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培优10 刷透复数全章12大必刷题型（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01复数的概念 题型02复数与复平面点的对应 题型03复数与向量的对应 题型04复数的四则运算 题型05利用i的周期性复求数的和 题型06 复数范围内实系数一元二次方程求根 题型07共轭复数的计算及性质 题型08复数的模长 题型09复数乘除的模的性质 题型10与复数模有关的最值问题（跨章节） 题型11 复数三角形式 题型12复数三角形式的应用（跨章节） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
复数的相关概念 1、熟练掌握复数的实部和虚部，理解复数的分类，明确虚数、纯虚数的定义； 2、熟练掌握复数相等定义及利用复数相等求参数. 基础必考点，常以选择题、填空题形式出现； 高频易错点：把虚部b混淆成bi； 命题趋势：侧重基本概念的理解和复数的正确分类.
复数的几何意义 1、理解复数的几何意义，掌握复数与复平面内点的一一对应关系； 2、能根据复数找到其对应复平面中点的位置； 3、能将复数转化为对应向量，从而更好理解复数的模的几何意义. 中频考点，选择题、填空题为主； 易错点：计算复数模长常把i代入计算，导致计算错位； 命题趋势：常与平面向量结合；将复数的模转化为向量的模.
复数的四则运算 1、能熟练掌握复数加减运算的法则，准确计算两个复数的和与差； 3、能熟掌握复数乘除除法运算，特别除法运算要顺利转化为分母实数化，准确化简复数表达式. 核心必考点，贯穿小题； 高频易错点：除法运算中分母实数化计算出错； 命题趋势：以运算化简为主，结合概念考查，解答题多为基础运算，难度适中.
复数的模 1、熟练计算复数的模，掌握复数模的性质＝·、＝,＝|等）； 2、熟练应用模与共轭复数的性质解决简单的求值、判断问题 中频考点，多与复数运算结合考查； 易错点：模的性质记忆不牢固；共轭复数的运算出错（如共轭复数的和差积商性质）；命题趋势：常作为运算题的中间步骤，或单独考查模的计算，难度不大
复数与方程的解 熟练应用求根公式求解实系数一元二次方程； 理解实系数一元二次方程虚数根式一对共轭复数； 会用复数相等知识解决方程中虚数根的问题. 中频考点，常以多选题形式出现，与其它内容结合考察； 易错点：误用判别式判定判定方程根的个数； 命题趋势；常以多选题与复数的运算，复数的模等知识相结合.
知识点01 复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的实部，记作Rez，b称为复数z的虚部，记作Im z，i叫作虚数单位.
(2)复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)复数的模：向量的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝(a，b∈R).
注意：(1)虚数不能比较大小.(2)复数集包含实数集与虚数集.
知识点02 复数的几何意义
注意：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为，而不是.
知识点03 复数的四则运算
(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)复数的运算律
①复数的加法运算律：
结合律：＋z3＝z1＋；
交换律：z1＋z2＝z2＋z1.
②复数的乘法运算律：
结合律：·z3＝z1·；
交换律：z1·z2＝z2·z1；
乘法对加法的分配律：z1·＝z1·z2＋z1·z3.
(3)复数加减的几何意义
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
【常用结论】
i的乘方具有周期性
，；，，，n∈N＋.
(2)模的运算性质z·＝｜z｜2＝｜｜2；；＝·；＝；＝.
(3)复数z的方程或不等式在复平面上表示的图形
①a≤≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.
②＝r为圆心，r为半径的圆.
题型一 复数的概念
解｜题｜技｜巧 判断复数的实部、虚部的关键：（1）看形式：看复数的表示是否是的形式；（2）看属性：看，是否都是实数. 判断复数相等的关键：（1）化为代数形式；（2）实部相等且虚部相等
【典例1】（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若Z为实数，则 B．若Z为虚数，则
C．若Z为纯虚数，则 D．复数Z的虚部为
【答案】AB
【详解】对于A，若Z为实数，则虚部为0，，.故A正确；
对于B，若Z为虚数，则虚部不为0，，，故B正确；
对于C，若Z为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，，则无满足条件的m，故C错误；
对于D，复数Z的虚部为，不带单位i，故D错误.
