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培优02 平面向量基本定理及坐标表示（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01平面向量基底的判断 题型02用基底表示向量 题型03平面向量基本定理的应用 题型04 向量线性运算的坐标表示 题型05坐标法解决向量(或三点)共线问题 题型06数量积的坐标运算 题型07坐标法求向量的模或夹角 题型08 利用坐标解决垂直问题 题型09 利用向量解决平面几何问题 题型10 利用向量解决物理问题 题型11 定比分点坐标公式的应用（拓展）题型12 向量与三角函数、解三角形的综合 题型13 向量的新定义题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
平面向量基本定理 能理解平面向量基本定理的内涵. 2、会选择合适基底表示平面内任意向量； 核心高频考点，小题、大题均有涉及，是后续向量应用的基础； 命题趋势：常与平面几何结合，考查基底表示、由基底表示求参. 易错点：基底选择不当导致运算繁琐.
平面向量的坐标表示 1、能熟练进行向量的坐标加减、数乘运算； 2、能运用共线向量的坐标条件判断向量共线、求参数值 核心高频考点，小题、大题均有涉及，是后续向量应用的基础； 命题趋势：常与平面几何结合，考查基底表示、由坐标运算及共线参数求解； 易错点：记错共线向量坐标公式；忽略向量坐标与点坐标的区别.
平面向量的数量积的坐标表示 1、能熟练运用数量积坐标公式进行计算； 2、能运用数量积求向量的模长、夹角，判断向量垂直 重中之重，必考考点，小题侧重模长、夹角计算，大题侧重综合应用； 命题趋势：常与几何图形、函数最值结合，考查数量积的综合应用，凸显向量的工具性； 易错点：混淆向量夹角与图形内角；忽略数量积的符号；模长公式记忆错误
平面向量在几何、物理中的的应用 1、能应用向量知识解决一些几何问题问题. 2、能运用向量知识解决一些物理问题. 向量常作为解题工具，用来解决几何或物理问题. 命题趋势：主要考查应用向量解决几何图形中的平行、垂直问题，求边或角及判断图形的形状，对于向量在物理中的应用这一考点，高考偶尔考查。 易错点：混淆向量平行与两直线平行
知识点01平面向量基本定理
条件 e1和e2是同一平面内两个不共线的向量
结论 对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基 把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2}
正交基正交分解及标准正交基 (1)若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基. (2)在正交基下向量的线性表示称为正交分解. (3)若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基
知识点02平面向量运算的坐标表示
1.向量加法、减法、数乘运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1).
2.向量坐标的求法
一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.即设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).
3.平面向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
知识点03 平面向量数量积的坐标表示
已知非零向量，，与的夹角为θ.
结论 几何表示 坐标表示
模
夹角
的充要条件
与的关系
知识点04 平面向量在几何中的应用
1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
（1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系．
2、平面几何中证明问题的具体转化方法
（1）证明线段，可转化为证明．
（2）证明线段，只需证明存在一个实数，使成立．
（3）证明两线段，只需证明数量积．
（4）证明三点共线，只需证明存在一个，使成立．
3、向量在物理中的应用主要解题思路
（1）转化问题：将物理问题转化为数学问题；
（2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型；
（3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等；
（4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题．
知识点05 线段的定比分点（拓展）
1．线段的定比分点及λ
P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，
使 =λ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
2定比分点坐标公式：
（1）公式：若点P１(x1,y1) ，Ｐ２(x2,y2)，λ为实数，且＝λ，
则点P的坐标为（），我们称λ 为点P分所成的比
（2）公式的推导:设=λ 点P1, P, P2坐标为(x1,y1) (x,y) (x2,y2)，则=(x-x1,y-y1) ，=( x2-x, y2-y)
∵=λ ∴ (x-x1,y-y1) =λ( x2-x, y2-y)
∴ 定比分点坐标公式()
3.线段中点坐标公式与三角形重心坐标公式
由定比分点坐标公式可以得到以下两个公式
(1)线段中点坐标公式：若点P１(x1,y1) ，Ｐ２(x2,y2)，P(x,y)为线段P１Ｐ２的中点，则
利用线段中点坐标公式可解决与两点的中点及中心对称有关的问题.
(2)三角形重心坐标公式:在中,,
的重心G(x,y),则
题型01 平面向量基底的判断
解｜题｜技｜巧 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，平面内的一个基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 易｜错｜点｜拨 1.两向量不共线才可为基底，共线向量不能作基底. 2.零向量与任意向量共线，绝对不能充当基底. 3.同一平面内任意一组不共线向量，均可作为该平面基底.
