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专题专题2.6 正余弦定理解三角形（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01正余弦定理的边角互化 题型02正余弦定理的解三角形综合 题型03正弦定理判断三角形解的个数 题型04正余弦定理判断三角形形状 题型05面积公式的应用 题型06正余弦定理的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
正余弦定理解三角形 熟练根据已知条件选择定理（两边一对角、两角一边用正弦；两边及夹角、三边用余弦）；能正确求解边角并验证解的存在性 高频必考题，考查基本运算和定理选用，难度中档
判断三角形形状 通过边角互化将条件转化为边的关系或角的关系；能判断等腰、直角、等边或钝角三角形；注意多种可能性的讨论 中等难度，常在选择题或填空题中出现，需结合三角恒等变换，注意隐含条件（内角和、大边对大角）
正弦定理判断三角形解的个数 掌握已知两边及一边对角时，通过比较边长与高的大小关系判断解的个数（一解、两解或无解）；能结合几何图形理解 易错考点，常以选择题形式出现，需理解几何意义（圆与射线交点），注意分类讨论和角度的范围
边角互化 能熟练将边的关系转化为对应角的正弦关系（用正弦定理），或将角的正弦化为边的比例；能识别齐次式结构并灵活互化 贯穿所有解三角形题目，是化归思想的核心，需根据目标选择互化方向，简化运算
面积公式的应用 掌握用两边及其夹角求面积；能结合正余弦定理求面积或利用面积建立方程求边角；注意面积与周长、外接圆半径的综合 高频考点，常与正余弦定理结合出现在解答题中，需灵活选择公式，注意三角形存在性对面积范围的限制
正余弦定理的应用 能将实际问题（测量、航海、几何图形等）抽象为解三角形模型；理解仰角、俯角、方向角等术语；能正确建立三角形并求解 应用类题型，注重数学建模，常在解答题第二问或选择题中出现，需准确转化实际条件为边角关系
知识点01 余弦定理
1、对三角形，角A对应的边为，角B对应的边为，角C对应的边为
余弦定理公式：；；．
推论：
2、余弦定理适用范围
（1）已知两边及它们的夹角，求第三边，可用余弦定理求解
（2）已知三边，求三角形的三个角.可用余弦定理.由于余弦函数在)上单调，所以得到的角的大小是唯一的。
3、余弦定理与勾股定理的关系
将已知的边角关系全部化为纯边的关系式（利用余弦定理将角换成边），然后进行代数恒等变形。
若 ，则 （勾股定理逆定理）。
若 ，则 （锐角）。
若 ，则 （钝角）。
4、三角形中的射影定理：在△ABC中，；；
知识点02 正弦定理
1、正弦定理的表示
在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有 ==.
若△ABC外接圆半径为，则有===2R
2、正弦定理常见变形：
①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB；
②======；
③a:b:c=A:B:C；
3、三角形的边角关系：
由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系.
4、正弦定理适用范围
已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理
已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理
（3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者的齐次式，可以考虑用正弦定理。
5、利用正弦定理讨论三角形解的个数
在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下：
若为锐角时：
若A为直角或者钝角时：
知识点03 三角形的面积公式
1、
2、（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．）
知识点04 正余弦定理的应用
1、仰角、俯角、方位角、视角、坡度
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角;方位角指从正北方向顺时针转到目标方向的水平角;观察物体时，从物体两端(上、下或左、右)引出的光线在人眼光心处相交所成的夹角叫视角;坡面的铅直高度和水平宽度/的比叫坡度(或坡比)，用字母表示.
2、解三角形的常见题型
测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.
题型一 正余弦定理的边角互化
解｜题｜技｜巧 正余弦定理实现三角形的边角互化，可以用来化简题目中的条件。 （1）利用正弦定理进行边角互化，需要对等式中的每项进行统一变换。 （2）利用余弦定理，化角为边。
【典例1】（25-26高一下·江苏连云港·期中）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，则的值为________．
【典例2】（25-26高一下·山东烟台·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_____；的最大值为_______.
