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培优07 拓展专题之三：奔驰定理、三角形“四心”的 向量表示（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01重心问题 题型02内心问题 题型03外心问题 题型04垂心问题 题型05“四心”综合问题 题型06奔驰定理的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
三角形重心、内心、外心、垂心的向量表达式与判定 能默写四心向量公式，快速识别向量式对应的 “心” 常出现在小题高频：重心、奔驰定理，选择、填空为主，中等难度
奔驰定理公式、推论及面积比例应用 会用奔驰定理直接求面积比、系数比 易错：外心垂直平分、垂心垂直条件易混淆
四心与奔驰定理的综合 能解决四心综合向量题，不混淆判定条件 趋势：向量表达式 + 面积比例 + 坐标法结合考查
知识点01 三角形“四心”的概念
1.重心：中线的交点，重心将中线长度分成2∶1.
2.内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等.
3.外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.
4.垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.
知识点02 重心向量表示
设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论：
1.＋＋＝0.
2.＝＋＋).
3.若＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心.
4.若＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心.
知识点03 内心的向量表示
设P是△ABC的内心，则有以下结论：
1.｜｜＋｜｜＋｜｜＝0(或a＋b＋c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长.
2.＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的内心.
知识点04 外心的向量表示
设O是△ABC的外心，则有以下结论：
1.｜｜＝｜｜＝｜｜ ＝＝.
2.(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0.
3.动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的外心.
知识点05 垂心的向量表示
设O是△ABC的垂心，则有以下结论：
1.·＝·＝·.
2.｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2.
3.若动点P满足＝λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的垂心.
知识点06 奔驰定理
奔驰定理
如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
奔驰定理的证明
如图：延长与边相交于点
则
奔驰定理的推论
推论1：是内的一点,且,则
（1）；
（2）.
知识点07 奔驰定理与“四心”联系（“四心”在三角形内部）
奔驰定理是三角形“四心”向量式的完美统一，借助奔驰定理可以推导及证明三角形“四心”与向量的关系.
(1)是的重心
证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得
(2)是的内心
证明：，，（为内切圆的半径），所以
，再由奔驰定理可得.
(3)是的外心
；
证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得
（4）是的垂心：
证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得
.
题型一 重心问题
解｜题｜技｜巧 先确定某点是三角形的重心，再利用重心的向量表示转化求解.
【典例1】（25-26高一下·重庆沙坪坝·期末）在中，分别是边，的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】如图，设为边的中点，，
，共线，
即点在底边的中线上．
故选：D．
【典例2】（25-26高一下·浙江温州·期末）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过△ABC的（ ）
A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心
【答案】D
【详解】如图，设为边的中点，，
，共线，
即点在底边的中线上．
故选：D．
【变式1】（25-26高一下·四川成都·期末）在中，，，且，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【详解】由，得，
即，即，所以，
又为公共点，所以三点共线，且为的中点，
由，得，
所以，又为公共点，所以三点共线，且，
由，，得，，
则
.
故选：D.
【变式2】（25-26高一下·重庆·期末）已知O是内一点，，且，则的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】由题意知O是内一点，，
设D为的中点，则，
故O为的重心，则，

又且，则，
故，
则，
故选：D
题型二 内心问题
答｜题｜模｜板 先确定某点是三角形的内心，再利用角平分线的性质求解，或者利用内心的向量表示转化求解.
【典例1】（25-26高一下·上海·期末）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】B
【详解】指向角A的平分线方向，
而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向，
所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上，
所以点P的轨迹会经过内心.
故选：B.
【变式1】已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（ ）．
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【详解】因为，
，
，
所以点在的角平分线上.
同理可得：点在的角平分线上.
所以点为的内心.
故选：B
【变式2】（25-26高一下·广东深圳·期末）已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（ ）．
A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心
【答案】A
【详解】因为，
所以．
设，
因为，所以点在线段上且，
由角平分线的性质得是的角平分线，
而，所以点的轨迹经过的内心.
故选：A．
题型三 外心问题
答｜题｜模｜板 若三角形内的某点O与三角形ABC各顶点构成的向量的模长相等，则该点为三角形的外心，此时常用以下点积为0转化求解问题：.(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0.
