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专题6.2 概率题型归纳（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01互斥事件与对立事件 题型02事件的关系和运算 题型03计算古典概型问题的概率 题型04概率的基本性质 题型05相互独立事件与互斥事件、对立事件的判断 题型06独立事件的乘法公式 题型07频率与概率 题型08古典概型大题应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
互斥事件与对立事件 理解互斥事件不能同时发生，对立事件互斥且必有一个发生；能准确判断互斥、对立关系，并运用加法公式及对立事件概率公式求解 高频基础考点，常以选择题或填空题形式出现，考查概念辨析及简单概率计算，注意互斥不一定对立
事件的关系和运算 掌握事件间的包含、相等、并、交、差、补关系；能用文氏图直观表示，并能将复杂事件用简单事件的运算表达 基础能力，渗透于各类概率题目中，为概率计算提供语言基础，常与加法公式、乘法公式结合考查
古典概型问题 能判断古典概型（有限个等可能结果）；掌握列举法、树状图、列表法及排列组合计数技巧；会求简单事件的概率 每年必考，常以解答题或选择题形式出现，重点考查样本空间与事件结果的计数
概率的基本性质 掌握概率的非负性、规范性、有限可加性、加法公式、减法公式及对立事件性质；能运用性质进行概率计算与推理 核心工具，贯穿所有概率计算，常在复杂问题中用于转化或简化，如“至少有一个”转化为对立事件
相互独立事件与互斥、对立事件的判断 能根据定义或实际背景区分三种关系；理解互斥与独立不能同时成立（除非概率为0）；会从概率值或问题情境判断独立 易混辨析，常以选择题出现，考查对概念本质的理解
独立事件的乘法公式 会在独立事件中应用乘法公式计算同时发生的概率；能解决串联、并联系统可靠性问题；理解“至少一个发生”需转化为对立事件 高频应用，常与互斥事件加法公式结合出现在解答题中，考查公式选用和实际建模能力
频率与概率 理解频率的随机性与概率的确定性；掌握用大量重复试验的频率估计概率的方法；理解大数定律的基本思想 基础概念，常以选择题或填空题形式考查，注意频率不等于概率，但可作近似估计
知识点01 事件的关系和运算
1、事件间的包含关系
定义 符号 图示
包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，则称事件A与事件B相等 A＝B
2、交事件与并事件的概念及辨析
定义 符号 图示
并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB)
3、互斥事件和对立事件的概念及辨析
定义 符号 图示
互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝ ，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝
对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝ ，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝
知识点02 古典概型的概率计算公式
1、一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义
事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
2、概率的性质
性质1　对任意的事件，都有.
性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即.
性质3　如果事件A与事件B互斥，那么.
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么.
性质5　如果，那么.
性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有.
知识点03 相互独立事件
1、对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.
2、如果事件A与B相互独立，那么与，与B，与也都相互独立
题型一 互斥事件与对立事件
解｜题｜技｜巧 互斥事件与对立事件的关系 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生． ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件． 判断互斥对立事件可根据 利用互斥跟对立事件的定义来判断，互斥事件的定义比对立的更严。 可以借助集合的方法来解决事件问题。
【典例1】（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）从1 6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（ ）
A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立
C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立
【答案】B
【详解】从1 6这6个整数中随机抽取1个数，样本空间为，
事件“抽到小于4的数”， ，
事件“抽到大于3的数”， ，
事件“抽到大于2的偶数”， ，
，和互斥，故选项A错误；
，和互斥且对立，故选项B正确；
，和C互斥，故选项C错误；
，和C不对立，故选项D错误.
【典例2】（多选）（25-26高二上·广东中山·期末）（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法错误的是（ ）
A．与互斥 B．与对立 C．与互斥 D．与对立
【答案】ABD
【分析】根据题意，结合互斥事件、对立事件的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】与可以同时发生，所以与不互斥，故A错误；
与可以同时发生，所以与不互斥也不对立，故B错误；
为甲乙都中奖，为甲乙都不中奖，与不可能同时发生，所以与互斥，故C正确；
若事件发生，则事件一定发生，故与不是互斥事件，更不是对立事件，故D错误.
故选：ABD
【变式1】（多选）（25-26高一上·江西南昌·期末）（多选）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】ABC
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可.
【详解】从球的颜色来看，两次摸球可能结果有两次都为红球，两次都为白球，两次中一次红球一次白球这三类，
对于A：事件“两次都摸到红球”与事件“两次都摸到白球”互斥但不对立，故A正确；
对于B：事件“两次都摸到红球”与事件“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故B正确；
对于C：事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故C正确；
对于D：事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”为对立事件，故D错误.
故选：ABC
【变式2】（多选）（25-26高二上·四川德阳·期中）（多选）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”不互为对立的是（ ）
A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶
【答案】ABC
【分析】根据题意，结合对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解.
【详解】设事件“第一次射击中靶”，“第二次射击中靶”，“至少一次中靶”
则事件至少一次中靶包含：，
对于A，至多一次中靶包含，所以与事件不对立；
对于B，两次都中靶包含，所以与事件不对立；
对于C，只有一次中靶包含，所以与事件不对立；
对于D，两次都没有中靶包含，所以与事件对立.
故选：ABC.
题型二 事件的关系和运算
答｜题｜模｜板 将随机事件看作样本空间的子集，利用集合的关系和运算来理解事件的联系，并用于概率计算。
【典例1】（2026·江西·二模）设是三个事件，则事件“至少有一个发生且不发生”可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】事件“、至少有一个发生”可表示为，事件“不发生”可表示为.
