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专题2.4 平面向量的数量积及其应用（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01定义法求数量积 题型02基底法求数量积及最值（范围） 题型03坐标法求数量积及最值（范围） 题型04极化恒等式求数量积及最值（范围） 题型05投影法求数量积及最值（范围） 题型06利用数量积求模 题型07利用数量积求夹角 题型08利用数量积求投影向量 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
求数量积 熟练运用定义法（模乘模乘夹角）、坐标法（横纵坐标积之和）、投影法（一个向量模乘另一向量在其上的投影）；能根据图形特征选择最优解法 每年必考，选择题、填空题高频，常与三角形、平行四边形结合，考查对数量积几何意义和代数运算的灵活应用
求数量积的最值与范围 掌握坐标化后转化为函数最值、利用几何意义（如投影长度的变化）结合图形分析、运用不等式（如均值不等式）求范围；注意动点轨迹对取值的影响 中等偏上难度，常在压轴小题出现，综合性强，需根据题目条件选择函数法、几何法或不等式法，数形结合是关键
求模长 掌握通过平方转化为数量积求模长；能利用坐标公式求模；会处理向量和差、线性运算后的模长问题 基础高频，常与数量积结合考查，选择题、填空题中多见，注意平方技巧的应用和模长的非负性
求夹角 熟练运用夹角公式，由数量积除以模长乘积得夹角余弦；能根据条件求数量积和模长后代入计算；注意夹角的范围是零到派 基础高频，选择题、填空题常考，有时在解答题中作为中间步骤，需准确计算并判断夹角是锐角、直角还是钝角（通过数量积正负号）
求投影向量 理解投影是向量，非标量；掌握投影向量的计算公式，即数量积除以投影方向向量的模的平方再乘以该方向向量；能区分投影（数量）与投影向量 常与数量积定义结合，注意概念辨析：投影数量可正可负
知识点01 平面向量数量积
1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，．
注意：数量积是数量，不是向量。
2、数量积满足的运算律
；（交换律）；（分配律）．
知识点02 平面向量数量积的应用
1、利用数量积求模长
如果知道，的模长，以及、向量夹角，则可以根据求向量的模长
2、利用数量积求夹角
根据可以求向量夹角的余弦值，从而可以求向量的夹角
3、向量的投影：
向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量
向量在上的投影向量模长：
知识点03 平面向量数量积的最值与范围
直接利用数量积公式求最值，两平面向量的数量积大小根据两个向量模长、夹角大小来确定，若模长固定，则可根据夹角大小来确定。
利用极化恒等式来求数量积的最值。
平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：.
极化恒等式
3、利用投影法求数量积的最值：根据数量积公式，如其中有一边为固定的长度，则直接根据（可看做是AC在AB边上的投影数量）来决定数量积的范围。
题型一 定义法求数量积
解｜题｜技｜巧 1、直接利用平面向量数量积的定义和运算律来求平面向量数量积 2、根据数量积公式，数量积大小由模长、夹角来决定，如果模长都是固定的，则可以通过夹角的大小决定数量积
【典例1】（25-26高一下·广东广州·期中）已知，，与的夹角为60°，则（ ）
A． B． C．36 D．72
【典例2】（25-26高一下·河南开封·阶段检测）设，，是单位向量，且，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式1】（25-26高一下·广西河池·期中）已知单位向量满足,（ ）
A．2 B． C． D．
【变式2】（2026·广东佛山·模拟预测）已知向量，，满足，，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型二 基底法求数量积及最值（范围）
答｜题｜模｜板 基底法求数量积：将所求的向量用一组已知模长和夹角的基底向量线性表示，然后利用数量积的分配律展开计算。
【典例1】（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，已知四边形，，，是的中点，，若，则的最小值为（ ）.

A． B． C． D．
【典例2】（25-26高一下·福建宁德·期中）如图，是以为直径的圆上的动点，已知，则的最大值是__________.
