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培优05 拓展专题之一：平面向量爪子定理、等和线定理 的应用（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 爪子定理的应用 题型02 等和线求系数和、差 题型03 等和线求范围（最值） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
爪子定理 熟记爪子定理的内容，能熟练掌握用爪子定理解决相关的向量求参问题. 拓展内容，可在选择题、填空题中直接考查，难度中等.
等和线定理 理解系数和与平行线距离的关系；会求线性组合系数和的最值. 拓展内容，高一阶段难度较高，常在期中期末压轴小题出现，灵活性强，需结合几何意义理解.
知识点01 形如条件的应用（“爪子定理”）
1．“爪”字型图及性质：
（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线
当，则与位于同侧，且位于与之间
当，则与位于两侧
时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上
（2）已知在线段上，且，则
2．中确定方法
（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定
（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解
（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解
知识点02等和线定理
1.等和线定理：
平面内一组基底及任一向量满足：，若点在直线上或在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线.
三点共线+平行线移动(三角形相似)
证明：,设
结合与(或与)同向或反向确定m正负
在上述推理过程中，暗含着,即和的系数相等(等系数)
这条线(和线)与平行，可以认为是这条线平行移动的结果，故在解题过程中，我们可以将这条线平行移动，确定临界位置，从而确定m的取值范围，即系数之和的范围
2．性质
（1）当等和线恰为直线AB时，，称为基线；
（2）当等和线在O点和直线 AB之间时，；
（3）当直线AB在O点和等和线之间时，；
（4）当等和线过O点时，；
（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
（6）定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
题型01 爪子定理的应用
答｜题｜模｜板 爪子定理源于平面向量三点共线定理。 已知在线段上，且，则
【典例1-1】（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【典例1-2】如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【变式1-1】（2024·云南昆明·一模）在中，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2026·湖北武汉·华中师大一附模拟）如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（ ）

A． B．
C． D．
【变式1-3】（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______.
题型02 等和线求系数和、差
答｜题｜模｜板 定义：由平面向量基本定理知，若P、A、B三点共线，则有。 若，，则系数和 总结有：若点在直线上或在平行的直线上则,反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 等和线问题将系数和（差）的问题转换成线段比值问题。
【典例2】（25-26高三上·四川成都·期末）如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（ ）
A． B．3 C． D．2
【变式2-1】（25-26高一上·江苏南通·月考）如图，已知，如果，则__________________．
【变式2-2】如图，在平行四边形中，，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【变式2-3】在中，，点为与的交点，，则（ ）
A．0 B． C． D．
题型03 等和线求范围（最值）
答｜题｜模｜板 等和线问题将系数和（差）的问题转换成线段比值问题时，则求系数和（差）的范围问题转换成线段比值的范围为题，则可以直接根据目标线段的取值范围来计算。
【典例3-1】（2026山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（ ）

A． B．2 C． D．1
【典例3-2】（25-26高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2026高一·全国·专题练习）如图，已知一个扇形，半径，，点在圆弧上运动，若，则的最大值为

【变式3-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，A，B，P是圆O上的三点，的延长线与线段的延长线交于圆O外一点Q，若，求的取值范围为 ．
【变式3-3】（多选）（25-26高一上·江苏盐城·期末）如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（ ）
A．当是线段的中点时，
B．当时，
C．当为定值时，点的轨迹是一条线段
D．的最大值为
.
期末基础通关练（测试时间：15分钟）
1.（2026·山东济南·模拟）在中，为边的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
3．（25-26高一下·四川广安·月考）如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________．
4．（25-26高三下·重庆·阶段检测）在等腰直角中，点D是斜边AC上靠近点A的三等分点，若，则______．
5．在平行四边形中，为的中点，在线段上，且．若，均为实数，则的值为 ．
期末重难突破练（测试时间：20分钟）
1．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026高一下·全国·专题练习）在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，点是圆上及内部的动点，设，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（25-26高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三下·上海·月考）如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________.