【变式1-1】（多选）．（25-26高二上·云南保山·期末）若复数，则的值可以是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据复数的乘法运算计算即可.
【详解】因为，所以，
所以，解得或，
则或．
【变式1-2】（多选）．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知，则（ ）
A． B．
C．的虚部为4 D．的共轭复数为
【答案】BC
【详解】由题意得，得，A错误，B正确．
的虚部为4，共轭复数为，C正确，D错误．
故选：BC
【变式1-3】．（2026·重庆渝中·模拟预测）若复数满足，则的虚部为______.
【答案】
【详解】由可得，则，故的虚部为.
题型二 复数与复平面点的对应
解｜题｜技｜巧 复数．
【典例2】（2026·湖南长沙·一模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得，解得.
【变式2-1】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【详解】由题意知，则，所以，故.
【变式2-2】（多选）．（25-26高一下·河北邯郸·期中）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】ABC
【详解】根据题意可得解得,因此m的取值可以为，，0.
【变式2-3】（多选）．（25-26高一下·全国·单元测试）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】AB
【详解】整理得，对应的点位于第二象限，则，解得．
故选：AB
题型三 复数向量的对应
解｜题｜技｜巧 复数加减运算对应向量加减运算：复数的加、减法对应向量的加法、减法；复数的加减对应起点为原点的向量加减.
【典例3】（25-26高一下·河南·期中）在复平面内，是原点，，表示的复数分别为，，则线段中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，，由中点坐标公式得线段中点的坐标为.
【变式3-1】．（25-26高一下·山西晋中·期中）在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________．
【答案】/
【详解】因为复数，，，所对应的点分别是，，，
所以，，，即，，，
所以,由，所以，
解得，因此.
【变式3-2】．（25-26高一下·福建宁德·期中）在复平面内，复数所对的向量为，将逆时针旋转得到，则所对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意知，.
设，对应的复数为，则逆时针旋转后应在第一象限，所以，.
由旋转性质得旋转前后模长相等，且与垂直，所以，解得.
所以逆时针旋转后，，对应的复数为.
【变式3-3】（多选）．（2026·山东淄博·二模）已知复数，，，，复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，A，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】由题意得，，
则，故A正确；，
，故不一定相等，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
题型四 复数的四则运算
解｜题｜技｜巧 1. 加减直算，乘展合并：实部与实部、虚部与虚部分别相加减；乘法按多项式展开，遇 化为 -1 再合并. 2. 遇除法分子分母同乘分母共轭复数，实现分母实数化.
【典例4】（25-26高一下·陕西榆林·期中）若复数满足，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．复数是关于的方程的一个复数根
【答案】ACD
【详解】对于A，因为，整理得，即，故A正确.
对于B，，故B错误.
对于C，，其对应的点坐标为，属于第二象限，故C正确.
对于D，因为，
所以复数是关于的方程的一个复数根，故D正确.
【变式4-1】（多选）．（25-26高一下·山东滨州·期中）已知复数，则（ ）
A．复数的虚部为 B．
C．是纯虚数 D．若复数是方程的一个根，则
【答案】BC
【详解】因为，所以复数的虚部为2，故A错误；
，故B正确；，是纯虚数，故C正确；
若复数是方程的一个根，则另一个根为，
则可得即故D错误．
【变式4-2】（25-26高一下·浙江杭州·月考）设复数（为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】依题意，，所以z的虚部为1.故选：C
【变式4-3】（25-26高一下·山东临沂·期中）已知复数满足，则___________．
【答案】
【详解】设，则，，代入原式得，
，即，解得，．
题型五 利用i的周期性求复数的和
解｜题｜技｜巧 利用的周期性分组求和：，周期重复，将长数列按每4项一组，剩余项单独处理.
