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专题2.9 解三角形中的范围与最值问题（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01求中线的最值（范围） 题型02求角分线的最值（范围） 题型03求周长的最值（范围） 题型04求面积的最值（范围） 题型05求边长和差的最值（范围） 题型06求边长平方或者比值的最值（范围） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
中线、角分线的最值 掌握将中线或角分线长度表示为边长或角的函数，利用三角形边角范围、基本不等式或三角函数有界性求最值；理解动点变化对分线长度的影响 中等偏上难度，常在解答题第二问出现，需结合三角形存在条件确定自变量范围，注意中线与角分线公式的推导及最值取等条件
周长的最值 能将周长表示为一条边或一个角的函数，通过正弦定理边化角，利用辅助角公式或单调性求最值；或利用基本不等式直接求边长和的最值 高频考点，常与面积最值并列考查，需注意三角形内角范围及两边之和大于第三边的约束，锐角三角形时额外限制角的范围
面积的最值 熟练运用面积公式，将面积表示为两边及其夹角的正弦，结合已知条件转化为单变量函数；利用三角函数有界性、基本不等式或二次函数性质求最值 每年必考，常在解答题中出现，考查转化与化归思想，需注意变量取值范围及最值取等时是否满足三角形存在条件
边长和差平方比值的最值 将目标表达式通过正余弦定理边角互化，统一为角或边的函数；利用三角恒等变换化简，结合有界性或导数求最值；或利用几何意义（如距离比）转化为轨迹问题 难度较高，常在压轴题中出现，综合性强，需灵活选择互化方向，注意表达式变形技巧（如平方和、乘积的配凑）
知识点01 三角形的面积公式
（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．）
(三角形的底乘高)
知识点02 求三角形周长、边长或面积的最值
利用余弦定理与正弦定理、面积公式化简计算三角形的边长或面积，然后利用基本不等式来求最值。
利用正弦定理把其中的边都换成sin值，然后通过三角恒等变换合并化简，注意其中角的范围，然后根据三角函数求最值的方法如换元或辅助角公式简化后求最值。
知识点03 三角形中的中线
1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和：
换成三角形的中线，则有
2、可以通过向量法,两边平方后可得)
知识点04 三角形中的角分线
1、面积法：如图三角形中，
化简有
2、角分线张角定理：若为角分线，则，则化简上式有
3、斯库顿定理：若为角分线，有，
题型一 求中线的最值（范围）
解｜题｜技｜巧 在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示成角的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范围。
【典例1】（25-26高一下 贵州毕节 期中）已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且.
(1)求A；
(2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】(1)用正弦定理化边为角，结合三角形内角和与三角恒等变换，求出角A；
(2)用向量中线公式表示，结合余弦定理与基本不等式，求出AD最大值.
【详解】【小题1】因为，
由正弦定理得：，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
因为，所以，所以，所以.
【小题2】因为，，所以，
因为D是BC的中点，所以，所以
因为，所以，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以AD的最大值为3.
【典例2】（25-26高一下 福建 期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求角B；
(2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长；
(3)求边AC上的中线BE的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）运用余弦定理将角化为边，化简后再用余弦定理求出，得出B即可．
（2）先用余弦定理得出a，c关系式，再将三角形面积进行转化，用等面积法，运用面积公式求解即可．
（3）先用中线的向量表达式，，两边平方，将中线长转化为求ac的范围，后将ac又转化为三角函数求值域问题，最终求得中线长范围．
【详解】（1）已知，由余弦定理可得，
因为，代入中，得，化简得，
则，因为，所以．
（2），，由余弦定理得，
即，又因为，所以，
由面积关系可得，
，
所以，即.
（3）因为E是AC的中点，所以，
则，
由正弦定理得，，
即，
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，即边AC上的中线BE的取值范围为．
【变式1】（2026 山东泰安 模拟预测）已知内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求角；
(2)若，为中点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，结合两角和与差的正弦公式求解即可.
（2）解法一：利用余弦定理结合基本不等式求解出的最大值，再利用向量的方法求解出的最大值即可.解法二：利用结合余弦定理求解最大值即可.解法三：在分别使用余弦定理求解即可.
【详解】（1），
，
，
，
，，即，
，，，解得.
（2），
由余弦定理，，即.
由基本不等式，，
即，
当且仅当时，等号成立
解法一，两边取平方，可得：
，
，
当且仅当时，等号成立，取得最大值为.
解法二：,,
整理得，故，
，当且仅当时，等号成立，
故取得最大值为.
解法三：，
整理得，故，
，当且仅当时，等号成立，
故取得最大值为.
【变式2】（25-26高一下 四川资阳 期中）在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得，根据的范围求值；
（2）由正弦定理得，，由，利用向量运算结合三角恒等变换可得，求出的范围结合三角函数性质得解.
【详解】（1）由，得，
又，所以，
所以，.
（2）由，且可得，
又，为外接圆半径）
所以，又，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，.
由的中点为M，得，
所以
.
因为为锐角三角形，所以，得，
则，所以，，
则，
故的取值范围是.