【典例1-1】（25-26高二·全国·暑假作业）设、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【典例1-2】（多选）（25-26高一下·广东茂名·期中）在下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式1-1】（多选）（24-25高一下·陕西榆林·阶段检测）设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式1-2】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）在下列各组向量中，不可以作为基低的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
题型02 用基底表示向量
解｜题｜技｜巧 用基底表示向量的两种基本方法： 1、运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止； 2、通过列向量方程（组），利用基底表示向量的唯一性求解，即若，且则来构建方程（组），使得问题获解
【典例2】（25-26高一下·山东济南·阶段检测）如图，在平行四边形中，分别是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（24-25高一下·广东汕头·期中）△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，BF与CD交于点O，设，，则，用表示向量__________
【变式2-2】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）在中，为的中点，点在边上，且．若与相交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
题型03 平面向量基本定理的应用
解｜题｜技｜巧 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【典例3】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在直角梯形中，，，，E为的中点，若，则（ ）
A．65 B． C．2 D．
【变式3-1】（25-26高一下·吉林·期中）已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式3-2】（25-26高一下·河北·期中）如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（ ）

A． B． C． D．
题型04 向量线性运算的坐标表示
解｜题｜技｜巧 1.在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标． 2.平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． （3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
【典例4-1】（2026·河北·一模）已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线.
(1)求实数的值；
(2)若，，求；
(3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标.
【变式4-1】（2026·广东佛山·二模）已知平面上两点，若，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）向量，，，，则（ ）
A． B．2 C． D．
题型05 利用坐标解决向量(或三点)共线问题
解｜题｜技｜巧 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若，，则的充要条件是；②若，则． 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解． 3.对于三点共线问题，往往转化为相应两向量共线问题，再借助向量平行的坐标形式解决. 易｜错｜点｜拨 利用平行向量解决三点共线问题时，要注意两个向量需要有一个公共点.
【典例5-1】（25-26高一下·北京·期中）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例5-2】（25-26高一下·北京·期中）已知，，三点共线，那么c的值是（ ）
A． B．1 C． D．3
【变式5-1】（25-26高一下·山东菏泽·期中）已知向量，若点不能构成三角形，则实数应满足的条件为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知向量，，且，若均为正数，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．24
题型06 数量积的坐标运算（含投影向量）
解｜题｜技｜巧 1．平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为． 2．向量坐标对应相乘求和得数量积，按需套公式解题即可。 易｜错｜点｜拨 注意向量的数量积不满足结合律，向量之间也不能作除法.
【典例6-1】（25-26高一下·吉林长春·期中）若向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】（25-26高一下·河南漯河·期中）已知在矩形ABCD中，，分别为的中点，则（ ）
A． B． C．0 D．
【变式6-1】（25-26高一下·四川成都·期中）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（25-26高一下·北京·期中）向量，在正方形网格中的位置如图所示，则（ ）
A．45° B．60° C．120° D．135°
题型07 坐标法求向量的模或夹角
解｜题｜技｜巧 1.求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角. 2.求模长，用平方，. 易｜错｜点｜拨 注意向量的数量积不满足结合律，向量之间也不能作除法.
【典例7-1】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知点，，O为坐标原点，则“和的夹角为锐角”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【典例7-2】（25-26高一下·广西河池·期中）若向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（25-26高一下·广西河池·期中）若向量，，且，则（ ）．
A． B． C．20 D．
【变式7-2】（25-26高一下·宁夏石嘴山·期中）已知向量，，，且，.
(1)求与；
(2)若，，求向量，的夹角的大小.
题型08 利用坐标解决垂直问题
解｜题｜技｜巧 易｜错｜点｜拨 注意向量垂直与向量平行的区别：前者是坐标对应相乘为0，后者是坐标交叉相乘为0.
【典例8】（2026·吉林·模拟预测）设向量，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式8-1】（25-26高一下·云南昆明·期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【变式8-2】（25-26高一下·辽宁·期中）已知向量，.
(1)若，求实数的值；
(2)已知、、三点共线，若，，求实数的值.
题型09 利用向量解决平面几何问题
解｜题｜技｜巧 1．证明线段平行问题，多边形相似问题，常用向量平行（共线）的条件： ∥,或∥(坐标式）； 2．证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形、直线相互垂直等，常用向量垂直的条件 ⊥,或⊥（坐标式）； 3．求夹角问题，如求两直线的夹角、三角形内角等，利用向量的夹角公式； 4．求线段的长度或论证相等关系可用向量的线性运算、向量的模相等等来处理．
【典例9】（25-26高一下·广东深圳·月考）如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．
(1)求的余弦值．
(2)以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，求点坐标；
(3)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
【变式9-1】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（25-26高一下·广东东莞·阶段检测）如图，平面上，，三点的坐标分别为，，.
(1)若P是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标.
(2)若四边形是平行四边形，求点的坐标及的面积.
题型10 利用向量解决物理问题
答｜题｜模｜板 利用向量解决物理问题，其基本思路和方法如下：? (1)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；? (2)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；? (3)用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；? (4)用这个结果，对原物理现象作出解释.?
【典例10】（25-26高一下·河南驻马店·期中）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在A的正北方向.

(1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由.
