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专题05 平面向量在几何中应用（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01向量判断三角形的形状 题型02数形结合求模长范围 题型03求向量夹角及取值范围 题型04求投影向量 题型05求数量积的最值与范围 题型06平面向量在几何中的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
线性运算的几何意义 理解向量加法、减法、数乘的几何操作（三角形法则、平行四边形法则、伸缩与反向）；能根据图形准确作出向量和、差及数乘结果 基础必考，常以选择题或填空题形式考查几何作图与符号运算的对应，为后续向量应用奠定基础
求模长范围 掌握平方转化为数量积求模长；能利用向量不等式（三角不等式）及几何意义（向量终点轨迹）求模长最值与范围 中等难度，常与动点、三角形边长结合，考查转化与数形结合思想，需注意模长非负及几何约束
求夹角 熟练运用夹角公式（由数量积与模长关系得夹角余弦）；能根据数量积符号判断锐角、直角、钝角；注意夹角范围 每年必考，选择题、填空题常考，常与垂直条件结合，有时在解答题中作为中间步骤，考查运算与判断能力
数量积的最值与范围 掌握极化恒等式与投影法的几何意义，使用条件。 高频核心考点，每年必考，选择填空侧重几何意义与代数运算
投影向量的几何意义 理解投影向量是向量，反映被投影向量在给定方向上的“分量”；能通过作垂线几何作图得到投影向量；区分投影向量与投影数量 中等难度，偶有考查，常结合数量积定义判断方向，需掌握几何作图与代数运算的对应关系
知识点01 平面向量线性运算的几何意义
三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得．
知识点02 向量三角不等式
对向量,有,当共线时可以取等号。
知识点03 平面向量数量积的最值与范围
利用极化恒等式来求数量积的最值。
平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：.
极化恒等式
2、利用投影法求数量积的最值：根据数量积公式，如其中有一边为固定的长度，则直接根据（可看做是AC在AB边上的投影数量）来决定数量积的范围。
题型一 向量判断三角形的形状
解｜题｜技｜巧 通过向量的线性运算以及数量积运算来判断三角形的形状。 判直角：若两边向量的数量积为零，则该角为直角。 判等腰：若两边的模长相等，则三角形为等腰三角形；若三边模长均相等，则为等边三角形。 判钝角：若某角对应两边向量的数量积为负，则该角为钝角（三角形为钝角三角形）。
【典例1】（25-26高一下·安徽六安·期中）若为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【详解】由，可得，
即，所以，
等式两边平方得，所以，
因此，所以是直角三角形.
【典例2】（25-26高一下·海南海口·期中）已知O为锐角内一点满足，且，则为（ ）
A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】分析可知O为三角形外心，根据数量积可得，进而可得结果.
【详解】因为，可得O为三角形外心，
又因为，即，
又角为锐角，可得，
所以，故为等边三角形.
【变式1】（2026·江苏镇江·二模）若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】由已知可得角的角平分线与垂直，所以是等腰三角形，结合可得角，从而选出正确答案.
【详解】分别是非零向量同向的单位向量，
因为，所以角的角平分线与垂直，
即角的角平分线与边上的高重合，所以，即是等腰三角形.
由，得.
又，所以.
因此，是等边三角形.
【变式2】（25-26高一下·上海·期中）在中，，则是（ ）三角形.
A．等腰 B．等腰直角 C．等腰或直角 D．等边
【答案】D
【详解】因为，
所以该三角形是等边三角形.
题型二 数形结合求模长范围
答｜题｜模｜板 1、利用及，将模长问题转化为数量积运算 2、，对这个式子的理解，可以从向量加减的几何图形结合，用三角形三边或者共线的时候长度关系来理解模长之间的关系。
【典例1】（多选）（25-26高一下·江西赣州·期中）（多选）已知向量，满足，，则可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】BCD
【分析】根据向量不等式进行求解．
【详解】解：由题可得，从而，
所以选项BCD符合题意．
【典例2】（2025高一·全国·专题练习）已知向量满足，，，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】设，，，根据题意点在以为圆心，半径为2的圆上运动，点在以为圆心，半径为1的圆上运动，设的中点为，利用极化恒等式：在三角形中，两边向量的数量积等于第三边中线长的平方与第三边一半长的平方之差可得，即点在以为直径的圆上，根据两圆的位置关系列不等式求解即可.