【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【详解】由已知得，
所以，所以，
所以点O是的外心，
故选:A．
【典例2】（25-26高一下·上海浦东新·期末）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的________心．
【答案】外
【详解】设BC的中点为D，因为，
所以，
即，两端同时点乘，
因为
，
所以，所以点P在BC的垂直平分线上，即P经过的外心.
【变式1】（25-26高一下·浙江绍兴·期末）在△ABC中，O为BC的中点，若，则动点M的轨迹必通过△ABC的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【详解】，
，
，
，即，即，
在边的垂直平分线上，
由三角形外心的定义知，点的轨迹过的外心.
故选：B．
题型四 垂心问题
解｜题｜技｜巧 1．·＝·＝·O是△ABC的垂心. 2.若点O为△ABC的垂心，则以下结论也成立：｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2.
【典例1】（25-26高一下·重庆·期末）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【答案】A
【详解】，，
，，，
是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心.
故选：A.
【变式1】（25-26高一下·甘肃·期末）设是的外心，点满足，则是的（　　）
A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心
【答案】C
【详解】由题可得，
由于是的外心，设为线段的中点，
故且，即，
所以，同理，，故是的垂心．
故选：C.
【变式2】（25-26高一下·贵州贵阳·期末）已知O是斜三角形所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的________心．
【答案】垂
【详解】由
，
又因为，
，
，
所以，所以，
所以点P在的高线上，即P的轨迹过的垂心.
题型五 “四心”综合问题
答｜题｜模｜板 熟记三角形四心对应向量结论，区分重心、外心、内心、垂心的向量特征.将几何条件转化为向量等式、数量积或模长关系，结合线性运算化简.联动正余弦定理、三角公式解题，利用三角形边角范围约束取值，结合几何性质验证结果. 易｜错｜点｜拨 三角形内心和重心永远在三角形内部；外心和垂心：当三角形为锐角三角形，这两心在三角形的内部，当三角形为直角三角形，这两心在某边上；当三角形为钝角三角形时，这两心在三角形的外部.
【典例1】（25-26高一下·河北衡水·期末）已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④（其中a，b，c为中，角A，B，C所对的边）．则O依次是的（ ）
A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心
C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心
【答案】B
【详解】对于①，因为①，
所以点O到点A，B，C的距离相等，即点O为的外心；
对于②，因为，所以，
所以，即，同理，，
即点O为的垂心；
对于③，因为，所以，
设D为BC的中点，则，即点O为的重心；
对于④，因为，
故，整理得．
又，
所以．
因为，分别为，方向的单位向量，故AO与的角平分线共线．
同理与的角平分线共线，与的角平分线共线，
故点为的内心．
故选：B.
【典例2】（多选）（25-26高一下·云南昆明·期末）中，，点满足，设，则（ ）
A．若为的重心，则 B．若为的内心，则
C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则
【答案】ABC
【详解】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，，
对于A，若为的重心，则，，即，
所以，
若，则，解得，
此时，A说法正确；
对于B，若为的内心，由点到，的距离相等可知在上，
设内切圆的半径为，则，
即，解得，所以，，
若，则，解得，
此时，B说法正确；
对于C，若为的垂心，由可知在上，
设，则，解得，
所以，，
若，则，解得，
此时，C说法正确；
对于D，若为的外心，由可知在上，
设，则，即，解得，
所以，，
若，则，解得，
此时，D说法错误；
故选：ABC
【变式1】（25-26高一下·安徽合肥·期末）点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（ ）
A．点是的垂心 B．点是的重心
C．点是的外心 D．点是的内心
【答案】B
【分析】由已知判断点P在直线上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可.
【详解】记的中点为D，则，
所以，点P在直线上.
A选项：若点是的垂心，则，
所以，所以为等腰三角形，A正确；
B选项：若点是的重心，则点在边的中线上，无法推出，B错误；
C选项：若点是的外心，则点在边的中垂线上，
所以，所以为等腰三角形，C正确；
D选项：若点是的内心，则为的角平分线，
所以，
又，即,
故，D正确.
故选：B
【变式2】（25-26高一下·四川凉山·期末）已知为内任意一点，若满足，则称为的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（ ）
①若，则点为的重心；
②若，，，则；
③若，则点为的垂心；
④若，，且为边中点，则．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】设中点为，由已知等式可得，由重心性质可知①正确；取中点，中点，由已知等式可得，则可得与到直线距离之比，由此可知②正确；由可得，即，同理得，，由垂心定义知③正确；由已知等式可得，由此知④正确.