题型二 求角分线的最值（范围）
答｜题｜模｜板 将角平分线长度表示为某个变量（如边或角）的函数，再结合三角形约束条件求该函数的值域。 函数法：利用角平分线公式，将其表达为两边长及夹角（或半角）的式子，再根据已知条件将变量统一为同一个角（或边），转化为三角函数或基本不等式求范围。 几何法：从几何视角分析，角平分线夹在两边之间，其长度受两边长度和夹角的约束。通过长度的取值范围，从而得所求的取值范围。 适用要点：注意三角形的隐含约束（两边之和大于第三边、角度范围），这些限制直接影响取值区间的端点是否可取。
【典例1】（2026 湖北武汉 三模）在中，内角，，的对边分别为，，，
若．
(1)求角的大小；
(2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系，将原式转化为正弦形式，进而结合正弦定理将正弦值转化为对应边的关系，再利用余弦定理即可求出，进而得到角的大小.
（2）利用三角形面积关系，建立与、的等式，再结合余弦定理得到、关系，进而利用基本不等式求出的范围，再构造函数，利用函数单调性求解的最大值.
【详解】（1）由，
整理得：.
由，得，
所以.
由正弦定理，得：.
结合余弦定理，可得：，
因为，故.
（2）由,
可得，
由（1）知，又，所以，
则，得，当且仅当时等号成立，
又因为 ，所以.
，
因为在上递增，
所以，即线段长度的最大值为 1.
【典例2】（25-26高一下 河南焦作 期中）在中，内角所对的边分别为,，，且．
(1)求角；
(2)若，是钝角三角形．
（ⅰ）求的范围；
（ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）直接由向量的共线并结合正弦定理可得；
（2）（ⅰ）根据正弦定理进行边化角，进而得，再由三角形为钝角三角形得，再由正弦函数的性质可得范围；（ⅱ）先由等面积法可得，再由条件和（i）结果可得，再令，再根据函数的单调性可得所求值的范围.
【详解】（1）由，，且，
所以，，
化简整理得，再由正弦定理得，
因为，所以，且，所以.
（2）（i）由，结合正弦定理，得.
因此 ，且.
因为 为钝角三角形， ，故钝角只能是或，
所以或，所以.
由正弦定理得
，
因为，所以，，
所以
（ii）因为为的角平分线，且，如图：
由面积关系，，
所以 ，化简得.
又因为
，
由（i）知，
所以，
令，由（i）知，所以
所以，因为函数在是单调递增函数，
所以时，，当时，.
所以.
【变式1】（25-26高一下 河南郑州 期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，.
(1)求角的大小；
(2)求边的值；
(3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，进一步整理得，即可求得角；
（2）利用正弦定理将所给等式转化为关于的等式，结合余弦定理即可求出；
（3）利用三角形面积公式，将角平分线表示为，对边对角模型，，转化为三角函数求值域．
【详解】（1）由及正弦定理得：
，
因为，所以，
所以，又，所以.
（2）由正弦定理，得，
由得：，
即，
由余弦定理得，，
联立解得.
（3）
如图所示，由（1）知，由于，
，
，
由（2）知，
因为，所以，
则
令，则，
因为是锐角三角形，则，
则，
令，由解析式可知在单调递增，
所以，即
即长度的范围为
【变式2】（25-26高一下 四川内江 期中）在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；
(3)若，，的平分线交边于点，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，利用正弦定理将边转化为角，再利用两角和的正弦公式求解；
（2）根据为锐角三角形，，由得到，再利用正弦定理结合三角恒等变换得到求解；
（3）由得到，再利用余弦定理得到，然后根据为角平分线，由求解.
【详解】（1）由，可得，
化简得，
，
，又，
所以，即；
（2）因为为锐角三角形，，
所以，即，解得
由正弦定理可知，即，
所以，
由，可得，则，
则，则的周长的取值范围为；
（3）由得，即，
由，即，解得，
所以，解得，
可知，即，
由，可得，
所以，得，
解得.
题型三 求周长的最值（范围）
答｜题｜模｜板 关于周长的最值问题，题目简化成两个边的和的最值问题。通常有以下两种方法 若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。 若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 注意：运用基本不等式时，看是否满足取等条件。如题有角度限制比如锐角或钝角，可以考虑转化成三角函数问题，这时要先求得被限制的角的取值范围。
【典例1】（25-26高一下 甘肃天水 期中）已知，，．
(1)求函数的解析式；
(2)求在上的最大值和最小值．
(3)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)最大值，最小值
(3)
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算规则计算得到展开式，再利用二倍角公式、辅助角公式化简整理，即可得到的解析式；
（2）由求出的取值范围，结合正弦函数的性质，即可计算出的最大、最小值；
（3）先由结合B的范围求出角B，再利用余弦定理得到边的关系，结合基本不等式求最大值，进而得到周长最大值.
【详解】（1）由，
则.
（2）当时，.
则当（即）时，取得的最大值为1；
当（即）时，取得的最小值为.