【变式1】（25-26高一下·福建宁德·期中）已知圆的半径为3，弦，是圆上的一个动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高一下·云南昆明·期中）在中，点满足，点是边上靠近的四等分点，与所成的夹角为，则的最大值为___________．
题型三 坐标法求数量积及最值（范围）
答｜题｜模｜板 通过建系设坐标的方式表示数量积，解决数量积的最值、范围问题
【典例1】（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，正方形的边长为2，分别为边 上的动点，若，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（25-26高一下·上海·期中）在直角梯形中，，，且，，对角线与交于点，点满足，则的取值范围是_____．
【变式1】（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）在梯形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，且，点F在线段AB上，且，平面内的动点P满足，则的最大值为_______．
【变式2】（2026·山东烟台·一模）已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
题型四 极化恒等式求数量积及最值（范围）
答｜题｜模｜板 用极化恒等式的信号： 出现一动点与两定点（或固定长度的两点）。 出现对角线长度已知的平行四边形。 已知两个向量的和向量与差向量的长度。
【典例1】（25-26高一下·湖南·月考）如图，点在边上，以为直径的半圆与等腰直角三角形的直角边都相切，是所在平面内一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【典例2】（25-26高一下·上海·期中）已知直角三角形，，斜边，是它的内切圆的一条弦，点为三角形三边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是________.
【变式1】（25-26高一下·吉林·月考）四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段AE上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式2】（2026高一·全国·专题练习）设是所在平面内的一点，若，则的最小值为________．
题型五 投影法求数量积及最值（范围）
答｜题｜模｜板 当两向量中有一个向量的模长已知，且能找到另一个向量到该向量的投影数量，则考虑用投影法去求数量积及最值或范围。
【典例1】（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，圆为的外接圆，，，则（ ）
A．10 B．20 C．26 D．52
【典例2】（25-26高一下·江苏泰州·期中）如图，将六个边长为1的小正方形拼成一个大长方形，是原来小正方形的两个顶点，是小正方形的其余顶点，的所有不同的数值有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式1】（25-26高一下·北京朝阳·期中）在Rt中，是斜边上的高，如图，则下列等式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（25-26高一下·上海·期中）设是边长为的等边及其内部的点构成的集合，点是的中心，集合，则的取值范围为________
题型六 利用数量积求模
答｜题｜模｜板 利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
【典例1】（25-26高一下·广西河池·期中）已知平面向量，满足，，且，则_________．
【典例2】（2026·湖北·三模）已知单位向量，，满足，则（ ）
A． B． C． D．2
【变式1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知向量，满足，，，若，，且，分别是在，上的投影向量，则的最小值为_____.
【变式2】（25-26高一下·浙江·期中）已知向量，满足，，若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型七 利用数量积求夹角
答｜题｜模｜板 利于向量数量积公式=来计算向量的夹角。 2、有关向量夹角的两个结论 (1)若与的夹角为锐角，则；若，则与的夹角为锐角或0. (2)若与的夹角为钝角，则；若，则与的夹角为钝角或π.
【典例1】（25-26高一下·天津南开·期中）已知，，，则向量与夹角为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，在梯形ABCD中，，CD=3，·=2·，且·=45，则∠BAD=____.
【变式2】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知平面内两个不共线的向量和，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型八 利用数量积求投影向量
答｜题｜模｜板 根据投影向量公式，向量在上的投影向量：，公式比较长，可以从几何角度去理解记忆，先求投影数量，再乘上单位向量。
【典例1】（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）两个非零向量满足，且，则在方向上投影向量的模为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【典例2】（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为________.
【变式1】（25-26高一下·湖南益阳·期中）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知平面向量满足，记在上的投影向量为，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）若向量满足，，则与夹角的余弦值为______．
3．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知向量，满足，设与的夹角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一下·江苏无锡·月考）如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________．
5．（25-26高一下·江苏·期中）在边长为2的菱形中，，E为中点，则的值为______．
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高一下·黑龙江辽宁·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高一下·广东中山·阶段检测）如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒，古建筑的窗户，古井口等.已知个边长均为的正六边形的摆放位置如图所示，为正六边形的顶点，是这个正六边形内部（包括边界）的动点，则的最大值为______________

5．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，已知是边长为2的正六边形内的一点（不含边界），为其中心，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．（25-26高一下·浙江·期中）已知半径为2的圆上有三点A，B，C，满足，点是圆上一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一下·北京·期中）设向量，，满足，，，则的取值不可能为（ ）
A． B．3 C． D．
3．（25-26高一下·黑龙江·期中）已知平面向量满足，非零向量满足，向量满足，则的最小值是__________.
4．（25-26高一下·四川成都·期中）已知为边长为的正三角形，为所在平面内动点，满足，则的取值范围为_____.