(2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算）
(3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？
【变式10-1】（25-26高一下·河北唐山·期中）已知物体放在一个倾角为的斜面上处于静止状态，则它所受到的重力和摩擦力的大小之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知小船在静水中的速度与河水的流速都是，问：
(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？
(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？（河水自西向东流）
题型11 定比分点坐标公式的应用（拓展）
解｜题｜技｜巧 先找准分点、起点、终点，确定定比 λ。套用公式直接求坐标，分清内分、外分情况。遇线段比例、中点、三等分点问题，转化定比代入计算。中点是 λ=1 的特殊形式，灵活换算比例关系即可解题.
【典例11】已知的顶点，，，的平分线交边BC于点D，求点D的坐标.
【变式11-1】（25-26高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．( B．
C． D．
题型12 向量与三角函数、解三角形的综合
解｜题｜技｜巧 先将向量条件转化为坐标运算或数量积关系，推出边角关系式。结合三角恒等变换化简式子，利用正余弦定理实现边角互化。依据三角形内角范围判定角度取值，结合面积、周长公式计算最值与范围。熟练切换向量、三角、解三角三类公式，统一边角形式后求解即可.
【典例12】（25-26高一下·上海·期中）设向量，，函数.
(1)求的单调减区间；
(2)在中，若角满足，且边，求周长的取值范围.
【变式12-1】（2026·江西南昌·三模）已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，，为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形，则（ ）
A．8 B． C．16 D．
【变式12-2】（25-26高一下·浙江·期中）已知向量，，，设函数；
(1)求的最小正周期与单调递增区间；
(2)对，不等式恒成立，求的取值范围．
题型13 向量的新定义题
解｜题｜技｜巧 先读懂全新定义，紧扣规则转化为熟悉向量运算。拆解题干条件，将新运算对应数量积、模长、夹角、坐标公式。结合向量共线、垂直、模值性质列式，运用代数化简、数形结合分析。遇到参数范围与最值，借助函数、不等式求解，验证结果贴合定义要求即可.
【典例13】（25-26高一下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定 ．
(1)分别根据下列已知条件求：
①，；
②，；
(2)若向量（，，），
证明：
(3)若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．当时，求的最大值．
【变式13-1】（25-26高一下·浙江杭州·期中）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量，的夹角），余弦距离为．已知，，若，的余弦距离为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式13-2】（25-26高一下·广东广州·期中）定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角.对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．若，则
【变式13-3】（25-26高一下·青海西宁·期中）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题：
(1)已知向量，满足，，，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值；
(3)已知向量，，，求的最小值．
期末基础通关练（测试时间：15分钟）
1.（25-26高一下·上海·期中）与向量方向相同的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
2. (25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．（2026高三·全国·专题练习）在四边形中，，，为的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
4.（25-26高一下·河北石家庄·月考）平面内三点共线，则__________.
5．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知向量，，．
(1)当时，求k的值；
(2)当时，求k的值；
(3)若向量且，求实数x，k的值．
期末重难突破练（测试时间：20分钟））
1.（25-26高一下·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知，，O为坐标原点，的平分线交线段于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·江西·模拟预测）已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（ ）
A． B． C． D．
3.（25-26高一下·四川绵阳·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．1
4.（多选）（25-26高一下·宁夏吴忠·期中）已知点，，，则下列结论错误的是（ ）
A．是直角三角形
B．若点，则四边形是平行四边形
C．若，则
D．若，则
5.（25-26高一下·江苏南京·期中）如图所示，是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等，，则 _________用表示
6．（25-26高一下·山东德州·期中）已知平面向量，函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若锐角满足，求的值.
期末综合拓展练（测试时间：20分钟）
1.（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一下·辽宁大连·期中）若函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.
①当时，的最大值为，求的值；
②已知的三个顶点均在函数的图象上，且，，，点在线段上运动，求的取值范围.
3．（25-26高一下·上海·阶段检测）对于向量集，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”．
(1)设向量，．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围；
(2)已知均是向量集的“长向量”，
(i)求证：；
(ii)若，．设在平面直角坐标系xOy中的点集，其中，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值．
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培优02 平面向量基本定理及坐标表示（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01平面向量基底的判断 题型02用基底表示向量 题型03平面向量基本定理的应用 题型04 向量线性运算的坐标表示 题型05坐标法解决向量(或三点)共线问题 题型06数量积的坐标运算 题型07坐标法求向量的模或夹角 题型08 利用坐标解决垂直问题 题型09 利用向量解决平面几何问题 题型10 利用向量解决物理问题 题型11 定比分点坐标公式的应用（拓展）题型12 向量与三角函数、解三角形的综合 题型13 向量的新定义题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
平面向量基本定理 能理解平面向量基本定理的内涵. 2、会选择合适基底表示平面内任意向量； 核心高频考点，小题、大题均有涉及，是后续向量应用的基础； 命题趋势：常与平面几何结合，考查基底表示、由基底表示求参. 易错点：基底选择不当导致运算繁琐.
平面向量的坐标表示 1、能熟练进行向量的坐标加减、数乘运算； 2、能运用共线向量的坐标条件判断向量共线、求参数值 核心高频考点，小题、大题均有涉及，是后续向量应用的基础； 命题趋势：常与平面几何结合，考查基底表示、由坐标运算及共线参数求解； 易错点：记错共线向量坐标公式；忽略向量坐标与点坐标的区别.
