资源简介

18.3 正方形
一、教学目标
理解正方形的定义，掌握正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别.
掌握正方形的性质和判定定理，能运用其进行简单的计算和证明.
二、教学重点及难点
重点：正方形的性质和判定定理.
难点：正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系，以及正方形判定定理的灵活运用.
三、教学过程
【复习引入】
提问学生：什么是矩形？矩形有哪些性质？
学生回答后，教师总结：有一个角是直角的平行四边形是矩形；矩形的四个角都是直角，对角线相等.
继续提问：什么是菱形？菱形有哪些性质？
学生回答后，教师总结：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；菱形的四条边都相等，对角线互相垂直.
展示生活中的正方形图片（七巧板、相框、钟表、地砖等），引出本节课的主题 —— 正方形.
设计意图：通过复习矩形和菱形的相关知识，建立新旧知识的联系，为学生理解正方形的定义和性质做好铺垫；通过生活实例，让学生感受正方形在生活中的广泛应用，激发学习兴趣.
【探究新知】
探究 1：正方形的定义
提出问题 1：矩形怎样变化后就成了正方形？
引导学生观察思考，得出结论：有一组邻边相等的矩形是正方形.
提出问题 2：菱形怎样变化后就成了正方形？
引导学生观察思考，得出结论：有一个角是直角的菱形是正方形.
教师总结正方形的定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
提问：正方形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？它有几条对称轴？对称中心在哪里？
学生讨论后回答：正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形；有四条对称轴，对称中心是两条对角线的交点.
设计意图：通过问题引导学生从矩形和菱形两个角度认识正方形，帮助学生理解正方形与矩形、菱形的特殊关系，自然得出正方形的定义.
探究 2：正方形的性质
引导学生根据正方形的定义，结合矩形和菱形的性质，自主探究正方形的性质.
学生小组讨论后，教师总结正方形的性质：
性质 1：正方形的四条边都相等.
符号表示：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB=BC=CD=AD.
性质 2：正方形的四个角都是直角.
符号表示：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°.
性质 3：正方形的对角线相等且互相垂直平分.
符号表示：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8.
拓展性质：
正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
周长相等的四边形中，正方形的面积最大.
设计意图：让学生通过自主探究和小组合作，结合已学的矩形和菱形的性质推导出正方形的性质，培养学生的逻辑推理能力和合作交流能力.
探究 3：正方形的判定
创设情境：小明、小兵、小英分别用不同的方法检验自己剪出的图形是否是正方形，但他们的方法都有问题.引导学生思考：应该如何检验，才能又快又准确地判断一个四边形是正方形？
学生分小组讨论，从不同角度总结正方形的判定方法：
从四边形出发：
① 有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
② 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
从平行四边形出发：
① 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
② 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.
从矩形出发：
① 有一组邻边相等的矩形是正方形.
② 对角线互相垂直的矩形是正方形.
从菱形出发：
① 有一个角是直角的菱形是正方形.
② 对角线相等的菱形是正方形.
教师总结：判定正方形的基本思路是先判定一个四边形是矩形（或菱形），再判定它是菱形（或矩形），从而得出这个四边形是正方形.
设计意图：通过生活中的实际问题引入正方形的判定，让学生在解决问题的过程中总结判定方法，加深对知识的理解和应用；同时培养学生严谨的逻辑思维能力.
【典型例题】
例：如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O.
（1）求∠BAC 的度数；
（2）若 AB=4，求正方形 ABCD 的周长和面积；
（3）求证：△AOB 是等腰直角三角形.
【师生活动】
学生独立思考，尝试完成解答.
小组内交流讨论，互相纠正错误.
教师请学生上台展示解答过程，然后进行点评和规范书写.
解答过程：
（1）解：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠ABC=90°，AB=BC，
∴ △ABC 是等腰直角三角形，
∴ ∠BAC=45°.
（2）解：∵ 四边形 ABCD 是正方形，AB=4，
∴ 正方形 ABCD 的周长 = 4AB=4×4=16，
正方形 ABCD 的面积 = AB =4 =16.
（3）证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC⊥BD，OA=OB，
∴ ∠AOB=90°，
∴ △AOB 是等腰直角三角形.
设计意图：通过典型例题的讲解，让学生掌握正方形性质的基本应用，规范学生的解题步骤，提高学生的计算和证明能力.
四、当堂检测
正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 四个角都是直角 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直
正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A. 四条边都相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
下列说法中，正确的是（ ）
A. 有一个角是直角的四边形是正方形
B. 有一组邻边相等的四边形是正方形
C. 对角线相等的菱形是正方形
D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
已知正方形的对角线长为 6，则它的边长为 ，面积为 .
【师生活动】
学生独立完成练习，教师巡视指导，然后集体订正答案，针对学生出现的问题进行讲解.
设计意图：通过当堂检测，及时了解学生对本节课知识的掌握情况，巩固所学知识，发现并解决学生学习中存在的问题.
五、课堂小结
今天我们学习了正方形的相关知识，主要内容有：
正方形的定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
正方形的性质：四条边都相等；四个角都是直角；对角线相等且互相垂直平分.
正方形的判定：可以从四边形、平行四边形、矩形、菱形四个角度进行判定，核心思路是 “矩形 + 菱形 = 正方形”.
正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有四条对称轴.

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