故的最大值为，最小值为.
（3），即，
为的内角，. 故.
. 则.
又，由余弦定理，
得，即.
由均值不等式得：，
即，从而，
当且仅当时取等号，此时为等边三角形．
周长最大值：.
【典例2】（25-26高一下 山东淄博 期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，并且．
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出，即可得的大小；
（2）利用正弦定理，表示出的周长，利用三角函数求出最大值即可．
【详解】（1）因为，
由正弦定理，得，即，
，因为，所以．
（2）由（1）得，且，
由正弦定理得：，
∴，
，
∵，∴，∴，
∴当时，的最大值为，
∴周长的最大值是．
【变式1】（25-26高一下 天津武清 期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，
(1)求角C；
(2)若点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值；
(3)求锐角的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理边化角化简整理即可；
（2）根据角平分线建立等角关系，再结合正弦定理和三角形面积公式建立关于的方程并求解；
（3）根据余弦定理建立关于周长和函数关系，结合函数单调性求解范围.
【详解】（1）已知，由正弦定理边化角得：
，
因为，故，
代入上式化简得：，
在中，，则，
又，因此.
（2）由是的平分线，可得，
由面积关系，代入可得：，
代入，
化简得：，解得.
（3）由余弦定理得：，
因为是锐角三角形，由余弦定理得：
，
，
故，则周长，
易知在上单调递增，得，
因此周长的取值范围为：.
【变式2】（25-26高一下 辽宁大连 期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
(1)求角A的大小；
(2)若D为BC中点， ， ，求边a；
(3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式可得；
（2）利用以及余弦定理可得；
（3）利用正弦定理得，结合三角函数求值域.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，
在中， ，
所以，
即，
因为，所以，
因为，所以；
（2）因为，
所以，
，
又，所以，所以，
又因为，所以．
（3）由正弦定理得，可得， ，
，
，
因为是锐角三角形，且，则，
得，得，，， 故的周长最大值为6．
题型四 求面积的最值（范围）
答｜题｜模｜板 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决
【典例1】（25-26高一下 天津武清 阶段检测）在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，．
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的最小值；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得到边角关系，结合正弦定理化简求角；
（2）将周长最小值转化为求边的最小值，结合余弦定理和基本不等式求解；
（3）利用正弦定理将转化为角的三角函数，结合锐角三角形的角范围求面积的取值范围.
【详解】（1）由，则，
即，
由，则，故，
即，由，故；
（2）由余弦定理得，
则，
当且仅当时，等号成立，
故周长的最小值为；
（3）由正弦定理可得，故、，
则
，
由是锐角三角形，则，解得，
则，故，即.
【典例2】（25-26高一下 四川巴中 期中）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足.
(1)求证：；
(2)若，求的取值范围；
(3)若，求三角形面积的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换证明.
（2）根据锐角三角形限制确定角的取值范围，通过正弦定理将转化为关于的三角函数，推导三倍角公式化简后，用单调性定义判断函数单调性，进而求得的取值范围.
（3）将三角形面积转化为关于角的三角函数，用单调性定义判断单调性，进而求得面积的取值范围.
【详解】（1）∵ ，由正弦定理（为外接圆半径），
得，，
代入得，即.
∵ 在中，，∴ ，
∴ 代入上式得，
整理得，即.
∵ 为锐角三角形，∴ ，，∴ ，
∴ 若，
则或 （后者得 ，不符合三角形内角要求，舍去），
∴ ，得证.
（2）为锐角三角形，
∴ ，解得.
由正弦定理，，得.
∵ ，∴ ，，， .
∴ ，，且，
∴ .
∵ ，代入得.
令，∵ ，∴ ，则.
任取，
则.
∵ ，∴ ，又，∴ ，
∴ ，即，∴ 在上单调递增.
∴ 当时，；
当时，，
∴ .
（3）三角形面积，由正弦定理，，，
∴ ，又，，
∴ .
代入， ，
∴ .
令，由得，则，
∴ ，，
则.
令，，则，
该二次函数开口向上，对称轴为，故在上单调递增，
当；
当
∴ ，又，故，
即三角形ABC面积的取值范围为.
【变式1】（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）在中，角的对边分别为，且 ．
(1)求角的值；
(2)若的面积为，内角的平分线交边于点，，求的长；
(3)若为边上一点，满足，且，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）利用正弦定理将角的正弦转化为边，得到边的关系式；再结合余弦定理，即可求出角的值；
（2）先根据三角形面积公式和已知条件求出边的长度，再利用角平分线性质或三角形面积分割法，结合三角形面积公式建立关于的等式，进而求解的长；
（3）根据，再结合向量将的长度与三角形的边、角建立联系，然后利用基本不等式，求出三角形面积的最大值.
【详解】（1），
由正弦定理，得，即．
由余弦定理，得，所以．
，．
（2）
，，
由，得．
，．
平分，．
，
；
．
（3），，即，得 ．
，
，，即，解得 ，当且仅当时，即时等号成立．
，
即的面积最大值为．
【变式2】（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围；
(3)若，，等边的顶点D，E，F分别在边，，上（不含端点），求的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3).