【典例5】3．（25-26高一下·四川雅安·期中）若为虚数单位，则________．
【答案】/
【详解】因为，所以的周期为4，且，
所以.
【变式5-1】（25-26高一下·广东东莞·期中）若复数，则的虚部为_________.
【答案】
【解析】因为，，
故复数，故的虚部为.
【变式5-2】（25-26高一下·吉林长春·期中）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】复数，
，，
所以.故选：A
【变式5-3】（25-26高-下·江西南昌·期中）若为虚数单位，则计算__________.
【答案】
【分析】由虚数的周期性质结合并项求合法分组分析计算即可.
【详解】因为，所以，
所以
.
故答案为：.
题型六 复数范围内解实系数一元二次方程求根
解｜题｜技｜巧 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解．
【典例6】（多选）．（25-26高一下·河北石家庄·期中）若复数是方程的一个根，其中，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】因为复数是方程的一个根，所以复数是方程的另一个根，
所以，且，即，．
【变式6-1】（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知是关于的方程的一个根，其中i为虚数单位，则________．
【答案】1
【详解】因为是关于的方程的一个根，所以，整理得，所以，解得，，所以．
【变式6-2】．（2025·上海·模拟预测）已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为________．
【答案】8
【详解】因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以，解得，
根据实系数一元二次方程虚根的共轭性质，方程的另一个根为的共轭复数，
由韦达定理，又，且，所以.
【变式6-3】（25-26高一下·江苏盐城·期中）已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根.
(1)设、满足方程，求，；
(2)设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）由于、是实系数一元二次方程的两个虚根，故、互为共轭复数，
设，则，那么
代入 可得 ，即，
则有，故.
（2）设，则，故与，那么，，由于向量与的夹角为钝角，那么且向量与不共线，则解得 且，故实数的取值范围为.
题型七 共轭复数的计算与性质
解｜题｜技｜巧 1. 核心替换：遇到与 同时出现，常设 z = a+bi，将复数问题转化为实方程组处理； 2. 乘共轭降维：处理分式或模长时，利用 将分母实数化.
【典例7】．（25-26高一下·上海·期中）复数，则_______.
【答案】
【详解】，．
【变式7-1】（2026·辽宁沈阳·三模）已知、为非零复数，则下列选项中一定正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．
【答案】BC
【详解】对于A，取，可得，满足，但，所以A错误；
对于B，设可得，所以，又由，可得，
所以，所以B正确；对于C，由，可得，
又由，可得，所以，所以C正确；对于D，由，可得，
则，，
可得不一定为，所以D不正确.
【变式7-2】．（2026·山东青岛·一模）已知复数均不为0，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】设复数，对于A，易知，
所以，可得A正确；
对于B，易知，由可得，所以，即B正确；对于C，，
而，所以，即C错误；
对于D，根据C中分析可知，即可得，所以D正确.
【变式7-3】（25-26高一下·江苏南通·期中）已知是复数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】设，，对于A，，所以；
而.所以A正确.对于B，；.所以B错误.
对于C，
；
而.所以C正确.
对于D，因，则；
.所以D正确.
题型八 求复数的模长
解｜题｜技｜巧 （1）定义：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值； （2）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． (3)转化技巧：常将复数的模的运算转化为向量的模来处理
【典例8】．（25-26高一下·上海青浦·期中）若复数和复数满足，，，则________.
【答案】
【详解】因为，，，由复数模的运算性质，可得，
所以，所以，又由，所以.
【变式8-1】（25-26高一下·河南郑州·期中）已知，则（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【解析】.故选：A
【变式8-2】4．（2026·浙江宁波·三模）复数，则_____．
【答案】
【详解】因
则.
【变式8-3】．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知复数满足，则______.
