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专题2.8 解三角形中算两次法及四边形计算（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01中线模型的应用 题型02角分线模型的应用 题型03其他一线分两角模型的应用 题型04布洛卡点模型 题型05四边形模型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
中线模型 掌握中线将三角形分成两个面积相等的小三角形；能利用邻补角余弦互补关系或向量法建立中线与边长的方程；会求中线长及中线取值范围 高频考点，常在解答题第二问出现，与向量、基本不等式结合考查最值问题，需注意中线公式的推导与灵活运用
角分线模型 理解角平分线分对边成比例（角平分线定理）；能利用面积比或余弦定理建立角平分线长度的方程；会求角平分线长及取值范围 中等难度，常与余弦定理结合考查，角平分线定理是转化比例关系的关键，需注意比例与面积的对应关系
其他一线分两角模型 掌握从顶点出发任意分线将对边分成两段，在两个小三角形中分别使用正弦定理或余弦定理，通过公共边或公共角建立等量关系；能处理定比分点问题 拓展内容，高一考查较少，多在压轴题中出现，重点考查利用正弦定理消元、构造比例方程的能力
布洛卡点模型 理解布洛卡点的定义（三个相等角）；能利用内角和表示各角，结合正弦定理推导布洛卡角的基本恒等式；会解决布洛卡角取值、形状判断等问题 创新题热点，常以新定义形式出现在压轴题中，考查从几何条件抽象出三角方程并恒等变形的综合能力
四边形模型 掌握连接对角线将四边形分割为两个三角形，利用公共边或邻补角关系，多次使用正余弦定理建立方程组；能求解四边形边长、角度、对角线或面积 综合题型，常在解答题中出现，需具备图形分解能力，关键是通过“算两次”思想沟通两个三角形的条件
知识点01 解三角形中的中线模型
1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和：
换成三角形的中线，则有
2、可以通过向量法,两边平方后可得)
知识点02 解三角形中的角分线模型
1、面积法：如图三角形中，
化简有
2、角分线张角定理：若为角分线，则，则化简上式有
3、斯库顿定理：若为角分线，有
知识点03 算两次思想
当问题涉及多个三角形（共边、共角、四边形等），无法在一个三角形内直接求解时，通过在不同的三角形中分别使用正余弦定理或面积公式，得到关于同一几何量的不同表达式，然后建立方程求解未知量。
1、使用双正弦定理：在公共边所对的两个不同三角形中，分别应用正弦定理，用公共边表示出其他边或角，然后利用角度关系（互补、互余）建立等式。
2、使用双余弦定理：在公共边所在的两个三角形中，分别用余弦定理表示公共边的平方（或某角的余弦），通过两式相等或加减消元，得到关于其他边角的关系。
3、联立正余弦定理：在一个三角形中用正弦定理，在另一个三角形中用余弦定理，分别表达同一量（如公共边、公共角），联立后消去冗余变量，化简求解。
4、联立正余弦定理与面积公式：先用正弦或余弦定理得到边长关系，再用面积公式（如两边夹角面积或海伦公式）建立另一组方程；或将面积用不同底高表达两次，结合正余弦定理求解高线、角平分线等。
题型一 中线模型的应用
解｜题｜技｜巧 中线将三角形分成两个小三角形，通过在两个小三角形中分别使用余弦定理，建立中线与两边及夹角的关系。常用方法： 1、在包含中线的两个小三角形中，利用邻补角互补（余弦值互为相反数），联立方程求解中线长度。此法适用于已知两边及其夹角，或已知两边及第三边的情形。 2、向量法：若已知两边向量，中线向量等于两边向量和的一半，两边平方即可得中线长的平方表达式，直接转化为已知边角的关系。
【典例1】（多选）（2026·西藏日喀则·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，，为边上的中线，且，则（ ）
A． B．
C．的面积为 D．
【典例2】（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）记三角形的内角，，的对边分别为，，，的面积为S．
已知．
(1)求；
(2)若，点是线段的中点，求线段的最大值．
【变式1】（25-26高一下·福建三明·期中）已知，其内角的对边分别为，且 ．
(1)求；
(2)，D是BC的中点，求AD的长．
【变式2】（25-26高一下·四川绵阳·期中）在中，角的对边分别为．已知且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，线段的中点为，求的长．
题型二 角分线模型的应用
答｜题｜模｜板 利用角平分线定理将对边分成与邻边成比例的两段，再结合余弦定理或向量法建立方程求解。 常用方法一：在角平分线分出的两个小三角形中，分别用余弦定理表示邻边与角平分线的长度，结合两邻补角余弦值互为相反数的关系，联立消元求解。 常用方法二：利用角平分线性质，将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，通过面积公式建立方程，直接解出角平分线长度。 适用范围：已知两边及夹角、已知三边或已知其他边角关系时，均可选用上述方法，角平分线定理是转化比例关系的关键。
【典例1】（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，角的对边分别为，若是的角平分线，点在上，，则（ ）
A． B． C． D．4
【典例2】（25-26高一下·山西晋中·期中）已知中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则________．
【变式1】（25-26高一下·安徽池州·期中）在中，角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)若，解答下列问题：
①当的面积为时，求AC边上的中线长；
②若点D在边上，且平分，求的取值范围．
【变式2】（25-26高一下·重庆·期中）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，的角平分线交于点，求线段的长度.