5．（25-26高一下·上海杨浦·期中）已知正六边形 的边长为 是其边上的动点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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专题2.4 平面向量的数量积及其应用（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01定义法求数量积 题型02基底法求数量积及最值（范围） 题型03坐标法求数量积及最值（范围） 题型04极化恒等式求数量积及最值（范围） 题型05投影法求数量积及最值（范围） 题型06利用数量积求模 题型07利用数量积求夹角 题型08利用数量积求投影向量 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
求数量积 熟练运用定义法（模乘模乘夹角）、坐标法（横纵坐标积之和）、投影法（一个向量模乘另一向量在其上的投影）；能根据图形特征选择最优解法 每年必考，选择题、填空题高频，常与三角形、平行四边形结合，考查对数量积几何意义和代数运算的灵活应用
求数量积的最值与范围 掌握坐标化后转化为函数最值、利用几何意义（如投影长度的变化）结合图形分析、运用不等式（如均值不等式）求范围；注意动点轨迹对取值的影响 中等偏上难度，常在压轴小题出现，综合性强，需根据题目条件选择函数法、几何法或不等式法，数形结合是关键
求模长 掌握通过平方转化为数量积求模长；能利用坐标公式求模；会处理向量和差、线性运算后的模长问题 基础高频，常与数量积结合考查，选择题、填空题中多见，注意平方技巧的应用和模长的非负性
求夹角 熟练运用夹角公式，由数量积除以模长乘积得夹角余弦；能根据条件求数量积和模长后代入计算；注意夹角的范围是零到派 基础高频，选择题、填空题常考，有时在解答题中作为中间步骤，需准确计算并判断夹角是锐角、直角还是钝角（通过数量积正负号）
求投影向量 理解投影是向量，非标量；掌握投影向量的计算公式，即数量积除以投影方向向量的模的平方再乘以该方向向量；能区分投影（数量）与投影向量 常与数量积定义结合，注意概念辨析：投影数量可正可负
知识点01 平面向量数量积
1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，．
注意：数量积是数量，不是向量。
2、数量积满足的运算律
；（交换律）；（分配律）．
知识点02 平面向量数量积的应用
1、利用数量积求模长
如果知道，的模长，以及、向量夹角，则可以根据求向量的模长
2、利用数量积求夹角
根据可以求向量夹角的余弦值，从而可以求向量的夹角
3、向量的投影：
向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量
向量在上的投影向量模长：
知识点03 平面向量数量积的最值与范围
直接利用数量积公式求最值，两平面向量的数量积大小根据两个向量模长、夹角大小来确定，若模长固定，则可根据夹角大小来确定。
利用极化恒等式来求数量积的最值。
平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：.
极化恒等式
3、利用投影法求数量积的最值：根据数量积公式，如其中有一边为固定的长度，则直接根据（可看做是AC在AB边上的投影数量）来决定数量积的范围。
题型一 定义法求数量积
解｜题｜技｜巧 1、直接利用平面向量数量积的定义和运算律来求平面向量数量积 2、根据数量积公式，数量积大小由模长、夹角来决定，如果模长都是固定的，则可以通过夹角的大小决定数量积
【典例1】（25-26高一下·广东广州·期中）已知，，与的夹角为60°，则（ ）
A． B． C．36 D．72
【答案】A
【详解】因为，，与的夹角为，
所以，
则.
【典例2】（25-26高一下·河南开封·阶段检测）设，，是单位向量，且，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【详解】由，，得，，．
【变式1】（25-26高一下·广西河池·期中）已知单位向量满足,（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】已知等式平方把模转化为数量积求得，然后再由数量积的运算律计算．
【详解】因为是单位向量，且，
所以，所以，
所以.
【变式2】（2026·广东佛山·模拟预测）已知向量，，满足，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先将用表示，通过平方运算求得，再代入所求数量积表达式计算结果.
【详解】由已知，移项得，两边同时取模平方，
得，
代入 ，得 ，解得，
将代入所求表达式：
，
.
题型二 基底法求数量积及最值（范围）
答｜题｜模｜板 基底法求数量积：将所求的向量用一组已知模长和夹角的基底向量线性表示，然后利用数量积的分配律展开计算。
【典例1】（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，已知四边形，，，是的中点，，若，则的最小值为（ ）.

