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第十章 数学活动：探寻纸张规格的秘密
课题名称 探寻纸张规格的秘密 课 型 新授课 教学资源 课件
教学内容解析 内容 本节的主要围绕纸张规格展开，引导学生探究国际标准化组织（ISO）制定的国际标准中，以 A、B、C 三个系列为代表的纸张尺寸之间的规律。 具体包括：A、B、C 三个系列同一型号纸张的大小关系；A、B、C 系列后面表示型号的数字 0 - 10 的含义；每个系列不同型号纸张长与宽的关系以及面积之间的关系。
内容解析 本节课聚焦于探寻纸张规格的数学奥秘，围绕国际标准化组织（ISO）制定的国际标准展开。该标准下纸张尺寸分 A、B、C 三个系列，通过呈现的纸张尺寸表格，引导学生深入探究其中规律。
目标与目标解析 单元整体目标 课标要求：能从实际问题中抽象出数学关系，进行数学分析与探究。经历数据收集、整理、分析的过程，发展数据分析观念。 教材要求：探究A、B、C三个系列纸张同一型号的大小关系。理解A、B、C系列后数字0 - 10的含义。发现各系列不同型号纸张长与宽、面积之间的关系。
课时目标 知识维度 学生需要了解A、B、C三个系列纸张型号的标识规则，明确数字0 - 10与纸张大小的对应关系，比如数字越大，纸张尺寸越小。探究同一型号下A、B、C系列纸张的大小比较，以及不同型号纸张长、宽、面积之间的数学关系，像是否存在比例关系、面积倍数关系等。这涉及到长方形的长、宽、面积的计算与规律探寻，运用了数学中的比例、乘法运算等知识。 2. 能力维度 通过对纸张规格数据的观察、分析、计算，培养学生的数据分析能力和逻辑推理能力。学生需要从表格中的数据里发现规律，进行归纳总结。让学生体会数学在生活中的应用，感受数学与实际生活的紧密联系，提高学生用数学知识解决实际问题的意识和能力。 素养维度 渗透了数学中的归纳思想，从特殊的纸张型号数据出发，归纳出一般的规律。同时也体现了数学的简洁性和系统性，国际标准下的纸张规格有着内在的数学逻辑，使得纸张的使用和设计更加规范、高效。
课时目标解析 达成目标1的标志是：学生能依据表格数据，准确阐述同型号下A、B、C系列纸张尺寸的大小排序，比如能清晰说明A0、B0、C0纸张长和宽的大小对比情况。 达成目标2的标志是：学生能清晰解释系列后数字0 - 10的意义，知晓数字越大纸张尺寸越小，且能结合A0到A10等具体型号，说明纸张尺寸随数字的变化规律。 达成目标3的标志是：学生能通过观察计算，总结出各系列不同型号纸张长与宽的比例关系（如A系列长与宽比例约为），以及不同型号纸张面积的倍数关系（如A1面积是A0的一半），并能结合具体数据进行阐释。
学情分析 已有的知识、认知水平 学生已掌握长方形的长、宽、面积的计算方法，对比例、倍数等数学概念有一定的认识，具备基本的观察、分析数据的能力，能从表格中提取相关信息；学生处于能够对具体数据进行简单分析和归纳的阶段，但对于从生活实际（纸张规格）中抽象出数学规律，以及探究复杂的数学关系（如不同系列、不同型号纸张尺寸与面积的内在联系），还需要进一步引导和培养.
困惑点 探索点 困惑点：对于 A、B、C 系列纸张型号后面数字 0 - 10 的具体含义，以及不同系列同一型号纸张大小关系的本质原因可能存在疑惑；难以快速发现各系列不同型号纸张长与宽、面积之间的精确数学关系。 探索点：探究 A、B、C 三个系列同一型号纸张大小关系的规律；明确 A、B、C 系列后面数字 0 - 10 的含义；发现每个系列不同型号纸张长与宽的关系，以及它们面积之间的关系.
