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专题2.3 平面向量中极化恒等式及常见公式（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 极化恒等式求数量积 题型02 极化恒等式求向量数量积的最值（范围） 题型03 极化恒等式在求边求角中的应用 题型04 对角线向量定理的应用 题型05 四边形对角线与边长公式的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
化恒等式求数量积 理解极化恒等式如何将两个向量的数量积转化为中线长与底边半长的关系；能在三角形或平行四边形中快速求共起点向量的数量积 高频技巧，常在选择题或填空题中出现，用于简化有中线结构的数量积运算，避免坐标化或定义计算
极化恒等式求数量积的取值范围 能利用极化恒等式将数量积的取值范围问题转化为线段长度（中线长）的取值范围问题；结合几何图形（如动点轨迹）求最值或范围 中等难度，常与动点、三角形边角范围结合考查，重在转化思想和几何直观，是求数量积最值的重要方法
向量数乘余弦定理 掌握用向量数乘和点积表示三角形边长的平方关系，理解向量形式的余弦定理与代数余弦定理的一致性；能用于证明三角形边角关系或求参数 基础应用，常作为解三角形与向量知识的交汇点，多在解答题中辅助推导边角关系，较少单独命题
对角线向量定理 理解平行四边形中“对角线平方和等于四边平方和”的向量本质；能推广到一般四边形，用于求对角线长度或证明垂直关系 拓展内容，常出现在向量与几何综合题中，用于建立对角线与其他边的等量关系，简化长度计算
知识点01 极化恒等式
1、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：
①，
②，
②两式相加得：
从几何角度理解与记忆，
2、极化恒等式：
①②两式相减得极化恒等式：
从三角形的几何意义理解与记忆：极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系．
知识点02 向量数乘余弦定理
1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和：
换成三角形的中线，则有
2、结合极化恒等式有向量数乘余弦定理：
知识点03 对角线向量定理
对四边形，则对角线向量定理有：
题型一 极化恒等式求数量积
解｜题｜技｜巧 从极化恒等式的几何意义可知，向量的数量积可以由向量的模来表示，它等于中线的平方减去第三边一半的平方。
【典例1】（25-26高一下·河南南阳·期中）在边长为1的正方形中，P为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（ ）

A． B． C． D．
【变式1】（2026·河北雄安·三模）如图，在矩形中，，为的中点，为等边三角形，为的中心，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高一下·河北邢台·期中）铜钱，古代铜质辅币，大多为圆形方孔，其几何形状如图所示．若图中正方形ABCD的边长为2，圆O的半径为3，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点P在圆O上，则（ ）
A．1 B．5 C．7 D．8
题型二 极化恒等式求向量数量积的最值（范围）
答｜题｜模｜板 1、极化恒等式： 从三角形的几何意义理解与记忆：极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系． 2、用极化恒等式信号： （1）出现一动点与两定点（或固定长度的两点）。 （2）出现对角线长度已知的平行四边形。 （3）已知两个向量的和向量与差向量的长度。
【典例1】（多选）（25-26高一下·湖北十堰·期中）已知点在以为直径的圆上运动，且，动点M为平面内一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1 B．的最小值为
C．的最大值为2 D．的最大值为8
【典例2】（25-26高一下·安徽芜湖·期中）在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，且满足，是正方形边上的任意一点，则的最大值为__________．
【变式1】（25-26高一下·河北保定·期中）已知点P为边长为2的等边外接圆⊙O上的一个动点，则的取值范围是______
【变式2】（25-26高一下·宁夏·期中）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的一条直径，且．，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三 极化恒等式在求边求角中的应用
答｜题｜模｜板 根据极化恒等式公式，若动点到两个定点的向量数量积为定值，则的轨迹为圆，根据这个几何性质来确定的位置，再来求边跟角。
【典例1】（25-26高一下·浙江·期中）已知点是半径为4的圆内一点，，，为圆上任意两点，当取得最大值时，______.
