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专题4.4 立体几何中外接球、棱切球、内切球模型（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01墙角模型与对棱相等模型 题型02侧棱相等或侧棱垂直模型 题型03两直角三角形共斜边模型 题型04两面垂直模型 题型05二面角模型 题型06内切球模型 题型07多球内切模型 题型08棱切球模型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
墙角模型 识别三条侧棱两两垂直的锥体，理解可补形为长方体，球心为长方体中心，半径由三棱长决定；能快速求外接球半径 高频考点，常在选择题中出现，补形思想是关键，注意墙角模型可推广到有垂直关系的三棱锥
对棱相等模型 掌握三棱锥中三组对棱分别相等时，可补形为长方体，球心为长方体中心；会利用对棱相等条件求外接球半径 中等难度，偶有考查，需识别对棱相等特征，补形后棱长对应长方体面对角线
侧棱相等或侧棱垂直模型 理解侧棱相等时顶点在底面投影为底面外心，球心在投影线上；侧棱垂直底面时，可补形为长方体或直接确定球心位置 高频考点，常与正棱锥、直棱柱结合，需熟练运用勾股定理列方程求半径
两直角三角形共斜边模型 识别两个直角三角形有公共斜边的结构，公共斜边中点即外接球球心，半径为斜边一半 特殊模型，常见于对棱相等或折叠问题中，考查几何直观和快速判断球心的能力
二面角模型 掌握两个面相互垂直或成已知二面角的锥体，球心位于两外心垂线的交点上；能通过二面角大小确定球心到两面的距离关系 难度较高，常在压轴题中出现，需结合二面角大小建立方程，考查空间想象和代数运算能力
内切球模型 理解内切球球心到各面距离相等（等于半径）；掌握等体积法（体积=表面积×半径÷3）求内切球半径 核心考点，常以选择题或填空题出现，等体积法最通用，需准确计算表面积和体积
棱切球模型 理解棱切球与所有棱相切，球心到各棱距离等于半径；多用于正多面体（正方体、正四面体等），球心为中心，半径为棱中点距离 拓展内容，高考偶有考查，需结合截面分析（圆心到直线距离等于半径），强调几何直观
知识点01 正方体长方体的外接球
1、正方体与长方体的外接球
（1）若正方体边长为，则它的外接球半径为
（2）若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为
2、补全为正方体与长方体的外接球
(1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可考虑补全为长方体或正方体，称之为墙角模型（如上图1、2、3）。这时三棱锥的外接球同补全的长方体或正方体的外接球，求球的半径公式如上。
(2)图2为九章算术中的鳖臑，即四个面都为直角三角形的四面体。
(3)若三棱锥的三对对棱两两相等，也可以补全为长方体或正方体（如图4），外接球的半径也同长方体或正方体的外接球半径。
知识点02 圆锥的外接球
1、圆锥的外接球
若圆锥的高为，底部半径为，母线长为，则圆锥的外接球半径
2、可补全为圆锥的外接球
（1）若在平面上的射影是的外接圆圆心（即），则可以把三棱锥补为圆锥，根据圆锥的外接球模型来求外接球半径。
（2）正棱锥都可以补成圆锥，可以按圆锥的外接球模型来求。
知识点03 直棱柱、圆柱的外接球
1、柱体的外接球
（1）圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径
（2）若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。
2、可补全成柱体的外接球
（1）一条侧棱垂直于底面 以底面的外接圆为底，侧棱为高作圆柱，然后找该圆柱的外接球。如上图中图1，图2
（2）若图形为非规则图形，但上下底平行，上下底的外接圆半径相等且两个圆心的连线垂直于上下底，这时也可以构造一个圆柱（如图3），这时圆柱的外接球即为所求的外接球。
知识点04 圆台、棱台的外接球
1、台体的外接球
(1)圆台的上底半径 ,下底半径，高为，（如图1，图2），两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径
(2)棱台的外接球（如图3），先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式。
知识点05 二面角模型的外接球
1、两面垂直的三棱锥的外接球
在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。首先，若两平面垂直是因为有一条侧棱垂直于底面，则可以参考前面的补全为棱柱，求棱柱的外接球半径，若没有侧棱垂直于另一面，我们来分情况来讨论一下（下列情况均在的前提条件下讨论的）。
(1)若平面在外接球的轴截面上，不在外接球的轴截面，如图1，此时平面的外接圆圆心即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 。（此时我们不讨论P点在与的连线上，因为这就是前面补全为圆锥模型的情况，也不讨论PA，PB垂直于的情况。）
(2)若平面在外接球的轴截面上，也在外接球的轴截面，如图2，的中点即是外接球的球心。在题目条件上的体现为
(3)若平面，都不在外接球的轴截面，如图3。找出两个外接圆圆心，它们与球心，的中点构成一个矩形，可求出长，再根据勾股定理，即可求出球的半径
2、二面角模型
二面角模型同上题型两面垂直的模型思想是一致的。在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。
不同于两面垂直的三棱锥，这里的四边形不是一个矩形，这时候球OD的长度没有那么容易计算，但是目标依然是计算出，然后再算出即为球的半径。
注意：若三棱锥中，则无论二面角为多少，三个心重合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。
知识点06 正四面体的外接球与内切球
在棱长为的正四面体中，下面几个数据是常考的内容
1、正四面体的高为
2、正四面体外接球半径为
3、正四面体内切球半径为
4、正四面体体积
知识点07 内切球
1、锥体的内切球
无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。
2、台体的内切球
先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。
题型一 墙角模型与对棱相等模型
解｜题｜技｜巧 墙角模型与对棱相等模型都是可以放置到长方体内，可以借助补全图形来求外接球问题。 1、墙角模型：有三条棱互相垂直的三棱锥，可以补全为方体，称之为墙角模型 2、三对对棱两两相等，也可以补全为方体。
【典例1】（25-26高一下·安徽合肥·期中）已知四面体中，，且四点都在球的球面上，则球的表面积为_________．
【答案】
【分析】把四面体放置在一个长方体中，得到四面体的外接球即为该长方体的外接球，设外接球的半径为，结合长方体的性质，求得，结合球的表面积公式，即可求解.
【详解】把四面体放置在一个如图所示的长方体中，
可得四面体的外接球即为该长方体的外接球，
设长方体的长、宽、高分别为，且外接球的半径为
因为，
可得，三式相加，可得，即，
所以，所以，
所以四面体外接球的表面积为.
【典例2】（2026·安徽马鞍山·二模）已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为．以为球心，4为半径的球与三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对于每个相交面，利用点到面的距离公式，结合球的半径，求出交线圆弧的半径；再通过几何关系确定圆心角，最后将所有相交得到的曲线长度相加，得到总长度.