【详解】如图，设，，，
由，，点在以为圆心，半径为2的圆上运动，点在以为圆心，半径为1的圆上运动，
设的中点为，因为，即，
所以由极化恒等式可得，证明如下：
令，，则，，
所以，解得，即，
即点在以为直径的圆上，要求，即求直径的取值范围，
不妨设圆的半径为，因为点所在的圆与圆存在公共点，
所以圆心距满足：，且，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故答案为：
【变式1】（2025高一·全国·专题练习）若，且，，则的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由知3个向量终点都在半径为2的圆上运动，由结合极化恒等式知点在以为直径的圆上和内部，即点只能在劣弧上运动，而表示，求的取值范围即可.
【详解】如图，由知3个向量终点都在半径为2的圆上运动，
设，，，由得，
由即结合极化恒等式知点在以为直径的圆上和内部，
即点只能在劣弧上运动，
而表示，所以，
故选：D
【变式2】（2026·湖北·一模）已知等边三角形的边长是，是三角形所在平面内的动点，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的减法运算及向量模的不等式，数量积的性质与运算求解.
【详解】，
，
因为等边三角形的边长是，
所以，
所以，又，
故，
即.
题型三 求向量夹角及取值范围
答｜题｜模｜板 1、利于向量数量积公式来计算向量的夹角，将夹角问题转化为的取值范围问题。 2、通过已知的向量关系建立不等式或函数关系求解，注意余弦函数在上的单调性。
【典例1】（25-26高一下·江苏无锡·月考）如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________．
【答案】
【分析】建立直角坐标系，根据向量夹角的余弦值求解即可.
【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
则，，是中点，故；
由，，得；
是上靠近的四等分点，
由定比分点公式得 .
为向量与的夹角，所以.
因为，，
所以，
，.
进而．
【典例2】（25-26高一下·广西南宁·期中）已知向量，满足，设与的夹角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，
，
所以，
，当且仅当，即时取等号，最小值为．
【变式1】（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知向量满足，且，则向量的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据向量垂直的充要条件求出的值，再代入向量夹角余弦公式计算.
【详解】因为，所以即，又，故，
所以 解得，
所以.
【变式2】（25-26高一下·江苏·期中）设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据在上的投影向量的定义建立方程，求解夹角的余弦值，结合夹角的取值范围确定夹角.
【详解】设向量与的夹角为，
根据投影向量的定义，在上的投影向量为，
可得 ，因此，解得 .
又因为，所以.
题型四 求投影向量
答｜题｜模｜板 从被投影向量的终点向投影方向所在直线作垂线，垂足与起点之间的有向线段即为投影向量，从几何角度去理解投影向量，利用数形结合的思想去求投影向量。
【典例1】（25-26高一下·湖南益阳·期中）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取中点，结合向量关系式推得共线，依托外心性质判定三角形为等腰三角形，利用边长算出顶角为60°，再套用投影向量公式计算得出结果。
【详解】设的中点为，由向量中点公式得.
由条件，得，
故，，三点共线，且在中线上.
因为是的外心，所以垂直平分，即，.
设外接圆半径为，则，，.
在中，，，故，即.
所以，由圆心角与圆周角关系得，因此为等边三角形.
向量在上的投影向量为.
设，则，代入得投影向量为.
【典例2】（25-26高一下·广西南宁·期中）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，得到是的中点，再由得到是等边三角形，作即可求解.
【详解】，，
是的外接圆圆心，是中点，
又，所以是等边三角形，，
设，则，作于H，则，
所以，
即为向量在向量上的投影向量，，
【变式1】（25-26高一下·重庆·期中）已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为__________.
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合投影向量的定义进行求解即可.