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，结合题中已知条件得出，，，，通过，根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果.
【详解】解：令，因为，，，
所以，，
又因为是的中点，，所以，，，
故可得，，
所以
，
当时，取得最小值，
【典例2】（25-26高一下·福建宁德·期中）如图，是以为直径的圆上的动点，已知，则的最大值是__________.
【答案】2
【分析】由向量的几何意义可知，=，求解最大，即可根据不等式求解求得最值.
【详解】如图，先将视为定点，设，则，
连接，则，
过作的平行线交圆于，交于，且为垂足，
又知当在同侧时，取最大值，
设在的投影为，
当确定时，为定点，则当落在处时，最大，
由向量的几何意义可知，=，最大时为，
又,，
∴最大为 ,当且仅当时等号成立，即，
∴的最大值为2.
【变式1】（25-26高一下·福建宁德·期中）已知圆的半径为3，弦，是圆上的一个动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】取的中点，则，,
所以 ，
因为，所以.
【变式2】（25-26高一下·云南昆明·期中）在中，点满足，点是边上靠近的四等分点，与所成的夹角为，则的最大值为___________．
【答案】
【分析】先用表示，换元简化向量，再利用已知条件转化向量关系，最后计算最大值.
【详解】由题意因为，所以
点是边上靠近的四等分点，故，
联立，解得
已知与所成的夹角为，可得，
这是关于的二次函数，开口向下，最大值在顶点处：，
此时，
故答案为：.
题型三 坐标法求数量积及最值（范围）
答｜题｜模｜板 通过建系设坐标的方式表示数量积，解决数量积的最值、范围问题
【典例1】（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，正方形的边长为2，分别为边 上的动点，若，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】法一：如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，设出P、Q点坐标，根据数量积公式，可得m，n的关系，结合基本不等式，整理计算，即可得答案；法二：设，则∠BCP＝，根据三角函数的定义，可得CQ、CP的长，根据数量积公式，结合余弦函数的图象与性质，分析求解，即可得答案.
【详解】法一： 建立以A为坐标原点，为轴，为轴的平面直角坐标系，
则，设，
所以，则，
又，
则有，
令，，则，
左右同时平方得，
则，整理得，
所以，又，所以，
则，即，
解得，或（舍去），
又，且，
所以，即，
综上所述.
法二：设，则∠BCP＝，
∵正方形ABCD的边长为2，，
∴.
∴，
∵，则，
∴，
∴.
【典例2】（25-26高一下·上海·期中）在直角梯形中，，，且，，对角线与交于点，点满足，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】法1：建立平面直角坐标系，求得，结合，即可求解；
法2：根据，得到的长，由向量的线性运算得到，求得，结合，即可求解．
【详解】法1：以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，可得，
所以，，
因为，且，，所以，
又因为，
可得，
所以，因为，可得，
所以的取值范围是．
法2：因为，可得，
又因为，可得，
所以，所以，
由，且相似比为，可得，
所以，
因为，
所以
，
由，可得，所以的取值范围是．
【变式1】（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）在梯形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，且，点F在线段AB上，且，平面内的动点P满足，则的最大值为_______．
【答案】
【分析】根据得到，再以A为原点建立直角坐标系，再根据向量数量积求解即可.
【详解】由得，.
以为原点，为轴建立直角坐标系，则，.
设，则.
由得：，即 ①；
由，相似比得 ，
故 ，即 ②.
②-①得：
，代入①得 ，因此，.
由得，动点满足，
故轨迹为以为圆心，半径1的圆.
设，为与x轴的夹角.
进而， ，
所以，其中.
故的最大值为.
【变式2】（2026·山东烟台·一模）已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【详解】以点为原点建立如图所示直角坐标系，
因为，，，
所以，
因为，所以点在以为圆心，半径为1的圆上，
设点，
因为，所以，
所以，解得，
所以，
所以
，
所以当时，取得最大值为.
题型四 极化恒等式求数量积及最值（范围）
答｜题｜模｜板 用极化恒等式的信号： 出现一动点与两定点（或固定长度的两点）。 出现对角线长度已知的平行四边形。 已知两个向量的和向量与差向量的长度。
【典例1】（25-26高一下·湖南·月考）如图，点在边上，以为直径的半圆与等腰直角三角形的直角边都相切，是所在平面内一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】取MN的中点为点O，通过作适当的辅助线求出圆的半径，然后利用极化恒等式进行求解.