【详解】面是过的平面，截球所得截面圆的圆心为，半径为,
顶点都在球内（），在球外（），
因此和各有一个交点，交线为两点间的圆弧,
上交点满足，得，
又（中），因此圆弧圆心角，弧长，
同理，面与对称，弧长，
是等边三角形，、各有一个交点，圆心角为，
弧长：，
到面的距离，截面圆半径，截面圆心为，
弧长：，
.
【变式1】（25-26高一下·福建福州·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助补形法可将原三棱锥补形为长方体，再求出该长方体体对角线长即可得外接球半径，最后利用体积公式计算即可得解.
【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体，
且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球，
又该长方体的外接球半径为，
则球的体积是.
【变式2】（25-26高三下·云南·阶段检测）设点，，分别为的三边，，的中点，将，，分别沿直线，，向上折起，使得，，重合于同一点．若，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，，由题设．将放在棱长为x，y，z的长方体中，可得的关系式，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，利用基本不等式结合球的表面积公式求解.
【详解】设，，由题设.
三棱锥中，，，，
将放在棱长为x，y，z的长方体中，如图，
则有，
三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
所以，
由基本不等式，当且仅当时等号成立，
所以外接球表面积.
题型二 侧棱相等或侧棱垂直模型
答｜题｜模｜板 1、当三棱锥棱锥的三条棱相等时，则在平面上的射影是的外接圆圆心，此时可以把三棱锥补成圆锥，按圆锥的求外接球的方法来求球的半径 2、当侧棱垂直于底面，则可以补全成柱体，然后找柱体的外接球
【典例1】（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在四面体中，两两垂直，，以为球心，为半径的球与四面体各面交线的长度和为___________．
【答案】
【分析】作出辅助线，得到各边长，分析出与底面和侧面的交线，分别求出交线长，相加即可.
【详解】由题意得两两垂直，，
由勾股定理得，
三棱锥为正三棱锥，顶点在底面上的投影为的中心，
取的中点，则三点共线，连接，
由题意得，，，，
，
因为，而，
故以为球心，为半径的球与底面相交于三段圆弧，
如图，分别为，
其中，
所以，同理，
所以，故，同理，
所以，
所以，
由于，故以为球心，为半径的球与底面边分别相交于，
则即为球与底面的交线，
因为，故，所以，
故，，则，
所以，
故以为球心，为半径的球与底面的交线长度也为，
所以交线的长度和.
【典例2】（2026·广东珠海·模拟预测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______．
【答案】
【分析】先求出底面正三角形的外接圆半径，再结合侧棱垂直底面的几何特征计算外接球半径，最后代入球的表面积公式求解．
【详解】
设底面正的外接圆圆心为，外接圆半径为，
已知是正三角形，边长，
则其外接圆半径为，
平面，
三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上，
且球心到平面的距离，
外接球半径为：，
由球的表面积公式得．
【变式1】（多选）（25-26高一下·湖南株洲·期中）（多选）三棱锥的四个顶点都在球上，且底面，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．球心在三棱锥的内部
C．球心到底面的距离为1 D．球的表面积为
【答案】ACD
【分析】选项A，利用余弦定理计算的长度；选项B，结合底面外接圆圆心和球心关系判断即可；选项C，根据外接球的球心位置规律推导距离；选项D，利用外接球半径公式求出球的半径，再使用球的表面积公式计算.
【详解】底面，，，.
选项A：由余弦定理：
，得，A正确；
选项B：底面中，是钝角，钝角三角形的外心（外接圆圆心）在三角形外部，因此三棱锥外接球的球心在三棱锥外部，B错误；
选项C：侧棱垂直底面，外接球的球心在过底面外心且垂直于底面的直线上，
球心到底面的距离，C正确；
选项D：由正弦定理，底面外接圆半径满足：
，
外接球半径满足，
因此球的表面积：，D正确.
【变式2】（25-26高二上·浙江·期中）已知球的表面积为，球面上有，，，四点，，，与平面所成的角均为，若的余弦值为，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据外接球的表面积求出外接球半径为，过点作平面，垂足为，连接，由题设易得，，球心O在上，根据余弦定理可求得，再根据正弦定理、余弦定理及基本不等式求得，进而求得三棱锥的体积的最大值.
【详解】设球O的半径为，
由题意，得，所以，
过点作平面，垂足为，连接，
因为，，与平面所成的角均为，
所以，则，，
则球心O在上，如下图所示：
又，，
则，解得，
由，，
所以，则，
即，
由正弦定理，得，显然，
则，
即，
则，当且仅当时等号成立，
所以，
则三棱锥的体积.
故选：A.
题型三 两直角三角形共斜边模型
答｜题｜模｜板 若三棱锥中，则无论二面角为多少，三个心重合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。
【典例1】（2025·云南大理·模拟预测）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取的中点，由直角三角形性质可得，则点就是球心，再利用线面垂直的性质定理可得平面，从而可结合三棱锥体积公式计算即可得.
【详解】如图，取的中点，连接，，因为，，
所以，因此点就是球心，又，
故是等腰直角三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
设球半径为，则，，则，，
所以三棱锥的体积，
所以，所以球的表面积为.

故选：A.
【典例2】（2025高一·全国·专题练习）将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为，连接，得到四面体，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为______.
【答案】
【分析】根据题意得到翻折后四面体是2个直角三角形构成的，所以外接球球心在斜边的中点处，可得到半径进而求得体积，由翻折特性可知平面，又可求体积.
【详解】翻折后所得图形如下图所示，易知的中点为球心，
故该四面体的外接球体积，
又，平面，，
所以平面，
二面角的大小为，，
，
故所求体积之比为.
故答案为：.
【变式1】（25-26高三上·浙江金华·期末）三棱锥中，，二面角的平面角为锐角，则三棱锥的外接球球心到平面ABC的距离最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取中点，连接，由题易知为三棱锥的外接球球心，且外接球半径为，再根据球心到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离的一半，转化为求点到平面ABC的距离，最后根据即可求得答案.
【详解】如图，取中点，连接，
因为三棱锥中，，
所以与均为直角三角形，且为公共斜边，
所以，即点为三棱锥的外接球球心，半径为，
设点到平面ABC的距离，球心到平面ABC的距离
所以球心到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离的一半，即，
因为二面角的平面角为锐角，
所以点到平面ABC的距离，当且仅当时等号成立，
所以球心到平面ABC的距离，
即三棱锥的外接球球心到平面ABC的距离最大值为.
故选：D
【变式2】（2026·重庆·三模）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，若，则球的表面积为_____．
【答案】
【分析】根据几何关系求外接球的半径并计算球的表面积.
【详解】由题意有，所以为该三棱锥的外接球直径，
即外接球半径，表面积．
题型四 两面垂直模型
答｜题｜模｜板 当二面角为直角时，则找两个垂面的外接圆的圆心。构造出两个外接圆圆心与球心所在的平面，然后利用勾股定理求求的半径
【典例1】（2026·辽宁抚顺·一模）在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取AB的中点，由条件可得点为的外心，由平面平面，可得四面体的外接球球心为的外心，利用正弦定理即可求得其半径，进而求出答案.