【答案】
【详解】设，则，所以，所以，
所以，故.
题型九 复数乘除模长性质
解｜题｜技｜巧 （1）乘法模长性质：，； （2）除法模长性质：；
【典例9】．（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）已知复数，则复数的模_____.
【答案】
【详解】，故答案为：.
【变式9-1】（2026·上海杨浦·模拟预测）若复数Z满足：，则__________．
【答案】
【详解】对等式两边同时取模，可得.
【变式9-2】．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）设为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数对应点在第一象限 B．
C．可能为纯虚数 D．
【答案】ACD
【详解】因为，在A选项中，，对应复平面内点为 ，横纵坐标均为正，因此在第一象限，A正确，在B选项中，，故，
又因为，，所以，所以，B错误，
在C选项中，，若为纯虚数，则实部为0、虚部非零，
所以令，则，此时虚部为，结果为，因此存在符合条件的，C正确，
在D选项中，根据复数模的性质，对任意非零复数，
都有，所以，即，且，等式成立，D正确.
【变式9-3】．（2026高三·全国·专题练习）（多选题）若，为复数，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据复数的四则运算及复数的模计算判断即可.
【详解】设，，，对于A，，
，，
所以，故A正确；
对于B，，，所以不恒成立，故B错误；
对于C，，，，所以，故C正确；对于D，，，
，
又，所以，
即，也即，
所以，即，故D正确.
题型十 与复数模有关的最值问题
解｜题｜技｜巧 1、复数的模的几何意义 （1）复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义． （2）复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则满足条件的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部． 2、两个复数差的模的几何意义 （1）表示复数，对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． （2）表示以对应的点为圆心，为半径的圆． （3）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
【典例10】（25-26高一下·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是___________.
【答案】
【详解】复数满足，将其可以看作是点到两点距离之和为3.
因为，所以点的轨迹为线段.而表示的是点到点的距离，
要求其距离的最大值，则根据图象可知点到点的距离最大，即.
故答案为：.
【变式10-1】（25-26高一下·陕西西安·月考）已知复数分别满足，则的取值范围为________．
【答案】
【详解】由复数，分别满足，可得复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
设，则，可得复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，如图所示，可得，所以，所以的取值范围为.
【变式10-2】（25-26高一下·山东滨州·期中）已知，若，则的最小值为___________．
【答案】1
【详解】由题意得，，
所以，则当时，的最小值为1．
【变式10-3】（25-26高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为______.
【答案】
【解析】设，则，由，得，
整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线，
由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，，
而表示在复平面内复数对应点的距离，所以的最小值为.
题型十一 复数三角形式
解｜题｜技｜巧 正确求模和辐角： 模：，非负；辐角：由确定，但必修根据点所在象限调整；技巧：画点定位，避免符号错误. 利用三角形式简化乘除与乘方 乘法：模相乘，辐角相加；除法：模相除，辐角相减；乘方：利用棣莫弗定理完成计算.
【典例11】（25-26高一下·全国·课堂例题）将复数化为三角形式：___________．
【答案】
【详解】，设该复数的辐角主值为，因为复数在复平面上的对应点的坐标为，它在第二象限，且，所以，所以.故答案为：
【变式11-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）_________．
【答案】
【详解】．
【变式11-2】（2024高一下·全国·专题练习）计算________.
【答案】
【分析】利用复数的三角表示可得原式，计算可得结果.
【详解】
，故答案为：
【变式11-3】（23-24高三·上海·三轮复习）计算的结果是______.
【答案】
【详解】解：，同理可得，
原式．故答案为：
题型十二 复数三角形式的应用
解｜题｜技｜巧 几何变换：复数乘以相当于向量伸缩倍并逆时针旋转角； 解决问题：解决平面几何中的旋转和伸缩表换问题.