【详解】
，因此是直角三角形，如下图所示：
过作，垂足为，因为，所以，
又因为为的中点，所以为的中点，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
【变式2】（25-26高一下·重庆·期中）已知中，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由可知为等腰三角形，设
,解得，故，
在上的投影：
，
在上的投影向量为．
题型五 求数量积的最值与范围
答｜题｜模｜板 几何法去求数量积的最值与范围主要从极化恒等式与投影向量法入手，主要在于区别两个使用的条件。见到三角形中线、中点或平行四边形对角线，优先考虑极化恒等式；见到一个向量大小方向不变，另一个向量的终点在直线上或圆上运动，优先考虑投影法。极化恒等式避开了角度，投影法避开了模长运算，两者均通过几何变换简化问题。
【典例1】（25-26高一下·天津滨海新区·期中）《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代．内饰充满了中国文化符号、某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且 则的值为_____；若点Q为线段 CD上的动点，则 的最小值为________
【答案】 0
【分析】在正八边形中，各边夹角都是已知的，各边长也是已知的，把目标向量用边长向量表示出来，再根据向量乘法运算律求出结果.
【详解】
因为，
则，
与夹角为，与夹角为，
.
设，可知，
，
，
，
，
，当或时， 有最小值，最小值为0.
故答案为: ； 0.
【典例2】（25-26高一下·北京·期中）如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______．
【答案】 3 /
【分析】取中点，连接，由条件得到是等边三角形，进而求出，在中，由余弦定理求出，即可求出；取中点，连接，交半圆于点，将转化为，分析出即点与点重合时，取到最大值1，即可求出的最大值.
【详解】
如图所示，取中点，连接，
因为四边形是菱形，，，
所以，所以可得是等边三角形，所以.
在中，由余弦定理可得
，
所以，所以；
如图所示，取中点，连接，交半圆于点，
则，.
所以
，
因为，所以当，即点与点重合时，
取到最大值1，此时取到最大值.
【变式1】（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）（多选）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，，在正方形的边上，且，关于点对称，则的值可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】BC
【详解】由题意可得.
因为正方形的边长为2，所以，所以，则.
【变式2】（25-26高一下·山东济南·期中）如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围为____________．
【答案】
【详解】以为原点建立如图所示坐标系，
则，设，则，
则，
由题意知，圆的半径为．
因为点在弧（包括端点）上，所以，
所以的取值范围是．
题型六 平面向量在几何中的综合应用
答｜题｜模｜板 将几何问题转化为向量运算，利用向量的线性关系、数量积和模长定义建立代数模型，再通过函数、不等式或几何直观求解。
【典例1】（多选）（25-26高一下·海南海口·期中）（多选）已知扇形的半径为，点在弧上运动，，下列说法正确的有（ ）
A．当位于点时，的值最大
B．当位于点时，的值最小
C．的取值范围为
D．的最大值为
【答案】BCD
【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解.
【详解】我们通过建立平面直角坐标系求解：将放在原点，在轴上，
则，设，
由解得：，
因此，
选项A，的最大值为，在，在弧中点时取得最大值， A错误；
选项B，的最小值为，在即在点和即在点都取得，因此位于点时，确实取最小值， B正确；
选项C，，
因为，所以， C正确；
选项D，，
最大值为，因此最大值为， D正确.
【典例2】（多选）（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）（多选）已知扇形的半径为，，点在弧上运动，，则（ ）
A．当位于点时，的值最小 B．的值最大为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】ABD
【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解．
【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系.
则，.
设，则，且.
由，
所以，
所以，.
因为，所以，.
当或，即或时，取得最小值，此时点与或重合；
当，即时，取得最大值，此时点为的中点.
故AB正确；
对C：，，
所以
，
因为，所以，故C错误；
对D：，，
所以，
因为，所以，所以，故D正确.