平面向量的数量积的坐标表示 1、能熟练运用数量积坐标公式进行计算； 2、能运用数量积求向量的模长、夹角，判断向量垂直 重中之重，必考考点，小题侧重模长、夹角计算，大题侧重综合应用； 命题趋势：常与几何图形、函数最值结合，考查数量积的综合应用，凸显向量的工具性； 易错点：混淆向量夹角与图形内角；忽略数量积的符号；模长公式记忆错误
平面向量在几何、物理中的的应用 1、能应用向量知识解决一些几何问题问题. 2、能运用向量知识解决一些物理问题. 向量常作为解题工具，用来解决几何或物理问题. 命题趋势：主要考查应用向量解决几何图形中的平行、垂直问题，求边或角及判断图形的形状，对于向量在物理中的应用这一考点，高考偶尔考查。 易错点：混淆向量平行与两直线平行
知识点01平面向量基本定理
条件 e1和e2是同一平面内两个不共线的向量
结论 对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基 把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2}
正交基正交分解及标准正交基 (1)若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基. (2)在正交基下向量的线性表示称为正交分解. (3)若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基
知识点02平面向量运算的坐标表示
1.向量加法、减法、数乘运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1).
2.向量坐标的求法
一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.即设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).
3.平面向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
知识点03 平面向量数量积的坐标表示
已知非零向量，，与的夹角为θ.
结论 几何表示 坐标表示
模
夹角
的充要条件
与的关系
知识点04 平面向量在几何中的应用
1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
（1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系．
2、平面几何中证明问题的具体转化方法
（1）证明线段，可转化为证明．
（2）证明线段，只需证明存在一个实数，使成立．
（3）证明两线段，只需证明数量积．
（4）证明三点共线，只需证明存在一个，使成立．
3、向量在物理中的应用主要解题思路
（1）转化问题：将物理问题转化为数学问题；
（2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型；
（3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等；
（4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题．
知识点05 线段的定比分点（拓展）
1．线段的定比分点及λ
P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，
使 =λ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
2定比分点坐标公式：
（1）公式：若点P１(x1,y1) ，Ｐ２(x2,y2)，λ为实数，且＝λ，
则点P的坐标为（），我们称λ 为点P分所成的比
（2）公式的推导:设=λ 点P1, P, P2坐标为(x1,y1) (x,y) (x2,y2)，则=(x-x1,y-y1) ，=( x2-x, y2-y)
∵=λ ∴ (x-x1,y-y1) =λ( x2-x, y2-y)
∴ 定比分点坐标公式()
3.线段中点坐标公式与三角形重心坐标公式
由定比分点坐标公式可以得到以下两个公式
(1)线段中点坐标公式：若点P１(x1,y1) ，Ｐ２(x2,y2)，P(x,y)为线段P１Ｐ２的中点，则
利用线段中点坐标公式可解决与两点的中点及中心对称有关的问题.
(2)三角形重心坐标公式:在中,,
的重心G(x,y),则
题型01 平面向量基底的判断
解｜题｜技｜巧 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，平面内的一个基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 易｜错｜点｜拨 1.两向量不共线才可为基底，共线向量不能作基底. 2.零向量与任意向量共线，绝对不能充当基底. 3.同一平面内任意一组不共线向量，均可作为该平面基底.
【典例1-1】（25-26高二·全国·暑假作业）设、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【详解】对于A选项，若与共线，则存在，使得，
即，
因为、不共线，所以，无解，故与可以作为一组基底；
对于B选项，因为，即和共线，
故和不能作为一组基底；
对于C选项，若和共线，则存在，使得，
即，
因为、不共线，所以，无解，即和可以作为一组基底；
对于D选项，若和共线，则存在，使得，即，
所以、共线，矛盾，故和可以作为一组基底.
【典例1-2】（多选）（25-26高一下·广东茂名·期中）在下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ACD
【详解】若两个向量可以作为基底，则两个向量需为不共线的非零向量，再利用向量的坐标运算进行判断.
对选项A，∵ 为零向量，零向量与任意向量共线，∴ 不能作为基底.
对选项B，∵ ，计算得 ，∴ 与不共线，可作为基底.
对选项C，∵ ，计算得 ，∴ 与共线，不能作为基底.
对选项D，∵ ，计算得 ，∴ 与共线，不能作为基底.
综上，不可以作为基底的是ACD.
【变式1-1】（多选）（24-25高一下·陕西榆林·阶段检测）设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BD
【详解】选项，若与共线，则存在，使，即，
则且，矛盾，所以与不共线，可以作为基底；
选项，因为，所以与共线，因此不能作为基底；
选项，若与共线，则存在，使，
所以，无解，所以与不共线，可以作为基底；
选项，因为，所以与共线，因此不能作为基底.
【变式1-2】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）在下列各组向量中，不可以作为基低的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ACD
【详解】选项A：因为是零向量，零向量与任意向量共线，因此不可以作为基底；
选项B：因为，，且 ，
所以两向量不共线，可以作为基底；
选项C：因为，，且 ，
所以 ，即两向量共线，不可以作为基底；
选项D：因为，，且，
所以 ，即两向量共线，不可以作为基底.