【典例12】（16-17高三·福建·单元测试）若将向量围绕原点按逆时针旋转得到向量,则的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得对应的复数为，则将向量围绕原点按逆时针旋转得到复数为，即，则向量对应的复数即为，故的坐标为，故选：B
【变式12-1】（2024高一下·全国·专题练习）已知复数z对应的向量为，复数对应的向量为，复数对应的向量为，则下列说法正确的是（ ）
A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到
B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到
C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到
D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到
【答案】AD
【详解】因为，
，
所以，将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到，将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到.故选：AD.
【变式12-2】（25-26高一下·湖北武汉·期中）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为______（用代数形式表示）．
【答案】
【详解】复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为
.
故答案为：.
【变式12-3】（24-25高一下·上海宝山·期末）设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______．
【答案】
【详解】由，得，由，得，因，所以，即，且，又因，所以，即，且,因此.故答案为：.
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高一下·江西吉安·期中）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】设，则，
复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．
2．（25-26高一下·湖北孝感·期中考试）已知为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】，虚部为－1，故选：A.
3．（25-26高一下·福建厦门·期中）设a为实数，复数，，若为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【详解】因为复数，，所以，
又为纯虚数，所以，解得，
所以，，则.
4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】设复数，则，，而复数为纯虚数，则，且，
所以“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件.故选：B.
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【详解】由，得复数对应的点在以为圆心，半径的圆上，
表示复数对应的点到的距离，点到点的距离，所以的最大值为.故选：C.
2．（25-26高一下·河北邢台·期中）（多选）已知复数，则（ ）
A． B．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为
C． D．若，则的最大值为3
【答案】ACD
【解析】因为，所以，，，
所以，A选项正确；，，C选项正确；
对应向量，对应向量，，故夹角不是，B选项错误；
即，在复平面上所对应点为到所对应点的距离为2的点，
即圆心为，半径为2的圆，所以当时，的最大值为3，D选项正确；
故选：ACD.
3．（25-26高一下·江西南昌·期中）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】，故.
4．（25-26高一下·湖北武汉·期中）若复数，满足，则（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】A
【详解】由和，得是方程的两个根，
解得，它们互为共轭复数，设，
所以.
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1（25-26高一下·湖南长沙·期中）（多选）．已知复数，，则下列结论正确的是（ ）
A．若， B．
C．若，则 D．若，则
【答案】AB
【详解】对于，因为当时，，选项A正确；
对于B，设，， ，
则 ，
，所以，选项B正确；
对于C，当，，则，但， ，，选项C错误．
对于D，，时，，但，选项D错误．
故选：AB.
2（25-26高一下·河南·期中）（多选）．关于复数，下列说法正确的是（ ）
A． B．是方程的一个根
C．若复数满足，则 D．若，则
【答案】ABD
【详解】对于A，，A正确；
对于B，由，
得复数是方程的一个根，B正确；
对于C，当时，，，C错误；
对于D，由，得复平面内复数对应点与复数对应点的距离为2，
则点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，是点与原点的距离，
而，因此，即，D正确.
3（25-26高一下·甘肃金昌·期中）（多选）．已知复数和，下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．
C． D．
【答案】BC
【详解】虚数不能比大小，故A错误；设，则，故B正确；由复数加减法的几何意义可知，C正确；若，则，故D错误.
4（25-26高一下·湖南长沙·期中）（多选）．已知是虚数单位，下列说法正确的有（ ）
A．若复数满足，则
B．若复数,满足，则
C．在复数范围内，若是关于的实系数方程的一根，则该方程的另一根是
D．若，则的最大值为
【答案】AD
【详解】选项A：设，若，则，此时，，故A正确；
选项B：取反例，令，，则，但，，显然，故B错误；
选项C：实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，若一根为，则另一根为其共轭复数，而非，故C错误；
选项D：表示复平面内z对应的点在以原点为圆心、半径为1的单位圆上，
表示圆上的点到点的距离，
点到原点的距离为，故圆上点到该点的最大距离为，故D正确.