教学 重难点 教学重点 探究 A、B、C 三个系列纸张同一型号的大小关系；理解 A、B、C 系列后面表示型号的数字 0 - 10 的含义；发现每个系列不同型号纸张长与宽的关系，以及它们面积之间的关系。
教学难点 深入探究每个系列不同型号纸张长与宽的比例关系，以及不同型号纸张面积之间的倍数关系，并用数学语言准确表述这些规律.
教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学 纸张是生活中常见的物品，学生对其有一定的熟悉度。从数学角度探究纸张规格的秘密，能让学生感受到数学与生活的紧密联系，体会数学在实际生活中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣，同时也能培养学生从生活现象中发现数学问题、运用数学知识解决问题的能力。 学什么 1.A、B、C系列同一型号纸张的大小关系：通过对比表格中同一数字型号（如A0与B0、C0，A1与B1、C1等）的纸张长和宽数据，明确它们的大小排序。 2. A、B、C系列后数字0 - 10的含义：理解数字与纸张尺寸的对应关系，即数字越大，纸张尺寸越小。 3. 各系列不同型号纸张长与宽、面积的关系：探究长与宽的比例规律（如A系列长与宽比例接近），以及面积之间的倍数关系（如A1面积是A0的一半）。 怎么学 观察法：引导学生仔细观察表格中A、B、C系列不同型号纸张的长、宽数据，初步感知数据间的规律。例如，观察A0到A10纸张的长和宽，看随着型号数字增大，长和宽如何变化。 2. 计算法：组织学生对纸张的长、宽、面积进行计算，验证猜想的规律。比如计算A0的面积和A1的面积，看两者的倍数关系；计算长与宽的比值，探究比例规律。 3. 讨论法：开展小组讨论，让学生交流各自发现的规律，在思维的碰撞中完善对纸张规格数学规律的认识。例如，讨论同一型号A、B、C系列纸张大小关系的原因，以及数字型号含义的理解。 4. 归纳法：在学生观察、计算、讨论的基础上，引导学生归纳总结出纸张规格中长与宽、面积等方面的数学规律，形成系统的认识。
教学过程 教学 环节 学习任务设计 设计意图
初步感知 Q1:同学们，拿出你手边现有的纸，你能说出它的型号和尺寸吗？那你常用的纸张都有哪些型号？ 孩子们可能会说出A3 A4 B4等 （教师出示A3 A4 A5，贴在黑板上，并引导学生随意调换位置学生们观察三者有何特点） Q2:大家基于对以上三张纸的观察，你能提出哪些问题？有哪些猜想呢？ 这里，学生可能会说，三张纸形状一样，大小不一样。学生可能会看出三张纸“形状相同”，教师追问：形状相同怎么用数学语言描述？引出长宽比。让学生动手测量一下以上A4纸张的长和宽，并测量比值。（保留四位小数） 通过“说出纸张型号”“观察A3、A4、A5特点”等问题，从学生日常接触的物品切入，降低认知门槛。这种设计既符合初中生“从具体到抽象”的认知规律，又能快速激发学生的探究兴趣，自然引出“纸张形状与尺寸关系”的核心议题。
探究新知 探究新知 探究新知 探究新知 探究新知 探究新知 探究新知 探究新知 A系列：标准纸张初印象 请各小组拿出尺子，实际测量一下A4纸的长和宽。 有的同学说大约是21厘米×30厘米，实际上精确尺寸是210mm×297mm。大家是否想过，为什么不是200×300这样整数呢？ 师：请计算A4纸长与宽的比值，保留四位小数。 297÷210≈1.4143 师：这个数字1.4143让大家想到了什么？ ，即A4纸的长宽比是：1 师：计算A3-A5纸的长宽比（小数点后保留四位数）： 型号长宽长宽比A3420297A4297210A5210148……………………还想验证哪个型号纸张的长宽比？ 填入下表并计算