【详解】设为的中点，作垂直于BC于点D，OE垂直于AB于点E，则四边形OEBD为正方形，
设，在中, ，
即，解得，
则，
，
当且仅当与重合时等号成立，所以的最小值为.
【典例2】（25-26高一下·上海·期中）已知直角三角形，，斜边，是它的内切圆的一条弦，点为三角形三边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是________.
【答案】
【分析】先求出内切圆的半径，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据条件，将问题转化成，再求出的最大值和最小值，即可求解.
【详解】由题知，设内切圆的半径为，
则，得到，解得，
如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，
则内切圆的圆心为，又是它的内切圆的一条弦，当弦的长度最大时，是内切圆的直径，
则，
又，圆与三角形各边均相切，
所以，又，且点为三角形三边上的动点，
所以，则，所以的取值范围是.
【变式1】（25-26高一下·吉林·月考）四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段AE上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系.
则，，，.
设，.
则，
，
所以，
所以当时，取得最小值，为.
故答案B正确.
【变式2】（2026高一·全国·专题练习）设是所在平面内的一点，若，则的最小值为________．
【答案】
【分析】因为，由向量的线性运算可得，又因为整理可得，由此得到的最小值为.
【详解】
因为
如图所示设中点为，则，
所以；
设中点为,
当且仅当，即点与点重合时，有最小值.
故答案为：.
题型五 投影法求数量积及最值（范围）
答｜题｜模｜板 当两向量中有一个向量的模长已知，且能找到另一个向量到该向量的投影数量，则考虑用投影法去求数量积及最值或范围。
【典例1】（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，圆为的外接圆，，，则（ ）
A．10 B．20 C．26 D．52
【答案】C
【分析】取、中点、，连接、，可得，
，再利用数量积公式计算即可得.
【详解】取、中点、，连接、，
由垂径定理可知，、，
则
.
【典例2】（25-26高一下·江苏泰州·期中）如图，将六个边长为1的小正方形拼成一个大长方形，是原来小正方形的两个顶点，是小正方形的其余顶点，的所有不同的数值有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】根据条件，求出在上的投影数量，再利用数量积的几何意义，即可求解.
【详解】由图可知，所以，
因为在上的投影数量为，且，所以，
又在上的投影数量为，所以，
综上所述，的所有不同的数值有个.
【变式1】（25-26高一下·北京朝阳·期中）在Rt中，是斜边上的高，如图，则下列等式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】借助数量积公式计算可得A、B、C；借助等面积法计算可得D.
【详解】对A：，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：，故C错误；
对D：由，则，
又，，
则，故D正确.
【变式2】（25-26高一下·上海·期中）设是边长为的等边及其内部的点构成的集合，点是的中心，集合，则的取值范围为________
【答案】
【分析】利用等边三角形的几何性质，结合向量的运算即可求解.
【详解】如图，设为各边三等分点，根据等边三角形可知，相交于中心点，
根据等边三角形可知：四边形是菱形，则由菱形的对角线互相垂直平分可得：是线段的垂直平分线，
所以当时，动点一定在上，同
理，当时，动点一定在上，当时，动点一定在上，
所以当时，结合点在三角形的内部，
可得集合为正六边形及其内部区域，
所以当与重合时，，即可取到最小值，
当与重合时，，即可取到最大值，
因此的取值范围为.
题型六 利用数量积求模
答｜题｜模｜板 利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
【典例1】（25-26高一下·广西河池·期中）已知平面向量，满足，，且，则_________．
【答案】
【分析】利用向量数量积的运算律，由，得到 ，再结合求出.
【详解】由,
又，所以；
又
所以，，，.
【典例2】（2026·湖北·三模）已知单位向量，，满足，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】由题意可得，根据模长结合数量积运算律可得，进而可得，即可得模长.
【详解】由题意可知：，
因为，即，
则，
即，可得，
则，所以.
【变式1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知向量，满足，，，若，，且，分别是在，上的投影向量，则的最小值为_____.
【答案】
【分析】由题可得，，然后由向量模长公式可得，据此可得答案.
【详解】，，类似可得，
，
当且仅当时等号成立.
【变式2】（25-26高一下·浙江·期中）已知向量，满足，，若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意知：,
,
当且仅当时，.
