资源简介

18.2.2 菱形的判定（课时2）
一、教学目标
理解并掌握菱形的判定定理 2，能准确表述定理内容并进行符号表示.
能综合运用菱形的性质与判定解决相关几何问题.
体会菱形与平行四边形的区别与联系，掌握从性质逆向推导判定的数学思想.
二、教学重点及难点
重点：菱形判定定理 2 的内容及其应用.
难点：灵活选择合适的菱形判定方法解决几何问题.
三、教学过程
【复习引入】
提问：上一节课我们学习了哪些菱形的判定方法？
学生回答后教师板书：
（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
（2）定理 1：四条边都相等的四边形是菱形.
追问：菱形还有什么特殊性质？（对角线互相垂直）
引导学生思考：如果把这个性质反过来，"对角线互相垂直的平行四边形是菱形" 这个猜想是否成立？
设计意图：通过复习已学的菱形判定方法和性质，自然引出本节课的探究主题，培养学生逆向思维的能力，为新知识的学习做好铺垫.
【探究新知】
探究：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
动手操作：
取两根长度不等的细木棒，将它们的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线.
提问：这样得到的四边形是什么图形？（平行四边形，因为对角线互相平分）
转动其中一根木棒，当两根木棒之间的夹角等于 90° 时，观察得到的图形是什么形状？
学生动手操作后交流结论：得到的图形是菱形.
作图验证：
教师带领学生按照以下步骤作图：
（1）作两条互相垂直的直线 m、n，记交点为 O；
（2）以点 O 为圆心、适当长为半径作弧，在直线 m 上截取相等的两条线段 OA、OC；
（3）以点 O 为圆心、另一适当长为半径作弧，在直线 n 上截取相等的两条线段 OB、OD；
（4）顺次连结所得的四个点 A、B、C、D.
提问：四边形 ABCD 是什么图形？为什么？
学生回答：是平行四边形，因为对角线互相平分.
进一步观察：这个平行四边形的对角线有什么特点？（互相垂直）
引导学生猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理证明：
已知：在 ABCD 中，对角线 AC⊥BD 于点 O.
求证： ABCD 是菱形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形
∴ OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）
又∵ AC⊥BD
∴ AC 是线段 BD 的垂直平分线
∴ AB=AD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴ ABCD 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
得出结论：
菱形的判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
符号表示：
在 ABCD 中，
∵ AC⊥BD，
∴ ABCD 是菱形.
师生活动：学生先独立思考证明思路，然后小组交流讨论，最后教师引导学生完成规范的证明过程，强调定理的使用条件是 "平行四边形 + 对角线互相垂直".
设计意图：通过动手操作、作图验证和逻辑证明，让学生经历菱形判定定理的形成过程，加深对定理的理解和记忆，培养学生的动手能力和逻辑推理能力.
【典型例题】
例：如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB=5，OA=4，OB=3.
求证： ABCD 是菱形.
证明：在△AOB 中，
∵ AB=5，OA=4，OB=3
∴ AB =OA +OB
∴ △AOB 是直角三角形，且∠AOB=90°
∴ AC⊥BD
又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形
∴ ABCD 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
师生活动：学生独立完成证明过程，教师巡视指导，然后请学生上台展示自己的证明过程，教师进行点评和规范.
设计意图：通过典型例题的练习，让学生掌握菱形判定定理 2 的基本应用，巩固所学知识，提高学生的解题能力.
【知识归纳】
教师引导学生归纳菱形的三种判定方法：
定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
定理 1：四条边都相等的四边形是菱形.
定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
同时梳理四边形、平行四边形、菱形之间的判定关系：
四边形→平行四边形：两组对边分别平行 / 相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分；两组对角分别相等.
平行四边形→菱形：一组邻边相等；对角线互相垂直.
四边形→菱形：四条边都相等.
四、当堂检测
下列说法中，正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 对角线相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D. 对角线相等且互相平分的四边形是菱形
在 ABCD 中，添加下列一个条件后，仍不能判定 ABCD 是菱形的是（ ）
A. AB=BC B. AC⊥BD C. BD 平分∠ABC D. AC=BD
已知：在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE∥AC 交 AB 于点 E，DF∥AB 交 AC 于点 F.
求证：四边形 AEDF 是菱形.
师生活动：学生独立完成练习题，教师带领学生进行讲解和订正，针对学生出现的问题进行重点讲解.
设计意图：通过当堂检测，及时了解学生对本节课知识的掌握情况，巩固所学内容，发现并解决学生存在的问题.
五、课堂小结
今天我们学习了菱形的第三种判定方法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.至此，我们已经掌握了菱形的三种判定方法：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
在解决实际问题时，要根据已知条件灵活选择合适的判定方法.
六、板书设计
18.2.2 菱形的判定（课时 2）
菱形的判定方法
（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
（2）定理 1：四条边都相等的四边形是菱形.
（3）定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
符号表示：在 ABCD 中，
∵ AC⊥BD，
∴ ABCD 是菱形.
典型例题

展开更多......

收起↑