选项A中表示同时发生且不发生，不符合题意
选项B中表示至少一个发生且不发生，与题意一致
选项C中表示至少一个发生或不发生，不符合题意
选项D中表示同时发生或不发生，不符合题意.
【典例2】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（ ）
A．全部击中 B．至多击中1发
C．都未击中 D．至少击中1发
【答案】D
【分析】先明确各事件具体含义，再理解并集运算逻辑，接着合并事件情况推导结论即可.
【详解】由题意可得，事件是彼此互斥的事件，
且为必然事件，
所以表示的是打靶三次至少击中一次，
故选：D.
【变式1】（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意依次判断各项事件运算对应的含义，即可得.
【详解】表示前两次测试成绩均及格，故A错误；
表示后两次测试都没有及格，故B错误；
表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确；
表示三次测试成绩均不及格，故D错误，
故选：C
【变式2】（25-26高二上·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用集合的形式分别表示事件，再根据集合之间的包含关系及交集，并集的概念进行运算，即可判断A，B，C，D.
【详解】用集合的形式表示事件，它们分别是，，.
显然，故A正确；，故B正确；
，故C正确；，故D错误.
故选：D
题型三 计算古典概型问题的概率
答｜题｜模｜板 确认是否为古典概型：试验样本空间有限（样本点总数有限），每个样本点发生的可能性相等。 明确样本空间：列出或计算所有可能的基本事件总数 n。 确定目标事件：明确所求事件包含哪些基本事件，并计数 m。 4、计算概率：概率。 检查是否需考虑顺序、分组等,注意计数时使用排列还是组合，确保分子分母一致。
【典例1】（25-26高二上·云南昆明·期中）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为_______.
【答案】
【分析】列举所有可能的结果，即可由古典概型的概率公式求解.
【详解】因为选3个方格，每行和每列均恰有1个方格被选中，
设每种选法可标记为，其中分别表示第一、二、三行里所选方格中的数字，
则所有的可能结果为，，，，，，共6种.
其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有，，共2种，
故所求概率为.
【典例2】（2026·重庆·模拟预测）某商场为回馈顾客举行抽奖活动，规则如下：消费每满元可参与抽奖一次，每次可随机抽取盲盒一个，每个盲盒内有一个小球，颜色是黑色、白色或灰色中的一种，且抽中每种颜色的概率都相等，集齐三种颜色的小球即可获得一个高压锅奖品．小陈共消费了元，则他能参与抽奖活动从而获得高压锅奖品的概率为_______．
【答案】
【分析】这道题的解题核心是先确定抽奖次数，再用对立事件与补集思想简化计算：先算出小陈可参与次抽奖，再计算次抽奖的总结果数，接着通过 “减去只抽到种或种颜色的情况”，间接得到集齐三种颜色的结果数，最后求出对应概率．
【详解】因为，所以小陈可以参与4次抽奖，
因为每次抽奖种颜色（黑、白、灰），次抽奖的总结果数为，
而次抽奖只抽到种颜色的结果数为，
次抽奖只抽到种颜色的结果数为，
所以小陈能参与抽奖活动从而获得高压锅奖品的概率为．
【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）从标有的个小球中随机摸取个，则摸到的个小球上数字之和是的倍数的概率为_____________．
【答案】/0.4
【分析】根据题意求出取个小球的结果总数，再找出之和为的倍数的情况，然后求其概率.
【详解】从袋中的个小球中取出个小球，共有种情况，
取出小球之和为的倍数情况为：，，，，共种情况，
所以取出之和为的倍数的概率：．
【变式2】（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）校园运动打卡将每日运动时长划分为1，2，3，4，5，6共6个等级，随机抽取连续2天的打卡等级，则2天运动时长等级数字之和等于5的概率为_________.
【答案】
【分析】使用列举法得出满足题意的所有情况，由此计算概率即可.
【详解】由题意得这两天共有种情况，
设第一天的等级为，第二天的等级为，2天的等级为，
则满足题意的有，共四种，
故符合题意的概率为.
题型四 概率的基本性质
答｜题｜模｜板 1、利用互斥事件的可加性将复杂事件拆分为互斥的简单事件。 2、遇到“至少有一个发生”通常用对立事件：。 3、直接求概率困难时，考虑先求其对立事件的概率。 4、注意包含关系：若，则。
【典例1】（25-26高二下·江苏无锡·期中）设，是一个实验的两个事件，，，，则________．
【答案】
【分析】根据互斥事件的概率加法公式可得，再利用概率的基本公式，，，将其代入上式，建立关于的方程，进而求解。
【详解】因为和是互斥事件，根据互斥事件概率加法公式可得：
.
，即，
，即，
代入整理得：
，
代入，，
得，
解得：.
【典例2】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知A、B为互斥事件，且，则______．
【答案】0.2/
【分析】利用互斥事件和的概率公式求得再利用对立事件的概率求解即得.
【详解】因为为互斥事件，则，
所以.
【变式1】（2026·湖北·三模）已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由和事件概率计算公式即可求解.
【详解】要求事件至少有一个发生的概率，即求和事件，
根据容斥原理：
，
因为 ，且，
所以 ，概率非负，故，
代入已知条件：，
所以.
【变式2】（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）已知，则下列结果正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据事件的互斥，对立关系逐个分析选项.