【变式1】（25-26高一下·江苏盐城·期中）在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________．
【变式2】（多选）（25-26高一下·重庆·期中）（多选）在锐角中，角所对的边分别为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则满足条件的有且仅有1个
C．的取值范围为
D．的取值范围为
题型二 正余弦定理的解三角形综合
答｜题｜模｜板 1、边角互化：正弦定理将边化为角的正弦，或将角的正弦化为边，常用于齐次式、比例式。余弦定理将边与角余弦联系，适合已知三边或两边及夹角。 2、方程联立：面积公式常与正余弦定理联立，形成关于边或角的方程组。 3、多解判断：已知两边及对角时，用正弦定理先求角，注意可能对应一解、两解或无解。
【典例1】（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，，D为边上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2026·江苏扬州·三模）在中，D是线段上一点，且，，则的最大值为_________．
【变式1】（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______．
【变式2】（25-26高一下·四川绵阳·月考）如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则的最大值为__________ ．
题型三 正弦定理判断三角形解的个数
答｜题｜模｜板 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时：根据 若为钝角或直角时：根据
【典例1】（25-26高一下·陕西咸阳·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高一下·河北唐山·期中）（多选）在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式1】（25-26高一下·广东江门·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________.
【变式2】（25-26高一下·河南南阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，满足条件的有两个，则b可能为（ ）
A．2 B． C． D．3
题型四 正余弦定理判断三角形形状
答｜题｜模｜板 将已知的边角关系转化为统一的边或角的关系，再判断形状。 1、观察条件是边的关系、角的关系还是混合。条件为边的等式 ,尝试余弦定理化角。条件含正弦/余弦函数, 尝试正弦定理化边，或直接三角变形。化为最简的边等式或角等式。 2、根据化简结果判断： （1）出现边相等的时候，可判断等腰或者等边。 （2）若，则（勾股定理逆定理）。 （3）若，则（锐角）。 （4）若，则（钝角）。
【典例1】（25-26高一下·四川资阳·期中）在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形
【典例2】（25-26高二下·广东广州·期中）中，的对边分别为，若且，则的形状是（ ）
A．顶角为的等腰三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．顶角为的等腰三角形
【变式1】（25-26高一下·山东济南·阶段检测）在中，角的对边分别是，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定的
【变式2】（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选题）在中，已知，则的形状可能是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
题型五 面积公式的应用
答｜题｜模｜板 三角形面积公式的应用情况： 1、已知两边及夹角，直接用 2、已知三边 ，可先用余弦定理求出角，然后再用面积公式求面积 3、最值问题：利用面积公式转化为函数，用均值不等式或三角函数求最值。
【典例1】（25-26高一下·天津南开·期中）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________．
【典例2】（25-26高一下·安徽池州·期中）在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高一下·江苏·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，．已知 ， ，则的面积为______．
【变式2】（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，，则____________，的面积为____________．
题型六 正余弦定理的应用
答｜题｜模｜板 正余弦定理的应用在测量高度、距离、角度问题上，构造三角形，应用解三角形的思想来求解。
【典例1】（25-26高一下·江苏淮安·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．

【典例2】（25-26高一下·重庆·期中）云外楼（图1）是铁山坪森林公园的标志性建筑，位于山顶的云岭广场，登顶后可以俯瞰长江和铜锣峡的壮丽景色．我校某数学兴趣小组成员为测量云外楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则云外楼的高度（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【变式1】（25-26高一下·四川资阳·期中）数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（多选）（25-26高一下·福建厦门·期中）（多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里
C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1. （25-26高一下·贵州毕节·期中）在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2026·湖北·二模）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
3．（25-26高一下·上海嘉定·月考）十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且E是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察．滑动横档使得A、C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，的影子恰好是．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．在某次测量中，，横档的长度为20，则此时的太阳高度角为______°．（精确到1°）
4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边长分别为．若，则这样的三角形解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
5．（25-26高一下·宁夏银川·期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则其外接圆的半径为__________.
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高一下·广东广州·期中）在三角形中，为边上的一点，若，，，，则__________.
2．（25-26高一下·广东珠海·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
4．（25-26高一下·重庆·期中）在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
5．（25-26高一下·安徽安庆·期中）在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________.
