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19.3 借助箱线图描述数据的分布
一、教学目标
理解四分位数的意义，能求出一组数据的四分位数.
了解箱线图的画法，能读懂箱线图并描述数据的整体分布情况.
二、教学重点及难点
重点：四分位数的计算，箱线图的绘制与解读.
难点：理解箱线图所反映的数据分布特征，区分频数分布直方图与箱线图的适用场景.
三、教学过程
【复习引入】
提问：如何求一组数据的中位数？
学生回答后，教师总结：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间的数据（或中间位置两个数据的平均数）就是这组数据的中位数.
提问：频数分布直方图是如何描述数据的整体分布的？
学生回答后，教师总结：借助频数分布直方图能直观地看出数据集中于哪一段范围，分布是否对称等.
导入新课：上学期我们学习了用频数分布直方图描述数据分布，今天我们将学习另一种描述数据分布的统计图 —— 箱线图.
设计意图：通过复习中位数和频数分布直方图的相关知识，激活学生已有认知，为新知识的学习做好铺垫，自然引出本节课的主题.
【探究新知】
探究 1：数据分布的描述方法
某市去年 4 月 30 天的空气质量指数（AQI）如下：
60，39，65，82，60，89，109，81，73，69，
103，156，62，41，55，123，164，73，45，90，
64，54，70，59，73，86，91，58，63，82.
怎样描述该市去年 4 月 AQI 的分布情况呢？
师生活动：
学生回忆已学方法，教师引导学生用频数分布表和频数分布直方图进行描述.
用频数分布表和频数分布直方图，引导学生分析数据分布特征：总体以良为主，数据分布不对称，中心偏向较低的 AQI.
教师介绍第三种方法：箱线图，并展示计算机绘制的该市 4 月 AQI 箱线图.
设计意图：通过实际问题引入，让学生体会不同统计方法的应用，激发学生学习箱线图的兴趣.
探究 2：四分位数与箱线图的概念
箱线图的组成
引导学生观察箱线图，认识箱线图的各个部分：异常值、上边缘（除去异常值后的最大值）、上四分位数、中位数、下四分位数、下边缘（最小值）.
教师总结：用最大值（除去异常值之后）、上四分位数、中位数、下四分位数和最小值（除去异常值之后）这五个指标来描述数据分布的统计图称为箱线图.
四分位数的计算
以该市 4 月 AQI 数据为例，讲解四分位数的计算方法：
将 30 个数据从小到大排列，中位数是第 15 和 16 个数据的平均数，即 (70+73)÷2=71.5，处于总体 50% 的位置.
将左侧 15 个数据分成两等份，位于中间的第 8 个数据 60 就是下四分位数（第一四分位数），处于总体 25% 的位置.
将右侧 15 个数据分成两等份，位于中间的第 23 个数据 89 就是上四分位数（第三四分位数），处于总体 75% 的位置.
箱线图的解读
引导学生根据箱线图分析该市 4 月 AQI 的分布情况：
有两个异常值（156 和 164），说明有两天 AQI 异常大，不适合用平均数作为代表，可用中位数表示一般水平.
约一半的天数 AQI 处于 60 和 89 之间，约四分之一的天数 AQI 低于 60，约四分之一的天数 AQI 高于 89.
中位数离箱体中间较远，说明数据分布不对称，中心偏向较低的 AQI.
设计意图：结合具体实例，让学生直观理解四分位数和箱线图的概念，掌握箱线图的解读方法.
探究 3：频数分布直方图与箱线图的区别
提出思考问题：要寻找以下信息，可以借助频数分布直方图还是箱线图？
①该市去年 4 月 AQI 有没有异常值；
②按 AQI 排序分段后，天数最多或最少的那一段 AQI 的变化范围；
③该市去年 4 月 AQI 不超过 75 的天数；
④该市去年 4 月空气质量最好的七八天里，AQI 的变化范围.
师生活动：
学生独立思考后，小组讨论交流.
教师公布答案：①箱线图，②频数分布直方图，③频数分布直方图，④箱线图.
教师总结两者的区别：
频数分布直方图：将数据等距分组，回答 “每一段内有多少个数据” 的问题.
箱线图：将数据等分为数据量相同的 4 个组，回答 “中间 50% 的数据处在哪个范围” 的问题，能自动甄别异常值.
设计意图：通过对比分析，让学生明确两种统计图的特点和适用场景，提高学生根据实际问题选择合适统计方法的能力.
探究 4：箱线图的绘制步骤
教师引导学生归纳画箱线图的步骤：
将数据按从小到大顺序排列，找到最小值、最大值和四分位数；
根据最大值和最小值确定数轴的长度与单位长度，起点比最小值稍小；
画出箱线图：先画箱体（连接下四分位数、中位数、上四分位数），再画触须线（连接箱体与上下边缘），最后标记异常值.
设计意图：通过归纳总结，让学生掌握箱线图的绘制方法，培养学生的动手能力.
【典型例题】
例：某班 20 名学生的数学测试成绩如下：
85，90，78，82，95，88，76，80，92，86，
79，83，91，87，75，84，93，81，77，89.
请计算这组数据的四分位数，并画出箱线图.
师生活动：
学生独立完成，教师巡视指导.
小组内交流答案，互相检查.
教师展示标准解答过程和箱线图，强调计算和绘图的注意事项.
设计意图：通过典型例题的练习，巩固学生对四分位数计算和箱线图绘制的掌握，及时发现并解决学生存在的问题.
【当堂检测】
一组数据：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19 的下四分位数是 ，上四分位数是 .
关于箱线图，下列说法错误的是（ ）
A. 箱线图能反映数据的整体分布情况
B. 箱线图能自动甄别并标记异常值
C. 箱线图能显示每一段内的数据个数
D. 箱线图适用于多组数据整体分布情况的比较
某校八年级（1）班 5 名学生的身高（单位：cm）分别为：160，162，165，168，170.请画出这组数据的箱线图.
师生活动：学生独立完成后，教师当堂批改，针对共性问题进行讲解.
设计意图：通过当堂检测，及时反馈学生的学习效果，巩固本节课所学知识.
【课堂小结】
今天我们学习了哪些知识？
四分位数：将数据从小到大排列后，处于 25% 位置的是下四分位数，处于 50% 位置的是中位数，处于 75% 位置的是上四分位数.
箱线图：由最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值五个指标组成，能反映数据的整体分布情况，特别适用于多组数据分布的比较.
频数分布直方图与箱线图的区别：前者侧重显示各区间的数据个数，后者侧重显示数据的分位数和异常值.
设计意图：通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的知识体系，加深对所学内容的理解和记忆.
四、板书设计
19.3 借助箱线图描述数据的分布
四分位数
下四分位数（Q ）：25% 位置
中位数（Q ）：50% 位置
上四分位数（Q ）：75% 位置
箱线图
组成：最小值、Q 、Q 、Q 、最大值、异常值
作用：描述数据的整体分布
直方图与箱线图的区别
直方图：等距分组，显示各区间频数
箱线图：等分数据，显示分位数和异常值

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