【详解】对于①，当时，；
设中点为，则，即，
为的重心，①正确；
对于②，当，，时，，，
取中点，中点，
，，，即，
到直线距离与到直线距离之比为：，即；
又为中点，点到直线距离，，
，即，②正确；
对于③，由得：，
，同理可得：，，
为的垂心，③正确；
对于④，当，，时，，，
又为边中点，，
又，，，④正确.
故选：D.
题型六 奔驰定理的应用
答｜题｜模｜板 先牢记奔驰定理核心结论，将面积比例转化为向量关系.依托定理实现向量与三角形面积、边角条件互化，结合向量运算化简式子.搭配正余弦定理、三角公式求解，利用角度范围、面积隐含条件校验结果，快速处理面积、比值类题型. 易｜错｜点｜拨 定理及其推论中的点仅能在三角形内部使用，解题时要多加注意
【典例1】（25-26高一下·江西南昌·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长交于点，延长交于点，延长交于点，根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解.
【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点.
由为的垂心，，且，
得，又，
则，，所以，
设，，则,即，，
所以，即，则，
所以，
则.
【典例2】如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由奔驰定理 .
结合已知 ，得 .
因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )，
所以 ， ， ，
因此边长 .
，，半周长 ，
由海伦公式， ，
又 ，，
由余弦定理， ，
代入正弦定理: ， .
故选：D
【变式1】（多选）（25-26高一下·广东·期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）

A．
B．O有可能是的重心
C．若O为的外心，则
D．若O为的内心，则为直角三角形
【答案】ACD
【详解】对于A，由奔驰定理得，
因为，，不共线，所以，故A正确；
对于B，若O是的重心，，因为，
所以，即O，B，C共线，故B错误；
对于C，当O为的外心时，，
所以，即，故C正确；
对于D，当O为的内心时，（r为内切圆半径），
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1. （25-26高一下·江苏宿迁·期末）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（ ）
A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
【答案】C
【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状.
【详解】如图，点是的中点，所以，
因为，即，即，
则点三点共线，且，所以点是的重心，
又，所以点是的外心，则，即，
所以，同理，则，
所以是等边三角形.
故选：C.
2. （25-26高一下·江西宜春·期末）已知为所在平面内的一点，，则为的
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【详解】
为的垂心，选D
3. （25-26高一下·海南海口·期末）已知O为锐角内一点满足，且，则为（ ）
A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】分析可知O为三角形外心，根据数量积可得，进而可得结果.
【详解】因为，可得O为三角形外心，
又因为，即，
又角为锐角，可得，
所以，故为等边三角形.
4．已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为
【答案】2
【详解】由奔驰定理得，解之得，故选C．
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1. （25-26高一下·福建宁德·期末）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心 重心 垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为是的重心，所以有，
故，
由欧拉线定理可得，即，故：
2. （25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）设不共线的的夹角为，定义运算．其中正确命题的个数为（ ）
①；②；③若，则；④若平面向量，，平面内动点满足，则动点的轨迹过的内心．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】对于①③④，由定义和向量相关概念可得①错误，③④正确；对于②，举出反例；
【详解】对于①，，，
因为不共线，故与肯定不相等，
所以不成立，①错误；
对于②，不妨设，，，
， ，
故，
，，
而，
，，
，
故，
，②错误；
对于③，，
若，则，
又，故，
由于不共线，不共线，要想上式成立，非零向量需共线，
设，，由于恒成立，故，③正确；
对于④，，，
故
，
，
而表示的平分线所在向量，
故点的轨迹所在直线过的内心，④正确.
3．已知是内的一点，满足，设，则实数 ， ．
【答案】
【详解】根据奔驰定理，得，
整理得．
4．已知D是所在平面内一点，且满足，则 ．
【答案】
【详解】
解法一：设，则，易得．

解法二：，
由奔驰向量定理得．
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1. （25-26高一下·上海青浦·期末）已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（ ）
①若，则为内心
②若，则为等腰三角形
③若，则为的外心
④若，则点的轨迹一定经过的重心
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用重心向量公式判断①；利用数量积运算律及定义求解判断②；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断③；设的中点为，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断④.