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培优10 刷透复数全章12大必刷题型（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01复数的概念 题型02复数与复平面点的对应 题型03复数与向量的对应 题型04复数的四则运算 题型05利用i的周期性复求数的和 题型06 复数范围内实系数一元二次方程求根 题型07共轭复数的计算及性质 题型08复数的模长 题型09复数乘除的模的性质 题型10与复数模有关的最值问题（跨章节） 题型11 复数三角形式 题型12复数三角形式的应用（跨章节） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
复数的相关概念 1、熟练掌握复数的实部和虚部，理解复数的分类，明确虚数、纯虚数的定义； 2、熟练掌握复数相等定义及利用复数相等求参数. 基础必考点，常以选择题、填空题形式出现； 高频易错点：把虚部b混淆成bi； 命题趋势：侧重基本概念的理解和复数的正确分类.
复数的几何意义 1、理解复数的几何意义，掌握复数与复平面内点的一一对应关系； 2、能根据复数找到其对应复平面中点的位置； 3、能将复数转化为对应向量，从而更好理解复数的模的几何意义. 中频考点，选择题、填空题为主； 易错点：计算复数模长常把i代入计算，导致计算错位； 命题趋势：常与平面向量结合；将复数的模转化为向量的模.
复数的四则运算 1、能熟练掌握复数加减运算的法则，准确计算两个复数的和与差； 3、能熟掌握复数乘除除法运算，特别除法运算要顺利转化为分母实数化，准确化简复数表达式. 核心必考点，贯穿小题； 高频易错点：除法运算中分母实数化计算出错； 命题趋势：以运算化简为主，结合概念考查，解答题多为基础运算，难度适中.
复数的模 1、熟练计算复数的模，掌握复数模的性质＝·、＝,＝|等）； 2、熟练应用模与共轭复数的性质解决简单的求值、判断问题 中频考点，多与复数运算结合考查； 易错点：模的性质记忆不牢固；共轭复数的运算出错（如共轭复数的和差积商性质）；命题趋势：常作为运算题的中间步骤，或单独考查模的计算，难度不大
复数与方程的解 熟练应用求根公式求解实系数一元二次方程； 理解实系数一元二次方程虚数根式一对共轭复数； 会用复数相等知识解决方程中虚数根的问题. 中频考点，常以多选题形式出现，与其它内容结合考察； 易错点：误用判别式判定判定方程根的个数； 命题趋势；常以多选题与复数的运算，复数的模等知识相结合.
知识点01 复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的实部，记作Rez，b称为复数z的虚部，记作Im z，i叫作虚数单位.
(2)复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)复数的模：向量的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝(a，b∈R).
注意：(1)虚数不能比较大小.(2)复数集包含实数集与虚数集.
知识点02 复数的几何意义
注意：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为，而不是.
知识点03 复数的四则运算
(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)复数的运算律
①复数的加法运算律：
结合律：＋z3＝z1＋；
交换律：z1＋z2＝z2＋z1.
②复数的乘法运算律：
结合律：·z3＝z1·；
交换律：z1·z2＝z2·z1；
乘法对加法的分配律：z1·＝z1·z2＋z1·z3.
(3)复数加减的几何意义
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
【常用结论】
i的乘方具有周期性
，；，，，n∈N＋.
(2)模的运算性质z·＝｜z｜2＝｜｜2；；＝·；＝；＝.
(3)复数z的方程或不等式在复平面上表示的图形
①a≤≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.
②＝r为圆心，r为半径的圆.
题型一 复数的概念
解｜题｜技｜巧 判断复数的实部、虚部的关键：（1）看形式：看复数的表示是否是的形式；（2）看属性：看，是否都是实数. 判断复数相等的关键：（1）化为代数形式；（2）实部相等且虚部相等
【典例1】（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若Z为实数，则 B．若Z为虚数，则
C．若Z为纯虚数，则 D．复数Z的虚部为
【变式1-1】（多选）．（25-26高二上·云南保山·期末）若复数，则的值可以是（ ）
A．1 B． C． D．
【变式1-2】（多选）．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知，则（ ）
A． B．
C．的虚部为4 D．的共轭复数为
【变式1-3】．（2026·重庆渝中·模拟预测）若复数满足，则的虚部为______.
