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3.1　导数的概念及其几何意义、导数的运算
[考情引航]　1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景;通过函数图象直观理解导数的几何意义.　2.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.　3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数.
　　　　　　　　　　　　　　　　[知识重构]
1.导数的概念
(1)平均变化率:对于函数y=f(x),我们把比值,即=叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率.
|微点拨|
Δx可以是正值,也可以是负值,但不为0.
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率=叫做函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y',即f'(x0)==.
(3)导函数:当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数),y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=.
|微点拨|
f'(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))'是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0))'=0.
　(4)复合函数的导数:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处切线的斜率,相应的切线方程为y-y0=k(x-x0),其中k==f'(x0).
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=0
f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=αxα-1
f(x)=sin x f'(x)=cos x
f(x)=cos x f'(x)=-sin x
f(x)=ex f'(x)=ex
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a
f(x)=ln x f'(x)=
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
4.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).
(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
(3)'=(g(x)≠0).
[常用结论]
1.可导奇函数的导数是偶函数,可导偶函数的导数是奇函数,可导周期函数的导数还是周期函数.
2.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,|f'(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
3.[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x).
[诊断自测]
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的瞬时变化率.(√)
(2)函数f(x)=sin(-x)的导数f'(x)=cos x. (×)
(3)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0).(×)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(×)
2.(多选)(人教B版选择性必修第三册例题改编)下列导数运算中正确的是(　　)
A.(e5x-1)'=5e5x-1
B.(ln(2x+1))'=
C.()'=
D.'=-2cos
解析　ABC　对于D,'=2cos.
3.(人教A版选择性必修第二册习题改编)函数y=f(x)的图象如图,则导函数f'(x)的大致图象为(　　)
解析　B　由导数的几何意义可知,f'(x)为常数,且f'(x)<0.
4.(人教A版选择性必修第二册习题改编)曲线y=在点P处的切线方程为　　　　.
答案　y=-x+1
解析　因为y'=,所以曲线y=在点P处的切线斜率为-.即所求的切线方程为y-0=-,即y=-x+1.
　　　　　　　　　　　　　　　　考点一　导数的概念
例1 设f(x)在x=x0处可导,下列式子与f'(x0)相等的是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　B　对于A,=-=-f'(x0),故A错误;对于B,=f'(x0),故B正确;对于C,=2=2f'(x0),故C错误;对于D,=-=-f'(x0),故D错误.
由导数的定义可知,若函数y=f(x)在x=x0处可导,则f'(x0)=,它仅与x0有关,与Δx无关,因此使用导数的定义时要明确公式的形式,当分子为f(1-Δx)-f(1)时,分母也应该是(1-Δx)-1,要注意公式的变形.
1.=(　　)
A.0 B.2cos x
C.cos 2x D.2cos 2x
解析　B　=
2=2(sin x)'=2cos x.
2.若f'(x)是函数f(x)的导数,且f'(a)=-1,则=(　　)
A.-5 B.-4
C.-1 D.0
解析　A　=5=5f'(a)=-5.
考点二　导数的运算
例2 (1)(多选)下列求导运算正确的是(　　)
A.(ln 7)'=
B.[(x2+2)sin x]'=2xsin x+(x2+2)cos x
C.'=
D.[ln(3x+2)]'=
(2)已知函数f(x)=2f'(2)x-x2+ln x,则f'(1)=　　　　.
答案　(1)BC　(2)
解析　(1)(ln 7)'=0,故A错误;
[(x2+2)sin x]'=2xsin x+(x2+2)cos x,故B正确;
'==,故C正确;
[ln(3x+2)]'=,故D错误.
(2)由函数f(x)=2f'(2)x-x2+ln x,可得f'(x)=2f'(2)-x+,
令x=2,可得f'(2)=2f'(2)-3+,解得f'(2)=,所以f(x)=5x-x2+ln x,可得f'(x)=5-x+,所以f'(1)=5-+1=.
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.
2.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.
