资源简介

18.2.1 菱形的性质
一、教学目标
理解菱形的定义，明确菱形与平行四边形的区别与联系
掌握菱形的性质定理，能运用性质进行简单的计算和证明
掌握菱形的面积公式，能灵活解决相关几何问题
二、教学重点及难点
重点：菱形的定义和性质定理的应用
难点：菱形性质定理的证明及综合运用性质解决问题
三、教学过程
【复习引入】
复习提问：平行四边形有哪些性质？（引导学生从边、角、对角线、对称性四个方面回答）
情境导入：展示生活中的菱形实例（建筑装饰、菱形镜子、中国结、伸缩衣帽架等），提问：这些图形是平行四边形吗？它们有什么共同特点？
动手操作：将一张矩形纸对折两次，沿图中虚线剪下，打开得到一个四边形，让学生观察这个四边形的特征.
设计意图：通过复习平行四边形的性质，建立新旧知识的联系；通过生活实例和动手操作，激发学生的学习兴趣，让学生直观感知菱形的独特特征.
【探究新知】
探究 1：菱形的定义
引导学生观察操作得到的图形，思考：这个图形是平行四边形吗？它与一般平行四边形的区别是什么？
总结菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
强调：菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质.
师生活动：学生观察、讨论并发言，教师引导总结定义并板书.
设计意图：让学生通过自主观察和思考得出菱形的定义，加深对概念本质的理解.
探究 2：菱形的对称性和性质
提出问题：菱形作为特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的一般性质外，还有哪些特殊性质？请同学们拿出剪下的菱形，通过折叠、测量等方式，从对称性、边、角、对角线四个方面进行探究，填写下表：
对称性 边 角 对角线
平行四边形的一般性质 中心对称 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分
菱形的特殊性质 轴对称 四条边都相等 对角相等 对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
小组汇报探究结果，教师补充完善.
菱形的对称性：菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为对角线所在的直线，有 2 条对称轴，对称中心是两条对角线的交点.
证明菱形的性质定理：
性质定理 1：菱形的四条边都相等.
已知：四边形 ABCD 是菱形.
求证：AB=BC=CD=AD.
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB=CD，AD=BC（平行四边形对边相等），
又∵ AB=BC（菱形的定义），
∴ AB=BC=CD=AD.
性质定理 2：菱形的对角线互相垂直.
已知：菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O.
求证：AC⊥BD.
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB=AD（菱形的四条边都相等），
又∵ 平行四边形的对角线互相平分，
∴ BO=DO，
∴ AC⊥BD（等腰三角形三线合一）.
拓展性质：
菱形的每条对角线都平分一组对角；
菱形的任意一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形；
菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形.
师生活动：学生分组探究，填写表格，尝试独立证明定理，教师引导学生规范证明过程，强调逻辑推理的严谨性.
设计意图：通过对比探究和动手操作，让学生自主发现菱形的特殊性质，培养观察能力和推理能力；通过定理证明，让学生理解性质的由来，提高逻辑思维能力.
探究 3：菱形的面积公式
提问：平行四边形的面积公式是 “底 × 高”，菱形作为特殊的平行四边形，除了这个公式外，还有没有其他计算面积的方法？
引导学生观察菱形被对角线分成的四个直角三角形，推导面积公式：
设菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，
则 S 菱形 ABCD=4×S△AOB=4×(×AO×BO)=2×AO×BO=×AC×BD.
总结菱形的面积公式：S 菱形 = 底 × 高 = × 对角线乘积.
师生活动：学生独立思考并推导面积公式，教师引导总结并板书.
设计意图：让学生通过自主推导，理解菱形面积公式的两种表达形式，培养转化思想和计算能力.
【典型例题】
例 1 菱形 ABCD 的边长为 5cm，对角线 AC 长为 6cm，求 BD 的长和菱形的面积.
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD，AO=AC=3cm，
在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：
BO===4cm，
∴ BD=2BO=8cm，
∴ S 菱形 ABCD=×AC×BD=×6×8=24cm .
例 2 菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AE⊥CD 于点 E，若 AC=8，BD=6，求 AE 的长.
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD，OC=AC=4，OD=BD=3，
在 Rt△COD 中，由勾股定理得：
CD===5，
∵ S 菱形 ABCD=×AC×BD=CD×AE，
∴ ×8×6=5×AE，
解得 AE==4.8.
师生活动：学生先独立完成，然后小组讨论交流，教师展示规范解题过程，强调解题步骤和性质的正确运用.
设计意图：通过典型例题，巩固菱形的性质和面积公式，让学生掌握不同类型题目的解题方法，提高解题能力.
【当堂检测】
选择题：菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
填空题：
（1）菱形的两条对角线长分别为 6 和 8，则菱形的边长为 ，面积为 .
（2）菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，AB=4，则 AC= ，BD= .
解答题：菱形 ABCD 的周长为 20cm，其中一条对角线长为 6cm，求另一条对角线的长和菱形的面积.
师生活动：学生独立完成检测题，教师巡视批改，针对学生出现的错误进行集中讲解.
设计意图：及时检测学生的学习效果，了解学生对知识的掌握情况，查漏补缺，巩固所学内容.
【课堂小结】
引导学生回顾本节课所学内容，总结：
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质：
对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形；
边：四条边都相等；
对角线：互相垂直，每条对角线平分一组对角.
菱形的面积公式：S = 底 × 高 = × 对角线乘积.
师生活动：学生自由发言，教师补充完善，帮助学生梳理知识体系.
设计意图：通过课堂小结，让学生对本节课的知识有一个系统的认识，加深记忆和理解.
四、板书设计
18.2.1 菱形的性质
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质：
对称性：中心对称 + 轴对称（2 条对称轴）
边：四条边都相等
对角线：互相垂直，平分一组对角
面积公式：
S = 底 × 高
S=×AC×BD

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