【详解】对于A，
，
，A选项错误；
对于B，，B选项正确；
对于C，，C选项错误；
对于D，，D选项错误；
故选：B
题型五 相互独立事件与互斥事件、对立事件的判断
答｜题｜模｜板 1、互斥事件：A与B不能同时发生，即 。 2、对立事件：A与B互斥且必有一个发生，即 ，。 3、相互独立事件：A的发生与否不影响B发生的概率，即 。
【典例1】（25-26高二下·重庆·期中）有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（ ）
A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立
【答案】D
【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可.
【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，共种情况；
令事件表示：第一次取出的球的数字是1，则，
令事件表示：第二次取出的球的数字是3，则，
显然，所以甲与乙不互斥，故A错误；
令事件表示：两次取出的球的数字之和是4，则，
令事件表示：两次取出的球的数字之和是5，则，
显然，所以丙与丁不对立，故B错误；
由，，，所以，
所以甲与丙不独立，故C错误；
又，，
所以乙与丁相互独立，故D正确.
【典例2】（多选）（2026·重庆渝中·模拟预测）（多选）一个正四面体的四个面上分别标以数字1，2，3，4，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：“”，事件：“”，事件：“”，事件：“”，则（ ）
A．与互斥 B．
C． D．与相互独立
【答案】BD
【详解】由题意可知：，，
，，
对于选项A：因为，所以与不互斥，故A错误；
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：因为，故C错误；
对于选项D：因为，
设样本空间为，则，，，
可得，，，
因为，所以与相互独立，故D正确.
【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则
C．A与B相互对立 D．若，则
【答案】D
【详解】对于A，若A与B相互独立，则A与相互独立，所以，故A错误．对于B，若A与B互斥，则A，B不可能同时发生，即，故B错误．对于C，，由于不确定A与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，设事件 “出现奇数点”；事件“出现点数不大于3”，则，但事件A，B并不互斥，也不对立，故C错误．对于D，若，则，则，故D正确．
【变式2】（2026·安徽合肥·二模）一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（ ）
A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立
C．事件与事件相互独立 D．
【答案】C
【分析】围绕有放回抽样中的互斥事件、独立事件、概率加法公式三个核心概念，通过对样本空间的枚举和概率计算，逐一验证选项的正确性．
【详解】选项A：事件是第一次取出编号1，事件是两次编号之和为5，
二者存在公共样本点（第一次取1，第二次取4，同时满足E和G），即，因此事件E与事件G不互斥，A错误．
选项B：（第二次取1的样本点共6个），
（两次和为5的样本点为 ，共4个），
（同时满足第二次取1、两次和为5的样本点仅，共1个），
验证得，因此事件与事件不相互独立，B错误．
选项C：，
（两次和为奇数等价于两次取出的数一奇一偶，总样本数为），
（第一次取1为奇数，第二次需要取偶数才能让和为奇数，第二次可取，共3个样本点），
验证得，
满足独立事件定义，因此事件与事件相互独立，C正确．
选项D：根据概率的加法公式，
其中（两次都取1的样本点仅1个），
代入计算：，因此D错误．
题型六 独立事件的乘法公式
答｜题｜模｜板 1、乘法公式只适用于相互独立事件，不独立时不能直接相乘。 2、注意区分“互斥”与“独立”：互斥时不能同时发生，概率相加；独立时可同时发生，概率相乘。
【典例1】（多选）（2025·湖南岳阳·模拟预测）（多选）已知是三个随机事件，下列说法中正确的有（ ）
A．若，则相互独立
B．若相互独立，，则相互独立
C．“两两独立”是“”的既不充分也不必要条件
D．若相互独立，相互独立，互斥，，则事件中至少有一个发生的概率为
【答案】AC
【分析】根据选项所给条件，结合相应的概率公式和概念进行判断.
【详解】A选项：，A正确；
B选项：，但不能说明与，与独立，B错误；
C选项：
一方面，设，则，
且，故充分性不成立；
另一方面，设，
则，，，故必要性不成立，C正确；
D选项：，D错误.
故选：AC.
【典例2】（多选）（25-26高二下·贵州遵义·期中）（多选）已知，为样本空间的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的有（ ）
A．事件与互斥 B．事件与独立
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义，和事件与积事件的运算法则，逐项判断即可．
【详解】已知，则，
由.
对A：因为，所以事件与可能同时发生，故事件与不互斥，选项A错误；
对B：因为， ，
所以，所以事件与独立，选项B正确；
对C：，又，
所以，选项C正确；
对D：因为事件与互斥，事件与独立，
所以，选项D正确．
【变式1】（多选）（25-26高二上·广东茂名·期末）设A，B是两个随机事件，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若A与B相互独立，则
B．若A与B互斥，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【分析】对于A，利用和事件的概率公式，及相互独立事件同时发生的概率公式即可求解；对于B，利用互斥事件的关系即可求解；
对于C，根据积事件的概率公式，及事件的关系即可求解；
对于D,根据和事件的概率公式求出再由相互独立事件的定义得到A与B相互独立再利用和事件的概率公式即可求解
【详解】若A与B相互独立，则，
∴，故A正确；
若A与B互斥，则，∴，故B错误；
∵，∴，
∴，故C正确；
∵，∴，
∴A与B相互独立.∴与B相互独立，A与相互独立.
∴
，故D正确.
故选：ACD.