3.(多选)下列求导运算正确的是(　　)
A.若f(x)=sin(2x+3),则f'(x)=2cos(2x+3)
B.若f(x)=e-2x+1,则f'(x)=e-2x+1
C.若f(x)=,则f'(x)=
D.若f(x)=xln x,则f'(x)=ln x+1
解析　ACD　f(x)=sin(2x+3),f'(x)=cos(2x+3)·(2x+3)'=2cos(2x+3),故A正确;f(x)=e-2x+1,则f'(x)=-2e-2x+1,故B错误;f(x)=,f'(x)==,故C正确;f(x)=xln x,f'(x)=x'ln x+x(ln x)'=ln x+1,故D正确.
4.设函数f(x)=,若f'(1)=,则a=　　　　.
答案　1
解析　∵函数f(x)=,∴f'(x)=,∴f'(1)=.
又∵f'(1)=,∴=,解得a=1.
考点三　导数的几何意义
角度1　求切线方程
例3 (1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知曲线f(x)=x3-4x2+5x-4.
①曲线在点(2,f(2))处的切线方程为　　　　　　　　　　　　;
②曲线过点(2,f(2))的切线方程为　　　　　　　　　　　　　.
答案　(1)A　(2)①x-y-4=0　②x-y-4=0或y+2=0
解析　(1)f(x)=,则f'(x)=,
故f'(0)=3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=3x+1,
令x=0,解得y=1,令y=0,解得x=-,
故所求三角形的面积为××1=.
(2)①因为f'(x)=3x2-8x+5,所以f'(2)=1,
又f(2)=-2,所以曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,
即x-y-4=0.
②设切点坐标为(x0,-4+5x0-4),
因为f'(x0)=3-8x0+5,
所以切线方程为
y-(-2)=(3-8x0+5)(x-2),
又切线过点(x0,-4+5x0-4),
所以-4+5x0-2=(3-8x0+5)(x0-2),
整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,
所以曲线f(x)过点(2,f(2))的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.
角度2　求切点的坐标或参数
例4 (1)(一题多解)(2025·全国Ⅰ卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线,则a=　　　　.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　.
答案　(1)4　(2)(-∞,-4)∪(0,+∞)
解析　(1)法一　对于y=ex+x+a,其导数为y'=ex+1,
因为直线y=2x+5是曲线的切线,直线的斜率为2,
令y'=ex+1=2,即ex=1,解得x=0,
将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5,
所以切点坐标为(0,5),
因为切点(0,5)在曲线y=ex+x+a上,
所以5=e0+0+a,即5=1+a,解得a=4
法二　对于y=ex+x+a,其导数为y'=ex+1,
假设y=2x+5与y=ex+x+a的切点为(x0,y0),
则
解得a=4.
(2)因为y=(x+a)ex,所以y'=(x+a+1)ex.设切点为A(x0,(x0+a)),O为坐标原点,依题意得,切线斜率kOA=y'=(x0+a+1)=,化简,得+ax0-a=0.因为曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,所以关于x0的方程+ax0-a=0有两个不同的根,所以Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,所以a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
|教考衔接|
[教材溯源]　(人教A版选择性必修第二册P82T11)设曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直,求a的值.
解　∵y=e2ax,∴y'=e2ax·(2ax)'=2a·e2ax,
所以在点(0,1)处的切线斜率为k=y'|x=0=2ae0=2a,
又因为切线与直线2x-y+1=0垂直,
∴2a×2=-1,∴a=-.
[教考解读]　高考真题与教材原题都是已知曲线的切线情况求参数问题.教材题是基础,重点考查对导数几何意义以及直线垂直斜率关系的基本应用.相比教材题,高考题在考查角度上有所拓展.2022年新高考Ⅰ卷题目涉及根据切线的数量确定参数的取值范围,需要学生具备一定的数形结合思想;2025年全国Ⅰ卷题目则直接利用切线方程与曲线的关系求解参数,对学生分析已知切线方程并提取关键信息(斜率、切点满足的关系等)的能力有更高要求.
1.求在切点P(x0,f(x0))处曲线的切线方程
(1)求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率.
(2)由点斜式方程求得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0).
2.求过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程
(1)设切点坐标P'(x1,f(x1)).
(2)写出在点P'(x1,f(x1))处的切线方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1).
(3)将点P(x0,y0)代入求x1的值,再代入得所求切线方程.