题型三 其他一线分两角模型的应用
答｜题｜模｜板 在两个小三角形中分别使用正弦定理或余弦定理，通过公共边（分线）或公共角（顶角被分成的两部分）建立等量关系。 利用正弦定理：分线将顶角分成两个已知角（或已知比例），在两个小三角形中分别用正弦定理表示公共边的长度，然后消去公共边得到关于边长比例或角度的方程。 利用余弦定理：在分线两侧的两个三角形中分别对公共边使用余弦定理，得到两个表达式，通过相等关系建立方程。 结合面积比：两小三角形面积比等于被分对边长度比（等高），也等于两边乘积与夹角正弦乘积之比，可用于建立比例方程。
【典例1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．
(1)若，求的长；
(2)若，的面积为，求的值．
【典例2】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点为边上靠近点的三等分点，，．
(1)若，求的面积；
(2)当时，求的长；
(3)要使得取最小值时，请帮设计师计算此时的长．
【变式1】（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图，在中，为边上一点，且.
(1)若.
（i）求；
（ii）求的面积；
(2)求的取值范围.
【变式2】（25-26高一下·浙江·期中）如图，已知为三个内角的对边，为边上一点，且.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)求的取值范围.
题型四 布洛卡点模型
答｜题｜模｜板 利用布洛卡点的定义构造等角关系，结合三角形内角和将各角用已知角和布洛卡角表示，然后在三个小三角形中分别使用正弦定理，建立边长的比例关系，通过代数消元得到关于布洛卡角的三角恒等式
【典例1】（25-26高一下·广东广州·期中）在内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角.小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：
(1)求证：正的外心是的布洛卡点；
(2)若满足，且时，求；
(3)角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，若的周长为4，试把表示为b的函数，并求的值域.
【典例2】（多选）（25-26高一下·江苏盐城·期中）三角形的布洛卡点由法国数学家布洛卡首次发现，当内一点P满足条件：时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在斜中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S，点P是△ABC的布洛卡点，布洛卡角为，则（ ）

A．当时，
B．当且时，
C．当时，
D．当时，是等边三角形
【变式1】（2026·安徽合肥·模拟预测）三角形的布洛卡点由法国数学家布洛卡首次发现，当内一点P满足时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在斜中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S，点P是的布洛卡点，布洛卡角为．
(1)证明：当时，；
(2)当且时，求的值；
(3)证明：当时，是等边三角形．
【变式2】（25-26高一下·河北石家庄·期中）布洛卡点是三角形内部的一个特殊的点，由法国数学家亨利 布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角．如图，在中，记它的三个内角分别为，，，其对边分别为，，，的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题：
(1)若，且，求；
(2)若，的面积为
①求；
②的外接圆上任一点为，试探究是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由．
题型五 四边形模型
答｜题｜模｜板 连接对角线将四边形分割为两个三角形，分别应用正余弦定理，利用公共边（对角线）或公共角（邻补角）建立等量关系，即“算两次”思想。若已知四边及一角，可沿对角线分拆，在两三角形中分别用余弦定理表示对角线长度，联立方程求解未知角；若涉及外接圆，则对角互补，可用正弦定理求对角线或外接圆半径。
【典例1】（25-26高一下·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）如图，在四边形，，，，.
(1)若，，求；
(2)求的值.
【变式1】（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的面积为.
(1)求的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围；
(3)如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值.
【变式2】（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在平面凸四边形中，．
(1)若．
①求的长；
②求四边形的面积；
(2)若，求的长．
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高一下·福建莆田·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足.
(1)若，的面积为，且，求、；
(2)在（1）的条件下，D为的中点，求中线的长.
2．（25-26高一下·江苏连云港·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，的面积，线段中点为，求的长.
3．（2026·江苏苏州·二模）已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则_________，点为边上一点，且，则的面积为_________．

5．（多选）（25-26高一下·湖北襄阳·期中）在中，D在线段AB上，且，，若，，则（ ）
A． B．的面积为8
C．的周长为 D．为钝角三角形
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高一下·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一下·安徽安庆·期中）如图，四边形ABCD中，是等边三角形.
(1)当时，求四边形ABCD的面积；
(2)若E，G分别是边AB，BD的中点，连接CE，EG，CG，设.
①试用表示；
②求CE长的最大值.
3．（2026·湖南怀化·二模）在中，为边上一点，．
(1)若，，求的长；
(2)求的值．
4．（25-26高一下·江苏盐城·期中）中，为边延长线上一点，，，，且的面积为，若点在线段上，满足，则的值为________.
5．（25-26高一下·江西抚州·期中）若内一点P，满足，称点P为的布洛卡点，β为的布洛卡角．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，β为的布洛卡角，P为的布洛卡点，若，，则______．
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知分别为的内角所对的边，.