【变式2】（多选）（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知事件，满足，，则下列说法正确的是.（ ）
A．若，则
B．若与相互独立，则
C．若，则与相互独立
D．若与互斥，则
【答案】ACD
【分析】根据独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式，对立事件概率公式计算判断各个选项.
【详解】事件，满足，，
对于A：若，则，A选项正确；
对于B：若与相互独立，则，B选项错误；
对于C：因为，即，则与相互独立，C选项正确；
对于D：若与互斥，则，D选项正确；
故选：ACD.
题型七 频率与概率
答｜题｜模｜板 频率是事件在次重复试验中发生的次数与的比值，具有随机性；概率是事件发生的固有可能性，是一个确定常数。当试验次数足够多时，频率稳定于概率（大数定律）。
【典例1】（25-26高二下·北京平谷·阶段检测）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率．
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取名，设为这名学生中该题选择正确的人数，分别估计的概率．
【答案】(1)
(2)，，.
【分析】（1）由频率估计概率可得结论；
（2）先分别求甲校，乙校抽取一人选择正确和选择错误的概率，再利用独立事件概率乘法公式计算相应概率即可；
【详解】（1）因为甲校所抽查的100名学生中选择正确的人数为80，
所以甲校所抽查的学生该题选择正确的频率为，
故估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率；
（2）设事件为“从甲校抽取1人做对”，则，，
设事件为“从乙校抽取1人做对”，则，，
依题意可知，
，
.
【典例2】（25-26高二下·陕西汉中·期中）某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图：
(1)求频率分布直方图中的值：
(2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数：
(3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率．
【答案】(1)
(2)93分
(3)
【详解】（1）由题，
解得：．
（2）由（1）可知，数学成绩在：
频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
样本平均值为：，
可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，
据此可以估计该校高一上学期期中数学考试成绩的平均分是93分；
（3）由题意可知，分数段的人数为（人），
分数段的人数为（人）．
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在［50，70）分数段内抽2人，分别记为，需在分数段内抽3人，分别记为，，，
设“从样本中任取2人，抽取的这2名学生的分数不在同一组内”为事件，
则样本空间共包含10个样本点，
所以事件的对立事件为包含4个样本点
所以，
所以，
即抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率为．
【变式1】（25-26高二上·云南昭通·期末）对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下：
寿命
个数 20 30 80 40 30
(1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？
(2)估计元件的寿命在400h及以上的概率．
【答案】(1)耐用型抽取6个，合格型抽取2个
(2)
【分析】（1）根据分层抽样的概念确定各层抽取的个数；
（2）利用频率对概率进行估计.
【详解】（1）因为耐用型总共有个，合格型总共有个，
抽取一个容量为8的样本，每个电子元件被抽到的可能性相同为.
所以耐用型抽取个，合格型抽取个．
（2）因表中200个电子元件的寿命在400h及以上的频率为，
故由此估计元件的寿命在400h及以上的概率为．
【变式2】（25-26高二上·四川成都·期末）为了解高二年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级500名同学的数学成绩并绘制成频率分布直方图．
(1)求的值：
(2)求这500名同学数学成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）；
(3)现拟在区间，用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2人举行座谈，求选取的2人均位于区间的概率．
【答案】(1)
(2)中位数为，平均数
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图中的频率和为1求解即可；
（2）先根据图求出每个区间的频率，分析出中位数所在的区间，设为，建立方程解出即可，然后根据频率分布直方图的平均数计算方法求解即可；
（3）先利用分层抽样方法在区间，分别抽取相应的人数，按照选取办法写出样本空间和满足条件的样本，然后根据古典概型概率求解即可.
【详解】（1）由，
解得.
（2）由图可知，成绩在区间的频率分别为，
因为，
所以中位数位于区间内，设中位数为，
则有，解得中位数分，
这500名同学数学成绩的平均数为：
分；
（3）由区间的人数为：人
区间的人数为：人
人数比为，所以在区间应抽取2人，设为，
在区间应抽取4人，设为，
设事件“这6人中选取2人，选取的2人均位于区间”，
由样本空间，
，得，
由事件，得，
所以．
题型八 古典概型大题应用
答｜题｜模｜板 1、确定样本空间：明确试验的所有可能结果，确保每个结果等可能。 2、计数：计算样本空间的总结果数 和事件 包含的结果数 。常用列举法、树状图、列表法或排列组合公式。 3、计算概率：
【典例1】（25-26高三·全国·一轮复习）某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道.
(1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率；
(2)假设从第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对该题的事件与乙猜对该题的事件相互独立，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率.
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）设事件“任选2道灯谜，甲都猜对”，用1，2，3，4，5表示第一关的5道灯谜，其中1，2，3，4表示甲猜对的4道，
则样本空间为，，
所以，，
根据古典概型的计算公式，
得．
（2）设事件“任选一道灯谜，甲猜对”，事件“任选一道灯谜，乙猜对”，
事件“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”，
根据题意可得，
，，，．
因为，且，互斥，
由已知相互独立，所以，相互独立，，也相互独立．
所以
．
即甲、乙两人恰有一个人猜对的概率为．
【典例2】（25-26高二下·上海闵行·期中）小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响．
(1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率；
(2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，则事件小李恰好有一关闯关成功，由条件结合概率加法公式和独立事件概率乘法公式求结论；
（2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，由条件结合概率公式列方程求，分别求出两人两关都通过的概率，再求结论．
【详解】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，
由已知相互独立，且， ，
则，，
设事件小李恰好有一关闯关成功为，则，
所以，
所以，
所以当时，，
所以小李恰好有一关闯关成功的概率为．
（2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，
则结合（1）知事件相互独立，且，，，，，
因为小王，小李两关都闯关成功的概率为，即，得①，
设事件小王恰好有一关闯关成功为，则，
所以，
由（1）有，
因为小王，小李各有一关闯关成功的概率为，即，得②，
联立①，②得，解得或，
又，所以，，
所以小王两关都闯关成功的概率为，
小李两关都闯关成功的概率为，
所以小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率为.