提醒: 注意“过”点P(x0,y0)与“在”点P(x0,y0)的区别,前者不一定为切点,而后者一定为切点.
5.(2026·广东湛江模拟)已知函数f(x)=ex+2x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为(　　)
A.y=2x+1 B.y=3x+1
C.y=2x D.y=3x
解析　B　由f(x)=ex+2x,得f'(x)=ex+2,
则f(0)=1,f'(0)=3,
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=3x+1.
6.已知直线y=kx是曲线y=ln x的切线,则切点坐标为(　　)
A. B.(e,1)
C. D.(0,1)
解析　B　直线y=kx过原点,设曲线y=ln x上切点为(t,ln t),(ln x)'=,所以曲线y=ln x在点(t,ln t)处的切线斜率为,所以曲线y=ln x在点(t,ln t)处的切线方程为y-ln t=(x-t),即y-ln t=x-1,又因切线过原点,即将(0,0)代入上式得-ln t=-1 t=e,所以切点为(e,1).
7.已知过点A(a,0)作曲线y=(1-x)ex的切线有且仅有1条,则a=(　　)
A.-3 B.3
C.-3或1 D.3或1
解析　C　设切点为(x0,(1-x0)),
由已知得y'=-xex,则切线斜率k=-x0,切线方程为y-(1-x0)=-x0(x-x0),
直线过点A(a,0),则-(1-x0)=-x0(a-x0),化简得-(a+1)x0+1=0.
切线有且仅有1条,即Δ=(a+1)2-4=0,化简得a2+2a-3=0,即(a+3)(a-1)=0,解得a=-3或1.
公切线问题
1.求两条曲线的公切线,如果同时考虑两条曲线与直线相切,头绪会比较乱,为了使思路更清晰,一般是把两条曲线分开考虑,先分析其中一条曲线与直线相切,再分析另一条曲线与直线相切,直线与抛物线相切可用判别式法.
2.公切线条数的判断问题可转化为方程根的个数求解问题.
一、共切点的公切线问题
例1 已知曲线y=ln x与曲线y=a在交点(1,0)处有相同的切线,则a=(　　)
A.1 B.
C.- D.-1
解析　B　由题知曲线y=ln x和曲线y=a在交点(1,0)处有相同的切线,
即斜率k相等.
对于曲线y=ln x,求导得y'=,所以在点(1,0)处的切线斜率k=1,
对于曲线y=a,求导得y'=a,所以a=1,
解得a=.
二、不共切点的公切线问题
例2 (2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　.
答案　ln 2
解析　由y=ex+x得y'=ex+1,斜率k=y'|x=0=e0+1=2,故曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1,由y=ln(x+1)+a得y'=,设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0,ln(x0+1)+a),由两曲线有公切线得y'==2,解得x0=-,则切点为,由切点在直线y=2x+1上得,a+ln=0,故a=ln 2.
训练
1.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x2-m,g(x)=6ln x-4x,设两曲线y=f(x)与y=g(x)在公共点处的切线相同,则m等于(　　)
A.-3 B.1
C.3 D.5
解析　D　依题意,设曲线y=f(x)与y=g(x)在公共点(x0,y0)处的切线相同.
∵f(x)=x2-m,g(x)=6ln x-4x,∴f'(x)=2x,g'(x)=-4,
∴
即
∵x0>0,∴x0=1,m=5.
2.若直线y=4x+m是曲线y=x3-nx+13与曲线y=x2+2ln x的公切线,则n-m=(　　)
A.11 B.12
C.-8 D.-7
解析　A　由y=x2+2ln x,得y'=2x+(x>0),
令2x+=4,得x=1,则直线y=4x+m与曲线y=x2+2ln x相切于点(1,4+m),
所以4+m=1+2ln 1=1,得m=-3,
所以直线y=4x-3是曲线y=x3-nx+13的切线,
由y=x3-nx+13,得y'=3x2-n,
设切点为(t,t3-nt+13),则3t2-n=4,且t3-nt+13=4t-3,
联立消去n,并整理可得t3=8,得t=2,
所以n=8,所以n-m=8-(-3)=11.

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