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．（多选）（25-26高一下·陕西咸阳·期中）（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的平分线与AB交于点D，，且，则（ ）
A． B．
C． D．面积的最小值为
2．（多选）（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）（多选）在三角形中，角的对边分别为，满足则以下叙述正确的是（ ）
A．三角形一定不是锐角三角形
B．一定为负值
C．若角是锐角且，则
D．若三角形是直角三角形且，则
3．（2026·江苏苏州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一下·河北石家庄·期中）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高一下·重庆·期中）钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（ ）
A．（0，1） B． C． D．
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专题专题2.6 正余弦定理解三角形（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01正余弦定理的边角互化 题型02正余弦定理的解三角形综合 题型03正弦定理判断三角形解的个数 题型04正余弦定理判断三角形形状 题型05面积公式的应用 题型06正余弦定理的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
正余弦定理解三角形 熟练根据已知条件选择定理（两边一对角、两角一边用正弦；两边及夹角、三边用余弦）；能正确求解边角并验证解的存在性 高频必考题，考查基本运算和定理选用，难度中档
判断三角形形状 通过边角互化将条件转化为边的关系或角的关系；能判断等腰、直角、等边或钝角三角形；注意多种可能性的讨论 中等难度，常在选择题或填空题中出现，需结合三角恒等变换，注意隐含条件（内角和、大边对大角）
正弦定理判断三角形解的个数 掌握已知两边及一边对角时，通过比较边长与高的大小关系判断解的个数（一解、两解或无解）；能结合几何图形理解 易错考点，常以选择题形式出现，需理解几何意义（圆与射线交点），注意分类讨论和角度的范围
边角互化 能熟练将边的关系转化为对应角的正弦关系（用正弦定理），或将角的正弦化为边的比例；能识别齐次式结构并灵活互化 贯穿所有解三角形题目，是化归思想的核心，需根据目标选择互化方向，简化运算
面积公式的应用 掌握用两边及其夹角求面积；能结合正余弦定理求面积或利用面积建立方程求边角；注意面积与周长、外接圆半径的综合 高频考点，常与正余弦定理结合出现在解答题中，需灵活选择公式，注意三角形存在性对面积范围的限制
正余弦定理的应用 能将实际问题（测量、航海、几何图形等）抽象为解三角形模型；理解仰角、俯角、方向角等术语；能正确建立三角形并求解 应用类题型，注重数学建模，常在解答题第二问或选择题中出现，需准确转化实际条件为边角关系
知识点01 余弦定理
1、对三角形，角A对应的边为，角B对应的边为，角C对应的边为
余弦定理公式：；；．
推论：
2、余弦定理适用范围
（1）已知两边及它们的夹角，求第三边，可用余弦定理求解
（2）已知三边，求三角形的三个角.可用余弦定理.由于余弦函数在)上单调，所以得到的角的大小是唯一的。
3、余弦定理与勾股定理的关系
将已知的边角关系全部化为纯边的关系式（利用余弦定理将角换成边），然后进行代数恒等变形。
若 ，则 （勾股定理逆定理）。
若 ，则 （锐角）。
若 ，则 （钝角）。
4、三角形中的射影定理：在△ABC中，；；
知识点02 正弦定理
1、正弦定理的表示
在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有 ==.
若△ABC外接圆半径为，则有===2R
2、正弦定理常见变形：
①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB；
②======；
③a:b:c=A:B:C；
3、三角形的边角关系：
由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系.
4、正弦定理适用范围
已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理
已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理
（3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者的齐次式，可以考虑用正弦定理。
5、利用正弦定理讨论三角形解的个数
在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下：
若为锐角时：
若A为直角或者钝角时：
知识点03 三角形的面积公式
1、
2、（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．）
知识点04 正余弦定理的应用
1、仰角、俯角、方位角、视角、坡度
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角;方位角指从正北方向顺时针转到目标方向的水平角;观察物体时，从物体两端(上、下或左、右)引出的光线在人眼光心处相交所成的夹角叫视角;坡面的铅直高度和水平宽度/的比叫坡度(或坡比)，用字母表示.
2、解三角形的常见题型
测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.