题型02 用基底表示向量
解｜题｜技｜巧 用基底表示向量的两种基本方法： 1、运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止； 2、通过列向量方程（组），利用基底表示向量的唯一性求解，即若，且则来构建方程（组），使得问题获解
【典例2】（25-26高一下·山东济南·阶段检测）如图，在平行四边形中，分别是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】连接，
因为是线段的中点，所以，
则．
因为是线段的中点，
所以．
【变式2-1】（24-25高一下·广东汕头·期中）△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，BF与CD交于点O，设，，则，用表示向量__________
【答案】
【解析】因三角线三条中线交于一点，交点为重心，则O为三角形重心.
又由重心性质可得，
则.
【变式2-2】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）在中，为的中点，点在边上，且．若与相交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先设，再根据条件和三点共线，求，即可求解.
【详解】由条件可知，，
即，因为点三点共线，
所以，得，
所以.
题型03 平面向量基本定理的应用
解｜题｜技｜巧 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【典例3】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在直角梯形中，，，，E为的中点，若，则（ ）
A．65 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】方法一：坐标法：以为坐标原点，分别为轴、轴，利用坐标求解即可；
方法二：基底法：令，，取为一个基底，由向量的线性运算求解即可.
【详解】方法一（坐标法）
建立如图所示的平面直角坐标系，
则．不妨设，则，
所以，，，，
所以，，，
因为，
所以，
所以，解得，
故．
方法二（基底法）：令，，取为一个基底，
由题意得，．
由于，
所以，
解得，
所以．
【变式3-1】（25-26高一下·吉林·期中）已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【详解】如图，连结接并延长交于点，
由可知，点是的重心，则点是的中点，
，
因为点三点共线，所以，即，
则，
当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
【变式3-2】（25-26高一下·河北·期中）如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，所以，
显然，又三点共线，所以，
由基本不等式得，所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最大值为．
题型04 向量线性运算的坐标表示
解｜题｜技｜巧 1.在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标． 2.平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． （3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
【典例4-1】（2026·河北·一模）已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由图可得，
所以，则.
故选：C
【典例4-2】已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线.
(1)求实数的值；
(2)若，，求；
(3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标.
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1），
当三点共线时，存在实数，使得，
即，
即，解得.
（2）由（1）可知，
∴，
∴.
（3），，
∴，
设，∴，
∴，
在平行四边形中，，即，解得，
∴.
【变式4-1】（2026·广东佛山·二模）已知平面上两点，若，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设的坐标为
且平面上两点，又，
则，且，
所以，即得
则的坐标为.
【变式4-2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）向量，，，，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【详解】因为，，则，
且，所以．
题型05 利用坐标解决向量(或三点)共线问题
解｜题｜技｜巧 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若，，则的充要条件是；②若，则． 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解． 3.对于三点共线问题，往往转化为相应两向量共线问题，再借助向量平行的坐标形式解决. 易｜错｜点｜拨 利用平行向量解决三点共线问题时，要注意两个向量需要有一个公共点.
【典例5-1】（25-26高一下·北京·期中）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】根据平面向量平行的坐标性质，若，，
则，代入，得：，
即，解得或，
判断充分必要性：若，一定能推出，充分性成立；
若，还可以取，不能推出，必要性不成立，
因此是的充分而不必要条件.
【典例5-2】（25-26高一下·北京·期中）已知，，三点共线，那么c的值是（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【详解】由题可得，，
因为三点共线，所以，
所以，解得.
【变式5-1】（25-26高一下·山东菏泽·期中）已知向量，若点不能构成三角形，则实数应满足的条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】点不能构成三角形，故共线，
故，解得.
【变式5-2】（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知向量，，且，若均为正数，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．24
【答案】C
【详解】由，得，即，
又均为正数，
则，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值是8.
题型06 数量积的坐标运算（含投影向量）
解｜题｜技｜巧 1．平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为． 2．向量坐标对应相乘求和得数量积，按需套公式解题即可。 易｜错｜点｜拨 注意向量的数量积不满足结合律，向量之间也不能作除法.
【典例6-1】（25-26高一下·吉林长春·期中）若向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】若向量，
则在上的投影向量为.
【典例6-2】（25-26高一下·河南漯河·期中）已知在矩形ABCD中，，分别为的中点，则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【详解】如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则.
∵分别为的中点，
∴，
，
.
【变式6-1】（25-26高一下·四川成都·期中）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意， 且 ；
根据投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为.
【变式6-2】（25-26高一下·北京·期中）向量，在正方形网格中的位置如图所示，则（ ）
A．45° B．60° C．120° D．135°
【答案】D
【详解】设小正方形的边长为，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，
，
因为，所以.
题型07 坐标法求向量的模或夹角
解｜题｜技｜巧 1.求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角. 2.求模长，用平方，. 易｜错｜点｜拨 注意向量的数量积不满足结合律，向量之间也不能作除法.