(1)求；
(2)三角形的布洛卡点是法国数学家布洛卡于1816年首次发现：当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角.若，，为的布洛卡角，求.
2．（25-26高一下·重庆·阶段检测）若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．
(1)若，，求的值；
(2)若为锐角三角形，
①若，求的值；
②若，求的取值范围．
3．（25-26高一下·广东揭阳·期中）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，．
(1)若，，且，求；
(2)若，且，求的最大值．
4．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图，四边形满足，且.
(1)求的大小；
(2)当时，求的正切值.
5．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图，在平面四边形中，．
(1)希腊数学家克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料．
①若，求的最小值；
②若为正三角形，则当线段BD的长取最大值时，求．
(2)当为正三角形时，求面积的最大值．
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专题2.8 解三角形中算两次法及四边形计算（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01中线模型的应用 题型02角分线模型的应用 题型03其他一线分两角模型的应用 题型04布洛卡点模型 题型05四边形模型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
中线模型 掌握中线将三角形分成两个面积相等的小三角形；能利用邻补角余弦互补关系或向量法建立中线与边长的方程；会求中线长及中线取值范围 高频考点，常在解答题第二问出现，与向量、基本不等式结合考查最值问题，需注意中线公式的推导与灵活运用
角分线模型 理解角平分线分对边成比例（角平分线定理）；能利用面积比或余弦定理建立角平分线长度的方程；会求角平分线长及取值范围 中等难度，常与余弦定理结合考查，角平分线定理是转化比例关系的关键，需注意比例与面积的对应关系
其他一线分两角模型 掌握从顶点出发任意分线将对边分成两段，在两个小三角形中分别使用正弦定理或余弦定理，通过公共边或公共角建立等量关系；能处理定比分点问题 拓展内容，高一考查较少，多在压轴题中出现，重点考查利用正弦定理消元、构造比例方程的能力
布洛卡点模型 理解布洛卡点的定义（三个相等角）；能利用内角和表示各角，结合正弦定理推导布洛卡角的基本恒等式；会解决布洛卡角取值、形状判断等问题 创新题热点，常以新定义形式出现在压轴题中，考查从几何条件抽象出三角方程并恒等变形的综合能力
四边形模型 掌握连接对角线将四边形分割为两个三角形，利用公共边或邻补角关系，多次使用正余弦定理建立方程组；能求解四边形边长、角度、对角线或面积 综合题型，常在解答题中出现，需具备图形分解能力，关键是通过“算两次”思想沟通两个三角形的条件
知识点01 解三角形中的中线模型
1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和：
换成三角形的中线，则有
2、可以通过向量法,两边平方后可得)
知识点02 解三角形中的角分线模型
1、面积法：如图三角形中，
化简有
2、角分线张角定理：若为角分线，则，则化简上式有
3、斯库顿定理：若为角分线，有
知识点03 算两次思想
当问题涉及多个三角形（共边、共角、四边形等），无法在一个三角形内直接求解时，通过在不同的三角形中分别使用正余弦定理或面积公式，得到关于同一几何量的不同表达式，然后建立方程求解未知量。
1、使用双正弦定理：在公共边所对的两个不同三角形中，分别应用正弦定理，用公共边表示出其他边或角，然后利用角度关系（互补、互余）建立等式。
2、使用双余弦定理：在公共边所在的两个三角形中，分别用余弦定理表示公共边的平方（或某角的余弦），通过两式相等或加减消元，得到关于其他边角的关系。
3、联立正余弦定理：在一个三角形中用正弦定理，在另一个三角形中用余弦定理，分别表达同一量（如公共边、公共角），联立后消去冗余变量，化简求解。
4、联立正余弦定理与面积公式：先用正弦或余弦定理得到边长关系，再用面积公式（如两边夹角面积或海伦公式）建立另一组方程；或将面积用不同底高表达两次，结合正余弦定理求解高线、角平分线等。
题型一 中线模型的应用
解｜题｜技｜巧 中线将三角形分成两个小三角形，通过在两个小三角形中分别使用余弦定理，建立中线与两边及夹角的关系。常用方法： 1、在包含中线的两个小三角形中，利用邻补角互补（余弦值互为相反数），联立方程求解中线长度。此法适用于已知两边及其夹角，或已知两边及第三边的情形。 2、向量法：若已知两边向量，中线向量等于两边向量和的一半，两边平方即可得中线长的平方表达式，直接转化为已知边角的关系。
【典例1】（多选）（2026·西藏日喀则·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，，为边上的中线，且，则（ ）
A． B．
C．的面积为 D．
【答案】ACD
【分析】先通过正余弦定理边角互化求得角的大小，再结合中线的条件，分别在,中利用正弦定理、余弦定理、面积公式逐一验证选项。
【详解】因为，所以由正弦定理得，所以，所以由余弦定理得，所以，所以由正弦定理得 ，又，所以，又，所以．
在中，由正弦定理得，即，所以，又，所以，A正确；
由得，所以，则，B错误；
的面积为，C正确；
在中，由余弦定理得，所以，D正确，故选ACD．
【典例2】（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）记三角形的内角，，的对边分别为，，，的面积为S．
已知．
(1)求；
(2)若，点是线段的中点，求线段的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理，推得，结合内角范围，即可求得角；
（2）由余弦定理可得，由平方结合向量数量积运算，得，利用正弦定理结合三角恒等变换求得的范围，进而求得答案.