题型一 正余弦定理的边角互化
解｜题｜技｜巧 正余弦定理实现三角形的边角互化，可以用来化简题目中的条件。 （1）利用正弦定理进行边角互化，需要对等式中的每项进行统一变换。 （2）利用余弦定理，化角为边。
【典例1】（25-26高一下·江苏连云港·期中）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，则的值为________．
【答案】2
【详解】由得，
所以，所以，所以.
【典例2】（25-26高一下·山东烟台·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_____；的最大值为_______.
【答案】 3
【分析】根据题意利用余弦定理可得；利用余弦定理消去b结合基本不等式可得，进而分析的最大值.
【详解】由余弦定理和，可得，
所以，则；
由余弦定理，，
当且仅当，即时，等号成立，
而，
由可得为锐角，且，则，
故的最大值为.
【变式1】（25-26高一下·江苏盐城·期中）在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________．
【答案】
【分析】根据三角恒等变换得，再根据余弦定理，正弦定理角化边得，最后根据已知条件即可求得答案.
【详解】因为，所以
所以
因为，，为外接圆半径，
所以
因为，
所以，
【变式2】（多选）（25-26高一下·重庆·期中）（多选）在锐角中，角所对的边分别为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则满足条件的有且仅有1个
C．的取值范围为
D．的取值范围为
【答案】ABD
【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换可得，结合三角形形状可得，可判断A，对于B，利用正弦定理化简可得，结合余弦定理化简求解可判断；对于C，由结合正弦函数单调性可判；对于D，将所求表达式化简并利用对勾函数性质计算可得结果.
【详解】依题意，由正弦定理可得，即；
所以，
又因为为锐角三角形，所以，即，
又，且，
可得，；故A正确；
对于B，由于，则，由正弦定理可得：，
由余弦定理可得，解得：，
因为，所以仅有一个解满足条件，即满足条件的有且仅有1个，故B正确；
对于C，，令
由于在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
则，即，
所以的取值范围为，故C错误；
对于D，
；
显然，由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以可得，故D正确.
题型二 正余弦定理的解三角形综合
答｜题｜模｜板 1、边角互化：正弦定理将边化为角的正弦，或将角的正弦化为边，常用于齐次式、比例式。余弦定理将边与角余弦联系，适合已知三边或两边及夹角。 2、方程联立：面积公式常与正余弦定理联立，形成关于边或角的方程组。 3、多解判断：已知两边及对角时，用正弦定理先求角，注意可能对应一解、两解或无解。
【典例1】（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，，D为边上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，则可在中利用正弦定理求出，则可求出，从而可结合得到与间关系，再利用即可得解.
【详解】设，则，，
由，则，，
在中，由正弦定理可得，
由，则，故，
由，故，故，即，
则
，
则，即．
【典例2】（2026·江苏扬州·三模）在中，D是线段上一点，且，，则的最大值为_________．
【答案】
【分析】设角并利用正弦定理转化，将的最值问题转化为三角函数的最值问题，借助辅助角公式求得最大值即可.
【详解】如图，设，则，所以，
由正弦定理可得，在中：；
在中，可得，即，
因为，
所以代入得，
得到，
令，则，设，
则，得到，
可得，解得，即，
得到，因为为锐角，所以，即.
【变式1】（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______．
【答案】
【分析】由余弦定理先求得，根据求得，进而求得，再根据正弦定理得出，设，由三角形面积公式列出方程即可求解．
【详解】由和余弦定理，可得，
因，则，
又由可得，
因，则
，
由正弦定理得，，设，
则，解得（负值舍去），
所以．
【变式2】（25-26高一下·四川绵阳·月考）如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则的最大值为__________ ．
【答案】
【分析】设，，先利用余弦定理求出，进而同法求出表达式，通过三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求出的最大值.
【详解】设，，因为，则，，
由余弦定理，可得，
因为，则.
在中，，则.
在中，由余弦定理，，
代入得，
，
，
由，则，
所以当，即时，取最大值，
此时取最大值为.
题型三 正弦定理判断三角形解的个数
答｜题｜模｜板 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时：根据 若为钝角或直角时：根据
【典例1】（25-26高一下·陕西咸阳·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理得到边与角的关系，再结合三角形有两解的条件来确定b的取值范围.