【详解】如图，取AB的中点M，因，则点为的外心，
又因平面平面，平面平面，
故四面体的外接球球心必在平面内，且是的外心，
易得平面，故有，
在中，，，由正弦定理，，则，
故四面体的外接球的表面积为.
【典例2】（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在上.若三棱锥的外接球表面积为，则到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据折叠的特点，根据外接球以及球的表面积求解正方形的边长，结合勾股定理求解即可.
【详解】连接，交于，交于点，连接，，设正方形的边长为，
因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中，
点（即点）在底面上的射影一直在直线上，
又点在平面上的射影在直线上，所以点即为点在平面上的射影，
即平面，
则即为点到平面的距离.
因为平面，所以.
正方形中，，即，
所以为三棱锥外接球的球心，则三棱锥外接球的半径，
又三棱锥的外接球表面积为，则，解得，
所以.
因为为的中点，为的中点，所以为的重心，
则.
在中，.
所以点到平面的距离为.
【变式1】（2026高一·全国·专题练习）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____.
【答案】
【分析】取的中点，由面面垂直的性质定理可得平面，可得，外接球的球心在上，设为，利用求出外接球的半径可得答案.
【详解】取的中点，连接，
因为，所以，
因为二面角为直二面角，
平面平面，平面，
所以平面，
因为，，所以，，
，所以，，
因为，所以外接球的球心在上，设为，连接，
则，
可得，其中，
解得，即外接球的半径为，
所以该球的体积为.
【变式2】（2026·福建厦门·二模）已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，若与的外接圆面积之和为，则球的半径为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】球的半径为，取外接圆的圆心分别为，由，及，列出等式即可求解.
【详解】
设与的外接圆半径分别为，外接圆的圆心分别为
由题意可得，即，
设球的半径为，的中点为，
连接，
因为是外接圆圆心，所以，又是的中点，
所以，同理，
又平面，平面，
平面平面，
所以为二面角的平面角，又平面平面，
则，
由球的性质可知：平面，平面，
又平面，平面，
则，，
所以四边形为矩形，
则，
又
所以，
又，所以，
所以,又，
所以，
即,
则球的半径为.
题型五 二面角模型
答｜题｜模｜板 当二面角不为直角时，需要找两个面外接圆的圆心、球心所在位置，计算难度比两垂面的复杂。
【典例1】（2026·安徽合肥·模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图形作出二面角的平面角，利用几何知识可求，，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，根据求解半径．
【详解】如图1，过作垂足为，取的中点，连接，
∵，∴，，
又，，则，，
中，，
过作，且=，连接，则，
∴，，
根据题意可得为二面角的平面角，
即，则，
由题意可得，则，则，
如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，
则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接
，则
∴△的外接圆半径，则
设三棱锥的外接球的半径为，则
即，解得
则表面积为.
【典例2】（2026·云南玉溪·模拟预测）四面体的各顶点均在同一个球面上，且，当四面体的体积最大时，该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先取中点O，分析、与的垂直关系，确定四面体体积的表达式，因为四面体体积最大时，需高最大，所以当平面平面时，体积取得最大值，建立空间直角坐标系，求出外接球的球心坐标，计算外接球半径，最后利用球的表面积公式求解.
【详解】取的中点为O，连接，
由于，故，
平面，故平面，
设，则，，
设，则四面体的体积，
要使得四面体的体积最大，必有，即此时平面平面，
则此时，令，，
则，当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故时，取得最大值，此时取得最大值，
即得，
以O为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设四面体的外接球的球心为，则，
即，
解得，即外接球球心为，
故外接球半径为，
故外接球的表面积为.
【变式1】（2026·四川成都·模拟预测）三棱锥满足，，，，二面角的大小为.若三棱锥的所有顶点都在一个球面上，则这个球体的表面积为_____
【答案】
【分析】设利用双曲线的定义确定点、的轨迹，作的中垂线，结合二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将点的坐标表示出来，设球心坐标，利用球心到各顶点距离相等列方程，求出球的半径，再用球的表面积公式计算结果.
【详解】在平面内，，以中点为原点，为轴正向，
过且垂直于的直线为轴建立直角坐标系，
容易得到:点在双曲线上，
同理，在平面内，以中点为原点，为轴正向，过且垂直于的直线为轴建立直角坐标系，容易得到，点在双曲线上，
由，所以、两点在直线上的投影相同，记为，
∴设，则因为,
所以为平面的平面角,所以中，，
由余弦定理，，解得:，所以
又，所以重合，则，
所以的外接圆圆心分别为的中点，分别记为，
记为外接球球心，则平面平面，
则四点共面，且四边形中，，
因为，所以，
，
在中，.
∴三棱锥的外接球的表面积为.
【变式2】（25-26高三上·江西南昌·期中）已知二面角的大小为，且，，. 若点，，，都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，则，由题意知三棱锥外接球的球心是过和的外心，，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点，为三棱锥外接球半径，取的中点为，推导出的外接圆直径，从而，当时，的最小值为，由此能求出该球的表面积的最小值．
【详解】设，则，
设和的外心分别为、，则分别为的中点，
过点分别作和所在平面的垂线，两垂线的交点为点，
则为三棱锥的外心，
连接，则为三棱锥外接球的半径．
取的中点，连接、、，如图所示：
由条件知且，，
所以为二面角的平面角，即，连接，
因为平面，平面，平面，平面，
所以，，
所以四点共圆，且该圆的直径为．
在中，由余弦定理可得
所以的外接圆直径，
当时，的最小值为，
所以该球的表面积的最小值为.
故选：C
题型六 内切球模型
答｜题｜模｜板 论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。
【典例1】（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为，设，内切球半径为，根据题意求出侧棱长以及，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组求出半径即可．
【详解】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为，
设，内切球半径为，因为，棱台的高为，
，
，同理，
内切球与平面相切，切点在上，
①，
在等腰梯形中，②，
，
在梯形中，③，
由②③得，代入得，则，
此棱台的表面积是：
．
【典例2】（2026·山东泰安·三模）已知圆锥的底面半径为，其内切球的体积为，则圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据球的体积得到半径，结合截面图可得答案.
【详解】因为内切球的体积为，所以内切球的半径为1，作出截面图如下，
因为底面半径为，所以，即,
由内切圆的性质可得，即为正三角形，所以圆锥的母线长为.
【变式1】（25-26高一下·山东济宁·期中）已知棱锥的底面为正六边形，其顶点在底面的射影为底面中心，若该棱锥的外接球球心在其内切球球面上，则外接球和内切球的半径比为___________
【答案】
【分析】应用正六棱锥的外接球及内切球关系计算求解.
