戏，他们年龄的平均数是 15 岁.请想象一下是怎样年龄的 6 个人正在玩游戏.
分析：可能是一群中学生，也可能是一个 65 岁的老人领着 5 个 5 岁的孩子.这说明当数据中有极端值时，平均数不能很好地代表这组数据，此时适合用众数或中位数.
实例 2：为筹备班级的新年晚会，班长对全班同学爱吃香蕉、橘子、柚子中的哪一种水果做了民意调查.最终买什么水果，该由调查的平均数、众数还是中位数决定呢？
分析：由众数决定较好，因为它代表了全班多数同学的意愿.
实例 3：八年级有 4 个班级，如果已知在一次测验中这 4 个班级每班学生的平均成绩，也知道各班级的学生人数，那么我们可以计算出整个年级学生的平均成绩.但是，如果已知的是每个班级学生成绩的中位数或者众数，那么我们能得出整个年级的中位数或者众数吗？
分析：不能得出整个年级的中位数或者众数.
设计意图：通过表格对比和生活实例，让学生系统地掌握三个统计量的特点和适用场景，突破本节课的难点.
【典型例题】
例：某公司销售部有营销人员 15 人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这 15 人某月的销售量如下：
每人销售件数 1800 510 250 210 150 120
人数 1 1 3 5 3 2
（1）求这 15 位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；
（2）假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为 320 件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由.
师生活动：
学生独立完成，然后小组讨论.
教师展示解题过程：
（1）平均数：
中位数：210 件
众数：210 件
（2）不合理.因为 15 人中有 13 人的销售额达不到 320 件，320 件虽是这组数据的平均数，但它不能反映营销人员的一般水平.
较合理的销售定额可以定为 210 件，因为 210 件既是中位数又是众数，是大部分人能达到的定额.
设计意图：通过典型例题，让学生巩固三个统计量的计算方法，并学会在实际问题中合理选用数据代表，提高解决实际问题的能力.
【当堂检测】
为了了解某班学生每天的睡眠时间，随机抽取了该班 10 名学生，在一段时间里，每人平均每天的睡眠时间统计如下（单位：小时）：6，8，8，7，7，9，10，7，6，9.则这 10 名学生平均每天睡眠时间的平均数、中位数、众数分别是（ ）
A. 7.7，7，7 B. 7.7，7.5，7 C. 7.8，7，7 D. 7.8，7.5，7
某鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：
尺码 / 厘米 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量 / 双 1 2 5 11 7 3 1
你认为商家更应该关注鞋子尺码的（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 以上都不对
有 13 位同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设 7 个获奖名额.某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在下列 13 名同学成绩的统计量中，只需知道（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
师生活动：学生独立完成，教师巡视指导，然后集体订正答案.
设计意图：通过当堂检测，及时反馈学生的学习效果，巩固本节课所学知识.
【课堂小结】
今天我们学均数、中位数和众数的选用，总结如下：
当需要表示一组数据的 “平均水平” 时，选用平均数；
当需要表示一组数据的 “中等水平” 时，选用中位数；
当需要表示一组数据的 “多数水平” 时，选用众数.
设计意图：通过简洁明了的总结，帮助学生梳理本节课的核心知识，形成完整的知识体系.
四、板书设计
19.1.4 平均数、中位数和众数的选用
三个统计量的对比
统计量 意义 优点 缺点
平均数 平均水平 利用所有数据信息 易受极端值影响
中位数 中等水平 受极端值影响小 不能利用所有数据
众数 多数水平 不受极端值影响 重复次数相近时无意义
选用原则
平均水平 → 平均数
中等水平 → 中位数
多数水平 → 众数

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