【详解】在中，，，
由正弦定理可得： ，
因为，且时，时，
要使有两解，
则的取值有两个，一个锐角，一个钝角，
由于，且为三角形内角，
所以的取值范围是，
同时有两解时的取值要满足，
由，可得，
又因为，可得，
综上，的取值范围为.
【典例2】（25-26高一下·河北唐山·期中）（多选）在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】BD
【分析】对各选项，先用正弦定理计算 ，再结合边的大小关系判断角的范围与解的个数；钝角选项直接由大边对大角排除矛盾情况；等腰选项直接由等边对等角求出唯一解，从而筛选出恰有一解的选项．
【详解】对于A，由，得，
因为为锐角，且，，即，
所以三角形有两解，A错误；
对于B，由，得，
因为，所以，故必为锐角，所以只有一解，B正确；
对于C，因为，则是的最大内角，
又由，得，所以无解，C错误；
对于D，由，得，，恰有一个解，D正确．
【变式1】（25-26高一下·广东江门·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________.
【答案】
【详解】在中，由正弦定理及有两解，
得且，解得，
所以所求的取值范围是.
【变式2】（25-26高一下·河南南阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，满足条件的有两个，则b可能为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【详解】已知，，根据正弦定理，
可得，
要使三角形有两个解，需满足：且，
即：，解得：.
时，满足条件，有两解.
题型四 正余弦定理判断三角形形状
答｜题｜模｜板 将已知的边角关系转化为统一的边或角的关系，再判断形状。 1、观察条件是边的关系、角的关系还是混合。条件为边的等式 ,尝试余弦定理化角。条件含正弦/余弦函数, 尝试正弦定理化边，或直接三角变形。化为最简的边等式或角等式。 2、根据化简结果判断： （1）出现边相等的时候，可判断等腰或者等边。 （2）若，则（勾股定理逆定理）。 （3）若，则（锐角）。 （4）若，则（钝角）。
【典例1】（25-26高一下·四川资阳·期中）在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形
【答案】B
【分析】将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角为直角.
【详解】因为，所以，
即，
所以，
即，
整理得，
角为直角，为直角三角形.
【典例2】（25-26高二下·广东广州·期中）中，的对边分别为，若且，则的形状是（ ）
A．顶角为的等腰三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．顶角为的等腰三角形
【答案】C
【分析】由向量条件可先证得，即是以为顶角的等腰三角形；再结合面积条件求出 ，故该三角形为等腰直角三角形.
【详解】由题意，，
又因为，所以，
展开得，
因为，
代入上式，得，
即，整理得，
由于三角形内角满足，
故，于是，
即，所以是以为顶角的等腰三角形.
由且 ，得
另一方面，
又由余弦定理，
从而得到，
解得，
即，
即，
所以，
因为，所以，
故，于是，
从而，因此是等腰直角三角形.
【变式1】（25-26高一下·山东济南·阶段检测）在中，角的对边分别是，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定的
【答案】C
【详解】因为，由正弦定理得，所以
因为，所以.
所以为的最大角.
由余弦定理可得，
所以是钝角，则是钝角三角形．
【变式2】（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选题）在中，已知，则的形状可能是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】BD
【详解】将，（为外接圆的半径）代入已知条件，
得，则．
因为，所以，
所以，所以或，
所以或，故为等腰三角形或直角三角形．
题型五 面积公式的应用
答｜题｜模｜板 三角形面积公式的应用情况： 1、已知两边及夹角，直接用 2、已知三边 ，可先用余弦定理求出角，然后再用面积公式求面积 3、最值问题：利用面积公式转化为函数，用均值不等式或三角函数求最值。
【典例1】（25-26高一下·天津南开·期中）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________．
【答案】
【分析】利用正弦定理，得出关于角的三角等式，进而可求得的值即可；根据为锐角三角形求得角的取值范围，结合三角形的面积以及正弦函数的性质求面积取值范围.
【详解】已知，根据正弦定理，.
因为，且，化简得.
因为是锐角三角形，所以.
因为，所以，即.
因为为锐角三角形，故，解得.
