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7.3 定义、命题、定理（暑假探究导学练）（含答案解析）
一、必做题1：
1．下列命题中，其逆命题不成立的是（　　）
A．角平分线所在直线上的点到这个角的两边的距离相等
B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行，同旁内角互补
D．若是钝角三角形，则
2．下列可以作为定理的有（　　）
①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．请你举出一个能说明命题“若，则”是假命题的反例　 　
二、选做题1：
4．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出个反例．
（1）两个角的和等于直角时，这两个角互为余角；
（2）同旁内角互补．
5．如图，ACFE，∠1+∠3＝180°．
（1）判定∠FAB与∠4的大小关系，并说明理由；
（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4＝78°，求∠BCD的度数．
三、必做题2：
6． 下列选项中的命题，是真命题的是(　　)
A．面积相等的两个三角形全等
B．周长相等的两个三角形全等
C．底角相等的两个等腰三角形全等
D．边长相等的两个等边三角形全等
7．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．若，，则a，b互为倒数
B．若，，则与是对顶角
C．若，则
D．若，，则，互为余角
8．下列命题可以作定理的有　 　个．
①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式．
四、选做题2：
9．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．
（1）请写出所有的真命题；
（2）请选择其中一个命题加以证明．
10．如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题.
（1）这三个命题中，真命题有　 　个；
（2）选择一个真命题，并且完成证明过程.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A．逆命题：到角两边距离相等的点在角平分线所在直线上，是真命题；
B．逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；
C．逆命题：同旁内角互补，两直线平行，是真命题；
D．逆命题：若，则是钝角三角形，是真命题，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】本题逐项根据原命题写出对应的逆命题，A选项的逆命题根据角平分线性质的逆定理即可进行判断；B选项根据相似三角形即可进行判断；C选项根据平行线的判定即可判断；D选项根据钝角三角形的判定即可进行判断；
然后对逆命题进行判断真假即可．
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；平均数及其计算；数的整除性；对顶角及其性质；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：①一个能被2整除的数不一定能被4整除，为假命题，错误，不符合题意
②相等的角不一定是对顶角，为假命题，错误，不符合题意
③25与x的平均值不一定是3，为假命题，错误，不符合题意
④三角形内角和为为真命题，正确，符合题意
故答案为：A
【分析】根据命题与定理的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】（答案不唯一）
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当时，满足，此时，但不满足．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】举例说明ab=0，但不满足解答即可．
4．【答案】（1）题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角．这个命题是真命题
（2）题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补，这个命题是假命题；
反例：如图中与是同旁内角，，
【知识点】真命题与假命题；余角；两直线平行，同旁内角互补；命题的概念与组成
【解析】【分析】（1） 题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角．命题的 条件成立，结论也成立是真命题，
（2）题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补，命题的条件成立，结论不成立是假命题
5．【答案】解：（1）∠FAB＝∠4，理由如下：
∵ACEF，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠1+∠3＝180°，
∴∠2＝∠3，
∴FACD，
∴∠FAB＝∠4。
（2）∵AC平分∠FAB，
∴∠2＝∠CAD，
∵∠2＝∠3，
∴∠CAD＝∠3，
∵∠4＝∠3+∠CAD，
∴，
∵EF⊥BE，ACEF，
∴AC⊥BE，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠3＝51°．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】此题主要考查平行线的判定与性质证明，解题的关键是熟知三角形的外角定理、垂直的定义．（1）利用“两直线平行、同旁内角互补”和“同旁内角互补、两直线平行”，可以推出FACD，最后利用“两直线平行、同位角相等”即可得出答案；
（2）根据角平分线的性质及外角定理求出∠3，再根据垂直的定义列式计算即可求解．
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： 命题A：面积相等的三角形不一定全等。例如，底为4、高为3的三角形与底为6、高为2的三角形面积均为6，但形状不同，不全等。因此A是假命题。
命题B：“周长相等的两个三角形全等”。周长相等的三角形不一定全等。例如，边长为3、4、5的三角形与边长为2、5、5的三角形周长均为12，但边长不同，不全等。因此B是假命题。
命题C：“底角相等的两个等腰三角形全等”。底角相等的等腰三角形可能只是相似而非全等。例如两个等腰三角形底角均为50°，但腰长分别为5和10，形状相同但大小不同，不全等，因此C是假命题。
命题D：“边长相等的两个等边三角形全等”。等边三角形的三边均相等，若边长相等，则三边对应相等（SSS），满足全等条件。因此D是真命题。
故答案为：D.
【分析】根据题意，举出反例验证A、B、C命题不正确.
7．【答案】D
【知识点】有理数的倒数；对顶角及其性质；真命题与假命题；绝对值的概念与意义；余角
【解析】【解答】解：A中，若，，则，即a，b不互为倒数，故A是假命题；
B中，若，，但与不一定是对顶角，故B是假命题；
C中，若，则，故C是假命题；
D中，若，，则，互为余角，故D是真命题；
故选：D．
【分析】本题主要考查命题真假，根据对顶角的定义、余角及倒数的定义，以及绝对值定义及解法，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案．
8．【答案】2
【知识点】等式的基本性质；一元一次方程的解；三角形内角和定理；平均数及其计算；整除的意义
【解析】【解答】解：①2与6的平均值是，为假命题，不能作为定理，不符合题意；
②能被3整除的数不一定能被6整除，为假命题，不能作为定理，不符合题意；
③解方程，可得，则5是方程的根为假命题，不能作为定理，不符合题意；
④三角形的内角和是，为真命题，能作为定理，符合题意；
⑤等式两边加上同一个数仍是等式，为真命题，能作为定理，符合题意；
故答案为：2
【分析】根据真假命题，定理的定义逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】（1）解：命题1：由①②得到③
命题2：由①③得到②
命题1：由②③得到①
（2）解：命题1：∵AB∥CD
∴∠B=∠CDF
∵∠B=∠C
∴∠C=∠CDF
∴CE∥BF
∴∠E=∠F
命题2：∵AB∥CD
∴∠B=∠CDF
∵∠E=∠F
∴CE∥BF
∴∠C=∠CDF
∴∠B=∠C
命题3：∵∠E=∠F
∴CE∥BF
∴∠C=∠CDF
∵∠B=∠C
∴∠B=∠CDF
∴AB∥CD
【知识点】平行线的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据真命题定义即可求出答案.
（2）根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
10．【答案】（1）3
（2）解：已知，.求证：.
证明：，，
，，，
，，，.
【知识点】平行线的判定与性质；定义、命题、定理、推论的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，所有的命题为①②③，①③②，②③①，且均为真命题；
【分析】（1）根据题意表示出所有命题，判断命题的真假；
（2）任选一个命题，由直线平行的判定定理和性质进行证明。
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