资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 八年级 学期 秋季
课题 12.3.2等腰三角形的判定
教学目标
1.经历了操作、猜想、验证和证明的探究过程,掌握等腰三角形及等边三角形的判定定理，发展学生的逆向思维、几何直观和推理能力. 2.通过运用判定定理解决几何证明与实际问题，提高应用意识. 3.在探究过程中体会从一般到特殊、类比迁移等数学思想方法，形成研究几何图形的基本思路与方法论.
教学内容
教学重点：等腰三角形和等边三角形的判定定理的探究与应用. 教学难点：等腰三角形的判定定理的证明中辅助线的构造与理解，以及等腰三角形的性质和判定定理的综合应用.
教学过程
一、知识回顾，温故知新 问题1等腰三角形和等边三角形的定义分别是什么？都有哪些性质？ 师生活动：学生思考回答，教师评价和完善. 答案：（1）等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形的性质：①等腰三角形是轴对称图形.②等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.③等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合（简写成“三线合一”）. （2）等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形. 等边三角形的性质：①等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个内角都等于60°.②等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，每个角的平分线（每条边上的高或每条边上的中线）所在的直线是对称轴. 设计意图：通过回顾旧知，激活学生已有的知识储备，为后续学习等腰三角形的判定定理，以及性质与判定的综合应用做好充分的知识铺垫. 二、创设情境，引入新课 引导语：同学们，请看这张图片—这是海南黎族传统工艺黎锦，被誉为“人类纺织史上的活化石”，距今已存续三千年.其纹样中藏着丰富的几何元素（展示含等腰三角形纹样的黎锦图）.大家能从纹样里找出熟悉的几何图形吗？（引导学生指出“等腰三角形”）这类三角形纹样的对称美，是黎锦的特色之一. 村里的黎锦传承人李奶奶说，织这种三角形纹样时，为了保证对称美观，会先固定三角形两个角，让它们完全相等，这样织出来的两条侧边就一样长. 图案自然就对称了.请问对吗？ 设计意图：从黎锦的对称美自然地抽象出等腰三角形，再从其“性质”自然地逆向引出“判定”的核心问题.整个引入过程流畅、自然，实现了从生活情境到数学问题的无缝衔接，真正激发了学生的内在探究动机. 三、动手操作，深入探究 问题2 在一个三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边会有什么关系吗？请同学们画一画、量一量、折一折，你发现了什么？ 活动1 动手操作： ①在纸上画一条线段 BC ； ②分别以 B、C为顶点，BC 为一边，在 BC 的同一侧用量角器作出两个相等的角(小于 90°)，两角的另一边交于点A ； ③用刻度尺测量AB和AC的长度并比较（或者将三角形剪下来,沿∠BAC 的角平分线对折，观察 AB 与 AC 是否完全重合）. 猜想：如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对的边也相等，该三角形为等腰三角形. 师生活动：动手操作，形成猜想：学生在纸上任意画一个，使得，再用直尺测量AB和AC的长度.学生小组交流，发现，形成初步猜想. 活动2 利用数学软件进行演示，支持猜想. 技术验证，支持猜想：教师利用数学软件进行演示.拖动任意三角形的顶点A，当时，软件自动高亮并显示的结论.再改变∠B 和∠C的角度，结论仍然成立，这个动态过程让猜想更具普适性. 小组合作，证明猜想 已知：如图，在△ABC中，∠B =∠C .求证：AB = AC. 引导添加辅助线：教师提问：要证明两条线段相等，我们常用的方法是什么？（全等三角形）原图只有一个三角形，如何构造出两个三角形？请大家参考教材“想一想”中的提示，尝试添加不同的辅助线. 展示多种证法： 方法一（作顶角平分线）： 过点A作AD BC，垂足为点D . 