题型二 复数与复平面点的对应
解｜题｜技｜巧 复数．
【典例2】（2026·湖南长沙·一模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是__________.
【变式2-2】（多选）．（25-26高一下·河北邯郸·期中）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式2-3】（多选）．（25-26高一下·全国·单元测试）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
题型三 复数向量的对应
解｜题｜技｜巧 复数加减运算对应向量加减运算：复数的加、减法对应向量的加法、减法；复数的加减对应起点为原点的向量加减.
【典例3】（25-26高一下·河南·期中）在复平面内，是原点，，表示的复数分别为，，则线段中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】．（25-26高一下·山西晋中·期中）在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________．
【变式3-2】．（25-26高一下·福建宁德·期中）在复平面内，复数所对的向量为，将逆时针旋转得到，则所对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（多选）．（2026·山东淄博·二模）已知复数，，，，复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，A，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四 复数的四则运算
解｜题｜技｜巧 1. 加减直算，乘展合并：实部与实部、虚部与虚部分别相加减；乘法按多项式展开，遇 化为 -1 再合并. 2. 遇除法分子分母同乘分母共轭复数，实现分母实数化.
【典例4】（25-26高一下·陕西榆林·期中）若复数满足，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．复数是关于的方程的一个复数根
【变式4-1】（多选）．（25-26高一下·山东滨州·期中）已知复数，则（ ）
A．复数的虚部为 B．
C．是纯虚数 D．若复数是方程的一个根，则
【变式4-2】（25-26高一下·浙江杭州·月考）设复数（为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．3 B． C．1 D．
【变式4-3】（25-26高一下·山东临沂·期中）已知复数满足，则___________．
题型五 利用i的周期性求复数的和
解｜题｜技｜巧 利用的周期性分组求和：，周期重复，将长数列按每4项一组，剩余项单独处理.
【典例5】3．（25-26高一下·四川雅安·期中）若为虚数单位，则________．
【变式5-1】（25-26高一下·广东东莞·期中）若复数，则的虚部为_________.
【变式5-2】（25-26高一下·吉林长春·期中）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．0
【变式5-3】（25-26高-下·江西南昌·期中）若为虚数单位，则计算__________.
题型六 复数范围内解实系数一元二次方程求根
解｜题｜技｜巧 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解．
【典例6】（多选）．（25-26高一下·河北石家庄·期中）若复数是方程的一个根，其中，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知是关于的方程的一个根，其中i为虚数单位，则________．
【变式6-2】．（2025·上海·模拟预测）已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为________．
【变式6-3】（25-26高一下·江苏盐城·期中）已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根.
(1)设、满足方程，求，；
(2)设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
题型七 共轭复数的计算与性质
解｜题｜技｜巧 1. 核心替换：遇到与 同时出现，常设 z = a+bi，将复数问题转化为实方程组处理； 2. 乘共轭降维：处理分式或模长时，利用 将分母实数化.
【典例7】．（25-26高一下·上海·期中）复数，则_______.
【变式7-1】（2026·辽宁沈阳·三模）已知、为非零复数，则下列选项中一定正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．
【变式7-2】．（2026·山东青岛·一模）已知复数均不为0，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（25-26高一下·江苏南通·期中）已知是复数，则（ ）
A． B．
C． D．
题型八 求复数的模长
解｜题｜技｜巧 （1）定义：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值； （2）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． (3)转化技巧：常将复数的模的运算转化为向量的模来处理
【典例8】．（25-26高一下·上海青浦·期中）若复数和复数满足，，，则________.