【分析】（1）根据的具体表达式，结合正弦定理边化角化简已知等式，建立关于角A的方程，进而求解角；
（2）先利用正弦定理将边a、c用角B、C表示，结合锐角三角形的条件确定B的取值范围；将三角形周长转化为关于B的三角函数，再根据三角函数的性质求取值范围；
（3）可设，利用三角形内角和与正弦定理，将用含的三角函数形式表示，并确定相关参数的取值范围，继而写出面积表达式，即可求最小值.
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理得，
而，
所以，
因为，所以，解得（舍去），
因为，所以，即.
（2）由（1）知，由正弦定理得，所以，，
又，
所以的周长
，
因为是锐角三角形，所以，所以，所以，
又，所以，
所以.
即的周长的取值范围是.
（3）设，，则，，，
在中，，所以，
在中，，所以，
因为，所以，
所以.
在中，，，所以，
所以，，
所以，
因为，
其中，，
当，即时，等号成立，
所以，
所以，即的面积的最小值为.
题型五 求边长和差的最值（范围）
答｜题｜模｜板 1、利用正弦定理进行边化角，将边换成三角函数的代数式。 2、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化成一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 3、注意角的取值范围，根据题目的限制条件，如锐角三角形等求出角的范围，从而求三角函数的范围。
【典例1】（25-26高一下 江苏淮安 期中）已知的内角所对的边分别为，且，．
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长；
(3)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简原式，再用和角公式求解即可；
（2）根据三角形面积公式求出的值，再根据余弦定理求出，进而求出，最后求出周长；
（3）根据正弦定理表示出，根据三角函数值的范围求解.
【详解】（1），且.
整理得
由正弦和角公式：，
由正弦定理，代入得
两边除以得
整理得
即，即
因为，所以，
故，得.
（2）已知面积，且，.
由面积公式
故，得.
由余弦定理
代入，：
整理得
而，
因为，故.
因此周长为
（3）由正弦定理：，
故，.
又，，故，其中.
因为，所以，
则，
故.
【典例2】（25-26高一下 山东淄博 期中）在中，角，，所对的边分别是，，，且
(1)求角；
(2)若是边的中点，，，求的面积；
(3)若是锐角三角形，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简方程，即可求出角；
（2）利用中点结合向量得出，两边平方解出，即可求出的面积；
（3）求出的范围，利用正弦定理得出，的表达式，进而得出的表达式，即可求出的取值范围．
【详解】（1）由题意，在中，，
由正弦定理，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，又，
∴，解得，
∴.
（2）由题意及（1）知，，
，，
∵是边的中点，
∴，
，
解得，
∴.
（3）由题意，及（1）知，
在锐角中，，，
，解得，
由正弦定理，，
∴，
，
∴
，
∵，，，
∴.
【变式1】（25-26高一下 湖南 阶段检测）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求.
(2)已知为边上的一点，且.
（i）求；
（ii）若是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，结合两角和的正切公式可得；
（2）（i）先根据正弦定理，分别将表示出来，再直接计算即可.
（ii）根据余弦定理结合（i），求出，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为，根据三角形性质易知其最小值为，计算即可.
【详解】（1）由正弦定理得，
得
则.由，得，
所以，则.
因为，所以.
（2）（i）在中，由正弦定理得，；
在中，由正弦定理得，
因为，所以.
故.
（ii）由余弦定理，得
结合，得.
如图，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为.
，
则.
故的最小值为.
【变式2】（2026 浙江绍兴 模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，三角形面积为，已知．
(1)求；
(2)若，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据面积公式和向量数量积的定义化简即可求得；
（2）利用正弦定理边化角，再由辅助角公式以及正弦函数的性质可求的最大值．
【详解】（1）由可得，
故，而为三角形内角，故．
（2）由正弦定理，，故，
所以
，其中，
当且仅当，即时，的最大值为．
题型六 求边长平方或者比值的最值（范围）
答｜题｜模｜板 若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问题。对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： 1、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 2、统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。
【典例1】（2026·湖北·模拟预测）记内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合三角恒等变换及正弦定理可得，由，可得，求解即可；
（2）由正弦定理可得，，由是锐角三角形，得，，又因为，结合对勾函数求解即可.
【详解】（1）易得，
由正弦定理得，
而，
故，
易知，
故，
即，
又因为，
所以，
所以，
解得；
（2）因外接圆直径为，
则由正弦定理可知，
故，，
因为是锐角三角形，
所以，
得，，
则，
所以，
由对勾函数的性质可知，在上单调递减，
故的取值范围为.
【典例2】（25-26高一下 内蒙古赤峰 期中）已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足.
(1)求角；
(2)若，求面积的取值范围；
(3)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化简所给等式，根据，即可得解；
（2）利用正弦定理，三角恒等变换，求出的范围，再由面积公式可得解；
（3）令，由正弦定理及（2）可得的取值范围，再由对勾函数的单调性求解.