在△BAD和△CAD中， ∵ ∠B = ∠C， ∠ADB =∠ADC，AD = AD， ∴ △BAD ≌ △CAD（AAS) . ∴ AB = AC (全等三角形的对应边相等）. 方法二（作底边上的高）：过点A作AD BC，垂足为点D . 在△BAD和△CAD中， ∵ ∠B =∠C，∠ADB = ∠ADC，AD = AD， ∴ △BAD ≌ △CAD（AAS) . ∴ AB = AC (全等三角形的对应边相等）. 归纳定理： 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 .(简写成“等角对等边”) 符号语言： 在△ABC中， ∵ ∠B = ∠C， ∴ AB = AC(等角对等边）. ∴ △ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）. 注意：“等角对等边”的前提是在同一个三角形中. 追问：等腰三角形的性质与判定有区别吗？ 设计意图：遵循“操作—猜想—验证—证明”的科学探究过程.数学软件的运用让猜想更具说服力.开放性的辅助线讨论，让学生体会数学方法的灵活性，并通过严谨证明，深刻理解定理的由来. 四、初步应用，巩固新知 问题3 （1）如图，在△ABC 中，已知∠A = 40°，∠B = 70°. 求证：AB = AC. 证明：∵ ∠A =∠B+∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)， ∠A = 40°，∠B = 70°.. ∴ ∠C = 180°﹣∠A﹣∠B = 180°﹣40°﹣70° = 70°. ∴ ∠C = ∠B . ∴ AB = AC (等角对等边）. 师生活动：给学生充足时间思考，请一名学生分析题意，理清思路并板演，教师点评，共同规范证明过程. (2)问题：情景中的李奶奶的话对吗？你能运用所学知识解释吗？ 答案：李奶奶的说法正确 . 设计意图：遵循“从简单到复杂”的认知规律.通过基础练习和简单应用，及时巩固对判定定理的理解.然后解决教材例4，学习定理在推理中的应用.最后回归情境问题，形成“提出问题—探究问题—解决问题”的完整闭环，让学生体会到学有所用. 五、类比探究，拓展新知 问题4 我们知道，三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个角都相等，且都等于60°，那么结合等腰三角形的判定定理，你能发现等边三角形的判定方法吗？请尝试证明. 师生活动：学生通过自主思考，合作探究等方式，结合等腰三角形的判定定理以及探究经验，尝试得到等边形的判定方法，并对结论的正确性进行证明.教师对学生的探究成果进行评价和进一步的完善，最后师生总结等边三角形的判定定理. 猜想： ①三个角都相等的三角形是等边三角形. ②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 证明： ①已知：如图1，在△ABC中，∠A =∠B =∠C . 求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵ ∠A =∠B (已知)， ∴ BC = AC (等角对等边）. ∵ ∠B = ∠C (已知). ∴ AC = AB (等角对等边）. ∴ BC = AC = AB (等量代换）. ∴ △ABC是等边三角形. ②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 已知：如图，在△ABC中，∠A = 60°，AB = AC . 求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵ AB = AC(已知)， ∴ ∠B = ∠C(等边对等角）. ∵ ∠A+∠B + ∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)， ∠A = 60°(已知）， ∴ ∠B = ∠C = ∴ ∠A = ∠B = ∠C(等量代换）. ∴ △ABC是等边三角形. （3）结论：①三个角都相等的三角形是等边三角形. ②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 符号语言： ①如图1，在 △ABC中，∵∠A = ∠B = ∠C，∴ AB = AC = BC. ②如图2，在 △ABC中，∵AB = AC，∠A = 60°，∴ AB = AC = BC. 问题5 你能说说等腰三角形和等边三角形在判定方面的异同吗？ 