【详解】对于①：由得为重心，故①错误；
对于②：由得，
又，所以，所以为等腰三角形，故②正确；
对于③：由得，同理得，
所以为的垂心，故③错误；
对于④：取的中点为，所以，由正弦定理得，令，
则，所以，点的轨迹经过的重心，故④正确.
故选：B.
2. （25-26高一下·黑龙江大庆·期末）如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】通过向量的数量积化简后根据正弦定理将边转化为角，通过诱导公式及两角和的余弦公式解方程即可.
【详解】如图，取的中点D，由外心的性质可知，所以.
由可得.
对两边同时点乘，
得，
所以，
由，知，所以，
由正弦定理得，
所以.
在中，，所以，
又，
所以，
所以，解得.
3.（25-26高一下·辽宁沈阳·期末）在钝角三角形中，为钝角，为重心、外心、垂心、内心分别为、、、，（其中），当取最大值时，（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由在高线的延长线上可判断，对于、、，将转化为后根据、、的位置可判断何时取最大值.
【详解】对于垂心，设为边上的高，因为为钝角，故在的延长线上，
而，故，此时，
对于重心和内心，无论为何角，、都在三角形内部，
而，
故且，
设，则三点共线，且，
故共线且即.
对于外心，因为为钝角，故在的外部且在的异侧，
而，
故且，
设，则三点共线，且，
故共线且即.
故选：B.
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培优07 拓展专题之三：奔驰定理、三角形“四心”的 向量表示（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01重心问题 题型02内心问题 题型03外心问题 题型04垂心问题 题型05“四心”综合问题 题型06奔驰定理的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
三角形重心、内心、外心、垂心的向量表达式与判定 能默写四心向量公式，快速识别向量式对应的 “心” 常出现在小题高频：重心、奔驰定理，选择、填空为主，中等难度
奔驰定理公式、推论及面积比例应用 会用奔驰定理直接求面积比、系数比 易错：外心垂直平分、垂心垂直条件易混淆
四心与奔驰定理的综合 能解决四心综合向量题，不混淆判定条件 趋势：向量表达式 + 面积比例 + 坐标法结合考查
知识点01 三角形“四心”的概念
1.重心：中线的交点，重心将中线长度分成2∶1.
2.内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等.
3.外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.
4.垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.
知识点02 重心向量表示
设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论：
1.＋＋＝0.
2.＝＋＋).
3.若＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心.
4.若＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心.
知识点03 内心的向量表示
设P是△ABC的内心，则有以下结论：
1.｜｜＋｜｜＋｜｜＝0(或a＋b＋c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长.
2.＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的内心.
知识点04 外心的向量表示
设O是△ABC的外心，则有以下结论：
1.｜｜＝｜｜＝｜｜ ＝＝.
2.(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0.
3.动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的外心.
知识点05 垂心的向量表示
设O是△ABC的垂心，则有以下结论：
1.·＝·＝·.
2.｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2.
3.若动点P满足＝λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的垂心.
知识点06 奔驰定理
奔驰定理
如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
奔驰定理的证明
如图：延长与边相交于点
则
奔驰定理的推论
推论1：是内的一点,且,则
（1）；
（2）.
知识点07 奔驰定理与“四心”联系（“四心”在三角形内部）
奔驰定理是三角形“四心”向量式的完美统一，借助奔驰定理可以推导及证明三角形“四心”与向量的关系.
(1)是的重心
证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得
(2)是的内心
证明：，，（为内切圆的半径），所以
，再由奔驰定理可得.
(3)是的外心
；
证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得
（4）是的垂心：
证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得
.
题型一 重心问题
解｜题｜技｜巧 先确定某点是三角形的重心，再利用重心的向量表示转化求解.
【典例1】（25-26高一下·重庆沙坪坝·期末）在中，分别是边，的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（25-26高一下·浙江温州·期末）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过△ABC的（ ）
A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心
【变式1】（25-26高一下·四川成都·期末）在中，，，且，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【变式2】（25-26高一下·重庆·期末）已知O是内一点，，且，则的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
题型二 内心问题
答｜题｜模｜板 先确定某点是三角形的内心，再利用角平分线的性质求解，或者利用内心的向量表示转化求解.