【详解】设底面边长为a，高为h，外接球半径，内切球半径r，
因为正六棱锥及球的对称性，球心在正六棱锥的高上，
若球心在M处，则，则 ，所以，则，
设棱锥的斜高为，所以侧面积为，
棱锥的表面积为，
所以正六棱锥的体积等于，
所以内切球半径，
令，则，代入，
消去得出，即得，
化简得，所以，
则外接球和内切球的半径比；
若外接球球心在内切球与底面的交点O处，则外接球半径，
设棱锥的斜高为 ，所以侧面积为，
棱锥的表面积为，
所以正六棱锥的体积等于，
所以内切球半径，
则外接球和内切球的半径比.
综上，
【变式2】（2026·浙江·二模）（多选）已知四面体的内切球球心为，棱，的中点分别为，，若，，三点共线，则（ ）
A．点到的距离等于点到的距离 B．无法确定，的面积大小关系
C．，且 D．四面体的外接球球心恒在直线上
【答案】ACD
【详解】为内切球球心，
到面和面距离相等．
在上，
．
，，
所以到面的距离与到面距离相等，即．
，
．
是两三角形的公共边，
、到的距离相等，同理、到的距离也相等，故A正确，B错误.
下证为、的公垂线．
设、在上的射影分别为、．
由，故可以认为、是在以为轴，以为半径的圆柱面上．
过的中点作平面与轴垂直，则这个平面平分线段，因此，这个平面过点．
设在圆柱上底面的射影为，则在上底面的射影为的中点．
因为，，
所以．
于是面，．
这说明是和的公垂线，即和的公垂线经过的中点．
同理，它们的公垂线也经过的中点．即为它们的公垂线，故正确.
下证的中垂面与相交．
否则，．
过分别作平面与垂直，则，，，
注意到，，，从而，，这与矛盾．
于是的中垂面与相交．
设中垂面与交于点，则．
又为的公垂线且、分别为、的中点，所以，．
故，即为四面体外接球的球心，且在上．故正确.
题型七 多球内切模型
答｜题｜模｜板 作包含球心的截面（如沿对称轴或两球心连线），将多球相切转化为圆与圆、圆与多边形的相切关系；设未知半径，根据切点位置建立距离方程（球心到面距离等于半径、球心距等于半径和等），联立求解。适用于正方体、正四面体、圆柱等对称几何体内多个等球或递变球的切接问题。
【典例1】（25-26高一下·山东济南·期中）如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及体积即可.
【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心，
延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接，
则点是的中点，为正四面体内切球的半径，
，，
由正四面体的体积为，得，解得，
由，解得，
则，最大球半径，
因此最大球的体积为；
小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高，
因此最小球半径，
因此最小球的体积为，所以5个球的体积之和为.
【典例2】（2026·江西宜春·模拟预测）（多选）将个半径为1的小球放入棱长为的正方体形的容器内（容器壁厚忽略不计），则（ ）
A．当时，球心一定为正方体的中心
B．当时，正方体的一个顶点到球心距离的最大值为
C．当时，的最小值为
D．当时，4个球两两相切地粘在一起的组合体可在正方体内任意滚动，则的最小值为
【答案】ACD
【分析】A，B，C选项通过分析球心活动的区域即可判断正误，D选项通过求出组合体的外接球即可得到正方体棱长的最小值.
【详解】记该棱长为的正方体为，
对于放入内的半径为的小球，其球心必须与各个面的距离至少为，
球心可活动的区域是一个边长为的小正方体（其中心即为中心），记为.
对于A，当时，的边长为，球心即为的中心，A正确；
对于B，当时，的边长为，
以的一个顶点为原点，以从该点出发的三条棱为坐标轴，
则可表示为，
可表示为，
可知点与上的的距离最大，为，B错误；
对于C，当时，两个半径为的小球不能重叠，则两球心之间的距离至少为，
而这两个球心都在内，所以内的最大距离（即体对角线的长度）至少为，
即，得，C正确；
对于D，当时，个小球构成的组合体能在内任意滚动，
则该组合体的外接球能完全放在内，即组合体的外接球直径，
个小球两两相切，可知个球心构成了一个棱长为的正四面体，
将其置于棱长为的正方体内，可得该四面体的外接球半径，
再加上小球自身的半径，可得组合体的外接球直径为，
所以的最小值为，D正确.
【点睛】几何体在另一个几何体内能够任意滚动，通常等价于的外接球能够完全容纳于内.
【变式1】（25-26高一下·广东清远·期中）已知4个半径为1的小球（，2，3，4）两两相切，且这4个球都与球O相切，若所有棱长都为a的四面体的顶点都在球O的表面上，则a的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】四个小球球心构成棱长为2的正四面体，其外接球半径可计算得到，大球与四个小球相切，因此球心到小球球心的距离等于大球半径减1，且大球球心与正四面体中心重合，从而得到大球半径，另一方面，计算棱长为的正四面体的外接球半径，令其等于大球半径，解出的值.
【详解】四个半径为1的小球两两相切，它们的球心之间的距离均为，
因此，这四个球心构成一个棱长为的正四面体，为正四面体中心，
连接并延长交底面于点，为底面中心，连接并延长交于点，
所以，,
所以,
设，所以，所以，所以，
即正四面体外接球半径为，
也是四个小球公共的对称中心，设大球的半径为，大球与四个小球都相切，
由于四个小球被包围在大球内部，它们与大球内切，
因此大球球心到每个小球球心的距离等于，
由对称性，大球球心应与正四面体的中心重合，故.
因为棱长为的正四面体的顶点都在球的表面上，
即球该正四面体的外接球，棱长为的正四面体的外接球半径为.
联立得.
【变式2】（2026·河南郑州·二模）已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为．若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则______．
【答案】
【分析】根据圆锥的表面积公式得到母线，根据圆锥截面的性质、圆的截面性质及相互之间关系求解即可.
【详解】设圆锥的母线长为，则，解得.
则圆锥的轴截面为边长为10的等边三角形.
沿圆锥内三个球的球心的截面如图，则为边长为的等边三角形，
根据圆锥的性质易知截面圆的圆心为的外心，所以.
沿，所在轴截面如图，易知，所以.
所以，解得.
题型八 棱切球模型
答｜题｜模｜板 同内切球问题，找到切点、球心的截面。根据勾股定理求半径
【典例1】（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知正方体的体积为，若球与该正方体的所有棱都相切，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】已知正方体的体积为，则，则，
球为正方体的棱切球，
故其半径，
球的表面积为．
【典例2】（2027高三·全国·专题练习）已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为________．
【答案】
【分析】先根据正方体的表面积求出棱长，再分析球与每条棱相切时球的直径等于正方体的面对角线，从而求出球的半径和体积.