【详解】（1）由，则，
化简得，又，故.
（2）由余弦定理可得，即，
又，
所以
，
又由正弦定理可得，
所以，，
所以
，
由题意得，则，所以，
所以，所以，所以线段最大值为.
【变式1】（25-26高一下·福建三明·期中）已知，其内角的对边分别为，且 ．
(1)求；
(2)，D是BC的中点，求AD的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合展开化简，求得，再结合可得；
（2）由面积公式求，用余弦定理求，再次在中用余弦定理，得AD的长.
【详解】（1）由题意和正弦定理得 ，
且 ，
即 ，
得，且，则，
可得且，所以.
（2）如图：

因为
由 所以 解得，
在中，由余弦定理得
则又D为BC边上的中点，所以
在中，由余弦定理得，则
在中，由余弦定理得
所以
【变式2】（25-26高一下·四川绵阳·期中）在中，角的对边分别为．已知且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，线段的中点为，求的长．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据向量平行得到方程，结合正弦定理得，求出答案；
（2）根据三角形面积和余弦定理可得关系式，再利用向量基本定理可得，两边平方后，计算出答案
【详解】（1），故，
由正弦定理得，
又，
故，
即，
因为，所以，故，
因为，所以；
（2）由，可得，
由余弦定理得，即，
故，
线段的中点为，故，两边平方得
，
故；
题型二 角分线模型的应用
答｜题｜模｜板 利用角平分线定理将对边分成与邻边成比例的两段，再结合余弦定理或向量法建立方程求解。 常用方法一：在角平分线分出的两个小三角形中，分别用余弦定理表示邻边与角平分线的长度，结合两邻补角余弦值互为相反数的关系，联立消元求解。 常用方法二：利用角平分线性质，将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，通过面积公式建立方程，直接解出角平分线长度。 适用范围：已知两边及夹角、已知三边或已知其他边角关系时，均可选用上述方法，角平分线定理是转化比例关系的关键。
【典例1】（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，角的对边分别为，若是的角平分线，点在上，，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】先利用半角公式求出，再根据等面积法进行求解
【详解】题中已知
由半角公式得
化简得
再化简得，即，
解得或，因为，所以，
是的角平分线，点在上，，
，
，，，
，
化简得，即，
将代入得：，那么，
由余弦定理：
得，即，所以.
【典例2】（25-26高一下·山西晋中·期中）已知中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则________．
【答案】
【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果
【详解】因为，即，
且，则，化简得，
由正弦定理得，
且，
代入得，整理得，
且，则，则或，
若，即，不合题意，则，即，
因为为的平分线，则，，
在中，，①
又因为，即，
则，化简得，
且，则，②
①代入②得，解得或（舍去），则，
在中，由余弦定理得，
所以．
【变式1】（25-26高一下·安徽池州·期中）在中，角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)若，解答下列问题：
①当的面积为时，求AC边上的中线长；
②若点D在边上，且平分，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式即可求解；
（2）①由三角形面积公式及余弦定理得出和，再根据平面向量数量积的运算律即可求解；②由角平分线得出，，由余弦定理得，再由基本不等式即可求解．
【详解】（1）根据已知，由正弦定理得，
因为，
所以，
由得，故．
（2）①由（1）知，则，
由面积得，即，
又由余弦定理，
代入，得，
设的中点为，则，
，
故中线长为．
②由角平分线得，
又，得，，
则，
由余弦定理，即，
所以，，
由（当且仅当时取等号），得：
所以，
又为三角形边长，则，故
综上所述，的取值范围为．
【变式2】（25-26高一下·重庆·期中）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，的角平分线交于点，求线段的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化结合可得，据此可得答案；
（2）由（1）结合可得答案.
【详解】（1）由正弦定理得，
又因所以，
即，
又因，所以
又因，所以，
（2）由题，，所以，又因，所以，
，
整理得.
题型三 其他一线分两角模型的应用
答｜题｜模｜板 在两个小三角形中分别使用正弦定理或余弦定理，通过公共边（分线）或公共角（顶角被分成的两部分）建立等量关系。 利用正弦定理：分线将顶角分成两个已知角（或已知比例），在两个小三角形中分别用正弦定理表示公共边的长度，然后消去公共边得到关于边长比例或角度的方程。 利用余弦定理：在分线两侧的两个三角形中分别对公共边使用余弦定理，得到两个表达式，通过相等关系建立方程。 结合面积比：两小三角形面积比等于被分对边长度比（等高），也等于两边乘积与夹角正弦乘积之比，可用于建立比例方程。
【典例1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．
(1)若，求的长；
(2)若，的面积为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度；
（2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：，
即，
因为，则，故，则为锐角，
所以，
因为，则，
在中，由正弦定理得，
所以，解得．
（2），则
由，得，.