【典例1】（25-26高一下·上海·期末）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【变式1】已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（ ）．
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式2】（25-26高一下·广东深圳·期末）已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（ ）．
A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心
题型三 外心问题
答｜题｜模｜板 若三角形内的某点O与三角形ABC各顶点构成的向量的模长相等，则该点为三角形的外心，此时常用以下点积为0转化求解问题：.(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0.
【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【典例2】（25-26高一下·上海浦东新·期末）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的________心．
【变式1】（25-26高一下·浙江绍兴·期末）在△ABC中，O为BC的中点，若，则动点M的轨迹必通过△ABC的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
题型四 垂心问题
解｜题｜技｜巧 1．·＝·＝·O是△ABC的垂心. 2.若点O为△ABC的垂心，则以下结论也成立：｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2.
【典例1】（25-26高一下·重庆·期末）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【变式1】（25-26高一下·甘肃·期末）设是的外心，点满足，则是的（　　）
A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心
【变式2】（25-26高一下·贵州贵阳·期末）已知O是斜三角形所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的________心．
题型五 “四心”综合问题
答｜题｜模｜板 熟记三角形四心对应向量结论，区分重心、外心、内心、垂心的向量特征.将几何条件转化为向量等式、数量积或模长关系，结合线性运算化简.联动正余弦定理、三角公式解题，利用三角形边角范围约束取值，结合几何性质验证结果. 易｜错｜点｜拨 三角形内心和重心永远在三角形内部；外心和垂心：当三角形为锐角三角形，这两心在三角形的内部，当三角形为直角三角形，这两心在某边上；当三角形为钝角三角形时，这两心在三角形的外部.
【典例1】（25-26高一下·河北衡水·期末）已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④（其中a，b，c为中，角A，B，C所对的边）．则O依次是的（ ）
A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心
C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心
【典例2】（多选）（25-26高一下·云南昆明·期末）中，，点满足，设，则（ ）
A．若为的重心，则 B．若为的内心，则
C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则
【变式1】（25-26高一下·安徽合肥·期末）点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（ ）
A．点是的垂心 B．点是的重心
C．点是的外心 D．点是的内心
【变式2】（25-26高一下·四川凉山·期末）已知为内任意一点，若满足，则称为的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（ ）
①若，则点为的重心；
②若，，，则；
③若，则点为的垂心；
④若，，且为边中点，则．
A．个 B．个 C．个 D．个
题型六 奔驰定理的应用
答｜题｜模｜板 先牢记奔驰定理核心结论，将面积比例转化为向量关系.依托定理实现向量与三角形面积、边角条件互化，结合向量运算化简式子.搭配正余弦定理、三角公式求解，利用角度范围、面积隐含条件校验结果，快速处理面积、比值类题型. 易｜错｜点｜拨 定理及其推论中的点仅能在三角形内部使用，解题时要多加注意
【典例1】（25-26高一下·江西南昌·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（ ）

A． B． C． D．
【变式1】（多选）（25-26高一下·广东·期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）

A．
B．O有可能是的重心
C．若O为的外心，则
D．若O为的内心，则为直角三角形
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1. （25-26高一下·江苏宿迁·期末）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（ ）
A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
2. （25-26高一下·江西宜春·期末）已知为所在平面内的一点，，则为的
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
3. （25-26高一下·海南海口·期末）已知O为锐角内一点满足，且，则为（ ）
A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
4．已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1. （25-26高一下·福建宁德·期末）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心 重心 垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2. （25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）设不共线的的夹角为，定义运算．其中正确命题的个数为（ ）
①；②；③若，则；④若平面向量，，平面内动点满足，则动点的轨迹过的内心．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知是内的一点，满足，设，则实数 ， ．
4．已知D是所在平面内一点，且满足，则 ．
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1. （25-26高一下·上海青浦·期末）已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（ ）
①若，则为内心
②若，则为等腰三角形
③若，则为的外心
④若，则点的轨迹一定经过的重心
A．1 B．2 C．3 D．4
2. （25-26高一下·黑龙江大庆·期末）如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3.（25-26高一下·辽宁沈阳·期末）在钝角三角形中，为钝角，为重心、外心、垂心、内心分别为、、、，（其中），当取最大值时，（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
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