【变式1】（25-26高二上·上海·阶段检测）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”．
(1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率；
(2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率．
【答案】(1)，，，
(2)，，，
【分析】（1）明确样本空间的总数后，计算对应样本点个数即可得；
（2）利用交集与并集定义，并计算对应样本点个数即可得.
【详解】（1）样本空间为，
满足事件的样本点有，，，，，共个，
故；
满足事件的样本点有，，，，，，
，，，，，共个，
故；
满足事件的样本点有，，，，，，
，，，，，，共个，
故；
（2）
，共个样本点，
故；
，共个样本点，
故.
【变式2】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）甲 乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响.
(1)求甲在本次挑战赛中获胜的概率；
(2)求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据互斥事件和的概率公式及独立事件同时成立的概率公式求解即可；
（2）写出投弹结束时乙只投了2个球的事件，由互斥事件的和的概率公式，独立事件概率公式求解.
【详解】（1）设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投弹时击中，，
则，，
记“甲在本次挑战赛中获胜”为事件C，则
，
所以甲在本次挑战赛中获胜的概率为.
（2）记“挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟”为事件D，
则
，
所以挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率为.
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）在一次试验中，事件，，发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（ ）
A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件
C． D．事件，，的关系不确定
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，结合互斥事件、对立事件、必然事件的意义举反例说明ABC错误.
【详解】选项ABC错误，反例如下：
在一个箱子中有白球、黄球和红球若干，从中任取一球，取到红球的事件的概率为0.2，
取到黄球的事件的概率为0.3，取到黄球或红球的事件的概率为0.5，
显然与既不是互斥事件，也不是对立事件，A错误；
是“取到黄球或红球”，不是必然事件，B错误；
，C错误，
由条件无法确定事件的关系，D正确.
故选：ABC
2．（2026高一·全国·专题练习）打靶三次，事件Ai表示“击中次”，，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________．
【答案】 (或A1＋A2＋A3)
【详解】因 彼此互斥，“至少有一次击中”包含击中一次 ，击中两次 ，击中三次，
这三个事件的并事件，应表示为 (或A1＋A2＋A3).
3．（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，，则________．
【答案】0.1
【分析】根据概率的加法公式可以解出题目.
【详解】
代入已知条件，， ：
解得：
因为 ，所以
故答案为：0.1
4．（25-26高二上·广东江门·期末）已知，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____.
【答案】0.4/
【分析】根据概率的加法公式计算即可.
【详解】因为，，，
，
解得.
故答案为：0.4.
5．（2026高一·全国·专题练习）袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．
【答案】取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是．
【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式列出方程组求解即可.
【详解】从袋中任取一球，记事件“取到红球”，“取到黑球”，“取到黄球”和“取到绿球”分别为，则事件两两互斥，
依题意，，则，解得，
所以取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是．
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高一上·江西新余·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用集合交并集元素计算公式，结合古典概型概率公式计算即可.
【详解】对于A，，所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：D
2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知事件，且，则（ ）
A．事件与事件互为对立事件
B．若事件与事件互斥，则
C．若事件与事件互斥，则
D．若，则事件与事件相互独立
【答案】BD
【分析】根据对立事件的定义、互斥事件概率公式、相互独立事件的性质及概率公式计算判断作答.
【详解】由于对立事件的概率和为1，但，A错误；
若事件与事件互斥，则，B正确；
若事件与事件互斥，则不可能同时发生，即，C错误；
因为，所以事件与事件相互独立，
则事件与事件相互独立，D正确．
故选：BD.
3．（多选）（25-26高二下·甘肃陇南·期中）（多选）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ）
A． B．B与C互斥
C．A与B相互独立 D．A与D互为对立
【答案】ACD
【分析】利用古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率即可判断A，根据互斥事件的概率即可判断B，根据相互独立事件的定义判断C，根据对立事件的概率即可判断D．
【详解】设2个白球为，，2个黑球为，
则样本空间为：
，共12个基本事件.
事件，共4个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共8个基本事件，
对于A，由，故A正确；
对于B，因为，
所以事件B与C不互斥，故B错误；
对于C，因为，，，
则，
故事件A与B相互独立，故C正确；
对于D，因为，，
所以事件A与D互为对立，故D正确.
4．（多选）（25-26高二上·湖北孝感·期末）（多选）现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据题意列出事件的情况总数，然后逐项计算判断即可.
【详解】设左脚运动鞋为，右脚运动鞋为，左脚凉鞋为，右脚凉鞋为，
则，
所以，A错误；
，B正确；
，C正确；
，D正确.
故选：BCD.
5．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知随机事件互斥，且，，则等于（ ）
A． B．0.4 C．0.5 D．0.7
【答案】D
【分析】因为和互斥，由求出，再由，可得到答案.
【详解】因为和互斥，
所以，
又，所以，
因为，
所以.
故选：D.