【详解】（1）因为，
所以，
即，所以，
即，因为是锐角，所以.
（2）因为，
所以，
因为，解得,
由正弦定理可得，
因为，
所以,
由，可知，所以,
所以，所以.
（3）由，可设，
则，
由正弦定理，，
由（2）知，，，
由对勾函数的单调性知，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
当时，，当时，，
所以，即的取值范围为.
【变式1】（25-26高一下 重庆 期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)若，．
①求；
②角的内角平分线交于，求线段的长；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①由已知条件结合三角恒等变换化简得，得解；
②由正弦定理求得，再由求得答案；
（2）由结合内角和定理可得，，将所求式子由正弦定理边化角结合二倍角公式化简得，令，利用函数单调性求解.
【详解】（1）①，
，即得，
又，所以，所以，
所以或，即或，
因为，所以，即，故，
因为，所以.
②由①得.
在中，由正弦定理，得，
因为，所以
所以，
.
（2），，，
、B、C为的内角，，
由正弦定理得
令，，
，在单调递增，
所以.
【变式2】（2026 陕西榆林 模拟预测）在中，内角的对边分别为，
(1)若的面积为2.求角；
(2)若为锐角三角形，，且外接圆半径为2，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用余弦定理结合三角形面积公式可得，进而可求角；
（2）由为锐角三角形，先求得，再利用正弦定理可得，然后化简式子，根据对勾函数的性质求范围即可．
【详解】（1）解：由余弦定理，得①，
由面积公式，得②.
②÷①，得，即.
由，得.
（2）由题意，得外接圆的直径为4，
则由正弦定理，得，
所以.
因为是锐角三角形，
所以解得，
所以，则，
所以，
由对勾函数的性质，得在上单调递减，
所以的取值范围为.
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（2026 陕西渭南 三模）已知的内角所对的边分别为,且．
(1)求；
(2)若的外接圆半径为1，求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）正弦定理角化边，利用余弦定理求出角；
（2）首先根据正弦定理求出，利用余弦定理列方程，结合均值不等式得，求出最值.
【详解】（1）因为，则，
即，
，
，.
（2）由，得，
由余弦定理得，
化简为，即，
因为，
则，，
当且仅当时等号成立，故三角形周长最大值为.
2．（25-26高一下 安徽安庆 期中）在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________.
【答案】
【分析】利用正弦定理，化简已知条件，得到；再根据正弦定理和余弦定理，将目标式化为关于的三角函数，进而求三角函数的最大值即可.
【详解】因为，由正弦定理可得：，
又，，则
因为
，
当且仅当时，取得最大值，最大值为，也即的最大值为.
3．（25-26高一下 黑龙江大庆 期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；
(2)若，的面积为，求b，c；
(3)若，求周长的取值范围；
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）由余弦定理即可得解；
（2）由面积公式及余弦定理建立关于的方程组即可求解；
（3）由正弦定理边化角，再结合三角函数的图象即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得.
已知，即.
代入得，又，故.
（2）（2），，由，得，
解得.又，得，
即.
联立，解得，.
（3）设周长为，则.
，，由正弦定理得，解得，.
，，.
，；
，则，，即.
周长的取值范围为.
4．（25-26高一下 黑龙江佳木斯 期中）已知的内角所对的边分别为向量,,且.
(1)求角；
(2)若,,求的面积；
(3)若求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)12
【分析】（1）根据向量的共线可得角的三角函数值，进而可得角的值；
（2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得；
（3）先由余弦定理得,再由基本不等式可得最大值.
【详解】（1）因为向量，且，所以.
又由正弦定理得，因为，所以
又因为，所以.
（2）因为中,,,由（1）知，由余弦定理，
即,所以,解得或（舍去）.
所以的面积.
（3）由余弦定理可知，，即，
则，因为，
所以，则，当时等号成立，
则，且，所以，
所以的最大值为.
5．（25-26高一下 重庆 期中）钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（ ）
A．（0，1） B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用正弦定理将条件 转化为角的关系，结合钝角三角形的限制，推出 的取值范围，再将目标式 转化为关于 的函数，最后结合函数单调性求出取值范围即可.
【详解】因为，由正弦定理得，，
即，中，故，
由及为钝角三角形可得，，
由正弦定理得，
，
由各内角大于0，即，可得，故，
对勾函数在上单调递减，且，
所以，的取值范围为.
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（2026 山西朔州 二模）（多选）在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（ ）
A． B．的取值范围是
C．的取值范围是 D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】先由已知等式结合平方差公式和余弦定理求得角；再利用正弦定理结合锐角三角形条件求出边的取值范围，进而分析面积、周长的范围；最后利用重心性质与余弦定理，通过二次函数求最值得到的最小值，逐项判断选项.
【详解】对于A，由，可得，即，
由余弦定理可得，
又为锐角三角形，所以，A正确；
对于B，由正弦定理，可得
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
则，所以，故，
因为，所以的取值范围为，B错误；
对于C，由余弦定理可得，
因为，所以，即，
所以周长，C正确；
对于D，设的中点为，因为是的重心，所以，
在中，由余弦定理可得，
故当时，取得最小值，此时的最小值为，D正确.