由余弦定理可得：
.
在中，由正弦定理可得，
故，
在中，由正弦定理可得，
故，
因为，
所以．
【典例2】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点为边上靠近点的三等分点，，．
(1)若，求的面积；
(2)当时，求的长；
(3)要使得取最小值时，请帮设计师计算此时的长．
【答案】(1)
(2)2
(3).
【分析】（1）由正弦定理求得的长，即可得的长，由三角形面积公式即可求得答案.
（2）利用余弦定理即可求解；
（3）设，利用余弦定理表示出，即可得的表达式，结合基本不等式确定其最小值，即可求得答案.
【详解】（1）在中，，，
故，，
由正弦定理得，即，
而，
故，故，
故三角形手巾的面积为
；
（2）设，则，
则在中，，
在中，
易知，整理可得，
解得或（舍）;
所以.
（3）设，则，
则在中，，
在中，，
故，
由于，
当且仅当，即时取等号，
故，
即取到最小值时，，
即此时.
【变式1】（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图，在中，为边上一点，且.
(1)若.
（i）求；
（ii）求的面积；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)
【分析】（1）（i）已知，，可求得的大小；在和中，利用角的关系结合正弦定理，建立关于的等式求解；
（ii）根据已知边、角关系，先求出，的长度，再利用三角形面积公式计算的面积.
（2）利用三角形内角和及直角三角形的性质，用分别表示出和；将其代入，转化为关于的三角函数；再根据的取值范围，结合三角函数的性质求取值范围.
【详解】（1）（i），，；
，，在中，由正弦定理得，即，解得.
在中，，为锐角；
，.
所以，
在中，由正弦定理得，
所以.
（ii），，
所以，
，得.
，，
在中，由正弦定理得
，即，所以.
所以.
（2），，在中，由正弦定理得，
，得.
，，在中，由正弦定理得，
，得.
在中，，得，；
所以
；
，，；
，即.
【变式2】（25-26高一下·浙江·期中）如图，已知为三个内角的对边，为边上一点，且.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)求的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得出角的大小，然后通过计算即可；
（2）利用正弦定理的边化角以及三角形三角的关系即可求解；
（3）利用正弦定理的边化角以及三角形三角的关系构造新函数，利用函数的单调性即可求解.
【详解】（1）如图所示，，所以，
（2）设，则，
所以在中，有，
所以，所以，
又因为，所以
所以，
因为，所以.
（3）设，则，设外接圆半径为，则
因为，所以，因此.所以，所以
所以
设，则由已知可知，所以，
所以
任取，则，
所以，所以，所以
又因为，所以
所以，所以在上单调递减，
所以，即的取值范围是.
题型四 布洛卡点模型
答｜题｜模｜板 利用布洛卡点的定义构造等角关系，结合三角形内角和将各角用已知角和布洛卡角表示，然后在三个小三角形中分别使用正弦定理，建立边长的比例关系，通过代数消元得到关于布洛卡角的三角恒等式
【典例1】（25-26高一下·广东广州·期中）在内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角.小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：
(1)求证：正的外心是的布洛卡点；
(2)若满足，且时，求；
(3)角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，若的周长为4，试把表示为b的函数，并求的值域.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)，；值域为
【分析】利用三角形的三边长关系准确找到边长的取值范围进而求解.
【详解】（1）
若是正的外心，则，所以，，因此，同理可得：，
所以，则正的外心是的布洛卡点.
（2）
由余弦定理可得：，
代入数据解得：，故，
在中，设，则，，所以，
在中，由正弦定理得：，
代入数据得：，即：，
在中，由正弦定理得：，
代入数据得：，即：，
所以，即：，
利用正弦的差角公式展开：，所以，
则.
（3）
因为，所以，
则，
由题可知：，所以，则，
利用余弦定理可得：，
化简得：，
又因为，所以，
三角形半周长为2，因为三角形的任意一边，都必须大于半周长减去该边，
所以，则，即：.
令，其中，分析可得：在上单调递减，且 ，，
所以值域为：.
【典例2】（多选）（25-26高一下·江苏盐城·期中）三角形的布洛卡点由法国数学家布洛卡首次发现，当内一点P满足条件：时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在斜中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S，点P是△ABC的布洛卡点，布洛卡角为，则（ ）

A．当时，
B．当且时，
C．当时，
D．当时，是等边三角形
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式及余弦定理推理判断A；利用相似三角形性质、正弦定理、余弦定理求出判断B；由已知结合正弦定理推得，进而推理判断C；利用重心定理及三角形面积公式推理判断D.