【变式1】（多选）（25-26高一下·湖北十堰·期中）（多选）已知点在以为直径的圆上运动，且，动点M为平面内一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1 B．的最小值为
C．的最大值为2 D．的最大值为8
【答案】AB
【分析】对于AC，结合点和点的轨迹及即可判断；对于BD，根据向量的数量积公式，分析的最小值及最大值即可．
【详解】对于AC，设AB中点为，因为，，
且，所以，
所以，由题意可知，因为，
所以，
即，
当，即、同向时取得最小值1，
当，即、反向时取得最大值3，
故A正确，C错误；
对于BD，，
因为，即，
所以当，即、反向时，取得最小值，
当，即、同向时，取得最大值，
所以，
由图可知，当、、三点共线且、在的两侧时，
取得最大值为，
所以，即最小值为，此时、在的两侧时，
且、反向，并有C、B两点重合，
，即最大值为，此时、在的两侧时，
且、同向，并有C、A两点重合，
故B正确，D错误．
【变式2】（多选）（25-26高一下·浙江杭州·期中）（多选）已知P是的外接圆O上的动点，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．的取值范围是
【答案】ACD
【分析】利用外接圆的特点和三角形的长度关系可得是等边三角形，进而可求数量积，夹角和投影向量，化简目标式，结合三角函数知识可求范围.
【详解】因为，所以为的中点，
因为，,所以是等边三角形，所以，A正确；
由是等边三角形，可得，B不正确；
因为，所以在上的投影向量为，C正确；
因为是直径，为中点，所以，
记,则
，
因为是直径，P是圆O上的动点，所以，即,
,
设，.
所以，D正确.
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（2026高一·全国·专题练习）对于任意三个向量，下列命题中正确的序号是______.
①若则
②
③
④若满足，且与反向，则
【答案】③
【分析】根据零向量的性质、平面向量模的性质逐一判断即可.
【详解】对于①，由于零向量与任意向量均共线，则当时，不确定的关系，错误；
对于②，显然若时，，错误；
对于③，根据三角形三边关系及向量加法的三角形法则知，
当且仅当两向量共线同向时取得等号，正确；
对于④，由向量的定义知，向量不能比大小，错误.
故答案为：③
2．（多选）（2026高一下·全国·专题练习）（多选）设为平面上四点，，且，则下列结论不正确的是（ ）
A．点在线段上 B．点在线段上
C．点在线段上 D．四点共线
【答案】ACD
【分析】先对向量表达式进行变形，得出向量共线关系，再根据的取值范围，即可判断点的位置关系.
【详解】由题意，，可得，
所以，所以，，三点共线，
又，所以，所以点在线段上．
又点位置不确定，所以不能说明四点共线.
故选：ACD
3．（25-26高一下·河南南阳·期中）已知，，则的取值范围为_____________．
【答案】
【分析】根据向量模的性质以及向量方向的不同情况来确定的取值范围.
【详解】当与方向相同时，根据向量模的性质可知.
已知，，将其代入可得，即的最大值为3.
当与方向相反时，根据向量模的性质可知.
已知，，将其代入可得，即的最小值为1.
由上述计算可知的最小值为1，最大值为3，所以的取值范围是.
4．（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知向量，满足，且，则向量，的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知，，．
设向量与的夹角为，．
对两边同时平方可得：，
将，代入上式： ，
化简得，解得．
根据向量点积的定义，代入已知值：，
解得，结合，可得．
5．（2026·四川眉山·模拟预测）若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据投影向量的定义可列出等式，再求出向量与的夹角即可.
【详解】设向量与的夹角为，
则由题意结合投影向量的定义可知，
解得，
因为向量的夹角，所以.
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（24-25高一下·山东滨州·期末）已知非零向量与满足，且，则为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据已知条件可知的角平分线与垂直，可得，再由向量夹角公式得，得，求出即可得的形状.
【详解】，分别为向量与方向上的单位向量，
因为，所以的角平分线与垂直，
所以是等腰三角形，且，
由，，所以，
所以，
所以是等腰三角形.
故选：A.
2．（2025高三·全国·专题练习）在中，分别为边的中点，与相交于点的垂直平分线与交于点，且，则的形状是（ ）．
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．任意三角形
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的几何意义求解判断即得.
【详解】如图1，，则，
依题意，是的重心，过作于，则，，
且，则，
作（或其延长线）于点，如图2，则，
从而，所以为钝角.