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．（25-26高二下·上海·期中）某果园种植了三个品种的苹果树，共计500棵，其中品种250棵，品种150棵，品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量．
(1)应抽取B品种苹果树多少棵？
(2)若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：）数据如茎叶图所示，求第80百分位数，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率．
【答案】(1)3；
(2)；.
【分析】（1）利用分层抽样的性质，求出抽取品种苹果树的棵数；
（2）先将茎叶图所给数据从小到大排列，再求其第80百分位数，最后估算概率.
【详解】（1）采取分层抽样的方法抽取，分别抽取三种苹果树的数量比为 ，
则抽取品种的数量占比为，
，即应抽取品种苹果树3棵.
（2）先将这10个数从小到大排列：20，25，25，26，26，28，30，30，31，32，
，则这10个数的第80百分位数为 ，
根据频率接近于概率的性质，果树产量不小于的概率约为.
2．（25-26高一上·北京西城·期末）运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到以上（含）的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主.收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：
甲：181 180 179 178 173 172 170 168
乙：180 179 175 171 170 169
丙：183 176 165
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在决赛中获得优胜奖的概率；
(2)估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率；
(3)甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)丙
【分析】（1）由频率计算公式即可求解；
（2）分别计算乙丙获得优胜奖的概率，再计算乙丙都没获得优胜奖的概率，再由对立事件计算公式即可求解；
（3）结合甲乙丙高分段的数量（频率）和最大值即可判断.
【详解】（1）由甲：181 180 179 178 173 172 170 168
8组数据中成绩达到以上（含）有4组，
甲在决赛中获得优胜奖的概率为；
（2）由乙：180 179 175 171 170 169
6组数据中成绩达到以上（含）有3组，
故乙在决赛中获得优胜奖的概率为；
由丙：183 176 165
3组数据中成绩达到以上（含）有2组，
故丙在决赛中获得优胜奖的概率为；
则乙、丙两人在决赛中都没获得优胜奖的概率为：，
故乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率为；
（3）甲的成绩达到以上（含）的数量为2，
概率（频率）为，最大值为181；
乙的成绩达到以上（含）的数量为1，
概率（频率）为，最大值为180；
丙的成绩达到以上（含）的数量为1，
概率（频率）为，最大值为183；
可判断丙获得冠军的概率最大.
3．（25-26高二下·北京·阶段检测）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由．
(2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率．
【答案】(1)乙获得执业医师证书的可能性最大，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，计算甲乙丙获得执业医师证书的概率，比较大小，即可得解.
（2）分三种情况，结合互斥事件的概率加法公式以及独立事件的乘法公式，即可得解.
【详解】（1）记甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”依次为事件，在医学综合笔试中“合格”依次为事件.
因为所有考试是否合格互不影响，所以与，与，与相互独立.
因此甲获得执业医师证书的概率；
乙获得执业医师证书的概率；
丙获得执业医师证书的概率，
所以.
故乙获得执业医师证书的可能性最大.
（2）记甲、乙、丙三人获得执业医师证书依次为事件，则，，.
由于事件相互独立，则恰有两人获得执业医师证书的概率
.
故有两人获得执业医师证书的概率为.
4．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”.
(1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率；
(2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率；
(3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)该规则不公平，理由见解析.
【分析】（1）确定不放回抽样，通过列举所有等可能样本点，找出 “类型不同” 的样本点，利用古典概型概率公式计算，即目标事件数除以总样本数.
（2）采用 “正难则反” 策略，先求两次都没抽到航空航天券的对立事件概率，再用 1 减去该概率得到至少抽到一次的概率.
（3）类比第一问的不放回抽样，分别可以得到两张券类型相同、不同的概率，比较概率大小判断规则是否公平.
【详解】（1）记“两人抽到的体验券类型恰好不同”为事件A.
设4张“具身智能券”为，，，，2张“航空航天券”为，.
两人从中各随机抽取1张体验券，应用枚举法，可知样本空间为
，
共有15个样本点，
，有8个样本点，
故.
（2）记小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”为事件B，则小华两次都没有抽到“航空航天券”为.
小华抽取一次没有抽到“航空航天券”的概率为，
则，
所以.
（3）该规则不公平. 理由如下：
一次性抽取2张相当于不放回抽样，由（1）知，“智能社”优先的概率为，“空天社”优先的概率为，
因为，所以该规则不公平.
【点睛】古典概型需明确抽样方式（放回 / 不放回），用列举法或组合数算样本点；遇 “至少” 问题用对立事件简化.
5．（25-26高二下·北京平谷·阶段检测）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率．
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取名，设为这名学生中该题选择正确的人数，分别估计的概率．
【答案】(1)
(2)，，.
【分析】（1）由频率估计概率可得结论；
（2）先分别求甲校，乙校抽取一人选择正确和选择错误的概率，再利用独立事件概率乘法公式计算相应概率即可；
【详解】（1）因为甲校所抽查的100名学生中选择正确的人数为80，
所以甲校所抽查的学生该题选择正确的频率为，
故估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率；
（2）设事件为“从甲校抽取1人做对”，则，，
设事件为“从乙校抽取1人做对”，则，，
依题意可知，
，
.