【典例7-1】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知点，，O为坐标原点，则“和的夹角为锐角”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用向量夹角的条件结合充分性和必要性的定义即可判断.
【详解】由和的夹角为锐角得且
故“和的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件
【典例7-2】（25-26高一下·广西河池·期中）若向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，故，故，
故，故.
【变式7-1】（25-26高一下·广西河池·期中）若向量，，且，则（ ）．
A． B． C．20 D．
【答案】B
【详解】由，则，可得，故，
所以，则.
【变式7-2】（25-26高一下·宁夏石嘴山·期中）已知向量，，，且，.
(1)求与；
(2)若，，求向量，的夹角的大小.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量的坐标表示、向量垂直的坐标表示列式求解.
（2）由（1）的结论求出向量，再利用向量的夹角公式求解即得.
【详解】（1）向量，，，由，得，则；
由，得，解得，所以.
（2）由（1）得，，
因此，，
，而，则，
所以向量，的夹角的大小为.
题型08 利用坐标解决垂直问题
解｜题｜技｜巧 易｜错｜点｜拨 注意向量垂直与向量平行的区别：前者是坐标对应相乘为0，后者是坐标交叉相乘为0.
【典例8】（2026·吉林·模拟预测）设向量，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【详解】向量，且，
所以，，得，则.
【变式8-1】（25-26高一下·云南昆明·期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】，
若，则，
即，解得.
故选：B.
【变式8-2】（25-26高一下·辽宁·期中）已知向量，.
(1)若，求实数的值；
(2)已知、、三点共线，若，，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，则，
由于，所以，
即，解得.
（2）已知，，
则，，
由于、、三点共线，所以，解得.
题型09 利用向量解决平面几何问题
解｜题｜技｜巧 1．证明线段平行问题，多边形相似问题，常用向量平行（共线）的条件： ∥,或∥(坐标式）； 2．证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形、直线相互垂直等，常用向量垂直的条件 ⊥,或⊥（坐标式）； 3．求夹角问题，如求两直线的夹角、三角形内角等，利用向量的夹角公式； 4．求线段的长度或论证相等关系可用向量的线性运算、向量的模相等等来处理．
【典例9】（25-26高一下·广东深圳·月考）如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．
(1)求的余弦值．
(2)以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，求点坐标；
(3)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，
【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系．
则，，，，
∴，．
由于就是，的夹角．
∴，
∴的余弦值为．
（2）设，∴，
∵，∴，∴①．
∵，，，
∴，∴②．
联立①②得，∴，∴．
（3）由题得，．
①当点P在AB上时，设，∴，
∴，∴，∴，
∴．
②当点P在BC上时，设，∴，
∴，∴，舍去．
综上，存在，．
【变式9-1】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由ABCD是正方形，则以为原点，分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，
如下图，
又正方形ABCD的边长为a，
则，，，，，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立，解得，即，
则，，
所以．
【变式9-2】（25-26高一下·广东东莞·阶段检测）如图，平面上，，三点的坐标分别为，，.
(1)若P是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标.
(2)若四边形是平行四边形，求点的坐标及的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，则由P是线段上靠近点的三等分点，可得,
即，
则，所以.
（2）设，则由于四边形是平行四边形，那么
,即，解得，所以,
,
方法一：
，
即，
由于，所以，，
.
方法二：由于，
所以，设直线法向量为，则,
即,取，则为直线的一个法向量，
点到直线的距离就是的高，，
.
题型10 利用向量解决物理问题
答｜题｜模｜板 利用向量解决物理问题，其基本思路和方法如下：? (1)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；? (2)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；? (3)用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；? (4)用这个结果，对原物理现象作出解释.?
【典例10】（25-26高一下·河南驻马店·期中）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在A的正北方向.

(1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由.
(2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算）
(3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？
【答案】(1)左侧，理由见解析；(2)，；(3)
【分析】（1）求出沿河岸方向的分速度方向与大小即可.
（2）利用沿河岸方向的分速度大小等于，再求出夹角的余弦及航行时间.
（3）求出垂直河岸及沿河岸方向的航程，再利用勾股定理求解.
【详解】（1）由题设，在反方向上的分速度为，
所以游船航行到达北岸的位置是在的左侧.
（2）要能到达处，则在反方向上的分速度为，
解得，即，而，则，
因此垂直河岸方向上的速度为，
所以当时，游船能到达处，用时.
（3）由（1）知，垂直河岸方向的航行速度为，则航行时间为，
因此水平方向航行距离，
所以游船航行到达北岸的实际航程.
【变式10-1】（25-26高一下·河北唐山·期中）已知物体放在一个倾角为的斜面上处于静止状态，则它所受到的重力和摩擦力的大小之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设物体所受重力大小为，斜面倾角.
∵ 物体处于静止状态，即平衡状态，沿斜面方向合力为0，
∴ 静摩擦力大小等于重力沿斜面向下的分力，即.
代入，可得.
∴ 重力与摩擦力的大小之比为.