故选：B

3．（25-26高二上·北京·期末）如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取线段的中点，连接、、，可得出，结合向量模的三角不等式可求得的最小值.
【详解】取线段的中点，连接、、，如下图所示：

因为，所以，
因为四边形为矩形，则，
因为，
所以，
当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为.
故选：C.
4．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知平面向量、、，，，的面积为，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用平行四边形原则作平行四边形，得出其为菱形，根据面积求出点到直线的距离，数形结合可求.
【详解】如图，作平行四边形，设的交点为，点到直线的距离为，
因，，则四边形为菱形，且，
因的面积为，则，得，
则点在与直线平行的直线上，且两直线之间的距离为，
则的最小值为.
故选：C
5．（多选）（25-26高一下·江西抚州·期中）如图，在中，，是与的交点，且，则在上的投影数量的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以为基底，用不同方式表示出向量，结合平面向量基本定理和投影定义求解可得.
【详解】设，则
同理设，则.
由平面向量基本定理得，解得，所以，
向量在上的投影为，
因为，
当且仅当时取等号，
所以在上的投影的最小值为.
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知点为内部的一动点，记，当取得最小值时，，此时的余弦值为______．
【答案】
【分析】当取最小值时，点为的重心，满足向量性质，变形后结合向量数量积运算即可求解的余弦值.
【详解】设平面直角坐标系中，三个顶点坐标为，，，
动点坐标为.
∵ 距离平方和，
∴ 代入坐标展开得：
，
对于二次函数（），当时取得最小值，
∵ 二次项系数，∴ 相关的二次项在时取最小值，
同理相关的二次项在时取最小值，
∴ 当且仅当时，取得最小值.
而三角形重心的坐标公式恰好为，
∴ 使得距离平方和最小的点就是的重心.
∵为的重心，∴，整理得，
将等式两边同时平方得，
展开左边得，
∵ ，，，代入得 .
计算得，整理得，
∴ .
【点睛】技巧点睛：平面内到三角形三个顶点距离平方和最小的点为三角形的重心，其向量性质为，是本题的解题突破口.
2．（多选）（25-26高一下·山东济南·月考）（多选）如图，是边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为4 D．若，则的最大值为
【答案】AD
【详解】对A：因为为的中点，所以，故A正确；
对B：因为是边长为2的等边三角形，所以，，，
所以，故B错误；
对C：因为，所以的最大值为2，故C错误；
对D：因为，，
由，
所以.
又，
由，故D正确.
3．（多选）（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）（多选）如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点是外接圆上一点，则（ ）
A．的最大值为4
B．
C．
D．当取最大值时，三点共线
【答案】ABC
【分析】对于A，由外接圆直径为的最大值可判断；对于B，由向量投影与数量积的关系可判断；
对于C，由等边三角形重心的向量性质可判断；对于D，由的几何意义与点的位置可判断.
【详解】对于A，因为的边长为，外接圆的半径，所以的最大值为，故A正确；
对于B，由题意知，所以，故B正确；
对于C，等边三角形的外接圆圆心也是重心，所以，所以，故C正确；
对于D，当取最大值时，点是圆的最右边的点，即过点O的水平线与圆在右侧的交点，
此时在上的投影向量的模最大，显然不满足，三点共线，故D错误.
4．（多选）（25-26高一下·广西南宁·期中）（多选）已知的外接圆圆心为，且，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．向量在向量上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】根据向量的线性运算判断A，利用直角三角形判断B，根据数量积的定义判断C，根据投影向量判断D.
【详解】由 可得，
整理得，A正确．
为的直径，，设，则，
所以为等边三角形，，B正确．
，C错误.
向量在向量上的投影向量为，D正确．
5．（25-26高一下·福建泉州·期中）已知三边的垂直平分线交于点，且，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】利用线性关系表示出和，代入原式并转化为关于的函数式，求二次函数取值范围即可
【详解】如图所示，由题知是的外心，取中点，连接，
可得，故.