2．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点，且，．
(1)若．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求的面积；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)（i）；（ⅱ）
(2)
【详解】（1）（ⅰ）在中，，，，
由余弦定理得：，即，
所以是等腰三角形，即．
所以，即；
（ⅱ），即是等腰三角形，所以，
所以；
（2）因为，即，即．
设，则，则，
所以，
又因为，因为，
所以，即，
又因为，令，则，
所以，，因为函数在上单调递增，
所以．
3．（25-26高一下 安徽阜阳 阶段检测）在中，角的平分线交于点，.
(1)若，，求:
①的面积；
②的外接圆的周长.
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得出角，然后由正弦定理结合三角形面积公式即可求解；②由正弦定理得出外接圆的半径即可；
（2）根据三角形的面积公式得到，结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）
①因为，角的平分线交于点，所以，，
所以，，
由正弦定理得，即，
代入数据得，
所以.
②设的外接圆的半径为，由正弦定理，可得，所以，
则的外接圆的周长.
（2）
由，所以，，
根据三角形的面积可得，即，
代入数据并化简得，
由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，
因此，当是等腰三角形时，的最小值为.
4．（25-26高一下 吉林 期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
(1)求角A；
(2)若D是线段的中点，且，求；
(3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角；
（2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可；
（3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解．
【详解】（1）解：由正弦定理可知，
，
，
又，，
，
，，
，；
（2）解：由（1）及余弦定理得，即①，
又因为，则，
则，
即，
所以②，
由得，
所以；
（3）解：由（1）得，则，
即，
由正弦定理可知，，
所以
．
因为为锐角三角形，所以，，
则，，
则，即，
则，
故的周长的取值范围为．
5．（2026 江西 模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求角；
(2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两角和差的正切公式展开化简即可求解；
（2）由三角形面积公式和余弦定理得到，再结合正弦定理边化角，辅助角公式，转换成三角函数求值域即可.
【详解】（1）
且，
，整理得
即．
或．
，，
．，．
（2）
由余弦定理可得，
即．
，即．
，
由正弦定理可得，
则
，
，．
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．（25-26高一下·山西·阶段检测）在中，内角的对边分别为．
(1)求．
(2)当时．
（i）求周长的取值范围；
（ii）求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）由正弦定理与和角公式化简计算即得；
（2）（i）由正弦定理即三角恒等变换可得，再利用正弦函数性质计算求解；（ii）由余弦定理，基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）由正弦定理得
而右式为，
故得，因为，故．
故，则．
（2）（i）由正弦定理得的周长
，
易得，则，故，
所以的取值范围是；
（ii）由余弦定理得，
当且仅当时等号成立，
所以的面积，
故面积的最大值为．
2．（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）在中，.
(1)求的值；
(2)若，求周长的最小值；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由射影定理直接可得所求角的余弦值，进而可得正弦值；
（2）先由余弦定理及基本不等式可得，进而可得周长的最小值；
（3）将三角形的面积表示成关于角的三角函数，用函数的性质可得面积的取值范围.
【详解】（1）因为在三角形中，由射影定理代入，
得，即，因为，所以.
（2）在三角形中，由（1）知，
由余弦定理得，
又因为，由基本不等式，当且仅当时等号成立，
所以，即，所以周长.
因此周长的最小值为.
（3）因为是锐角三角形，由（1）知，且，得，，
所以，解得.
又由正弦定理得，所以，
，
因为，所以，因此.
所以面积.
3．（25-26高一下 江苏 期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为．
(1)求；
(2)若，求内切圆面积的最大值；
(3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对已知条件进行化简，再根据角的范围，判断方程可能得解，求出结果；
（2）根据余弦定理解三角形，判断的具体结果，再根据余弦定理和基本不等式求出三角形周长的范围，进而根据内切圆半径的性质求出半径的范围，进而求出面积的最大值；
（3）根据三角形形状，判断角的范围，再根据正弦定理和三角形中线的向量性质，进而根据向量的数量积运算率，表示出模长的表达式，进而求出线段长度的范围.
【详解】（1）由题意可知，化简得，
可得，因为，所以，
可得或，解得或.
（2）由题意可得，化简得，
所以，所以由（1）可知，可得，
可知，化简得，即，可得.
由基本不等式可知，即，当且仅当时取等号，
所以，由，解得.
设内切圆半径为，则，
可得，因为，
所以，
因为，所以，
当时，内切圆半径为取得最大值，此时内切圆面积的最大值为.
（3）可知，所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以，
可知，可得，所以，
因为，所以，
则，
化简得，
因为，由，可得，解得，
所以，可得，所以，即
所以线段的取值范围为.
4.（25-26高三下 河北保定 阶段检测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，
(1)求角A；
(2)若，的面积为，求b，c；
(3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解；
（2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于的二元方程组即可求解；
（3）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解.