【变式10-2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知小船在静水中的速度与河水的流速都是，问：
(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？
(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？（河水自西向东流）
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西．
【详解】（1）小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为；
小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为，此时小船是静止的．
（2）如图所示，
设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度，表示小船在静水中的速度．
设，由题意可得，，则，
因为，所以四边形为菱形．
所以，为等边三角形．
在中，，而，所以，
所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西．
题型11 定比分点坐标公式的应用（拓展）
解｜题｜技｜巧 先找准分点、起点、终点，确定定比 λ。套用公式直接求坐标，分清内分、外分情况。遇线段比例、中点、三等分点问题，转化定比代入计算。中点是 λ=1 的特殊形式，灵活换算比例关系即可解题.
【典例11】已知的顶点，，，的平分线交边BC于点D，求点D的坐标.
【答案】
【详解】在中，由已知得，.
因为AD平分，由角平分线性质可得，即.
设点，则由定比分点向量公式得，，所以点D的坐标为.
【变式11-1】（25-26高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意可得，
因为边的中线为，所以，
因为P为上靠近A的三等分点，所以，
所以点P的坐标为.
故选：B.
【变式11-2】（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．( B．
C． D．
【答案】B
【详解】设，，由，得，
所以，
又因为点在圆上，
所以，即.
故选：B
题型12 向量与三角函数、解三角形的综合
解｜题｜技｜巧 先将向量条件转化为坐标运算或数量积关系，推出边角关系式。结合三角恒等变换化简式子，利用正余弦定理实现边角互化。依据三角形内角范围判定角度取值，结合面积、周长公式计算最值与范围。熟练切换向量、三角、解三角三类公式，统一边角形式后求解即可.
【典例12】（25-26高一下·上海·期中）设向量，，函数.
(1)求的单调减区间；
(2)在中，若角满足，且边，求周长的取值范围.
【答案】(1)的单调减区间为，.
(2)
【分析】（1）先利用向量数量积坐标运算求出表达式，再用三角恒等变换把式子化成的形式再结合正弦函数单调递减区间列不等式，解出的范围即可得到单调减区间.
（2）先代入求出角的大小，再由已知边结合正弦定理把另外两边转化为角的正弦形式，将周长整理为单一三角函数形式，最后根据角的范围求出三角函数值域，进而得到三角形周长的取值范围.
【详解】（1）.
由，，解得，.
所以的单调减区间为，.
（2）由，得，即.
因为，所以，即.
已知，由正弦定理.
所以，.
又，，
则周长
.
由，得，所以.
即周长的取值范围是.
【变式12-1】（2026·江西南昌·三模）已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，，为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形，则（ ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】D
【详解】由函数 可知，函数的最大值为 ，即点 的纵坐标为 .
因为 为等腰直角三角形，且 为图象的最高点， 为图象与 轴的交点，
所以 到 的距离 ，且 ， 又 等于半个周期，即 ，所以 .
由 ，解得 ，所以 .
令 ，即 ，解得 .
由图象可知， 为 轴左侧靠近原点的零点，取 ，得 ，即 .
为 右侧第二个零点（ 依次排列），相隔一个周期， 所以 ，
即 ，点 的横坐标为 中点的横坐标，即 ， 所以 .
所以 ， .
则 .
【变式12-2】（25-26高一下·浙江·期中）已知向量，，，设函数；
(1)求的最小正周期与单调递增区间；
(2)对，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)
【详解】（1） ，
，
由，得， ，
故的递增区间为，；
（2），恒成立
由，得，
故时，，，
实数的取值范围是.
题型13 向量的新定义题
解｜题｜技｜巧 先读懂全新定义，紧扣规则转化为熟悉向量运算。拆解题干条件，将新运算对应数量积、模长、夹角、坐标公式。结合向量共线、垂直、模值性质列式，运用代数化简、数形结合分析。遇到参数范围与最值，借助函数、不等式求解，验证结果贴合定义要求即可.
【典例13】（25-26高一下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定 ．
(1)分别根据下列已知条件求：
①，；
②，；
(2)若向量（，，），
证明：
(3)若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．当时，求的最大值．
【答案】(1)5；0(2)证明见解析 (3)
【分析】（1）由题意，根据新定义即可求解；
（2）由新定义可证得，，即可证明；
（3）作图并设，由推得，进而，设，代入坐标，联立推得，根据题意将化成，利用基本不等式即可求得其最大值.
【详解】（1）因为，，因为，
故不共线，又，
所以 ；
又，，所以，故共线，
所以 ；
（2）当，不共线时，；
当，共线时， ，
因为向量，共线，所以，
所以，共线时，关系依然成立，
因为向量，且向量，
则，
所以，
，
所以；
（3）

如图，在平面直角坐标系中作出单位圆，设，，
则，
由可得，则.
设，（，，），即得
，则得，
由可得，即，
由（2）可得
,
因，由可得，
即，当且仅当时等号成立，
的最大值为.
