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同步探究学案
课题 21.3.3 正方形（第2课时） 单元 第二十一章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．掌握正方形的判定方法； 2．能综合运用矩形、菱形的判定定理推导正方形的判定； 3．能解决正方形判定的综合问题．
重点 掌握从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发的四种正方形判定思路，能用判定定理完成几何证明．
难点 根据题干条件灵活选择判定路径，分步完成“先证菱形再证矩形”或“先证矩形再证菱形”的综合证明．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．什么是正方形？ 2．正方形都有哪些性质？
新知探究 本节课来研究： 本节我们从矩形、菱形、平行四边形和四边形出发，研究正方形的判定方法。 探究：分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论． 预设： （1）从矩形出发： 方法1：一组邻边________的矩形是正方形． 方法2：对角线互相________的矩形是正方形． （2）从菱形出发： 方法1：有一个角是________的菱形是正方形． 方法2：对角线________的菱形是正方形． （3）从平行四边形出发： 方法1：一组邻边________且一个内角为________的平行四边形是正方形． 方法2：对角线互相________且________的平行四边形是正方形． （4）从四边形出发： 方法1：四条边________且四个角都是________的四边形是正方形． 方法2：对角线互相________、________且________的四边形是正方形． 例：如图所示，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH． 求证：四边形EFGH是正方形． 分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列条件能判断正方形的是（ ） A．对角线互相垂直的菱形 B．对角线相等的菱形 C．对角线互相平分的矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形 2．如图，，小萱分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧分别相交于点，，顺次连接，，，，则四边形的形状为__________． 3．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 选做题： 4．如图，在四边形中，，，对角线与相交于点．若再补充一个条件，可判定该四边形为一种特殊的平行四边形，则以下说法正确的是（ ） A．若补充“”，则四边形是矩形 B．若补充“”，则四边形是菱形 C．若补充“”，则四边形是矩形 D．若补充“”，则四边形是正方形 【综合拓展类练习】 5．已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，有下列条件：，；③，；④，，其中，能判定是正方形的有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2．四边形的对角线，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形是______． 3．如图，在矩形中，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，．求证：四边形为正方形． 选做题： 4．下列条件： ①对角线互相垂直且相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的矩形； ③对角线相等的菱形； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形； ⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形． 其中能判定四边形为正方形的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【综合拓展类作业】 5．如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好都和点G重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形边长为3，，求的长度．
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第二十一章 四边形
21.3.3 正方形
（第2课时）
1．掌握正方形的判定方法；
2．能综合运用矩形、菱形的判定定理推导正方形的判定；
3．能解决正方形判定的综合问题．
1．什么是正方形？
对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个角是直角，那么它就是正方形．
2．正方形都有哪些性质？
（1）边：四条边相等．
（2）角：四个角都是直角．
（3）对角线：对角线相等，且互相垂直平分．
（4）对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线以及两条对角线所在的直线．
要判定一个四边形是正方形，可以先判定它是矩形，再判定这个矩形也是菱形；或者先判定它是菱形，再判定这个菱形也是矩形．
探究：分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论．
添加一组邻边相等
或添加对角线互相垂直
从矩形出发：
方法1：一组邻边相等的矩形是正方形．
方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形．
探究：分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论．
添加一个角是直角
或添加对角线相等
从菱形出发：
方法1：有一个角是直角的菱形是正方形．
方法2：对角线相等的菱形是正方形．
探究：分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论．
添加一组邻边相等且
一个内角为直角
或添加对角线互相垂直且相等
从平行四边形出发：
方法1：一组邻边相等且一个内角为直角的平行四边形是正方形．
方法2：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．
探究：分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论．
添加四条边相等且四个角都是直角
或添加对角线互相平分、垂直且相等
从四边形出发：
方法1：四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形．
方法2：对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形．
例：如图所示，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．
求证：四边形EFGH是正方形．
分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA．
又AE＝BF＝CG＝DH，∴EB＝FC＝GD＝HA．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．
∴HE＝EF＝FG＝GH．
∴四边形EFGH是菱形．
∵△AEH≌△BFE，∴∠2＝∠3．
又∠1＋∠2＝90°，∴∠1＋∠3＝90°．
∴∠HEF＝180°－（∠1＋∠3）＝90°．
∴四边形EFGH是正方形．
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
从四边形出发进行证明
从矩形出发进行证明
从菱形出发进行证明
正方形的判定
从平行四边形出发进行证明
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
证明：（1）由折叠可知，、
、、，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，矩形是正方形；
【综合拓展类作业】中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第十四课时《21.3.3 正方形（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课承接平行四边形、矩形、菱形的判定与正方形的性质，是前面各类判定知识的汇总融合．正方形判定依托矩形、菱形的判定推导而来，实现从矩形加邻边相等、菱形加直角两条路径判定正方形，完善特殊四边形完整知识链条．本课既巩固了矩形、菱形的判定定理，又搭建起四类特殊四边形判定的内在逻辑，为几何综合证明、动点题型、中考几何大题奠定基础．通过探究不同起点的判定思路，学生深化从一般到特殊的几何探究方法，内化类比、转化思想，在本章四边形知识体系中起到整合收尾、融会贯通的关键作用．