【典例2】（25-26高一下·北京大兴·期中）在中，已知，，，点在线段上运动，当取得最小值时，（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高一下·云南曲靖·阶段检测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且，则cos∠ACB的取值范围为______．
题型四 对角线向量定理的应用
答｜题｜模｜板 对四边形，则对角线向量定理有： 根据对角线向量定理可以用来求四边形的对角线的数量积或者三角形中的中线与对应边的数量积。
【典例1】（24-25高一下·山东威海·期末）已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（ ）
A． B．12 C． D．18
【典例2】（25-26高一下·江苏·期中）在边长为2的菱形中，，E为中点，则的值为______．
【变式1】（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）在梯形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，且，点F在线段AB上，且，平面内的动点P满足，则的最大值为_______．
【变式2】（25-26高三上·湖南永州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为__________.
题型五 四边形对角线与边长公式的应用
答｜题｜模｜板 1、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
【典例1】（25-26高二下·海南·月考）已知和是平行四边形ABCD的对角线，若，则__________．
【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________．
【变式1】（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）在中，若，，，则_________．
【变式2】（2026·云南·模拟预测）已知为的边的中点，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高三上·全国·月考）已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆内切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（ ）

A．1 B．3 C．5 D．8
2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知中，，且E为中点，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
3．（25-26高一下·福建厦门·期中）在中，已知，，，D为BC的中点，则线段AD的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，，在正方形的边上，且，关于点对称，则的值可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ）
A． B． C． D．
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高一下·广东江门·期中）如下图，在四边形中，，，，，，分别为边，上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．24 B． C．30 D．20
2．（25-26高一下·四川绵阳·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．1
3．（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）中，，是边的中点．若，，则的长等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2026·福建南平·二模）勒洛三角形是一种特殊的曲边三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知的边长为1，P为弧上任意一点，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
5.（2025高三·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，与交于点，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．（25-26高一下·河南·期中）已知是半径为2的圆上的三个点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一下·山东烟台·期中）已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，且，则的最小值为_____；若是正方形的内切圆的一条弦，当弦的长度最大时，则的最大值为_____.
4．（25-26高一下·宁夏银川·期中）正方形边长为，点在线段上运动，则的取值范围为______．
5．（24-25高一下·湖南常德·阶段检测）如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
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专题2.3 平面向量中极化恒等式及常见公式（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 极化恒等式求数量积 题型02 极化恒等式求向量数量积的最值（范围） 题型03 极化恒等式在求边求角中的应用 题型04 对角线向量定理的应用 题型05 四边形对角线与边长公式的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
化恒等式求数量积 理解极化恒等式如何将两个向量的数量积转化为中线长与底边半长的关系；能在三角形或平行四边形中快速求共起点向量的数量积 高频技巧，常在选择题或填空题中出现，用于简化有中线结构的数量积运算，避免坐标化或定义计算
极化恒等式求数量积的取值范围 能利用极化恒等式将数量积的取值范围问题转化为线段长度（中线长）的取值范围问题；结合几何图形（如动点轨迹）求最值或范围 中等难度，常与动点、三角形边角范围结合考查，重在转化思想和几何直观，是求数量积最值的重要方法
向量数乘余弦定理 掌握用向量数乘和点积表示三角形边长的平方关系，理解向量形式的余弦定理与代数余弦定理的一致性；能用于证明三角形边角关系或求参数 基础应用，常作为解三角形与向量知识的交汇点，多在解答题中辅助推导边角关系，较少单独命题
对角线向量定理 理解平行四边形中“对角线平方和等于四边平方和”的向量本质；能推广到一般四边形，用于求对角线长度或证明垂直关系 拓展内容，常出现在向量与几何综合题中，用于建立对角线与其他边的等量关系，简化长度计算
知识点01 极化恒等式
1、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：
①，
②，
②两式相加得：
从几何角度理解与记忆，
2、极化恒等式：
①②两式相减得极化恒等式：
从三角形的几何意义理解与记忆：极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系．
知识点02 向量数乘余弦定理
1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和：
换成三角形的中线，则有
2、结合极化恒等式有向量数乘余弦定理：
知识点03 对角线向量定理
对四边形，则对角线向量定理有：
题型一 极化恒等式求数量积
解｜题｜技｜巧 从极化恒等式的几何意义可知，向量的数量积可以由向量的模来表示，它等于中线的平方减去第三边一半的平方。
【典例1】（25-26高一下·河南南阳·期中）在边长为1的正方形中，P为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量三角形法则转化到、为基底上计算即可.