【详解】（1），
由正弦定理可得，
∴，
即，，
因为，所以，所以，
即，即，
又，∴，则．
（2）由（1）及题设可得，即，
整理得，解得（负值舍去），故．
（3）因为D为BC的中点，所以，
两边平方得，
在中，由余弦定理得，即，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，，
则，解得，
所以，所以，则，
即，
所以，所以中线AD的取值范围是．
5．（25-26高一下 四川成都 期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且．
(1)求角；
(2)求周长的取值范围；
(3)求边上的中线的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解；
（2）利用正弦定理及三角恒等变换求出的取值范围进而得出结果；
（3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
又由余弦定理得，，故．
（2）由正弦定理得 ，
，
又因为是锐角三角形，故，解得，
，
周长的取值范围为 ．
（3）由余弦定理得，，即．
，两边平方得．
由正弦定理可知，，故，
因此
，
又因为是锐角三角形，故，解得，
故，，，
即，则．
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专题2.9 解三角形中的范围与最值问题（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01求中线的最值（范围） 题型02求角分线的最值（范围） 题型03求周长的最值（范围） 题型04求面积的最值（范围） 题型05求边长和差的最值（范围） 题型06求边长平方或者比值的最值（范围） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
中线、角分线的最值 掌握将中线或角分线长度表示为边长或角的函数，利用三角形边角范围、基本不等式或三角函数有界性求最值；理解动点变化对分线长度的影响 中等偏上难度，常在解答题第二问出现，需结合三角形存在条件确定自变量范围，注意中线与角分线公式的推导及最值取等条件
周长的最值 能将周长表示为一条边或一个角的函数，通过正弦定理边化角，利用辅助角公式或单调性求最值；或利用基本不等式直接求边长和的最值 高频考点，常与面积最值并列考查，需注意三角形内角范围及两边之和大于第三边的约束，锐角三角形时额外限制角的范围
面积的最值 熟练运用面积公式，将面积表示为两边及其夹角的正弦，结合已知条件转化为单变量函数；利用三角函数有界性、基本不等式或二次函数性质求最值 每年必考，常在解答题中出现，考查转化与化归思想，需注意变量取值范围及最值取等时是否满足三角形存在条件
边长和差平方比值的最值 将目标表达式通过正余弦定理边角互化，统一为角或边的函数；利用三角恒等变换化简，结合有界性或导数求最值；或利用几何意义（如距离比）转化为轨迹问题 难度较高，常在压轴题中出现，综合性强，需灵活选择互化方向，注意表达式变形技巧（如平方和、乘积的配凑）
知识点01 三角形的面积公式
（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．）
(三角形的底乘高)
知识点02 求三角形周长、边长或面积的最值
利用余弦定理与正弦定理、面积公式化简计算三角形的边长或面积，然后利用基本不等式来求最值。
利用正弦定理把其中的边都换成sin值，然后通过三角恒等变换合并化简，注意其中角的范围，然后根据三角函数求最值的方法如换元或辅助角公式简化后求最值。
知识点03 三角形中的中线
1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和：
换成三角形的中线，则有
2、可以通过向量法,两边平方后可得)
知识点04 三角形中的角分线
1、面积法：如图三角形中，
化简有
2、角分线张角定理：若为角分线，则，则化简上式有
3、斯库顿定理：若为角分线，有，
题型一 求中线的最值（范围）
解｜题｜技｜巧 在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示成角的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范围。
【典例1】（25-26高一下 贵州毕节 期中）已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且.
(1)求A；
(2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值.
【典例2】（25-26高一下 福建 期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求角B；
(2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长；
(3)求边AC上的中线BE的取值范围．
【变式1】（2026 山东泰安 模拟预测）已知内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求角；
(2)若，为中点，求的最大值．
【变式2】（25-26高一下 四川资阳 期中）在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
题型二 求角分线的最值（范围）
答｜题｜模｜板 将角平分线长度表示为某个变量（如边或角）的函数，再结合三角形约束条件求该函数的值域。 函数法：利用角平分线公式，将其表达为两边长及夹角（或半角）的式子，再根据已知条件将变量统一为同一个角（或边），转化为三角函数或基本不等式求范围。 几何法：从几何视角分析，角平分线夹在两边之间，其长度受两边长度和夹角的约束。通过长度的取值范围，从而得所求的取值范围。 适用要点：注意三角形的隐含约束（两边之和大于第三边、角度范围），这些限制直接影响取值区间的端点是否可取。
【典例1】（2026 湖北武汉 三模）在中，内角，，的对边分别为，，，
若．
(1)求角的大小；
(2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值．
【典例2】（25-26高一下 河南焦作 期中）在中，内角所对的边分别为,，，且．
(1)求角；
(2)若，是钝角三角形．
（ⅰ）求的范围；
（ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围．
【变式1】（25-26高一下 河南郑州 期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，.
(1)求角的大小；
(2)求边的值；
(3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围.