【详解】对于A，当时，
，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
相加得，
因此，A正确；
对于B，当时，是等腰三角形，，
而，，
则，又，则，，即，
又，则，设，则，
由，得，则，
又，即，
则，
在中，由正弦定理得，即，
即，则，
在中，，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
因此，，B正确；
对于C，当时，，则，，
在中，，即，
在中，，即，
则，即，因此，若，
必有，无条件确定是正三角形，C错误；
对于D，在中，，
由正弦定理，得，由，
得点是的重心，，即，
则，又，于是，同理，
，因此，由正弦定理得，是等边三角形，D正确
【变式1】（2026·安徽合肥·模拟预测）三角形的布洛卡点由法国数学家布洛卡首次发现，当内一点P满足时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在斜中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S，点P是的布洛卡点，布洛卡角为．
(1)证明：当时，；
(2)当且时，求的值；
(3)证明：当时，是等边三角形．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析．
【分析】(1) 根据给定条件，利用三角形面积公式及余弦定理推理；
(2) 利用相似三角形性质、正弦定理、余弦定理求出；
(3) 利用重心定理及三角形面积公式推理.
【详解】（1）当时，
，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
相加得，
；
（2）当时，是等腰三角形，，
而，，则，
又，则，，即，
又，则.
设，则，
由，得，则，
又，即，
则，
在中，由正弦定理得，即，
即，则，
在中，，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，即，
故的值为.
（3）在中，，
由正弦定理，得，
由，
得点是的重心，，
即，
则，又，于是，
同理，，
因此，由正弦定理得，是等边三角形.
【变式2】（25-26高一下·河北石家庄·期中）布洛卡点是三角形内部的一个特殊的点，由法国数学家亨利 布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角．如图，在中，记它的三个内角分别为，，，其对边分别为，，，的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题：
(1)若，且，求；
(2)若，的面积为
①求；
②的外接圆上任一点为，试探究是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①
②
【分析】（1）通过，且可证得为正三角形，求得，从而求出；
（2）①由及余弦定理即可解决；
②先通过正弦定理、余弦定理证明为正三角形，设的外接圆半径为，再使用向量法，,
同理可知的长，最后表示出，再求出定值.
【详解】（1）
又
,为正三角形,
所以，.
（2）①
，
所以，
在，，中，分别由余弦定理得：
，
，
，
三式相加整理得，
即，
故；
②在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，
，，
三式相加可得：，
由，可得
，
即,
当且仅当即，又因为三角形内角和为 ，
所以 ，即为正三角形,；
设的外接圆圆心为，半径为，则，
由于为正三角形，故也是的重心，那么，
，
同理可知,那么
,
题型五 四边形模型
答｜题｜模｜板 连接对角线将四边形分割为两个三角形，分别应用正余弦定理，利用公共边（对角线）或公共角（邻补角）建立等量关系，即“算两次”思想。若已知四边及一角，可沿对角线分拆，在两三角形中分别用余弦定理表示对角线长度，联立方程求解未知角；若涉及外接圆，则对角互补，可用正弦定理求对角线或外接圆半径。
【典例1】（25-26高一下·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，根据余弦定理，可得的表达式，根据条件，可得的表达式，根据正弦定理，可得，在中，根据余弦定理，可得的表达式，整理计算，结合辅助角公式及正弦函数的性质，分析求解即可得答案.
【详解】在中，设，由余弦定理得，
又，，所以，
由题意，为等腰直角三角形，则，
，则，
在中，由正弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得
，
当时，取得最大值，且为，
所以对角线的最大值为.
【典例2】（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）如图，在四边形，，，，.
(1)若，，求；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理证得为等腰直角三角形，再由余弦定理求即可；
（2）设，在与中利用正弦定理结合可得，展开化简即可得其正切值.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
即，
解得，所以，
则为等腰直角三角形，所以，
则．
在中，由余弦定理得
，
所以．
（2）设，则由题意可知，．
在中，由正弦定理得，即，
即，
在中，由正弦定理得，即，即，
又，所以，
所以，解得，所以．
【变式1】（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的面积为.
(1)求的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围；
(3)如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合三角形的面积公式和余弦定理求解即可；
（2）由正弦定理可得，由为锐角三角形，可得，从而可得范围，根据三角形的面积公式求解即可；
（3）根据四边形的内角和为，可得，设，在，中，结合正弦定理可得，代入，可求得，求出两三角形的面积即可得答案.
【详解】（1）因为，
所以，
整理得，
又，
所以
（2）在中，由正弦定理知，，
所以
，
若为锐角三角形，
则,
解得，
所以，，
所以，
所以的面积，
故的面积的取值范围为.
（3）因为四边形的内角和为，
所以，
设，则，
又，
在中，由正弦定理知，，
即，
在中，由正弦定理知，，
即，
两式作商得，，
又，
则，
整理得，即，
所以，
因为，所以，
所以，即，
所以，，
而，
所以．
【变式2】（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在平面凸四边形中，．
(1)若．
①求的长；
②求四边形的面积；
(2)若，求的长．
【答案】(1)① ②
(2)
【分析】（1）第①小问用两次余弦定理即可，第②小问直接用面积公式即可.
（2）设，用表示各边，再对用余弦定理即可.