师：你们发现了什么规律？ 所有纸张长与宽比值都接近. 师：请大家将A4纸对折一下，看看得到什么纸？（A5） 结论：所有纸张的长宽比都是:1，这样对折后形状不变，方便放大和缩印。 Q3:纸张只有A3 A4 A5吗？还有其他的吗？ 师：其实A系列纸张共11种型号，从A0到A10。 Q4:我们先来从最初的A0开始，如果要你设计A0尺寸，你该如何设计它的长宽呢？ 师：其实A0是一个特别完美的尺寸，他的面积是1。 师：纸张本质是一个矩形，大家可以尝试从矩形的面积来推导出长和宽吗？（保留三位小数，单位：mm） 证明：设A0长为a，宽为b，∵ab=1，a：b= ∴ ， Q5:大家知道为什么长宽比要为吗？ 生：每个纸张的长宽比为，能保证对折后形状不变，方便印刷，放大不失真，缩小不留白。 Q6:原来A0是经过如此精心的设计而来！那么A系列是否还有其他值得研究的问题呢？ （教师可以引导学生随意摆弄手中的三张A纸） ①型号数字越大，尺寸越小；②前一型号的宽是下一型号的长；前一型号的长的一半是下一型号的宽；③前一型号对折变成下一型号；④面积减半规律等。 Q7:不去计算每种型号的面积，只根据A0面积，你能推理出其他A纸张的面积吗？ 型号尺寸（mm）将A0对折次数面积（mm2）与前一型号面积比与A0的 面积比A0841×118901----------------A1594×84111/2==A2420×59421/4==A3297×42031/8==A4210×29741/16==…………………………An-------n-----
师：从A0 到A4，面积有什么变化？ 同一系列中，型号数字每增加1，纸张面积减半。 师：分别对折A0几次能得到A1,A2,A3,A4，折叠几次能得到An 分别对折A0长边1 2 3 4次得到A1 A2 A3 A4.对折A0 n次能得到An。 师：每对折一次A0长边，得到的新纸张面积有何特点？ 每对折一次A0长边，得到下一个型号的纸张，纸张面积减少为原纸张面积的一半。 师：填写表格中与前一型号面积比，你发现了什么？ 每一个型号面积都是前一型号面积的1/2。 师：填写表格中与A0面积比，你发现了什么？ （学生最可能的答案）A1面积是A0面积的1/2.A2面积是A0的1/4,A3面积是A0面积的1/8……所以，型号数字直观地反映了纸张面积是基础0号纸面积的几分之一。 师：以上面积比值能不能换一种形式？或许你能发现更直观的规律。 引导学生说出：A1面积是A0面积的.A2面积是A0的,A3面积是A0面积的…… An面积是A0面积的。所以 B系列：比A大一圈的缓冲艺术 Q1：我们刚才已经熟悉了常用的A系列纸张，那么现在谁愿意跟老师一起表演一个情景剧？ 学生扮演打印店老板，老师扮演顾客。 顾客：我需要印一份杂志，你能给我推荐合适的纸张吗？ 老板：A3 顾客：太大啦 老板：A4 A5 顾客：太小了。 师：那怎么办呢？怎么能找到合适的纸张呢？ Q2：请大家帮助老板一起创设一个新系列--B，来满足顾客的需求。 师：我们已经知道顾客想要一个比A3小比A4大的纸张了，那么我们怎么设计更合理？需要考虑到哪些条件？（教师出示A3 A4 如下图） Q3:请大家随意裁剪手中的大纸张，找到刚好介于A3 和A4之间的纸张，并说明你的理由。 学生大胆尝试，猜想学生可能会取二者长、宽的平均值作为新纸张的长、宽。取名为Bi。 型号长宽长宽比A3420297Bi359254A4297210
Q4：这样看，我们设计的Bi长、宽介于A3A4中间并且长宽比仍是，看似很合理。有不同意见吗？有更合理的设计吗？给学生深入思考，畅所欲言。 Q5：大家的设计从长宽上看具备合理性，那么从面积角度的合理性呢？ 型号长宽长宽比面积相邻型号面积比A3420297124740 Bi35925491886A429721062370