设计意图：将等腰三角形的研究方法迁移到等边三角形，培养学生知识迁移和特殊化的思维能力.通过思维导图，帮助学生构建清晰、结构化的知识网络，厘清概念间的联系与区别. 典例精析，深化理解 问题6 （1）如图，AB // CD，∠1 = ∠2 . ①求证：AB =AC. ②需再增加什么条件，可使得△ABC是等边三角形？ ①分析:要证，可以设法证明，而, 因此只要证明. ②需再增加条件：∠1=60°，或∠2=60°， 或∠A=60°， ∠B=60°，或AB =BC ，或AC =BC ，或∠A =∠B ，或∠ACB =∠B . （2）如图，Rt△ABC和Rt△A′ B′ C′ 中， ∠ACB = ∠A′ C′ B′ =90° ，AB = A′ B′ ，AC = A′ C′ . 求证：Rt△ABC ≌ Rt△A′ B′ C′ . 证明：由于直角边，我们通过平移和轴对称，改变的位置，使点A与点、点C与点重合，且使点 B与点 分别位于 的两侧，如图所示. 解：∵∠A′ C′ B = ∠A′ C′ B′ =90°， ∴ ∠B′ C′ B = ∠A′ C′ B′ +∠A′ C′ B =180°， 即点B′ 、C′ 、B在同一条直线上 . 在△A′ B′ B中， ∵ A′ B′ = AB = A′ B， ∴ ∠B = ∠B′ (等边对等角）. 在Rt△ABC和Rt△A′ B′ C′ 中， ∵∠B = ∠B′ ，∠ACB = ∠A′ C′ B′，AC =A′ C′ ， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△A′ B′ C′（AAS) . 师生活动：学生独立思考，分析题目中的已知条件与求证结论之间的关联，尝试写出完整的证明过程，小组交流成果.教师进行课堂巡视，针对学生的个体困难进行个性化辅导，并收集、归纳在巡视中发现的典型解法或常见错误，在此基础上进行补充与提炼. 追问：在（2）中，我们为什么要证明，起到了什么“桥梁”作用？ 总结：判定定理是证明线段相等、判断三角形形状的有力工具，常与性质定理结合使用. 设计意图：回归教材，处理经典例题，确保教学内容与课程标准一致.通过综合性例题，训练学生在复杂图形中识别基本图形，并灵活运用性质和定理解题的能力. 七．课堂训练，巩固提升 问题7（1） 如图，∠A =72° ，∠B =36° ， CD平分∠ACB .试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由. (第1题） (第2题） （2）如图，已知点D为BC的中点，DE AB，DF AC，点E、F为垂足，且BE = CF，∠BDE = 30°. 求证：△ABC是等边三角形. 师生活动：学生限时完成，进行思维内化；随后小组交流，互评解法，并推选代表准备分享. 教师巡视中诊断学情，收集典型解法与共性困惑, 交流环节组织有序，鼓励质疑与补充. 设计意图：设计两道难度递进的题目，全面检测学生对本节课知识点的掌握情况.题目（1）巩固等腰三角形的判定；题目（2）综合运用等腰三角形和等边三角形的性质与判定，有效提升学生的思维层次. 八．课堂小结，思维升华 问题8 本节课你有什么收获？可以和大家一起分享： （1）本节课我们主要学习了哪些内容？ （2）这节课我们如何探究等腰三角形的判定？用到了哪些数学思想和方法？ （3）研究几何图形的基本思路和方法是什么？ 教师根据学生的回答情况，予以补充.并利用思维导图，对本节课的知识进行梳理. 知识： 方法： ①研究几何图形的思路:定义-性质-判定-应用 ②研究几何图形的方法:操作-猜想-验证-证明 思想：类比思想、转化思想、一般到特殊的思想. 设计意图：通过思维导图和研究思路图，将本节课的研究内容和方法清晰展现在学生面前， 将之前渗透的思想方法显性化，真正实现从“学会”到“会学”的转变，并为后续学习其它几何图形提供方法论指导. 九．分层作业，拓展延伸 基础类（必做）：教科书第99~100页习题12.3 A组第3、5题. 提高类（选做）：教科书第100页习题12.3B组第6题、第116页复习题B组第11题. 实践类：以学习小组的形式采访一名装修师傅或黎锦能手， 了解他们在实际生产中是如何判定等腰三角形的，并分析他们的方法是否科学，形成文字报告. 设计意图：实施分层教学，满足不同层次学生的需求.作业紧扣教材，确保基础知识的巩固，同时为学有余力的学生提供挑战空间.

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