【详解】（1）①，，即
由余弦定理得，
代入得：，
化简得：，解得.
②设四边形的面积为，，
.
（2）如下图，过点作垂线交于，设，
，
四边形是矩形，，
对用勾股定理得：，
对用勾股定理得：，
对用余弦定理得：，
即，化简得
两边平方得：，
再化简得：，
解得或4，，或2，
又是锐角三角形，，
即，得，.
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高一下·福建莆田·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足.
(1)若，的面积为，且，求、；
(2)在（1）的条件下，D为的中点，求中线的长.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角形内角和与两角和的正弦公式化简，求出角，再通过三角形面积公式和余弦定理，联立方程求解、的值；
（2）先用余弦定理求出，再在中，代入已知边和的值，用余弦定理计算中线的长度.
【详解】（1）因为角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，
根据正弦定理得，因为，
所以，所以，
化简得，又，所以.
又，所以.
由，，得.
由余弦定理，得.
则，所以.又，，则，.
（2）由于，所以根据余弦定理得.
在中，，所以根据余弦定理得
，
所以.
2．（25-26高一下·江苏连云港·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，的面积，线段中点为，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将条件式利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换化简求得答案；
（2）由（1）结合三角形面积公式求得，再由余弦定理得，根据，利用向量运算得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，又，
所以，
所以，
所以，又，，
所以，即，所以，
又，所以，故.
（2）由（1），，
因为，所以，所以，
又因为，所以，得，
又，所以，
所以，所以.
3．（2026·江苏苏州·二模）已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果．
【详解】因为，所以，
又，则，化简得，
由正弦定理得，
因为，
所以，整理得，
又，，所以或，
若，即，不满足条件，则，即，
因为为的平分线，所以，
因为，所以，
在中，①
又因为，，
所以，
即，
化简得②
①代入②得，解得，（舍去），
所以，
在中，由余弦定理，
所以．
4．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则_________，点为边上一点，且，则的面积为_________．

【答案】 10
【分析】利用正弦定理结合倍角公式可得；进而可得，，利用余弦定理解得，即可得的面积.
【详解】因为，，，可知角为锐角，
由正弦定理可得，则，
可得，；
因为，则，
由余弦定理可得，即，
整理可得，解得或，
且，则，，
又因为，．
5．（多选）（25-26高一下·湖北襄阳·期中）在中，D在线段AB上，且，，若，，则（ ）
A． B．的面积为8
C．的周长为 D．为钝角三角形
【答案】BCD
【分析】在中用余弦定理求出BC长及，再在中用余弦定理求出AC长，然后对各选项逐一分析计算并判断作答.
【详解】如图，在中，因，由余弦定理得，
则有，即，而，解得，，
在中由余弦定理得，故，故A错误；
在中由余弦定理得，
在中，由余弦定理得
，
，的面积，B正确；
的周长为，C正确；
显然AB是最大边，，角为钝角，为钝角三角形，D正确；
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高一下·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先在中利用余弦定理求解的长度，再结合垂直关系得到中的已知角，最后利用正弦定理求解的长度即可.
【详解】在中，，
由余弦定理得
∴
整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）.
∵ ，∴ ，
∴ .
在中，，，，
由正弦定理得
∴ .
2．（25-26高一下·安徽安庆·期中）如图，四边形ABCD中，是等边三角形.
(1)当时，求四边形ABCD的面积；
(2)若E，G分别是边AB，BD的中点，连接CE，EG，CG，设.
①试用表示；
②求CE长的最大值.
【答案】(1)
(2)①； ②
【分析】（1）首先利用余弦定理求出，然后把四边形面积转化为和的面积之和，利用三角形面积公式即可求解；
（2）①首先利用余弦定理求出，然后在中利用三角函数表示；
②首先根据正弦定理和余弦定理结合平面几何知识可得，然后根据余弦定理表示出，最后利用辅助角公式结合三角函数的图像性质即可求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理： ，
得，四边形面积，
，
是等边三角形，，
因此.
（2）①在中，由余弦定理：，
因为是中点，为等边三角形，故是边上的高，，
因此： ，
②是中点，是中点，故是的中位线，，且 ，
在中，由正弦定理，
，
在中，由余弦定理得：
，
因为 ，，故，
所以的最大值为，
代入得，故.
3．（2026·湖南怀化·二模）在中，为边上一点，．
(1)若，，求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，，，
根据余弦定理，，
故.
（2）因为，
所以，，．
设，则，，，
在中，由正弦定理可得，
即，
在中，由正弦定理可得，
即，
则，
化简可得，
则．
4．（25-26高一下·江苏盐城·期中）中，为边延长线上一点，，，，且的面积为，若点在线段上，满足，则的值为________.
【答案】/
【分析】根据题意可得，利用余弦定理解得，，进而可得和.
【详解】在中，因为，，
则的面积为，
即，则，可得，
在中，设，
由余弦定理可得，即，
整理可得，解得或（舍去），
即，，且，，
在中，由余弦定理可得，即，
在中，由余弦定理可得，
且，所以.