学习者分析 学生已熟练掌握平行四边形、矩形、菱形的判定与正方形性质，明晰四类四边形的从属关系，具备全等三角形证明的基础能力．但学生容易混淆正方形不同判定路径的前提条件，分不清判定起点是四边形、平行四边形、矩形还是菱形，综合证明时难以灵活拆分为先证菱形再证矩形（或反之）的两步逻辑，解题时常出现条件遗漏、判定顺序错乱的问题，需要依托例题拆解证明步骤，通过分类梳理判定方法突破认知误区．
教学目标 1．掌握正方形的判定方法； 2．能综合运用矩形、菱形的判定定理推导正方形的判定； 3．能解决正方形判定的综合问题．
教学重点 掌握从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发的四种正方形判定思路，能用判定定理完成几何证明．
教学难点 根据题干条件灵活选择判定路径，分步完成“先证菱形再证矩形”或“先证矩形再证菱形”的综合证明．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．掌握正方形的判定方法； 2．能综合运用矩形、菱形的判定定理推导正方形的判定； 3．能解决正方形判定的综合问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．什么是正方形？ 答案：对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个角是直角，那么它就是正方形． 2．正方形都有哪些性质？ 答案：（1）边：四条边相等． （2）角：四个角都是直角． （3）对角线：对角线相等，且互相垂直平分． （4）对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线以及两条对角线所在的直线． 导言：要判定一个四边形是正方形，可以先判定它是矩形，再判定这个矩形也是菱形；或者先判定它是菱形，再判定这个菱形也是矩形．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 复习正方形定义与性质，依托性质逆向思考判定思路，衔接矩形、菱形已有判定知识，自然引出正方形两种判定路径，搭建新旧知识桥梁，启发学生理解“矩形+菱形条件=正方形”的逻辑，激发探究多种判定方法的学习兴趣．环节三：新知讲解教师活动3： 探究：分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论． 预设： （1）从矩形出发： 方法1：一组邻边相等的矩形是正方形． 方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形． （2）从菱形出发： 方法1：有一个角是直角的菱形是正方形． 方法2：对角线相等的菱形是正方形． （3）从平行四边形出发： 方法1：一组邻边相等且一个内角为直角的平行四边形是正方形． 方法2：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． （4）从四边形出发： 方法1：四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形． 方法2：对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形． 例：如图所示，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH． 求证：四边形EFGH是正方形． 分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA． 又AE＝BF＝CG＝DH， ∴EB＝FC＝GD＝HA． ∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG． ∴HE＝EF＝FG＝GH． ∴四边形EFGH是菱形． ∵△AEH≌△BFE， ∴∠2＝∠3． 又∠1＋∠2＝90°， ∴∠1＋∠3＝90°． ∴∠HEF＝180°－（∠1＋∠3）＝90°． ∴四边形EFGH是正方形．学生活动3： 学生小组合作探究后认真听老师的讲解活动意图说明： 依托矩形、菱形判定推导正方形判定方法，梳理不同判定路径，完善特殊四边形知识体系；例题借助全等证明，落实“先证菱形再证矩形”的判定思路，锻炼学生综合推理能力，渗透转化与类比的数学思想．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：21.3.3正方形（第2课时）一、从矩形出发进行证明 二、从菱形出发进行证明 三、从平行四边形出发进行证明 四、从四边形出发进行证明教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列条件能判断正方形的是（ ） A．对角线互相垂直的菱形 B．对角线相等的菱形 C．对角线互相平分的矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形 答案：B 2．如图，，小萱分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧分别相交于点，，顺次连接，，，，则四边形的形状为__________． 答案：正方形 3．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 证明：∵菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形形， 又， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 选做题： 4．如图，在四边形中，，，对角线与相交于点．若再补充一个条件，可判定该四边形为一种特殊的平行四边形，则以下说法正确的是（ ） A．若补充“”，则四边形是矩形 B．若补充“”，则四边形是菱形 C．若补充“”，则四边形是矩形 D．若补充“”，则四边形是正方形 答案：B 【综合拓展类练习】 5．已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 证明：（1），， 四边形是平行四边形，， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ； （2）四边形的形状是正方形，理由如下： ∵菱形，， ∴四边形为正方形， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，有下列条件：，；③，；④，，其中，能判定是正方形的有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 答案：D 2．四边形的对角线，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形是______． 答案：正方形 3．如图，在矩形中，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，．求证：四边形为正方形． 证明：四边形为矩形，四边形为菱形， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为正方形． 选做题： 4．下列条件： ①对角线互相垂直且相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的矩形； ③对角线相等的菱形； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形； ⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形． 其中能判定四边形为正方形的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案：D 【综合拓展类作业】 5．如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好都和点G重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形边长为3，，求的长度． 证明：（1）由折叠可知，、、、， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形； （2）由（1）知，四边形是正方形， 、， ， 设，则， 由折叠的性质知，、， ， 在中，， ， 解得：， ．
教学反思 本课依托矩形、菱形旧知引出正方形判定，多数学生可以识记判定方法，但部分学生不能灵活选用判定路径，证明综合题时步骤逻辑混乱．后续教学需增设判定方法分类表格，对比不同判定的前置条件，补充分层变式练习，引导学生审题先找准判定起点，规范分步书写证明过程，强化知识的融会应用．
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