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专题6.2 概率题型归纳（期末复习讲义）
内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01互斥事件与对立事件 题型02事件的关系和运算 题型03计算古典概型问题的概率 题型04概率的基本性质 题型05相互独立事件与互斥事件、对立事件的判断 题型06独立事件的乘法公式 题型07频率与概率 题型08古典概型大题应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点 复习目标 考情规律
互斥事件与对立事件 理解互斥事件不能同时发生，对立事件互斥且必有一个发生；能准确判断互斥、对立关系，并运用加法公式及对立事件概率公式求解 高频基础考点，常以选择题或填空题形式出现，考查概念辨析及简单概率计算，注意互斥不一定对立
事件的关系和运算 掌握事件间的包含、相等、并、交、差、补关系；能用文氏图直观表示，并能将复杂事件用简单事件的运算表达 基础能力，渗透于各类概率题目中，为概率计算提供语言基础，常与加法公式、乘法公式结合考查
古典概型问题 能判断古典概型（有限个等可能结果）；掌握列举法、树状图、列表法及排列组合计数技巧；会求简单事件的概率 每年必考，常以解答题或选择题形式出现，重点考查样本空间与事件结果的计数
概率的基本性质 掌握概率的非负性、规范性、有限可加性、加法公式、减法公式及对立事件性质；能运用性质进行概率计算与推理 核心工具，贯穿所有概率计算，常在复杂问题中用于转化或简化，如“至少有一个”转化为对立事件
相互独立事件与互斥、对立事件的判断 能根据定义或实际背景区分三种关系；理解互斥与独立不能同时成立（除非概率为0）；会从概率值或问题情境判断独立 易混辨析，常以选择题出现，考查对概念本质的理解
独立事件的乘法公式 会在独立事件中应用乘法公式计算同时发生的概率；能解决串联、并联系统可靠性问题；理解“至少一个发生”需转化为对立事件 高频应用，常与互斥事件加法公式结合出现在解答题中，考查公式选用和实际建模能力
频率与概率 理解频率的随机性与概率的确定性；掌握用大量重复试验的频率估计概率的方法；理解大数定律的基本思想 基础概念，常以选择题或填空题形式考查，注意频率不等于概率，但可作近似估计
知识点01 事件的关系和运算
1、事件间的包含关系
定义 符号 图示
包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，则称事件A与事件B相等 A＝B
2、交事件与并事件的概念及辨析
定义 符号 图示
并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB)
3、互斥事件和对立事件的概念及辨析
定义 符号 图示
互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝ ，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝
对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝ ，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝
知识点02 古典概型的概率计算公式
1、一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义
事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
2、概率的性质
性质1　对任意的事件，都有.
性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即.
性质3　如果事件A与事件B互斥，那么.
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么.
性质5　如果，那么.
性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有.
知识点03 相互独立事件
1、对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.
2、如果事件A与B相互独立，那么与，与B，与也都相互独立
题型一 互斥事件与对立事件
解｜题｜技｜巧 互斥事件与对立事件的关系 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生． ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件． 判断互斥对立事件可根据 利用互斥跟对立事件的定义来判断，互斥事件的定义比对立的更严。 可以借助集合的方法来解决事件问题。
【典例1】（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）从1 6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（ ）
A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立
C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立
【典例2】（多选）（25-26高二上·广东中山·期末）（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法错误的是（ ）
A．与互斥 B．与对立 C．与互斥 D．与对立
【变式1】（多选）（25-26高一上·江西南昌·期末）（多选）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【变式2】（多选）（25-26高二上·四川德阳·期中）（多选）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”不互为对立的是（ ）
A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶
题型二 事件的关系和运算
答｜题｜模｜板 将随机事件看作样本空间的子集，利用集合的关系和运算来理解事件的联系，并用于概率计算。
【典例1】（2026·江西·二模）设是三个事件，则事件“至少有一个发生且不发生”可表示为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（ ）
A．全部击中 B．至多击中1发
C．都未击中 D．至少击中1发
【变式1】（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高二上·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
题型三 计算古典概型问题的概率
答｜题｜模｜板 确认是否为古典概型：试验样本空间有限（样本点总数有限），每个样本点发生的可能性相等。 明确样本空间：列出或计算所有可能的基本事件总数 n。 确定目标事件：明确所求事件包含哪些基本事件，并计数 m。 4、计算概率：概率。 检查是否需考虑顺序、分组等,注意计数时使用排列还是组合，确保分子分母一致。
【典例1】（25-26高二上·云南昆明·期中）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为_______.
【典例2】（2026·重庆·模拟预测）某商场为回馈顾客举行抽奖活动，规则如下：消费每满元可参与抽奖一次，每次可随机抽取盲盒一个，每个盲盒内有一个小球，颜色是黑色、白色或灰色中的一种，且抽中每种颜色的概率都相等，集齐三种颜色的小球即可获得一个高压锅奖品．小陈共消费了元，则他能参与抽奖活动从而获得高压锅奖品的概率为_______．
【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）从标有的个小球中随机摸取个，则摸到的个小球上数字之和是的倍数的概率为_____________．
【变式2】（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）校园运动打卡将每日运动时长划分为1，2，3，4，5，6共6个等级，随机抽取连续2天的打卡等级，则2天运动时长等级数字之和等于5的概率为_________.