因为，
所以，
由是的中线，可得，且，
故.
已知，可得：，
由，，可得，
将代入目标式：
，
设，则，为开口向上的二次函数，对称轴为，，
当时，取最小值（此时，三角形存在，最小值可取）；
当时，，但，故.因此的取值范围是.
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专题05 平面向量在几何中应用（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01向量判断三角形的形状 题型02数形结合求模长范围 题型03求向量夹角及取值范围 题型04求投影向量 题型05求数量积的最值与范围 题型06平面向量在几何中的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
线性运算的几何意义 理解向量加法、减法、数乘的几何操作（三角形法则、平行四边形法则、伸缩与反向）；能根据图形准确作出向量和、差及数乘结果 基础必考，常以选择题或填空题形式考查几何作图与符号运算的对应，为后续向量应用奠定基础
求模长范围 掌握平方转化为数量积求模长；能利用向量不等式（三角不等式）及几何意义（向量终点轨迹）求模长最值与范围 中等难度，常与动点、三角形边长结合，考查转化与数形结合思想，需注意模长非负及几何约束
求夹角 熟练运用夹角公式（由数量积与模长关系得夹角余弦）；能根据数量积符号判断锐角、直角、钝角；注意夹角范围 每年必考，选择题、填空题常考，常与垂直条件结合，有时在解答题中作为中间步骤，考查运算与判断能力
数量积的最值与范围 掌握极化恒等式与投影法的几何意义，使用条件。 高频核心考点，每年必考，选择填空侧重几何意义与代数运算
投影向量的几何意义 理解投影向量是向量，反映被投影向量在给定方向上的“分量”；能通过作垂线几何作图得到投影向量；区分投影向量与投影数量 中等难度，偶有考查，常结合数量积定义判断方向，需掌握几何作图与代数运算的对应关系
知识点01 平面向量线性运算的几何意义
三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得．
知识点02 向量三角不等式
对向量,有,当共线时可以取等号。
知识点03 平面向量数量积的最值与范围
利用极化恒等式来求数量积的最值。
平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：.
极化恒等式
2、利用投影法求数量积的最值：根据数量积公式，如其中有一边为固定的长度，则直接根据（可看做是AC在AB边上的投影数量）来决定数量积的范围。
题型一 向量判断三角形的形状
解｜题｜技｜巧 通过向量的线性运算以及数量积运算来判断三角形的形状。 判直角：若两边向量的数量积为零，则该角为直角。 判等腰：若两边的模长相等，则三角形为等腰三角形；若三边模长均相等，则为等边三角形。 判钝角：若某角对应两边向量的数量积为负，则该角为钝角（三角形为钝角三角形）。
【典例1】（25-26高一下·安徽六安·期中）若为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【典例2】（25-26高一下·海南海口·期中）已知O为锐角内一点满足，且，则为（ ）
A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【变式1】（2026·江苏镇江·二模）若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形
【变式2】（25-26高一下·上海·期中）在中，，则是（ ）三角形.
A．等腰 B．等腰直角 C．等腰或直角 D．等边
题型二 数形结合求模长范围
答｜题｜模｜板 1、利用及，将模长问题转化为数量积运算 2、，对这个式子的理解，可以从向量加减的几何图形结合，用三角形三边或者共线的时候长度关系来理解模长之间的关系。
【典例1】（多选）（25-26高一下·江西赣州·期中）（多选）已知向量，满足，，则可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例2】（2025高一·全国·专题练习）已知向量满足，，，则的取值范围为______．
【变式1】（2025高一·全国·专题练习）若，且，，则的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【变式2】（2026·湖北·一模）已知等边三角形的边长是，是三角形所在平面内的动点，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型三 求向量夹角及取值范围
答｜题｜模｜板 1、利于向量数量积公式来计算向量的夹角，将夹角问题转化为的取值范围问题。 2、通过已知的向量关系建立不等式或函数关系求解，注意余弦函数在上的单调性。
【典例1】（25-26高一下·江苏无锡·月考）如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________．
【典例2】（25-26高一下·广西南宁·期中）已知向量，满足，设与的夹角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知向量满足，且，则向量的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高一下·江苏·期中）设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
题型四 求投影向量
答｜题｜模｜板 从被投影向量的终点向投影方向所在直线作垂线，垂足与起点之间的有向线段即为投影向量，从几何角度去理解投影向量，利用数形结合的思想去求投影向量。
【典例1】（25-26高一下·湖南益阳·期中）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高一下·广西南宁·期中）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高一下·重庆·期中）已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为__________.