5．（25-26高一上·北京·期末）已知为的外接圆圆心，，给出下列四个说法中，其中所有正确结论的序号为___________．
①对于任意；
②存在，使得；
③时，是等腰直角三角形；
④的最大值是．
期末综合拓展练（测试时间：20分钟）
1．（25-26高一下·重庆渝中·月考）键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用．有机物“萘”可以用下左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为下右图所示的图形．已知与为全等的正六边形．若点为右边正六边形的边界（包括顶点）上的动点，且向量，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，，点在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，求实数的取值范围．
4．（25-26高三上·河北·月考）如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则__________.
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培优05 拓展专题之一：平面向量爪子定理、等和线定理 的应用（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 爪子定理的应用 题型02 等和线求系数和、差 题型03 等和线求范围（最值） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
爪子定理 熟记爪子定理的内容，能熟练掌握用爪子定理解决相关的向量求参问题. 拓展内容，可在选择题、填空题中直接考查，难度中等.
等和线定理 理解系数和与平行线距离的关系；会求线性组合系数和的最值. 拓展内容，高一阶段难度较高，常在期中期末压轴小题出现，灵活性强，需结合几何意义理解.
知识点01 形如条件的应用（“爪子定理”）
1．“爪”字型图及性质：
（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线
当，则与位于同侧，且位于与之间
当，则与位于两侧
时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上
（2）已知在线段上，且，则
2．中确定方法
（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定
（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解
（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解
知识点02等和线定理
1.等和线定理：
平面内一组基底及任一向量满足：，若点在直线上或在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线.
三点共线+平行线移动(三角形相似)
证明：,设
结合与(或与)同向或反向确定m正负
在上述推理过程中，暗含着,即和的系数相等(等系数)
这条线(和线)与平行，可以认为是这条线平行移动的结果，故在解题过程中，我们可以将这条线平行移动，确定临界位置，从而确定m的取值范围，即系数之和的范围
2．性质
（1）当等和线恰为直线AB时，，称为基线；
（2）当等和线在O点和直线 AB之间时，；
（3）当直线AB在O点和等和线之间时，；
（4）当等和线过O点时，；
（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
（6）定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
题型01 爪子定理的应用
答｜题｜模｜板 爪子定理源于平面向量三点共线定理。 已知在线段上，且，则
【典例1-1】（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【详解】因为，所以，
则由爪子定理得，
故，.
故选：B.
【典例1-2】如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】观察到三点共线，利用“爪”字型图，可得
，且，由可得，
所以，由已知可得：，所以
答案：C
【变式1-1】（2024·云南昆明·一模）在中，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】如下图所示：
由爪子定理可得
易知，故选：C
【变式1-2】（2026·湖北武汉·华中师大一附模拟）如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】用向量的线性运算把向量分解成形式即可得答案.
【详解】∵，
∴，
故选：B．
【变式1-3】（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______.
【答案】/0.25
【详解】由题意及图，，
又，所以，
所以，
又，所以，解得m，t．
故答案为：．
【解法二：】（爪形定理），
所以，解得.
题型02 等和线求系数和、差
答｜题｜模｜板 定义：由平面向量基本定理知，若P、A、B三点共线，则有。 若，，则系数和 总结有：若点在直线上或在平行的直线上则,反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 等和线问题将系数和（差）的问题转换成线段比值问题。
【典例2】（25-26高三上·四川成都·期末）如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【详解】由，则.四边形内接于圆，则四边形为等腰梯形.
设等腰梯形高为，又面积为，则等腰梯形高为，
则.
法一：取中点，直线相交于，在中，，
，则，所以.
，又三点共线，
则，则.
法二：，
所以
所以，
所以.
故选：A.