由正弦定理，所以，.
因此面积.
由，得，故，
因此.
【典例2】（25-26高一下·安徽池州·期中）在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦定理及两角和的正弦公式得出，再根据三角形中线的向量表示及平面向量数量积的运算律得出，由三角形面积公式即可求解．
【详解】由已知条件，化简得．
由正弦定理得，，
又，所以，
所以，由于为锐角三角形，所以．
边上的中线长为，
设边上的中线长为，则，
所以
，
所以，
所以．

【变式1】（25-26高一下·江苏·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，．已知 ， ，则的面积为______．
【答案】
【分析】利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
由正弦定理得，
所以，
由于，
所以为钝角，故，
所以，
所以.
【变式2】（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，，则____________，的面积为____________．
【答案】
【分析】先利用三角形内角和求出角，通过角度恒等变换关联，结合和差角公式得到正切乘积，再结合正弦定理与面积公式求解三角形面积.
【详解】由，，可得，即，故.
则，，所以，
因此.
又，
联立,
解得，，
则.
由，结合正弦定理与三角形面积公式，
.
题型六 正余弦定理的应用
答｜题｜模｜板 正余弦定理的应用在测量高度、距离、角度问题上，构造三角形，应用解三角形的思想来求解。
【典例1】（25-26高一下·江苏淮安·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．

【答案】
【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可.
【详解】由题意知，平面，，，，.
因为平面，所以，.
在中，，所以.
在中，，所以.
在中，由余弦定理得，，
即，整理得，
即，解得或.
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
故.
【典例2】（25-26高一下·重庆·期中）云外楼（图1）是铁山坪森林公园的标志性建筑，位于山顶的云岭广场，登顶后可以俯瞰长江和铜锣峡的壮丽景色．我校某数学兴趣小组成员为测量云外楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则云外楼的高度（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得.
【详解】设，依题意，，，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由，
可得：
解得：
【变式1】（25-26高一下·四川资阳·期中）数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设，因为，所以，
又因为，所以，
所以，解得.
所以.
【变式2】（多选）（25-26高一下·福建厦门·期中）（多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里
C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南
【答案】BCD
【分析】作出示意图，利用正弦定理、余弦定理解三角形，结合方向角的概念逐项判断即可.
【详解】作出示意图如下图所示：
对于A选项，由题意可知，故处在灯塔的西偏北，A错；
对于B选项，在中，，，，故，
由正弦定理得，故，
即处与处之间的距离是海里，B对；
对于C选项，在中，，，，
由余弦定理可得，
故，即灯塔与处之间的距离是海里，C对；
对于D选项，因为，则，故灯塔在处的西偏南，D对.
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1. （25-26高一下·贵州毕节·期中）在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】在中，由及余弦定理，得，
则，所以的面积为.
2．（2026·湖北·二模）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【详解】在中，，
又可得，从而；
利用余弦定理和面积公式可将化为，
所以，从而，故是等边三角形.
3．（25-26高一下·上海嘉定·月考）十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且E是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察．滑动横档使得A、C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，的影子恰好是．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．在某次测量中，，横档的长度为20，则此时的太阳高度角为______°．（精确到1°）
【答案】28
【分析】根据题意可求出，再根据二倍角的正切公式可求得，进而求解.
【详解】由题意知为锐角，
因为E是的中点，横档与杆垂直，所以，
所以为等腰三角形，所以.
又，横档的长度为20，所以，
所以，
所以.
4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边长分别为．若，则这样的三角形解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
【答案】C
【分析】根据判断即可.
【详解】因为，所以
所以，即，
所以这样的三角形解的个数为2个，如图.
5．（25-26高一下·宁夏银川·期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则其外接圆的半径为__________.
【答案】
【分析】利用余弦定理及三角形面积公式求出，再由正弦定理求解.
【详解】由可得，
因为，所以，
所以，解得，
所以，即，
由正弦定理知，，即.
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高一下·广东广州·期中）在三角形中，为边上的一点，若，，，，则__________.
【答案】2
【分析】根据同角三角函数关系求出，，利用两角差的正弦公式求出，结合三角形面积公式及代入求解即可.