【详解】
.
【典例2】（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合题设易得为等边三角形，可得，，进而得到，再结合平面向量数量积的运算律求解即可.
【详解】由，为中点，则，
因为，，所以为等边三角形，
则，，而，则，
由，，
所以
.
故选：B.
【变式1】（2026·河北雄安·三模）如图，在矩形中，，为的中点，为等边三角形，为的中心，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助等边三角形性质、平面向量线性运算与数量积公式计算即可得.
【详解】由为等边三角形，则,
由为的中心，则，，
则
.
【变式2】（25-26高一下·河北邢台·期中）铜钱，古代铜质辅币，大多为圆形方孔，其几何形状如图所示．若图中正方形ABCD的边长为2，圆O的半径为3，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点P在圆O上，则（ ）
A．1 B．5 C．7 D．8
【答案】C
【分析】结合图形将用，表示，再根据向量的数量积运算律计算即得．
【详解】
连接，，，则；
故，；
故，
，，
故．
题型二 极化恒等式求向量数量积的最值（范围）
答｜题｜模｜板 1、极化恒等式： 从三角形的几何意义理解与记忆：极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系． 2、用极化恒等式信号： （1）出现一动点与两定点（或固定长度的两点）。 （2）出现对角线长度已知的平行四边形。 （3）已知两个向量的和向量与差向量的长度。
【典例1】（多选）（25-26高一下·湖北十堰·期中）已知点在以为直径的圆上运动，且，动点M为平面内一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1 B．的最小值为
C．的最大值为2 D．的最大值为8
【答案】AB
【分析】对于AC，结合点和点的轨迹及即可判断；对于BD，根据向量的数量积公式，分析的最小值及最大值即可．
【详解】对于AC，设AB中点为，因为，，
且，所以，
所以，由题意可知，因为，
所以，
即，
当，即、同向时取得最小值1，
当，即、反向时取得最大值3，
故A正确，C错误；
对于BD，，
因为，即，
所以当，即、反向时，取得最小值，
当，即、同向时，取得最大值，
所以，
由图可知，当、、三点共线且、在的两侧时，
取得最大值为，
所以，即最小值为，此时、在的两侧时，
且、反向，并有C、B两点重合，
，即最大值为，此时、在的两侧时，
且、同向，并有C、A两点重合，
故B正确，D错误．
【典例2】（25-26高一下·安徽芜湖·期中）在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，且满足，是正方形边上的任意一点，则的最大值为__________．
【答案】
【分析】根据数量积的运算可得，再由正方形的性质可得最大值.
【详解】连接，取的中点，连接，由题意知，所以，
则．
易知当点与点重合时，取得最大值，且，
故由正方形的性质知，
所以的最大值为．
【变式1】（25-26高一下·河北保定·期中）已知点P为边长为2的等边外接圆⊙O上的一个动点，则的取值范围是______
【答案】
【分析】利用恒等式，将与建立联系，再通过的范围求的取值范围.
【详解】连接并延长交于，同时交圆于，由等边的性质知是的中点，且，
，
，
当点P在圆上运动时，P位于C处时，有最大值为；
当P位于Q处时，有最小值为；
所以，
所以.
【变式2】（25-26高一下·宁夏·期中）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的一条直径，且．，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段上，即可求出的取值范围，即可得解
【详解】如图，连接,
则
因为点在线段上且，则圆心 到直线的距离，
所以，所以，
所以的取值范围是．
题型三 极化恒等式在求边求角中的应用
答｜题｜模｜板 根据极化恒等式公式，若动点到两个定点的向量数量积为定值，则的轨迹为圆，根据这个几何性质来确定的位置，再来求边跟角。
【典例1】（25-26高一下·浙江·期中）已知点是半径为4的圆内一点，，，为圆上任意两点，当取得最大值时，______.
【答案】2
【分析】设为和的夹角，则
，由的范围可得答案.
【详解】如图，取中点为，连接，则，且，
设为和的夹角，则
，
且，
当且仅当时，即与反向时右侧等号成立，
因，
，则当时，有最大值，
此时三点共线.
于是共线且点在点与之间，故.