【详解】设正方体的棱长为，则，解得．
又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长即为球的直径长，
所以球的半径长是，
所以此球的体积为．
故答案为：.
【变式1】（2026·浙江嘉兴·二模）已知正方体的棱长为2，若球O同时满足条件：①与平面，平面均相切，②与棱相切（即与棱仅有一个公共点），则球O的半径的最小值为_________．
【答案】
【分析】作出相应图形，利用相切性质可得球心在上，再利用该球与棱相切，可得，再利用三角形性质计算即可得解.
【详解】球O与平面和平面均相切，
故球心O在二面角的角平分面上，
E，F，G，H，I，J为各自所在棱的中点，易知平面，
所以即二面角的平面角，
且EQ平分，要使半径最小，球心O在EQ上，

作，则平面，即球半径，
又球O与相切，故，因此，，
在中，，，，
因此，解得．

【变式2】（2026·广西崇左·一模）在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据正三棱柱有棱切球的条件，得出棱切球半径等于底面正三角形内切圆半径，同时正三棱柱的高等于内切球直径；再找到外接球的球心位置，利用勾股定理计算出外接球半径；最后求出两者的半径之比.
【详解】设正三棱柱的下底面中心为，上底面中心为，连接.
若该正三棱柱存在棱切球，则棱切球的球心O为线段的中点.
设，的中点分别为D，E，连接，，，，
则.
因为，所以，
所以正三棱柱外接球的半径为，
故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为.
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知四棱锥，平面，，，，二面角的大小为．若点，，，，均在球的表面上，则该球的表面积为________．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出四边形外接圆的直径，再利用四棱锥外接球的特征求出球半径即可.
【详解】由，点均在球的表面上，
得四边形内接于圆，则，即，
由平面，平面，得，
又平面，则平面，
而平面，则，又，
因此二面角的平面角为，即，
在中，由，得，
四边形外接圆的直径，即外接圆的直径，
由平面，得四棱锥外接球的半径
所以四棱锥外接球的表面积为.
2．（2026·陕西咸阳·三模）已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为___________．
【答案】/
【分析】本题首先可根据题意将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果．
【详解】因为平面平面，
所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，
如图所示：则四面体的外接球即直三棱柱的外接球，
因为底面三角形的外心到三角形的顶点的长度为，
所以直三棱柱的外接球的半径，
则球的表面积.
3．（25-26高二下·湖南岳阳·开学考试）已知四面体的各顶点均在球O的球面上，平面，，，三角形的外接圆半径是，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件证明的中点为四面体的外接球的球心，再求外接球的半径，结合球的表面积公式求结论.
【详解】的中点为，
因为平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，故为直角三角形，且为斜边，
所以，
因为平面，平面，
所以，故为直角三角形，且为斜边，
所以，所以，
所以四面体的外接球的球心为，故点与点重合，
由已知，，所以，
所以球的半径，
所以球O的表面积.
4．（25-26高一下·新疆·阶段检测）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意三棱锥外接球等价于棱长为1，1，的长方体的外接球，即可求出球半径，求出表面积.
【详解】因为平面，，
可将三棱锥补形为长方体，
则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
则长方体的体对角线即为外接球的直径.
又，
故外接球的表面积为.
5．（25-26高三上·广东惠州·期中）在三棱锥中，平面，，且，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，结合图形求得三棱锥外接球半径，然后换元利用基本不等式及不等式的性质得的最小值，从而可得面积的最小值．
【详解】如图，
设，，为的外心，
为三棱锥外接球的球心，
则平面，又平面，
所以，平面，
则，四边形是直角梯形，
设，，，
由平面，平面，得，
则，由余弦定理可知，，.
令，则，，
，当且仅当，即时等号成立，
所以三棱锥外接球表面积，
故选：B.
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）在四面体中，，，异面直线与所成的角为，异面直线与所成的角为，若，且，则四面体的外接球表面积的最小值为______．
【答案】
【分析】利用结构特征，将几何体补全为直棱柱，结合正弦定理、外接球与直棱柱的空间关系列方程求外接球半径，即可得.
【详解】由题意知CD为异面直线AD与BC的公垂线，
将四面体补形为直三棱柱，如图：
由已知可得，，由，故．
在中，，，．
在中，由正弦定理得底面外接圆直径，即．
设外接球的半径为，则
，当且仅当时等号成立，
所以外接球表面积的最小值为．
2．（25-26高二上·河南·阶段检测）《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用已知条件将三棱锥放入正方体中可求外接球的半径，再利用等体积法可求内切球的半径.
【详解】由平面，，得,
因为且平面，所以平面,
又平面，得.
由，得.
于是将三棱锥放入正方体中，如下图：
三棱锥 的外接球即为正方体的外接球，其设外接球的半径为，
则，解得.
设内切球的球心为，半径为，
因为内切球的球心到各个面的距离等于半径，
所以，，
，
，
，得.
所以.
故选：B
3．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，是等腰直角三角形，斜边长为分别是的中点，，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，证得平面，由是等腰直角三角形，且斜边长为，得到，再由正得到边长为2，其外接圆半径为，结合球的截面圆的性质，求得三棱锥的外接球的半径为，结合球的体积公式，即可求解.
【详解】如图所示，因为是等腰直角三角形，且斜边为，所以，
又因为分别是的中点，所以，
因为，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以，所以为直角三角形，
由是等腰直角三角形，且斜边长为，可得，
因为，所以是边长为2的正三角形，其外接圆半径为，
设三棱锥的外接球的半径为，则，
所以，所以球的体积为.
故选：A.

4．（24-25高三下·湖南长沙·阶段检测）已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为1的正三角形，E，F分别是，的中点，，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件得出正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则求正方体的外接球体积即可.
【详解】如图，因为，是边长为1的正三角形，所以三棱锥为正三棱锥，
所以顶点在底面上的射影为底面的中心，所以平面，
因为平面，所以，连接并延长交于点，则，
因为，所以平面，又平面，所以.
因为E，F分别是，的中点，所以，
因为，所以，所以，所以平面，
所以正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以，
把三棱锥补形为正方体，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，
所以半径为，
所以球O的体积为.

故选：D
5．（25-26高二上·山东东营·期末）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____

【答案】
【分析】先求得直三棱柱外接球的半径为，再结合半径求得直三棱柱的侧棱，最后根据等体积法求解体积即可.