题型四 概率的基本性质
答｜题｜模｜板 1、利用互斥事件的可加性将复杂事件拆分为互斥的简单事件。 2、遇到“至少有一个发生”通常用对立事件：。 3、直接求概率困难时，考虑先求其对立事件的概率。 4、注意包含关系：若，则。
【典例1】（25-26高二下·江苏无锡·期中）设，是一个实验的两个事件，，，，则________．
【典例2】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知A、B为互斥事件，且，则______．
【变式1】（2026·湖北·三模）已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）已知，则下列结果正确的是（）
A． B．
C． D．
题型五 相互独立事件与互斥事件、对立事件的判断
答｜题｜模｜板 1、互斥事件：A与B不能同时发生，即 。 2、对立事件：A与B互斥且必有一个发生，即 ，。 3、相互独立事件：A的发生与否不影响B发生的概率，即 。
【典例1】（25-26高二下·重庆·期中）有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（ ）
A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立
【典例2】（多选）（2026·重庆渝中·模拟预测）（多选）一个正四面体的四个面上分别标以数字1，2，3，4，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：“”，事件：“”，事件：“”，事件：“”，则（ ）
A．与互斥 B．
C． D．与相互独立
【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则
C．A与B相互对立 D．若，则
【变式2】（2026·安徽合肥·二模）一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（ ）
A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立
C．事件与事件相互独立 D．
题型六 独立事件的乘法公式
答｜题｜模｜板 1、乘法公式只适用于相互独立事件，不独立时不能直接相乘。 2、注意区分“互斥”与“独立”：互斥时不能同时发生，概率相加；独立时可同时发生，概率相乘。
【典例1】（多选）（2025·湖南岳阳·模拟预测）（多选）已知是三个随机事件，下列说法中正确的有（ ）
A．若，则相互独立
B．若相互独立，，则相互独立
C．“两两独立”是“”的既不充分也不必要条件
D．若相互独立，相互独立，互斥，，则事件中至少有一个发生的概率为
【典例2】（多选）（25-26高二下·贵州遵义·期中）（多选）已知，为样本空间的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的有（ ）
A．事件与互斥 B．事件与独立
C． D．
【变式1】（多选）（25-26高二上·广东茂名·期末）设A，B是两个随机事件，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若A与B相互独立，则
B．若A与B互斥，则
C．若，则
D．若，则
【变式2】（多选）（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知事件，满足，，则下列说法正确的是.（ ）
A．若，则
B．若与相互独立，则
C．若，则与相互独立
D．若与互斥，则
题型七 频率与概率
答｜题｜模｜板 频率是事件在次重复试验中发生的次数与的比值，具有随机性；概率是事件发生的固有可能性，是一个确定常数。当试验次数足够多时，频率稳定于概率（大数定律）。
【典例1】（25-26高二下·北京平谷·阶段检测）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率．
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取名，设为这名学生中该题选择正确的人数，分别估计的概率．
【典例2】（25-26高二下·陕西汉中·期中）某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图：
(1)求频率分布直方图中的值：
(2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数：
(3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率．
【变式1】（25-26高二上·云南昭通·期末）对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下：
寿命
个数 20 30 80 40 30
(1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？
(2)估计元件的寿命在400h及以上的概率．
【变式2】（25-26高二上·四川成都·期末）为了解高二年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级500名同学的数学成绩并绘制成频率分布直方图．
(1)求的值：
(2)求这500名同学数学成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）；
(3)现拟在区间，用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2人举行座谈，求选取的2人均位于区间的概率．
题型八 古典概型大题应用
答｜题｜模｜板 1、确定样本空间：明确试验的所有可能结果，确保每个结果等可能。 2、计数：计算样本空间的总结果数 和事件 包含的结果数 。常用列举法、树状图、列表法或排列组合公式。 3、计算概率：
【典例1】（25-26高三·全国·一轮复习）某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道.
(1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率；
(2)假设从第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对该题的事件与乙猜对该题的事件相互独立，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率.
【典例2】（25-26高二下·上海闵行·期中）小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响．
(1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率；
(2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率．
【变式1】（25-26高二上·上海·阶段检测）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”．
(1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率；
(2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率．
【变式2】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）甲 乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响.
(1)求甲在本次挑战赛中获胜的概率；
(2)求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率.
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）在一次试验中，事件，，发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（ ）
A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件
C． D．事件，，的关系不确定
2．（2026高一·全国·专题练习）打靶三次，事件Ai表示“击中次”，，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________．
3．（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，，则________．
4．（25-26高二上·广东江门·期末）已知，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____.
5．（2026高一·全国·专题练习）袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（25-26高一上·江西新余·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知事件，且，则（ ）
A．事件与事件互为对立事件
B．若事件与事件互斥，则
C．若事件与事件互斥，则
D．若，则事件与事件相互独立
3．（多选）（25-26高二下·甘肃陇南·期中）（多选）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ）
A． B．B与C互斥
C．A与B相互独立 D．A与D互为对立
4．（多选）（25-26高二上·湖北孝感·期末）（多选）现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知随机事件互斥，且，，则等于（ ）
A． B．0.4 C．0.5 D．0.7
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．（25-26高二下·上海·期中）某果园种植了三个品种的苹果树，共计500棵，其中品种250棵，品种150棵，品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量．
(1)应抽取B品种苹果树多少棵？
(2)若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：）数据如茎叶图所示，求第80百分位数，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率．
2．（25-26高一上·北京西城·期末）运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到以上（含）的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主.收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：
甲：181 180 179 178 173 172 170 168
乙：180 179 175 171 170 169
丙：183 176 165
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在决赛中获得优胜奖的概率；
(2)估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率；
(3)甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大？（结论不要求证明）
3．（25-26高二下·北京·阶段检测）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由．
(2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率．
4．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”.
(1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率；
(2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率；
(3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由.
5．（25-26高二下·北京平谷·阶段检测）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率．
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取名，设为这名学生中该题选择正确的人数，分别估计的概率．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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