【典例2】（25-26高一下·北京大兴·期中）在中，已知，，，点在线段上运动，当取得最小值时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设，可用、表示出、，再利用数量积公式计算可得取得最小值时的的值，从而可得此时的长度.
【详解】由，，则为等腰直角三角形，故，
设，，则，
，
则
，
当且仅当时，取得最小值，
此时，则.
【变式1】（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】选择为基底法，由， ，求得.根据向量共线定理及，确定点的位置，从而求得.
【详解】由已知，
；
；
联立可得.
设，.
则.
因为，所以，解得.
所以，点是上靠近点的三等分点，
所以；
【变式2】（25-26高一下·云南曲靖·阶段检测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且，则cos∠ACB的取值范围为______．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，设，，则根据向量的线性运算可求出坐标，从而可得，再利用向量的数量积公式，结合三角函数的取值范围从而得出结论.
【详解】以A为原点，AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设AB的中点为D，则D，G，C共线且，
设，，则，
故，
故，故，
所以，故，
而，，
故，
而，故，故，
所以，．
题型四 对角线向量定理的应用
答｜题｜模｜板 对四边形，则对角线向量定理有： 根据对角线向量定理可以用来求四边形的对角线的数量积或者三角形中的中线与对应边的数量积。
【典例1】（24-25高一下·山东威海·期末）已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（ ）
A． B．12 C． D．18
【答案】B
【分析】若是的中点，根据已知得，则，结合向量数量积的几何意义求数量积.
【详解】设是的中点，由，则，
所以，又，
则.
故选：B

【典例2】（25-26高一下·江苏·期中）在边长为2的菱形中，，E为中点，则的值为______．
【答案】1
【详解】如图所示,在边长为2的菱形中，，E为中点，
所以 ，
，
，
，
.
【变式1】（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）在梯形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，且，点F在线段AB上，且，平面内的动点P满足，则的最大值为_______．
【答案】
【分析】根据得到，再以A为原点建立直角坐标系，再根据向量数量积求解即可.
【详解】由得，.
以为原点，为轴建立直角坐标系，则，.
设，则.
由得：，即 ①；
由，相似比得 ，
故 ，即 ②.
②-①得：
，代入①得 ，因此，.
由得，动点满足，
故轨迹为以为圆心，半径1的圆.
设，为与x轴的夹角.
进而， ，
所以，其中.
故的最大值为.
【变式2】（25-26高三上·湖南永州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为__________.
【答案】
【分析】由题意建立直角坐标系，根据等腰梯形求边长，高，表示出点的坐标，再根据向量数量积的坐标公式以及三角函数性质，可得答案.
【详解】
如图，以为原点，建立直角坐标系.
由题意，梯形的高长为，则.
因为以为圆心的半径为的圆的方程为：，可设点，.
则
其中，，
故当时，.
故答案为：
题型五 四边形对角线与边长公式的应用
答｜题｜模｜板 1、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
【典例1】（25-26高二下·海南·月考）已知和是平行四边形ABCD的对角线，若，则__________．
【答案】5
【分析】平行四边形中，，根据数量积的运算律可得，由此得，从而解得.
【详解】平行四边形中，，
所以，
.
两式相加，得，
即，
所以，解得，所以.
【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________．
【答案】
【分析】以为基底，表示出和，根据，可求的值，再求即可.
【详解】设，，则，．
因为，
所以．所以．
又．
所以，即．
故答案为：
【变式1】（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）在中，若，，，则_________．
【答案】
【分析】利用化简即可求解.
【详解】由，可得，所以，
所以
【变式2】（2026·云南·模拟预测）已知为的边的中点，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先得到，两边平方，结合向量数量积公式和，得到，求出答案.
【详解】由已知得，
所以
，
因为，则，
所以，即.
故选：D.
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高三上·全国·月考）已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆内切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（ ）

A．1 B．3 C．5 D．8
【答案】B
【分析】由向量的线性运算及数量积运算即可求解.
【详解】.
故选：.
2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知中，，且E为中点，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【详解】，
已知中，，
，
E为中点，
，故，
．
3．（25-26高一下·福建厦门·期中）在中，已知，，，D为BC的中点，则线段AD的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是中点，由向量的中点公式可得：，
将上式两边平方得：
.