【详解】在中，，所以.
在中，，所以.
所以
.
因为为边上的一点，所以，
即，
则，
整理得，解得.
2．（25-26高一下·广东珠海·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求的正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积.
【详解】在中，由正弦定理得，
即，解得，而为三角形内角，所以，
，，
所以。
则.故选：B.
3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】根据两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，结合二倍角的正弦公式、正弦定理进行运算判断即可.
【详解】
，
，或，
当时，因为，所以，因此该三角形是直角三角形；
当时，可得，
由正弦定理可得：，所以由，可得，因此该三角形是等腰三角形，
综上所述：该三角形是等腰或直角三角形.
故选：D
4．（25-26高一下·重庆·期中）在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】由同角三角函数基本关系、正弦定理、辅助角公式化简可得，进而可得，由此判断三角形形状.
【详解】若，得，
由正弦定理可得，
化简可得，即，
利用辅助角公式可得，
即，
所以或，或者（舍），
所以一定是直角三角形.
5．（25-26高一下·安徽安庆·期中）在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________.
【答案】
【分析】利用正弦定理，化简已知条件，得到；再根据正弦定理和余弦定理，将目标式化为关于的三角函数，进而求三角函数的最大值即可.
【详解】因为，由正弦定理可得：，
又，，则
因为
，
当且仅当时，取得最大值，最大值为，也即的最大值为.
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．（多选）（25-26高一下·陕西咸阳·期中）（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的平分线与AB交于点D，，且，则（ ）
A． B．
C． D．面积的最小值为
【答案】ACD
【分析】由正弦定理边化角，结合和差公式可求得；由，可得，结合基本不等式可得，再由余弦定理可求得的最小值为；由常值代换可求得；面积的最小值为.
【详解】如图：
由正弦定理得，
又，，
化简得，
即，
又，
故，又，
，
又，，故A正确；
由得，，
整理得，当且仅当时取等号.
由余弦定理得，
由函数的单调性知当时，取得最小值，取得最小值，故B错误；
由得，
所以，又，
当且仅当时，即时取等号，所以，故C正确；
，，当且仅当时取等号，
故D 正确
2．（多选）（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）（多选）在三角形中，角的对边分别为，满足则以下叙述正确的是（ ）
A．三角形一定不是锐角三角形
B．一定为负值
C．若角是锐角且，则
D．若三角形是直角三角形且，则
【答案】ABC
【分析】利用余弦定理得出，中有一个是直角或钝角，可判断A，然后再结合余弦定理判断BC，由是直角求得，进而判断D.
【详解】对A，由余弦定理得，
又，
所以，即，
所以中有一个是直角或钝角，三角形不是锐角三角形，A正确；
对B，由选项A分析知中有一个是直角或钝角，一定是锐角，
所以，B正确；
对C，若角是锐角，则，由选项A知，即，
又，所以，，
所以，C正确；
对D，由选项A知中有一个是直角或钝角，
现在是直角三角形，
若，又，则，不是，D错误.
3．（2026·江苏苏州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦定理角化边得到，再由三角形面积公式、基本不等式即可求解.
【详解】根据正弦定理 （为外接圆半径），
得 ，
代入已知等式： ，
整理得： ，即 ，
又 的面积公式为 ，
将代入得： ，
因此： ， 当且仅当时，取等号，
即面积的最大值为.
4．（25-26高一下·河北石家庄·期中）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦定理得到，进而可求解.
【详解】因为三角形中，
所以由，可得，
即，
所以，
即，
又在锐角三角形中，，
则或，即或（舍去）.
因为.
由正弦定理可得，
则
因为是锐角三角形，所以，
所以，所以，
则.
5．（25-26高一下·重庆·期中）钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（ ）
A．（0，1） B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用正弦定理将条件 转化为角的关系，结合钝角三角形的限制，推出 的取值范围，再将目标式 转化为关于 的函数，最后结合函数单调性求出取值范围即可.
【详解】因为，由正弦定理得，，
即，中，故，
由及为钝角三角形可得，，
由正弦定理得，
，
由各内角大于0，即，可得，故，
对勾函数在上单调递减，且，
所以，的取值范围为.
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