题型七 利用数量积求夹角
答｜题｜模｜板 利于向量数量积公式=来计算向量的夹角。 2、有关向量夹角的两个结论 (1)若与的夹角为锐角，则；若，则与的夹角为锐角或0. (2)若与的夹角为钝角，则；若，则与的夹角为钝角或π.
【典例1】（25-26高一下·天津南开·期中）已知，，，则向量与夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量模长公式，结合向量数量积的定义及运算律计算夹角即可．
【详解】设向量与的夹角为，
则.
因为，，代入可得：
，解得，
因为，故．
【典例2】（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】已知，则
，
解得，
设向量与的夹角为，则．
【变式1】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，在梯形ABCD中，，CD=3，·=2·，且·=45，则∠BAD=____.
【答案】
【分析】利用向量数量积的分配律化简已知等式，推导出，再结合向量加法的三角形法则与数量积公式，建立关于的方程求解，进而求出，得到.
【详解】设，由，得，
即，所以，
所以|，所以，即.
又，
解得，所以，又，所以，即.
【变式2】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知平面内两个不共线的向量和，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先将的模求出，运用向量的数量积的性质求出的范围.
【详解】因为，所以，又，且和的夹角为，
所以，
由题意可知，且与不共线，
由，得出，解得，
如果与反向共线，则，
综上所述.
题型八 利用数量积求投影向量
答｜题｜模｜板 根据投影向量公式，向量在上的投影向量：，公式比较长，可以从几何角度去理解记忆，先求投影数量，再乘上单位向量。
【典例1】（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）两个非零向量满足，且，则在方向上投影向量的模为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积的定义及投影向量的计算公式即可求解．
【详解】，
则在方向上投影向量的模，
又，所以在方向上投影向量的模为．
【典例2】（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为________.
【答案】
【详解】∵向量，的夹角为，且，，
∴，向量在向量上的投影向量为.
【变式1】（25-26高一下·湖南益阳·期中）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取中点，结合向量关系式推得共线，依托外心性质判定三角形为等腰三角形，利用边长算出顶角为60°，再套用投影向量公式计算得出结果。
【详解】设的中点为，由向量中点公式得.
由条件，得，
故，，三点共线，且在中线上.
因为是的外心，所以垂直平分，即，.
设外接圆半径为，则，，.
在中，，，故，即.
所以，由圆心角与圆周角关系得，因此为等边三角形.
向量在上的投影向量为.
设，则，代入得投影向量为.
【变式2】（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知平面向量满足，记在上的投影向量为，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】代入投影向量公式求解.
【详解】在上的投影向量为，
所以.
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，得到是的中点，再由得到是等边三角形，作即可求解.
【详解】，，
是的外接圆圆心，是中点，
又，所以是等边三角形，，
设，则，作于H，则，
所以，
即为向量在向量上的投影向量，，
2．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）若向量满足，，则与夹角的余弦值为______．
【答案】
【详解】设与的夹角为，由
得
两式相加得＝1，则，则，得．
3．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知向量，满足，设与的夹角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，
，
所以，
，当且仅当，即时取等号，最小值为．
4．（25-26高一下·江苏无锡·月考）如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________．
【答案】
【分析】建立直角坐标系，根据向量夹角的余弦值求解即可.
【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
则，，是中点，故；
由，，得；
是上靠近的四等分点，
由定比分点公式得 .
为向量与的夹角，所以.
因为，，
所以，
，.
进而．
5．（25-26高一下·江苏·期中）在边长为2的菱形中，，E为中点，则的值为______．
【答案】1
【详解】如图所示,在边长为2的菱形中，，E为中点，
所以 ，
，
，
，
.
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高一下·黑龙江辽宁·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案.
【详解】取的中点，连接，
则，，
两式分别平方再相减得，
设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2，
当与或重合时，最大，最大值为，
所以.
2．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设可得，建立平面直角坐标系，根据，设出点P坐标，利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换即可求解．
【详解】在中，由，可得，
根据，得，，
以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，，则，
设为平面内满足的点，
则有，，
则，
由于P在单位圆上，可设，，
则，
故的取值范围为
故选:A
3．（25-26高一下·广东中山·阶段检测）如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数量积的几何意义结合已知图形得出的最值，再利用数量积即可求出.