已知，，且，代入得：
，
对两边开平方得：.
4．（多选）（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，，在正方形的边上，且，关于点对称，则的值可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】BC
【详解】由题意可得.
因为正方形的边长为2，所以，所以，则.
5．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理求出角，结合图形写出中线向量的表达式，由向量数量积的运算律，代入即可求得中线的长度.
【详解】在中,
由余弦定理，，
则.
因点是的中点，则，
两边平方得
， 故.
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高一下·广东江门·期中）如下图，在四边形中，，，，，，分别为边，上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．24 B． C．30 D．20
【答案】A
【分析】设中点为，连接，，由题意可得，由向量的线性运算可得，，由,求解即可.
【详解】设中点为，连接，
因为，
所以，
所以，
所以的轨迹是以为圆心，1为半径的一段圆弧，
连接，
则,
所以，
所以
因为,
所以.
2．（25-26高一下·四川绵阳·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】分析出为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，表达出，求出最小值.
【详解】分别表示与同方向的单位向量，
故为的平分线所在直线，
又，故的平分线所在直线与垂直，
由三线合一可得，
取的中点，则，，
，故，
所以为等腰直角三角形，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，，
则，
故当时，取得最小值，最小值为.
3．（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）中，，是边的中点．若，，则的长等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】结合三角形中线性质和平面向量基本定理用表示，再对等式平方运算求解即可.
【详解】由，可得，
则
，
所以，即的长为.
4．（2026·福建南平·二模）勒洛三角形是一种特殊的曲边三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知的边长为1，P为弧上任意一点，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】以为原点建立如图所示坐标系
则，设则，，
所以，
因为P为弧上任意一点，为边长为1的等边三角形，所以，
所以，即的范围为.
5.（2025高三·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，与交于点，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】法一：根据对角线向量定理，可得角的类别以及线段长度的大小关系，根据向量点乘积的计算公式，可得答案；法二：根据对角线向量定理，结合数量积的运算律，可得答案.
【详解】由对角线向量定理得,
故为锐角，设点为的中点，
而，故为钝角，
且.
法一： ，，
，则，即.
法二：因为，，
，故；
所以，
而，
由，则，所以.
故选：B．
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．（25-26高一下·河南·期中）已知是半径为2的圆上的三个点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的加法以及投影向量表示出，再分析求解即可.
【详解】 已知圆半径，弦，设圆心为，设线段的中点为，
则，进而.
因为，则.
.
，
其中是向量在向量上的投影.
对于圆上任意点，投影到直线得到，
到的平行于方向的最大偏移量等于圆的半径，
因此到的有向距离，即，因此.
则.
2．（25-26高一下·山东烟台·期中）已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案
【详解】以A为原点，、所在的直线分别为轴建立
如图所示的平面直角坐标系，则，，，
，所以，
设，故，
因为，所以，
则，，
所以，
因为，其对称轴为，取得最小值，
当，取得最大值，所以

3．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，且，则的最小值为_____；若是正方形的内切圆的一条弦，当弦的长度最大时，则的最大值为_____.
【答案】 16 /0.25
【分析】根据平面向量共线的性质以及基本不等式即可求得的最小值；结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围.
【详解】根据题意由为线段上的动点，可知，，三点共线，
又，可得，
因此，且，，
所以
；
当且仅当时，等号成立，即的最小值为16；
取内切圆的圆心为，连接，如图所示：
易知弦的长度最大时，为直径，此时；
又
；
显然当最大时，即在点处时，此时，取得最大值，
即.
4．（25-26高一下·宁夏银川·期中）正方形边长为，点在线段上运动，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】由题意，以，为，轴建立直角坐标系，可求得各点坐标，设，进而可得与的坐标，结合数量积的坐标公式，可得关于的二次函数，由二次函数的图象性质，即可求得取值范围.
【详解】分别以，所在的直线为，轴建立平面直角坐标系，则，，，，
设，则，，，，
所以，
所以，
所以当时，函数有最大值为，当时，函数有最小值为，
所以的取值范围是．
5．（24-25高一下·湖南常德·阶段检测）如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用表示，再利用数量积的运算律计算即得.
【详解】在中，点在线段上，且，
则，
，而，因此，
即，所以.
故选：A
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