5．（25-26高一下·江西抚州·期中）若内一点P，满足，称点P为的布洛卡点，β为的布洛卡角．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，β为的布洛卡角，P为的布洛卡点，若，，则______．
【答案】
【分析】由为等腰三角形，结合布洛卡角的等角条件，推导三个小三角形的内角关系，结合正弦定理和已知的线段比例，得到的关系，进而利用三角形内角和找到与内角的关系，利用三角恒等变换公式计算.
【详解】设，由，得，.
已知，即中，，且.
在中由正弦定理可得：
.
在中，，
由正弦定理得：.
同理在中，，得：.
由，可得，整理得.
又，故，
代入得：，，故，即，
所以，.
由，可得：，
即，
代入：
，
由，为锐角，
可得：.
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知分别为的内角所对的边，.
(1)求；
(2)三角形的布洛卡点是法国数学家布洛卡于1816年首次发现：当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角.若，，为的布洛卡角，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换得，方法1：利用辅助角公式得，进而求解；方法2：利用二倍角公式化简得，进而求解；方法3：利用平方关系，解方程组，进而求解；
（2）利用正弦定理解出，进而得,方法1：在中，利用正弦定理得，在中，由正弦定理得，进而求解；方法2：在中，利用正弦定理得，在中，由正弦定理得，进而求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得：，
因为，
所以，
因为，所以，所以，
方法1：所以，即，
因为，所以，所以，所以；
方法2：，，
因为，所以，，；
方法3：因为，，
所以；
（2）在中，，，，由余弦定理，可得，
由正弦定理得，，
因为，所以，，
所以，而，所以，
又，所以，
所以，
方法1：在中，由正弦定理有，所以，
在中，由正弦定理有，
所以 ，
所以.所以；
方法2：在中，由正弦定理有，所以，
在中，由正弦定理有，所以，
所以，故.
2．（25-26高一下·重庆·阶段检测）若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．
(1)若，，求的值；
(2)若为锐角三角形，
①若，求的值；
②若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）在中，由内角和得，结合正弦定理得，整理得，代入数值计算得结果；
（2）①利用三角形中正弦定理及三角恒等变换得化简得原式等于，代入得结果；②可证，由，将转化为关于的函数，结合锐角三角形得到的范围，换元用对勾函数求得的值域，再取倒数得到的范围.
【详解】（1）在中，，
由正弦定理可得，所以.
（2）①由（1），同理可得，
又在中，，可得，
同理可得，
所以
；
②由前可知，且，所以，
下面将简记作，则，
由正弦定理可得，即，
所以，
整理可得
，记，则
已知，故，又为锐角三角形，因此，，且，因此： ，
令，由得，化简得：，
整理得：
换元，，化简得：，
由对勾函数性质，
在的最小值为（时取得），端点值趋近，
因此： ，所以.
3．（25-26高一下·广东揭阳·期中）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，．
(1)若，，且，求；
(2)若，且，求的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解作答；
（2）连接，由已知结合余弦定理可得，，再利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式求解作答.
【详解】（1）设，依题意，，
则，，
即，而，
所以.
（2）连接，中，，，

由余弦定理得，
则，即，设，在中，，
于是，在中，，
由余弦定理得：，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，，
所以AC的最大值是.
4．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图，四边形满足，且.
(1)求的大小；
(2)当时，求的正切值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）正弦定理得，交叉相乘后，代入已知等式，并结合二倍角公式化简可得；
（2）由余弦定理求得，得出，设，用表示出，然后计算面积和，利用已知得出关于的方程，转化为关于的方程，解方程可得.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以，
又因为，
所以，则，
所以，
因为，所以，则，即，
所以.
（2）由（1）知，，而，
由余弦定理得，
满足，所以，
设，因为，所以，，，为锐角，
所以，
所以，
，，
所以，
又因为，所以，则，
即，解得（舍去），
5．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图，在平面四边形中，．
(1)希腊数学家克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料．
①若，求的最小值；
②若为正三角形，则当线段BD的长取最大值时，求．
(2)当为正三角形时，求面积的最大值．
【答案】(1)①； ②
(2)
【分析】（1）①由条件求得，再通过题干中的定理即可求解；②由题干中的定理得到，分别在和中由余弦定理即可求解；
（2）由，再通过的面积得到，结合余弦定理得到，代入的面积公式，结合辅助角公式即可求解.
【详解】（1）①因为，，，
由勾股定理得对角线，
由条件对凸四边形，有 ，
代入 ，，，，
得： 即，当且仅当对角互补时取等号，
故的最小值为.
②设正三角形边长为，则，
代入定理： ，
即，化简得，
当且仅当对角互补（四点共圆）时取等号，即最大值为.
此时四点共圆，由对角互补得，
在中由余弦定理：
，
故，
设，在中由余弦定理： ，
代入，得，
解得，又为三角形内角，故，
故.
（2）在中，由余弦定理得：
，
即，
即，
又
又，
，
即，
即，
又，
即，
所以，
所以
，
当时，取最大值，
即面积的最大值.
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