【变式8-1】（25-26高一下·河南郑州·期中）已知，则（ ）
A．5 B． C． D．
【变式8-2】4．（2026·浙江宁波·三模）复数，则_____．
【变式8-3】．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知复数满足，则______.
题型九 复数乘除模长性质
解｜题｜技｜巧 （1）乘法模长性质：，； （2）除法模长性质：；
【典例9】．（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）已知复数，则复数的模_____.
【变式9-1】（2026·上海杨浦·模拟预测）若复数Z满足：，则__________．
【变式9-2】．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）设为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数对应点在第一象限 B．
C．可能为纯虚数 D．
【变式9-3】．（2026高三·全国·专题练习）（多选题）若，为复数，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型十 与复数模有关的最值问题
解｜题｜技｜巧 1、复数的模的几何意义 （1）复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义． （2）复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则满足条件的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部． 2、两个复数差的模的几何意义 （1）表示复数，对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． （2）表示以对应的点为圆心，为半径的圆． （3）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
【典例10】（25-26高一下·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是___________.
【变式10-1】（25-26高一下·陕西西安·月考）已知复数分别满足，则的取值范围为________．
【变式10-2】（25-26高一下·山东滨州·期中）已知，若，则的最小值为___________．
【变式10-3】（25-26高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为______.
题型十一 复数三角形式
解｜题｜技｜巧 正确求模和辐角： 模：，非负；辐角：由确定，但必修根据点所在象限调整；技巧：画点定位，避免符号错误. 利用三角形式简化乘除与乘方 乘法：模相乘，辐角相加；除法：模相除，辐角相减；乘方：利用棣莫弗定理完成计算.
【典例11】（25-26高一下·全国·课堂例题）将复数化为三角形式：___________．
【变式11-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）_________．
【变式11-2】（2024高一下·全国·专题练习）计算________.
【变式11-3】（23-24高三·上海·三轮复习）计算的结果是______.
题型十二 复数三角形式的应用
解｜题｜技｜巧 几何变换：复数乘以相当于向量伸缩倍并逆时针旋转角； 解决问题：解决平面几何中的旋转和伸缩表换问题.
【典例12】（16-17高三·福建·单元测试）若将向量围绕原点按逆时针旋转得到向量,则的坐标为( )
A． B． C． D．
【变式12-1】（2024高一下·全国·专题练习）已知复数z对应的向量为，复数对应的向量为，复数对应的向量为，则下列说法正确的是（ ）
A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到
B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到
C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到
D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到
【变式12-2】（25-26高一下·湖北武汉·期中）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为______（用代数形式表示）．
【变式12-3】（24-25高一下·上海宝山·期末）设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______．
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高一下·江西吉安·期中）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（25-26高一下·湖北孝感·期中考试）已知为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（25-26高一下·福建厦门·期中）设a为实数，复数，，若为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．3
4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．4
2．（25-26高一下·河北邢台·期中）（多选）已知复数，则（ ）
A． B．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为
C． D．若，则的最大值为3
3．（25-26高一下·江西南昌·期中）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．1
4．（25-26高一下·湖北武汉·期中）若复数，满足，则（ ）
A．-1 B．1 C． D．
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1（25-26高一下·湖南长沙·期中）（多选）．已知复数，，则下列结论正确的是（ ）
A．若， B．
C．若，则 D．若，则
2（25-26高一下·河南·期中）（多选）．关于复数，下列说法正确的是（ ）
A． B．是方程的一个根
C．若复数满足，则 D．若，则
3（25-26高一下·甘肃金昌·期中）（多选）．已知复数和，下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．
C． D．
4（25-26高一下·湖南长沙·期中）（多选）．已知是虚数单位，下列说法正确的有（ ）
A．若复数满足，则
B．若复数,满足，则
C．在复数范围内，若是关于的实系数方程的一根，则该方程的另一根是
D．若，则的最大值为
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