【变式2】（25-26高一下·重庆·期中）已知中，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
题型五 求数量积的最值与范围
答｜题｜模｜板 几何法去求数量积的最值与范围主要从极化恒等式与投影向量法入手，主要在于区别两个使用的条件。见到三角形中线、中点或平行四边形对角线，优先考虑极化恒等式；见到一个向量大小方向不变，另一个向量的终点在直线上或圆上运动，优先考虑投影法。极化恒等式避开了角度，投影法避开了模长运算，两者均通过几何变换简化问题。
【典例1】（25-26高一下·天津滨海新区·期中）《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代．内饰充满了中国文化符号、某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且 则的值为_____；若点Q为线段 CD上的动点，则 的最小值为________
【典例2】（25-26高一下·北京·期中）如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______．
【变式1】（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）（多选）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，，在正方形的边上，且，关于点对称，则的值可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式2】（25-26高一下·山东济南·期中）如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围为____________．
题型六 平面向量在几何中的综合应用
答｜题｜模｜板 将几何问题转化为向量运算，利用向量的线性关系、数量积和模长定义建立代数模型，再通过函数、不等式或几何直观求解。
【典例1】（多选）（25-26高一下·海南海口·期中）（多选）已知扇形的半径为，点在弧上运动，，下列说法正确的有（ ）
A．当位于点时，的值最大
B．当位于点时，的值最小
C．的取值范围为
D．的最大值为
【典例2】（多选）（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）（多选）已知扇形的半径为，，点在弧上运动，，则（ ）
A．当位于点时，的值最小 B．的值最大为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【变式1】（多选）（25-26高一下·湖北十堰·期中）（多选）已知点在以为直径的圆上运动，且，动点M为平面内一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1 B．的最小值为
C．的最大值为2 D．的最大值为8
【变式2】（多选）（25-26高一下·浙江杭州·期中）（多选）已知P是的外接圆O上的动点，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．的取值范围是
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（2026高一·全国·专题练习）对于任意三个向量，下列命题中正确的序号是______.
①若则
②
③
④若满足，且与反向，则
2．（多选）（2026高一下·全国·专题练习）（多选）设为平面上四点，，且，则下列结论不正确的是（ ）
A．点在线段上 B．点在线段上
C．点在线段上 D．四点共线
3．（25-26高一下·河南南阳·期中）已知，，则的取值范围为_____________．
4．（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知向量，满足，且，则向量，的夹角是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·四川眉山·模拟预测）若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（24-25高一下·山东滨州·期末）已知非零向量与满足，且，则为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．（2025高三·全国·专题练习）在中，分别为边的中点，与相交于点的垂直平分线与交于点，且，则的形状是（ ）．
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．任意三角形
3．（25-26高二上·北京·期末）如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
4．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知平面向量、、，，，的面积为，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（多选）（25-26高一下·江西抚州·期中）如图，在中，，是与的交点，且，则在上的投影数量的最小值为（ ）
A． B． C． D．
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知点为内部的一动点，记，当取得最小值时，，此时的余弦值为______．
2．（多选）（25-26高一下·山东济南·月考）（多选）如图，是边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为4 D．若，则的最大值为
3．（多选）（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）（多选）如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点是外接圆上一点，则（ ）
A．的最大值为4
B．
C．
D．当取最大值时，三点共线
4．（多选）（25-26高一下·广西南宁·期中）（多选）已知的外接圆圆心为，且，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．向量在向量上的投影向量为
5．（25-26高一下·福建泉州·期中）已知三边的垂直平分线交于点，且，则的取值范围是________.
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