【变式13-1】（25-26高一下·浙江杭州·期中）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量，的夹角），余弦距离为．已知，，若，的余弦距离为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】已知余弦距离为，，的余弦距离为，
，解得，
已知，，则，
，
．
【变式13-2】（25-26高一下·广东广州·期中）定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角.对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．若，则
【答案】BCD
【详解】对于A：由的定义知，当时，；当，.
若，由于是非零向量，所以当时，，
故，，所以，所以，故，A正确.
对于B：设有非零向量，则，所以，而，
故，故B错误.
对于C：由B知，，故，C错误.
对于D：若，，，则，D错误.
【变式13-3】（25-26高一下·青海西宁·期中）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题：
(1)已知向量，满足，，，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值；
(3)已知向量，，，求的最小值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）因为，所以，
又因为，
所以，解得，
所以，
所以，
所以；
（2）由题意可得，
所以
所以,
所以，
所以，
所以；
（3）因为，，，
所以，
所以，
所以，
所以
，
令，
则
，
当且仅当时等号成立，
即的最小值.
期末基础通关练（测试时间：15分钟）
1.（25-26高一下·上海·期中）与向量方向相同的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】与方向相同的单位向量为.
2. (25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底；
对于B，，所以与共线，不能作为基底；
对于C，，所以与共线，不能作为基底；
对于D，设，则，
则，可得不存在这样的，可得与不共线，可以作为基底.
3．（2026高三·全国·专题练习）在四边形中，，，为的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】.
则 .
4.（25-26高一下·河北石家庄·月考）平面内三点共线，则__________.
【答案】
【解答】由题可知，，
因为三点共线，所以和共线，
所以，解得.
所以，
故.
5．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知向量，，．
(1)当时，求k的值；
(2)当时，求k的值；
(3)若向量且，求实数x，k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，可得，解得．
（2）因为，所以，解得．
（3）因为，
所以，解得．
期末重难突破练（测试时间：20分钟）
1．（25-26高一下·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知，，O为坐标原点，的平分线交线段于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题可得，，，
由角平分线性质可得，所以，
，
所以点的坐标为.
2．（2026·江西·模拟预测）已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可知，，.
若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线，
所以，即，所以.
故选：C.
3.（25-26高一下·四川绵阳·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【详解】分别表示与同方向的单位向量，
故为的平分线所在直线，
又，故的平分线所在直线与垂直，
由三线合一可得，
取的中点，则，，
，故，
所以为等腰直角三角形，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，，
则，
故当时，取得最小值，最小值为.
4.（多选）（25-26高一下·宁夏吴忠·期中）已知点，，，则下列结论错误的是（ ）
A．是直角三角形
B．若点，则四边形是平行四边形
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】根据向量的坐标运算求解后判断各选项.
【详解】A选项，因为，，所以，
所以，是直角三角形，A正确；
B选项，因为，所以，又因为四点不共线，所以四边形是平行四边形，B正确；
C选项，，，则，C错误；
D选项，因为，则是线段中点，所以，D正确.
5.（25-26高一下·江苏南京·期中）如图所示，是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等，，则 _________用表示
【答案】
【详解】设为线段的中点，则也为线段的中点，
则，
所以.
6．（25-26高一下·山东德州·期中）已知平面向量，函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若锐角满足，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据平面向量的数量积的坐标表示、三角恒等变换公式化简可得，再结合正弦函数的单调性求解即可；
（2）由可得，再根据诱导公式、二倍角公式求解即可.
【详解】（1）由
，
取，解得，
故的单调增区间为，
（2）由（1）知，则，
所以.
期末综合拓展练（测试时间：20分钟）
1.（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，设点，其中，
由可得，
即，故，
因为，故，
故当时，取最小值.
故选：D.
2．（25-26高一下·辽宁大连·期中）若函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.
①当时，的最大值为，求的值；
②已知的三个顶点均在函数的图象上，且，，，点在线段上运动，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)①，；②.
【详解】（1）由图可知，
，可得，则
由，则，，得，，
又，则，故；
（2）①图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，周期为，
当，令，则，区间长度为.
的最大值等于区间内的最大值减最小值，
由题该值为，仅当最大值为、最小值为时满足.
因此，或，
解得，或，
综上所述，
②设，
因为，，，
所以，，
，
因为，所以，于是有，
所以，
所以的取值范围是.
3．（25-26高一下·上海·阶段检测）对于向量集，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”．
(1)设向量，．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围；
(2)已知均是向量集的“长向量”，
(i)求证：；
(ii)若，．设在平面直角坐标系xOy中的点集，其中，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值．
【答案】(1)
【详解】（1）解：因为向量，，
所以，，，
因为是向量集的“长向量”，
所以，由题意可得：，即，解得：.
所以实数x的取值范围为
（2）(i)证明：因为均是向量集的“长向量”，
所以，由题意得，，即，即，
同理，
三式相加并化简得：，
所以，即，
所以，即，证毕.
(ii)设，因为，，
所以，即，
因为，，所以，
设，因为与关于点对称，与关于点对称
则依题意得：，
将①代入②得，，
从而，
……
，
以上k个式子相加化简得，
，
又由②知，
，
即，
所以，
其中，
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以，当时，.
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