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19.2 数据的离散程度
一、教学目标
体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的离差平方和与方差.
理解方差的意义，知道方差能反映数据的波动程度.
能用计算器的统计功能求一组数据的平均数和方差.
二、教学重点及难点
重点：离差平方和与方差的概念及计算方法，方差的意义.
难点：理解为什么用方差刻画数据的离散程度，方差计算的准确性.
三、教学过程
【复习引入】
提问：我们之前学习了哪些描述数据集中趋势的统计量？（平均数、中位数、众数）
思考：平均数相等的两组数据，它们的整体情况是否一定相同？
设计意图：通过复习已学的集中趋势统计量，引发学生认知冲突，自然引出本节课要研究的数据离散程度问题，激发学生的探究兴趣.
【探究新知】
探究 1：数据离散程度的直观感受
如图，下面是 2022 年 7 月 20 日 8 时至 7 月 21 日 5 时天津和新加坡两地的气温数据表格.
8时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时
天津 27 30 32 31 26 25 24 23
新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27
引导学生计算两地的平均气温，发现两地平均气温均为 27.25℃.
展示两地气温变化折线图，让学生观察并比较两地气温的波动情况：天津气温波动范围大（23℃\32℃，相差 9℃），新加坡气温波动范围小（26℃\29℃，相差 3℃）.
概括：即使两组数据的平均数相等，它们在数据波动大小上也可能存在差异.数据波动越小，平均数的代表性越强.
师生活动：学生独立计算平均气温，小组讨论观察到的气温变化特点，教师引导学生总结得出结论.
设计意图：通过生活中的气温实例，让学生直观感受数据离散程度的存在，理解研究数据离散程度的必要性.
探究 2：离差平方和的概念
如图，小明和小兵两人近期 5 次体育测试成绩表格.
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
小明 10 14 13 12 13
小兵 11 11 15 14 11
计算两人成绩的平均数（均为 12.4）和成绩的极差（均为 4），发现用平均数和极差无法准确比较两人成绩的稳定性.
引导学生思考：如何用数学指标反映数据与其平均数的离散程度？
尝试直接将各数据与平均数的差累加，发现和为 0，无法比较.
提出解决方案：将各数据与平均数的差平方后再求和，即 "先平均，再求差，然后平方，最后求和"，得到的结果称为离差平方和.
计算小明和小兵成绩的离差平方和：小明为 9.2，小兵为 15.2，初步判断小明的成绩更稳定.
师生活动：学生在教师引导下逐步尝试不同的计算方法，小组讨论哪种方法更合理，教师总结离差平方和的概念.
设计意图：让学生经历从问题提出到解决方案探索的过程，理解离差平方和产生的背景和意义.
探究 3：方差的概念与计算
提出问题：如果进行了 7 次测试，小明缺席 2 次，如何比较两人成绩的稳定性？
引导学生发现：离差平方和会随数据个数的增多而增大，当两组数据个数不同时，直接比较离差平方和不公平.
引入方差的概念：将离差平方和除以数据个数，得到的结果称为方差，通常记为 σ .
总结方差的计算步骤：
（1）求原始数据的平均数；
（2）求各数据与平均数的差；
（3）求各个差的平方；
（4）求各平方数的平均数.
方差的意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
计算小明 5 次测试成绩的方差为 1.84，小兵 7 次测试成绩的方差为 2.82，得出小明的成绩更稳定的结论.
师生活动：学生独立计算两人的方差，教师巡视指导，强调计算过程中的注意事项.
设计意图：通过设置数据个数不同的情境，让学生理解引入方差的必要性，掌握方差的计算方法和意义.
探究 4：用计算器求平均数和方差
说明：笔算方差比较烦琐，利用计算器可以大大提高效率.
以计算小明 5 次测试成绩的平均数和方差为例，讲解计算器的操作步骤：
（1）按开机键打开主屏幕，按方向键选中 "统计" 应用图标后，按确认键进入 "统计" 应用，再按对应键启动 "单变量统计" 计算功能.
（2）依次输入所有数据，按确认键确认.
（3）按对应键查看计算结果，包括平均数和方差.
师生活动：教师演示计算器操作过程，学生跟随操作，互相交流遇到的问题.
设计意图：让学生掌握用计算器计算统计量的方法，提高计算效率，为后续解决实际问题打下基础.
【典型例题】
例：甲、乙两名运动员在相同条件下各射靶 5 次，每次射靶的成绩如下：
甲：9，10，8，5，8
乙：6，7，8，9，10
（1）分别计算甲、乙两人成绩的平均数和方差；
（2）根据计算结果，评价两人的射击水平.
师生活动：学生独立完成计算，小组讨论交流评价结果，教师展示规范的解题过程.
设计意图：通过典型例题，巩固学生对方差计算方法和意义的理解，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力.
四、当堂检测
一组数据：2，-1，0，3，5 的方差是 .
甲、乙两台机床生产同种零件，10 天出的次品数分别是：
甲：0，1，0，2，2，0，3，1，2，4
乙：2，3，1，1，0，2，1，1，0，1
则性能较好的机床是 .
下列说法正确的是（ ）
A. 方差越大，数据的波动越小
B. 平均数相等的两组数据，方差一定相等
C. 离差平方和越大，数据的波动越大
D. 以上说法都不对
师生活动：学生独立完成练习，教师公布答案，针对学生出现的问题进行讲解.
设计意图：通过当堂检测，及时了解学生对本节课知识的掌握情况，查漏补缺.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
离差平方和的概念和计算方法.
方差的概念、计算步骤和意义.
用计算器求平均数和方差的方法.
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.

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