【详解】，
由投影的定义知，结合图形得，
当过P的直线与半圆弧相切于P点且平行于BC时，最大为，
此时；
当P与C或B点重合时，最小为，
此时，
∴.
4．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒，古建筑的窗户，古井口等.已知个边长均为的正六边形的摆放位置如图所示，为正六边形的顶点，是这个正六边形内部（包括边界）的动点，则的最大值为______________

【答案】
【分析】过C作交延长线于E点，则，结合图象，当位于点时，取得最大值，求此时的数量积即可.
【详解】

如图，过作交延长线（或反向延长线）于点，
则，
因为个正六边形的边长均为，如图，当位于点时，取得最大值，
此时，，，
则此时，即.
5．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，已知是边长为2的正六边形内的一点（不含边界），为其中心，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正六边形的对称性，结合平面向量数量积的几何意义进行求解即可.
【详解】由正六边形的对称性可知，易知正六边形的每个内角为.
设与的夹角为，则，
所以当最大时，取得最大值；
当最小时，取得最小值.
可知当与重合时，取得最大值，
，此时..
当与重合时，取得最小值，此时，
此时，故的取值范围为.
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．（25-26高一下·浙江·期中）已知半径为2的圆上有三点A，B，C，满足，点是圆上一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以圆心为原点建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算将所求表达式转化为与圆心和点相关的形式，再结合正弦函数的性质求解取值范围.
【详解】以圆心为原点建立平面直角坐标系，设，则，
设，则，且在圆上，满足，
两式相减得，解得，
不妨取，
设，则，
，
所以
，
，
相加得
，
，
因为，
所以，即，
所以，所以，
所以的取值范围为.
2．（25-26高一下·北京·期中）设向量，，满足，，，则的取值不可能为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】取平面内一点 作为共同起点，分别作 ，，，把向量条件转化为点 ，， 的位置关系．由，先求出和，再由转化为．利用固定弦所对圆周角确定点的轨迹，从而得到的取值范围，再判断各选项．
【详解】取平面内一点 作为共同起点，分别作 ，，．
因为，，所以
所以．
又
所以．
由可知，向量与的夹角为，即．
因为是定长，且，所以点在以为弦、圆周角为的圆弧上．
设相应圆的半径为，则
所以
这样的圆有两个．其中一个圆就是以为圆心、半径为的圆，在该圆对应的圆弧上，．
另一个圆的圆心记为，它与在直线的两侧，
可推得该圆心与点的距离，且该圆半径．
在这个圆对应的圆弧上，从端点附近的连续变化到最大值．
因此的可能取值不超过，且，，均可以取到，而
所以的取值不可能为．

3．（25-26高一下·黑龙江·期中）已知平面向量满足，非零向量满足，向量满足，则的最小值是__________.
【答案】
【分析】先由已知单位向量与的数量积求出与夹角为,再设各向量对应定点,利用得出点的轨迹是以为圆心、半径为1的圆,将转化为定点到动点的距离,过圆心作的垂线,在直角三角形中求出垂线段长,减去圆半径即可得到的最小值.
【详解】因为非零向量满足.
所以向量与的夹角为，设，
则.
所以有，则，所以点的轨迹为以为圆心的圆.
过点，作，垂足为，交圆于点.
根据图象可得出即为的最小值.
在中，有，所以有.
又，所以.
4．（25-26高一下·四川成都·期中）已知为边长为的正三角形，为所在平面内动点，满足，则的取值范围为_____.
【答案】
【分析】先建立坐标系化简条件得到点的运动轨迹，利用数量积的坐标运算求解.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系：
则正三角形坐标为，，，设动点.
则.
由，平方化简得，即的轨迹是以重心为圆心，半径的圆.
，，因此，
圆上点的横坐标范围为圆心横坐标加减半径，即，因此.
即的取值范围是.
5．（25-26高一下·上海杨浦·期中）已知正六边形 的边长为 是其边上的动点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过作直线，分别延长交直线于点，则在直线上的射影在线段上，利用数量积的定义可得结论.
【详解】是正六边形，则，
所以，
，则，
过作直线，则，分别延长交直线于点，
则是矩形，，
作于，由图可知，当在正六边形的边上移动时，在线段之间移动， ，
又由向量夹角定义知，
，
当在线段时，，当在线段时，，
所以.
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