【变式2-1】（25-26高一上·江苏南通·月考）如图，已知，如果，则__________________．
【答案】18
【分析】过点作向量的平行线与它们的延长线分别交于D，E两点，得到四边形ODCE平行四边形，结合平面向量的基本定理，即可求解．
【详解】如图所示，
过点作向量的平行线与它们的延长线分别交于D，E两点，
所以四边形ODCE是平行四边形，则，
因为向量与和的夹角分别为和，
即，则，
在直角中，，所以，
在直角中，，所以，
又由，可得，
又因为，所以，
所以．
【变式2-2】如图，在平行四边形中，，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在平行四边形中，，，
所以
，
若，则，则．
故选：A．
【变式2-3】在中，，点为与的交点，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以为中点，
三点共线，故可设，即，
整理得，
因为，所以，即，
三点共线，
可得，
所以，解得，
可得，则，.
故选：D.
题型03 等和线求范围（最值）
答｜题｜模｜板 等和线问题将系数和（差）的问题转换成线段比值问题时，则求系数和（差）的范围问题转换成线段比值的范围为题，则可以直接根据目标线段的取值范围来计算。
【典例3-1】（2026山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（ ）

A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点．设，所以，设，结合图形得出，由条件结合平面向量基本定理可得出与的关系，进而可得结果．
【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，

设，因为三点共线，所以，
等边三角形边长为2，则外接圆半径为，
由，可设，
当过点且与圆相切时，取最小值0，
当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值，
此时，，则取最大值，
所以，
，
又，则，得，
所以，则的最大值为．
故选：A．
【典例3-2】（25-26高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可得当P在线段BC上运动时，B、P、C三点共线，此时有最小值，分别延迟AB、AC至，使，连接，根据三角形相似，分析可得当P位于D点时，有最大值，即可得答案.
【详解】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线，
因为，所以，此时为的最小值；
分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示，
因为，
所以与相似，且相比为，
因为与的面积之比为2，且，
所以与的高之比为，
即与高之比为，
所以三点共线，
当P位于D点时，，
此时，即，此时为的最大值，
所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为
故选：A
【变式3-1】（2026高一·全国·专题练习）如图，已知一个扇形，半径，，点在圆弧上运动，若，则的最大值为

【答案】2
【分析】利用三点共线的判定条件和同向向量转化公式可得，把的最大值转化为的最小值即可．
【详解】设与相交于点，可得．
因为三点共线，所以．
因为的最小值为点到直线的距离，因为半径，,
所以,此时，
所以的最大值为2．
【变式3-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，A，B，P是圆O上的三点，的延长线与线段的延长线交于圆O外一点Q，若，求的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设，可得，设，可得，根据平面向量基本定理可得，，由此可求结论.
【详解】设，可得，
设，
，B，Q三点共线，，
则
，则，，
．
因此，的取值范围是．
【变式3-3】（多选）（25-26高一上·江苏盐城·期末）如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（ ）
A．当是线段的中点时，
B．当时，
C．当为定值时，点的轨迹是一条线段
D．的最大值为
【答案】ACD
【分析】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】对于A，当是线段的中点时，，
所以，所以A正确.
对于B，当时，取线段，线段的中点，分别记为，则平行于.
延长与直线交于点，则，.
所以，所以，所以点的轨迹为线段.
当点与重合时，.
当点与重合时，.
所以.所以B不正确.
对于C，当为定值2时，.
令，可得三点共线.
分别取线段的中点，记为，所以，即.
连接交于点，则.
所以点的轨迹是线段，所以C正确.
对于D，由于平行四边形在的左上方，且三点共线，所以.
所以，所以，即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确.
故选：ACD.
期末基础通关练（测试时间：15分钟）
1.（2026·山东济南·模拟）在中，为边的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为为边的中点，，
所以由爪子定理得.
2.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】取AD中点F，则，直线FP交AE于G， 设
∵ FPG三点共线 ，∴，
当P在中点时，G与E重合，此时t取到最小值，
3．（25-26高一下·四川广安·月考）如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________．
【答案】3
【分析】对两边平方得出①，对两边同时点乘即可得出②，联立①②即可解出的值.