【详解】因为在直三棱柱中，，，，
所以，即为直角三角形，斜边分别为，
取的中点，连接，取的中点，
则为直三棱柱外接球球心，
因为直三棱柱外接球的表面积为，
所以直三棱柱外接球的半径为
所以，
所以，
所以四面体的体积为
故答案为：
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．（2026·河北·二模）在母线与底面所成角为的圆锥内放入三个半径为1的球，这三个球两两相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切，则圆锥的底面半径为_____；若再放入一个半径为的小球，使得它与三个小球均相切，且与圆锥的侧面相切，则_____．
【答案】
【分析】取过圆锥轴及其中一个大球球心的截面，并结合与底面平行且距离底面为的平面内三个球心的位置关系，将空间问题转化为平面中圆与直线、圆与圆的相切问题.先由截面中半径为的圆确定大球球心到圆锥轴的距离，再利用三个球心构成边长为的正三角形求圆锥底面半径.设再放入的小球半径为，由对称性知其球心在圆锥轴上，再由相切条件列方程即可求得.
如图：

【详解】设圆锥底面圆心为，顶点为，底面半径为，高为，三个半径为的大球球心分别为.
因为母线与底面所成角为，所以，故过圆锥轴的截面是边长为的等边三角形.
取过圆锥轴及球心的截面.在该截面内，单位圆与底边、腰都相切.设右侧底角为，则在的角平分线上，且到底边的距离为.
在相应的直角三角形中，，解得.于是球心到圆锥轴的距离为.
设为圆锥轴与过且平行于底面的平面的交点，则.又因为三个大球两两相切，所以，故是边长为的正三角形.由对称性可知，是的外心，于是.
从而，解得.故第一空应填.
设再放入的小球半径为，球心为.由对称性可知，在圆锥轴上.在上述截面内，小球化为一个与两腰都相切的圆.由于顶角为，且在顶角平分线上，
所以，从而.又因为，所以到底面的距离为.
在同一截面内，大球与小球相切，所以.
由前面结论可得，球心到圆锥轴的距离为，且到底面的距离为，因此.
于是，化简得.解得.
因为，所以.故第二空应填.
2．（2026·重庆·模拟预测）直径为2的球与一个正方体的各个面相切，过正方体的一条棱作一平面，该平面被正方体截得的长方形面积为，则球被截面截得的圆的面积为______.
【答案】
【分析】先利用球与正方体相切的条件得出正方体的棱长为2，再通过长方形面积求出截面的边长，最后结合球的半径和球心到截面的距离，算出截面圆的半径，进而得到面积.
【详解】因为球与正方体的各个面相切，且直径为2，所以正方体的棱长等于球的直径，即棱长，
如图，设过正方体的一条棱作一平面，分别与交于点,
因为该平面被正方体截得的长方形面积为，所以，即，
所以，
即是的中点，同理也是的中点，
如图建立空间直角坐标系，则，
所以
设平面的法向量为，
则，故可取，
又因为，则球心到平面的距离为，
所以球被截面截得的圆的半径 ，
所以球被截面截得的圆的面积.
【点睛】利用球与正方体相切，确定正方体的棱长，结合截面形状和面积求出球心到截面的距离，这是解决问题的关键.
3．（多选）（25-26高三上·浙江温州·阶段检测）（多选）已知三棱锥，三棱锥的外接球为球，则下列选项中正确的是（ ）
A．与可能垂直
B．与可能垂直
C．过棱作球的截面，截面面积可能为
D．二面角的余弦值可能为
【答案】BCD
【分析】A选项，假设与垂直，得到⊥平面，⊥，由于，故⊥不可能，A错误；B选项，假设与垂直，得到⊥平面，⊥，当时，满足⊥，B正确；C选项，找到外接球球心，求出外接球半径为1，假设截面面积为，故截面半径，此时，满足要求，C正确；D选项，作出辅助线，得到的夹角即为二面角的平面角，假设二面角的余弦值为，，两边平方，整理得，解得，即重合，D正确.
【详解】A选项，假设与垂直，
因为，，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
，
所以，
由于，故⊥不可能，所以假设不成立，
所以与不可能垂直，A错误；
B选项，假设与垂直，
因为，，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为，故当时，满足⊥，
所以与可能垂直，B正确；
C选项，取的中点，连接，则，
故点即为三棱锥的外接球球心，即重合，外接球半径为1，
假设截面面积为，设截面半径为，则，解得，
此时，满足，，
故过棱作球的截面，截面面积可能为，C正确；
D选项，过点作⊥于点，
因为，所以的夹角即为二面角的平面角，
假设二面角的余弦值为，
，两边平方得
，
即，整理得，
解得，即重合，
即，故二面角的余弦值可能为，D正确.

故选：BCD
3．（2026·福建三明·二模）已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，M为四棱锥内切球表面上的一点，则点M到直线CD距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别为和的中点，平面截四棱锥的内切球所得的截面为大圆，求出圆的半径，利用圆心到直线距离求点M到直线距离的最小值.
【详解】如图，设四棱锥的内切球的半径为，取的中点为，的中点为，连接，，，
球O为四棱锥的内切球，
底面为矩形，侧面为正三角形且垂直于底面，
则平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆，
此圆为的内切圆，半径为r，与分别相切于点E，F，
平面平面，交线为平面，
为正三角形，有，平面，
平面，，
，，则有，，，
则中，，解得.
所以，四棱锥内切球半径为2，连接.
平面，平面，，
又，平面，，
平面，平面，可得，
所以内切球表面上一点M到直线的距离的最小值即为线段的长减去球的半径，
所以，
又.
所以四棱锥内切球表面上的一点M到直线的距离的最小值为.
4．（多选）（2026·山东青岛·一模）已知四面体满足，，点，，，均在球的表面上，球与四面体的4个面均相切，过直线的平面截四面体所得的截面的面积为，则（ ）
A．球的表面积为 B．当四面体体积最大时，
C．当时，的最大值为 D．当时，的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，由题可知四面体是由两个直角三角形构成，结合外接球定义即可求解；对于B，易知当平面时，四面体体积最大，利用等体积法确定内切球半径，再求即可；对于CD，根据题意确定截面，结合异面直线距离公式求出截面面积的最值即可．
【详解】对于A，，，
，
，
则的中点为四面体的外接球球心，半径，表面积为，故A正确；
对于B，，又，
当平面时，四面体体积最大，
平面，，
，即和为全等的等边三角形，
则，
四面体的表面积，
，
则四面体内切球半径，
易得平面，故四面体关于平面对称，
则内切球球心在平面上，
过分别作，则，
平面，
平面，同理可得平面，
，即四边形为正方形，
，故B错误；
对于CD，根据题意内切球球心在平面上，且为的角平分线，
设的中点为，又，故直线为直线，
则为其中一个截面，
又平面，平面，
，，
在上取一点，作截面，
由对称性可知，截面关于对称，即当面积最小时，截面面积最小，
以为原点建立空间直角坐标系，
则，
设异面直线的公共法向量为，距离为，
，不妨取，则，
，
即点到距离的最小值为，此时，
则截面面积最小值为，
综上，过直线的平面截四面体所得的截面的面积最大值为，最小值为，故CD正确．
5．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知三棱锥的各顶点均在表面积为的球的表面上，且，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可建立适当空间直角坐标系，再设，计算可得且，再借助空间向量计算可得点到平面的距离的最大值，最后利用体积公式计算即可得.