Q6：大家通过相邻型号面积比，你发现了什么？ 生：取算数平均数虽然实现了“介于两者之间”，但是并没有实现和前后两者的“比例一致”。 Q7:显然，使用算是平均数不是完全合适，还有其他思路吗？ 师：其实几何平均值更能均衡地体现“中间值”的特征，比如，c是啊 和b的几何平均值，那么就有，那么Bi是A3 和A4的几何平均值，有， Q8：依照上述提示，你能推导出Bi的长和宽吗？（取整数） 师：很好！其实我们刚算出来的Bi，就是尺寸表中的B4！我们把B4 和A3 A4放在一起对照一下。B4刚刚好介于A3 A4之间！不仅仅是视觉上的，也是数学意义上的中间值！ Q9：猜想：B系列有几种型号呢？你能计算出每种型号的尺寸吗？ 生：B0-B10 共11种型号。 师：你能根据B4推导出其他B系列的尺寸吗？ 型号长宽B0B1B2…………B3250x2=500353B4353250B5250 B6…………B7B8B9B10
Q10：？处的数值是几 生： 师：大家觉得这个数值合适吗？ 生：取整数的话要么是176 要么是177，哪个更好？ 师：我们看下ISO B系列尺寸表！B5宽取值为176. Q11：观察B系列尺寸表，能发现什么规律？ 此处预设：①型号数字越大，尺寸越小；②前一型号的宽是下一型号的长；前一型号的长的一半是下一型号的宽；③前一型号对折变成下一型号；④面积减半规律⑤。 Q12：观察A B系列尺寸表，你能得到哪些信息？ 此处预设：①②T同型号下的B比A尺寸大一圈 Q13：现在回归到最初的老板的那个问题，你能帮老板解决这个问题了吗？ （B系列存在的必要意义？） 生：B系列是为了弥补A系列的空白，它刚好可以填补A系列相邻两个纸张之间的空缺，提供了更广阔的选择，一般用于杂志海报等。 C系列的使命 Q1:除了A B两个系列之外，你认为还有其他系列存在的必要吗？ 师：老师用A4纸写了一封信，想邮寄出去，我需要用什么包装？ 生：信封 师：用多大尺寸的信封？ 生：A3 A4 B3 B4等，教师出示对比图，说明不合理原因。 生：用A3太大了 用B4也很大 A4又完全重合 B5又太小 Q2:既然B4太大，A4又装不下，你能设计一张纸用来装A4的信吗？ 课堂预设：之前提过“几何平均值”，学生们大概率能想到用几何平均值算出新纸张的长宽。（取整数） 型号长宽A4297210Ci？？B4353250
Q3：我们用彩纸将Ci裁剪出来，看下是否适合装A4信封。 师：通过对比，我们设计的Ci似乎更适合做A4信纸的信封！看来，C系列确有必要！ Q4：其实我们刚设计的Ci，就是国际标准中的C4，你能推算出C系列其他型号纸张的尺寸吗？ 型号长宽C0C1C2…………C3229x2=458324C4324229C5229324/2=162C6…………C7C8C9C10
Q5：对比A B C三个系列的纸张，你有什么发现？ 课堂预设：B纸张＞C纸张＞A纸张（尺寸大小） Q6：至此，我们已经发现了ABC三个系列的纸张尺寸，合并在一起就成了ISO纸张尺寸表。你还有其他发现吗？ Q7：我们已经知道了三种系列相同型号纸张之间长与宽的关系（），那么面积上有什么关联吗？ 纸张型号尺寸（mm）面积（mm）A0841×11891B01000×14141.414C0917×12971.189
课堂预设：①A0 和B0之间有怎样的数量关系 ②CO与A0、B0之间的数量关系 ③A0 CO面积之间的关系？ 即， 师：你能用数学公式表达这种关系吗？ 结论：不同系列间存在固定的比例关系：B是A的倍，C是A的倍，C是A 和B的几何平均值。 未来一张纸：D系列会存在吗？ Q1：我们已经了解，ABC三个系列确有存在的必要，它们能满足日常的全部需求吗？是否还需要D系列纸张来填补空白？D系列会存在吗？ 安排“测量长宽比值”的实践任务，是为了让学生从直观感知“形状相同”过渡到数学语言“长宽比恒定”，为后续探究系列纸张的比例规律埋下伏笔。同时，动手操作能调动学生的参与积极性，培养实践观察能力。 