【详解】与的夹角为，与的夹角为，且，；
对两边平方得：①；
对两边点乘得：，两边平方得：②；
①②得：；根据图象知，，
，代入得，；
．
故答案为：3
4．（25-26高三下·重庆·阶段检测）在等腰直角中，点D是斜边AC上靠近点A的三等分点，若，则______．
【答案】
【详解】如图所示，
因为点D是斜边AC上靠近点A的三等分点，所以，由爪子定理得
，所以.
5．在平行四边形中，为的中点，在线段上，且．若，均为实数，则的值为 ．
【答案】
【解析】设，
∵在平行四边形中，为的中点，在线段上，且，
∴，
∵，均为实数，，
∴，
∴，解得:，
∴．
期末重难突破练（测试时间：20分钟）
1．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据题意，作图如下所示：
由题意得，.
故选：A.
【解法二：】（爪形定理）.
故选：A.
2．（2026高一下·全国·专题练习）在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，点是圆上及内部的动点，设，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，显然是等和线，
当动圆圆心是点时，直线是距离最近的等和线．
易知点到这两条等和线的距离比为，从而此时的；
而当动圆的圆心在点时，直线是距离最远的等和线，
易知点到直线与直线的距离比为，
从而此时的．综上，
故选：C
3.（25-26高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线，
因为，所以，此时为的最小值；
分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示，
因为，
所以与相似，且相比为，
因为与的面积之比为2，且，
所以与的高之比为，
即与高之比为，
所以三点共线，
当P位于D点时，，
此时，即，此时为的最大值，
所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为
故选：A
4．（25-26高三下·上海·月考）如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点、，根据平面向量基本定理，讨论点在点处与处时的值，从而得到的取值范围.
【详解】如图，在的反向延长线上取点，使得，
过作，分别交和的延长线于点、，
则，，
由于，
要使得点落在指定区域内，则点应落在上（不含端点处），
当点在点处时，，
当点在点处时，，
所以的取值范围是.
5．（25-26高一上·北京·期末）已知为的外接圆圆心，，给出下列四个说法中，其中所有正确结论的序号为___________．
①对于任意；
②存在，使得；
③时，是等腰直角三角形；
④的最大值是．
【答案】②③④
【分析】利用向量的线性运算和三角形外接圆的性质，结合均值不等式和正弦定理等的相关知识，对每个说法逐一分析.
【详解】因为为的外接圆圆心，
所以（为外接圆半径），
又，所以，
即，
因为，所以，
所以，
所以，
即，
展开并整理得：，
对于①，当时，，此时或，
因此存在，故①错误；
对于②④，因为
所以（当且仅当时取得等号），
所以，
解得，或，
又为锐角，所以O与B在的同侧，所以，
所以存在，使得，故②正确，④正确；
对于③，当时，
代入中可得：，
此时是等腰直角三角形，故③正确；
故答案为：②③④
期末综合拓展练（测试时间：20分钟）
1．（25-26高一下·重庆渝中·月考）键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用．有机物“萘”可以用下左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为下右图所示的图形．已知与为全等的正六边形．若点为右边正六边形的边界（包括顶点）上的动点，且向量，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由平面向量共线定理可得，，，则三点共线的充要条件是.
下面先证明“等和线定理”，
如图，设，，
因为三点共线，所以存在，使得.
，
，，则.
由“等和线定理”结合图形可知：当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
综上，可得.
故选：C．
2．对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】如图所示，过点作，交直线于点，
设，可得.
设，，则，
因为，所以，
由图可知，当与半圆相切时，最大，
又由，，可得，
所以，即最大为，所以的最大值为.
故选：B.
3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，，点在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，求实数的取值范围．
【答案】
【详解】因点在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，
故存在，使
，
依题意，，则，因，则.
故实数的取值范围为.
4．（25-26高三上·河北·月考）如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则__________.
【答案】/0.4
【详解】因为，
所以.
设，所以①.
因为为的中点，所以.
设，又，
所以
②.
由①②可得，解得.
所以，所以.
故答案为：
【解法二：】（爪形定理），
设，则，即，
由三点共线，可得，解得，
所以，即，
所以.
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