【详解】设球的半径为，所以，解得，故，
又，所以，所以，
设的中点为，则是外接圆的圆心，
则平面，
以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
设点，因为，
所以，即，
两式相减解得，代回上式可得，所以，即，
又平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为，
所以点到平面的最大距离为，
所以三棱锥体积的最大值为.
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专题4.4 立体几何中外接球、棱切球、内切球模型（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01墙角模型与对棱相等模型 题型02侧棱相等或侧棱垂直模型 题型03两直角三角形共斜边模型 题型04两面垂直模型 题型05二面角模型 题型06内切球模型 题型07多球内切模型 题型08棱切球模型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
墙角模型 识别三条侧棱两两垂直的锥体，理解可补形为长方体，球心为长方体中心，半径由三棱长决定；能快速求外接球半径 高频考点，常在选择题中出现，补形思想是关键，注意墙角模型可推广到有垂直关系的三棱锥
对棱相等模型 掌握三棱锥中三组对棱分别相等时，可补形为长方体，球心为长方体中心；会利用对棱相等条件求外接球半径 中等难度，偶有考查，需识别对棱相等特征，补形后棱长对应长方体面对角线
侧棱相等或侧棱垂直模型 理解侧棱相等时顶点在底面投影为底面外心，球心在投影线上；侧棱垂直底面时，可补形为长方体或直接确定球心位置 高频考点，常与正棱锥、直棱柱结合，需熟练运用勾股定理列方程求半径
两直角三角形共斜边模型 识别两个直角三角形有公共斜边的结构，公共斜边中点即外接球球心，半径为斜边一半 特殊模型，常见于对棱相等或折叠问题中，考查几何直观和快速判断球心的能力
二面角模型 掌握两个面相互垂直或成已知二面角的锥体，球心位于两外心垂线的交点上；能通过二面角大小确定球心到两面的距离关系 难度较高，常在压轴题中出现，需结合二面角大小建立方程，考查空间想象和代数运算能力
内切球模型 理解内切球球心到各面距离相等（等于半径）；掌握等体积法（体积=表面积×半径÷3）求内切球半径 核心考点，常以选择题或填空题出现，等体积法最通用，需准确计算表面积和体积
棱切球模型 理解棱切球与所有棱相切，球心到各棱距离等于半径；多用于正多面体（正方体、正四面体等），球心为中心，半径为棱中点距离 拓展内容，高考偶有考查，需结合截面分析（圆心到直线距离等于半径），强调几何直观
知识点01 正方体长方体的外接球
1、正方体与长方体的外接球
（1）若正方体边长为，则它的外接球半径为
（2）若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为
2、补全为正方体与长方体的外接球
(1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可考虑补全为长方体或正方体，称之为墙角模型（如上图1、2、3）。这时三棱锥的外接球同补全的长方体或正方体的外接球，求球的半径公式如上。
(2)图2为九章算术中的鳖臑，即四个面都为直角三角形的四面体。
(3)若三棱锥的三对对棱两两相等，也可以补全为长方体或正方体（如图4），外接球的半径也同长方体或正方体的外接球半径。
知识点02 圆锥的外接球
1、圆锥的外接球
若圆锥的高为，底部半径为，母线长为，则圆锥的外接球半径
2、可补全为圆锥的外接球
（1）若在平面上的射影是的外接圆圆心（即），则可以把三棱锥补为圆锥，根据圆锥的外接球模型来求外接球半径。
（2）正棱锥都可以补成圆锥，可以按圆锥的外接球模型来求。
知识点03 直棱柱、圆柱的外接球
1、柱体的外接球
（1）圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径
（2）若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。
2、可补全成柱体的外接球
（1）一条侧棱垂直于底面 以底面的外接圆为底，侧棱为高作圆柱，然后找该圆柱的外接球。如上图中图1，图2
（2）若图形为非规则图形，但上下底平行，上下底的外接圆半径相等且两个圆心的连线垂直于上下底，这时也可以构造一个圆柱（如图3），这时圆柱的外接球即为所求的外接球。
知识点04 圆台、棱台的外接球
1、台体的外接球
(1)圆台的上底半径 ,下底半径，高为，（如图1，图2），两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径
(2)棱台的外接球（如图3），先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式。
知识点05 二面角模型的外接球
1、两面垂直的三棱锥的外接球
在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。首先，若两平面垂直是因为有一条侧棱垂直于底面，则可以参考前面的补全为棱柱，求棱柱的外接球半径，若没有侧棱垂直于另一面，我们来分情况来讨论一下（下列情况均在的前提条件下讨论的）。
(1)若平面在外接球的轴截面上，不在外接球的轴截面，如图1，此时平面的外接圆圆心即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 。（此时我们不讨论P点在与的连线上，因为这就是前面补全为圆锥模型的情况，也不讨论PA，PB垂直于的情况。）
(2)若平面在外接球的轴截面上，也在外接球的轴截面，如图2，的中点即是外接球的球心。在题目条件上的体现为
(3)若平面，都不在外接球的轴截面，如图3。找出两个外接圆圆心，它们与球心，的中点构成一个矩形，可求出长，再根据勾股定理，即可求出球的半径
2、二面角模型
二面角模型同上题型两面垂直的模型思想是一致的。在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。
不同于两面垂直的三棱锥，这里的四边形不是一个矩形，这时候球OD的长度没有那么容易计算，但是目标依然是计算出，然后再算出即为球的半径。
注意：若三棱锥中，则无论二面角为多少，三个心重合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。
知识点06 正四面体的外接球与内切球
在棱长为的正四面体中，下面几个数据是常考的内容
1、正四面体的高为
2、正四面体外接球半径为
3、正四面体内切球半径为
4、正四面体体积
知识点07 内切球
1、锥体的内切球
无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。
2、台体的内切球
先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。
题型一 墙角模型与对棱相等模型
解｜题｜技｜巧 墙角模型与对棱相等模型都是可以放置到长方体内，可以借助补全图形来求外接球问题。 1、墙角模型：有三条棱互相垂直的三棱锥，可以补全为方体，称之为墙角模型 2、三对对棱两两相等，也可以补全为方体。
【典例1】（25-26高一下·安徽合肥·期中）已知四面体中，，且四点都在球的球面上，则球的表面积为_________．
【典例2】（2026·安徽马鞍山·二模）已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为．以为球心，4为半径的球与三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高一下·福建福州·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高三下·云南·阶段检测）设点，，分别为的三边，，的中点，将，，分别沿直线，，向上折起，使得，，重合于同一点．若，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型二 侧棱相等或侧棱垂直模型
答｜题｜模｜板 1、当三棱锥棱锥的三条棱相等时，则在平面上的射影是的外接圆圆心，此时可以把三棱锥补成圆锥，按圆锥的求外接球的方法来求球的半径 2、当侧棱垂直于底面，则可以补全成柱体，然后找柱体的外接球
【典例1】（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在四面体中，两两垂直，，以为球心，为半径的球与四面体各面交线的长度和为___________．
【典例2】（2026·广东珠海·模拟预测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______．
【变式1】（多选）（25-26高一下·湖南株洲·期中）（多选）三棱锥的四个顶点都在球上，且底面，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．球心在三棱锥的内部
C．球心到底面的距离为1 D．球的表面积为
【变式2】（25-26高二上·浙江·期中）已知球的表面积为，球面上有，，，四点，，，与平面所成的角均为，若的余弦值为，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型三 两直角三角形共斜边模型
答｜题｜模｜板 若三棱锥中，则无论二面角为多少，三个心重合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。
【典例1】（2025·云南大理·模拟预测）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025高一·全国·专题练习）将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为，连接，得到四面体，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为______.