【变式2】（25-26高一下 四川内江 期中）在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；
(3)若，，的平分线交边于点，求的长．
题型三 求周长的最值（范围）
答｜题｜模｜板 关于周长的最值问题，题目简化成两个边的和的最值问题。通常有以下两种方法 若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。 若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 注意：运用基本不等式时，看是否满足取等条件。如题有角度限制比如锐角或钝角，可以考虑转化成三角函数问题，这时要先求得被限制的角的取值范围。
【典例1】（25-26高一下 甘肃天水 期中）已知，，．
(1)求函数的解析式；
(2)求在上的最大值和最小值．
(3)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值．
【典例2】（25-26高一下 山东淄博 期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，并且．
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的最大值．
【变式1】（25-26高一下 天津武清 期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，
(1)求角C；
(2)若点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值；
(3)求锐角的周长的取值范围．
【变式2】（25-26高一下 辽宁大连 期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
(1)求角A的大小；
(2)若D为BC中点， ， ，求边a；
(3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值．
题型四 求面积的最值（范围）
答｜题｜模｜板 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决
【典例1】（25-26高一下 天津武清 阶段检测）在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，．
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的最小值；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【典例2】（25-26高一下 四川巴中 期中）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足.
(1)求证：；
(2)若，求的取值范围；
(3)若，求三角形面积的取值范围．
【变式1】（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）在中，角的对边分别为，且 ．
(1)求角的值；
(2)若的面积为，内角的平分线交边于点，，求的长；
(3)若为边上一点，满足，且，求面积的最大值．
【变式2】（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围；
(3)若，，等边的顶点D，E，F分别在边，，上（不含端点），求的面积的最小值.
题型五 求边长和差的最值（范围）
答｜题｜模｜板 1、利用正弦定理进行边化角，将边换成三角函数的代数式。 2、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化成一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 3、注意角的取值范围，根据题目的限制条件，如锐角三角形等求出角的范围，从而求三角函数的范围。
【典例1】（25-26高一下 江苏淮安 期中）已知的内角所对的边分别为，且，．
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长；
(3)求的取值范围．
【典例2】（25-26高一下 山东淄博 期中）在中，角，，所对的边分别是，，，且
(1)求角；
(2)若是边的中点，，，求的面积；
(3)若是锐角三角形，且，求的取值范围．
【变式1】（25-26高一下 湖南 阶段检测）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求.
(2)已知为边上的一点，且.
（i）求；
（ii）若是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值.
【变式2】（2026 浙江绍兴 模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，三角形面积为，已知．
(1)求；
(2)若，求的最大值．
题型六 求边长平方或者比值的最值（范围）
答｜题｜模｜板 若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问题。对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： 1、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 2、统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。
【典例1】（2026·湖北·模拟预测）记内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.
【典例2】（25-26高一下 内蒙古赤峰 期中）已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足.
(1)求角；
(2)若，求面积的取值范围；
(3)求的取值范围.
【变式1】（25-26高一下 重庆 期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)若，．
①求；
②角的内角平分线交于，求线段的长；
(2)求的取值范围．
【变式2】（2026 陕西榆林 模拟预测）在中，内角的对边分别为，
(1)若的面积为2.求角；
(2)若为锐角三角形，，且外接圆半径为2，求的取值范围.
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（2026 陕西渭南 三模）已知的内角所对的边分别为,且．
(1)求；
(2)若的外接圆半径为1，求周长的最大值．
2．（25-26高一下 安徽安庆 期中）在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________.
3．（25-26高一下 黑龙江大庆 期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；
(2)若，的面积为，求b，c；
(3)若，求周长的取值范围；
4．（25-26高一下 黑龙江佳木斯 期中）已知的内角所对的边分别为向量,,且.
(1)求角；
(2)若,,求的面积；
(3)若求的最大值.
5．（25-26高一下 重庆 期中）钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（ ）
A．（0，1） B． C． D．
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（2026 山西朔州 二模）（多选）在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（ ）
A． B．的取值范围是
C．的取值范围是 D．的最小值为
2．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点，且，．
(1)若．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求的面积；
(2)若，求的取值范围．
3．（25-26高一下 安徽阜阳 阶段检测）在中，角的平分线交于点，.
(1)若，，求:
①的面积；
②的外接圆的周长.
(2)若，求的最小值.
4．（25-26高一下 吉林 期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
(1)求角A；
(2)若D是线段的中点，且，求；
(3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围．
5．（2026 江西 模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求角；
(2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围．
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．（25-26高一下·山西·阶段检测）在中，内角的对边分别为．
(1)求．
(2)当时．
（i）求周长的取值范围；
（ii）求面积的最大值．
2．（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）在中，.
(1)求的值；
(2)若，求周长的最小值；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
3．（25-26高一下 江苏 期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为．
(1)求；
(2)若，求内切圆面积的最大值；
(3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围．
4.（25-26高三下 河北保定 阶段检测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，
(1)求角A；
(2)若，的面积为，求b，c；
(3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围．
5．（25-26高一下 四川成都 期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且．
(1)求角；
(2)求周长的取值范围；
(3)求边上的中线的取值范围．
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