从A4纸的精确尺寸切入，通过计算长宽比（≈1.4143）关联，再推导A0纸的“面积1平方米”与长宽比的适配关系，帮助学生理解纸张规格的数学设计逻辑，突破“为何不是整数尺寸”的认知困惑。 通过“对折实验”“面积推理”等活动，引导学生自主发现“型号数字越大尺寸越小”“前一型号对折得下一型号”“面积随型号递增减半”等规律，既巩固了长方形面积计算、比例等基础知识，又培养了数据分析与归纳能力。 设计“打印店选纸”情景剧，模拟真实需求冲突（A3太大、A4太小），让学生直观感受A系列的尺寸局限。这种基于实际问题的驱动式设计，使B系列的出现具备合理性与必要性，避免了规律讲解的生硬感。 先让学生尝试“取长宽算数平均数”设计纸张，再通过“面积比例不一致”的矛盾点引出几何平均值，既深化了对“尺寸中间值”的数学理解，又让学生体会到数学方法在实际设计中的精准性。 以“装A4信纸选信封”的现实问题为切入点，通过“A3太大、B4不适”的对比，凸显新系列的需求刚性。这种设计延续了“问题—解决”的逻辑主线，让学生明白数学规律的发现始终服务于实际需求。 引导学生运用B系列的“几何平均值”经验推导C4尺寸，既是对已有知识的巩固迁移，也是对“系列设计逻辑一致性”的强化，帮助学生形成“需求—设计—规律”的完整思维链。 通过对比A、B、C系列的尺寸与面积数据，总结“B是A的倍、C是A和B的几何平均值”等规律，将分散的系列知识系统化，培养学生的整体认知能力。 提出“D系列是否存在必要”的问题，不给出固定答案，而是引导学生结合前三个系列的设计逻辑进行思考，旨在打破思维定式，培养创新意识与批判性思维。
总结 本节课以“探寻纸张规格的秘密”为主题，聚焦国际标准化组织（ISO）制定的A、B、C三大系列纸张规格，通过“感知—探究—拓展”的逻辑主线，引导学生从生活现象中抽象数学规律，实现知识、能力与素养的协同发展。 教学开篇以学生熟悉的纸张为切入点，通过实物观察与问题猜想激活已有经验；探究新知环节采用分层递进式设计，先深入剖析A系列纸张的长宽比、型号含义及面积规律，再以情景剧和实际需求为驱动，推导B系列（填补A系列尺寸空白）与C系列（适配信封需求）的设计逻辑，最终通过系列间关系对比形成系统认知；结尾以“D系列是否必要”的开放性问题延伸思维，配合“设计D纸”的作业实现知识迁移。 整个教学过程紧扣“从生活到数学，从具体到抽象”的核心思路，依托观察、计算、讨论、归纳等多元方法，既破解了纸张规格中的数学奥秘，又渗透了数据分析、逻辑推理等核心素养，充分体现了数学的实用性与系统性。
板书设计 一张纸的全球旅行 ——探寻纸张规格的秘密 A系列：标准的基石 关键特征 长宽比：（≈1.414:1） 型号含义：数字0-10，数字越大，尺寸越小 核心规律 对折关系：前一型号长边对折→下一型号（如A0→A1） 面积规律：型号每+1，面积减半（） B系列：缓冲的艺术 存在意义：填补A系列相邻型号的尺寸空白 设计逻辑：同型号B是A的几何平均值（尺寸、面积均适配比例关系） 规律延续：与A系列一致（型号数字与尺寸反向相关、对折面积减半） C系列：信封的使命 核心需求：适配A B系列纸张包装（如C4适配A4信纸） 设计逻辑：同型号C是A与B的几何平均值 尺寸排序：B系列＞C系列＞A系列（同型号）
作业设计 作业 目标 作业内容 难度 时 长
思维 延展 设计一张D纸，给出它的尺寸，并说明其存在的合理性与实用性。 适中 2 0 分钟
设计 意图 布置“设计D纸并说明合理性”的作业，是对课堂探究的深度延伸。该任务要求学生综合运用“尺寸规律、实际需求、数学适配”等知识，既检验了对本节课核心内容的掌握程度，又实现了从“理解规律”到“运用规律”的能力跨越，同时兼顾了实用性与创新性。

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