【变式1】（25-26高三上·浙江金华·期末）三棱锥中，，二面角的平面角为锐角，则三棱锥的外接球球心到平面ABC的距离最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2026·重庆·三模）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，若，则球的表面积为_____．
题型四 两面垂直模型
答｜题｜模｜板 当二面角为直角时，则找两个垂面的外接圆的圆心。构造出两个外接圆圆心与球心所在的平面，然后利用勾股定理求求的半径
【典例1】（2026·辽宁抚顺·一模）在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在上.若三棱锥的外接球表面积为，则到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．1
【变式1】（2026高一·全国·专题练习）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____.
【变式2】（2026·福建厦门·二模）已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，若与的外接圆面积之和为，则球的半径为（ ）
A． B． C． D．3
题型五 二面角模型
答｜题｜模｜板 当二面角不为直角时，需要找两个面外接圆的圆心、球心所在位置，计算难度比两垂面的复杂。
【典例1】（2026·安徽合肥·模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2026·云南玉溪·模拟预测）四面体的各顶点均在同一个球面上，且，当四面体的体积最大时，该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2026·四川成都·模拟预测）三棱锥满足，，，，二面角的大小为.若三棱锥的所有顶点都在一个球面上，则这个球体的表面积为_____
【变式2】（25-26高三上·江西南昌·期中）已知二面角的大小为，且，，. 若点，，，都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型六 内切球模型
答｜题｜模｜板 论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。
【典例1】（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2026·山东泰安·三模）已知圆锥的底面半径为，其内切球的体积为，则圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．4
【变式1】（25-26高一下·山东济宁·期中）已知棱锥的底面为正六边形，其顶点在底面的射影为底面中心，若该棱锥的外接球球心在其内切球球面上，则外接球和内切球的半径比为___________
【变式2】（2026·浙江·二模）（多选）已知四面体的内切球球心为，棱，的中点分别为，，若，，三点共线，则（ ）
A．点到的距离等于点到的距离 B．无法确定，的面积大小关系
C．，且 D．四面体的外接球球心恒在直线上
题型七 多球内切模型
答｜题｜模｜板 作包含球心的截面（如沿对称轴或两球心连线），将多球相切转化为圆与圆、圆与多边形的相切关系；设未知半径，根据切点位置建立距离方程（球心到面距离等于半径、球心距等于半径和等），联立求解。适用于正方体、正四面体、圆柱等对称几何体内多个等球或递变球的切接问题。
【典例1】（25-26高一下·山东济南·期中）如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2026·江西宜春·模拟预测）（多选）将个半径为1的小球放入棱长为的正方体形的容器内（容器壁厚忽略不计），则（ ）
A．当时，球心一定为正方体的中心
B．当时，正方体的一个顶点到球心距离的最大值为
C．当时，的最小值为
D．当时，4个球两两相切地粘在一起的组合体可在正方体内任意滚动，则的最小值为
【变式1】（25-26高一下·广东清远·期中）已知4个半径为1的小球（，2，3，4）两两相切，且这4个球都与球O相切，若所有棱长都为a的四面体的顶点都在球O的表面上，则a的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式2】（2026·河南郑州·二模）已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为．若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则______．
题型八 棱切球模型
答｜题｜模｜板 同内切球问题，找到切点、球心的截面。根据勾股定理求半径
【典例1】（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知正方体的体积为，若球与该正方体的所有棱都相切，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2027高三·全国·专题练习）已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为________．
【变式1】（2026·浙江嘉兴·二模）已知正方体的棱长为2，若球O同时满足条件：①与平面，平面均相切，②与棱相切（即与棱仅有一个公共点），则球O的半径的最小值为_________．
【变式2】（2026·广西崇左·一模）在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知四棱锥，平面，，，，二面角的大小为．若点，，，，均在球的表面上，则该球的表面积为________．
2．（2026·陕西咸阳·三模）已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为___________．
3．（25-26高二下·湖南岳阳·开学考试）已知四面体的各顶点均在球O的球面上，平面，，，三角形的外接圆半径是，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一下·新疆·阶段检测）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高三上·广东惠州·期中）在三棱锥中，平面，，且，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）在四面体中，，，异面直线与所成的角为，异面直线与所成的角为，若，且，则四面体的外接球表面积的最小值为______．
2．（25-26高二上·河南·阶段检测）《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，是等腰直角三角形，斜边长为分别是的中点，，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三下·湖南长沙·阶段检测）已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为1的正三角形，E，F分别是，的中点，，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高二上·山东东营·期末）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____

期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．（2026·河北·二模）在母线与底面所成角为的圆锥内放入三个半径为1的球，这三个球两两相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切，则圆锥的底面半径为_____；若再放入一个半径为的小球，使得它与三个小球均相切，且与圆锥的侧面相切，则_____．
2．（2026·重庆·模拟预测）直径为2的球与一个正方体的各个面相切，过正方体的一条棱作一平面，该平面被正方体截得的长方形面积为，则球被截面截得的圆的面积为______.
3．（多选）（25-26高三上·浙江温州·阶段检测）（多选）已知三棱锥，三棱锥的外接球为球，则下列选项中正确的是（ ）
A．与可能垂直
B．与可能垂直
C．过棱作球的截面，截面面积可能为
D．二面角的余弦值可能为
3．（2026·福建三明·二模）已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，M为四棱锥内切球表面上的一点，则点M到直线CD距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（2026·山东青岛·一模）已知四面体满足，，点，，，均在球的表面上，球与四面体的4个面均相切，过直线的平面截四面体所得的截面的面积为，则（ ）
A．球的表面积为 B．当四面体体积最大时，
C．当时，的最大值为 D．当时，的最小值为
5．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知三棱锥的各顶点均在表面积为的球的表面上，且，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
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