资源简介

18.2.2 菱形的判定（课时1）
一、教学目标
掌握菱形的定义判定法和 "四条边都相等的四边形是菱形" 的判定定理.
能准确表述两个判定方法，并运用它们进行简单的几何证明和计算.
理解菱形与平行四边形、一般四边形的区别与联系，体会 "特殊与一般" 的辩证思想.
二、教学重点及难点
重点：菱形的定义判定法和判定定理 1 的理解与应用.
难点：菱形判定定理 1 的证明过程，以及根据已知条件灵活选择合适的判定方法.
三、教学过程
【复习引入】
提问：什么是菱形？菱形有哪些性质？
学生回答后，教师总结：
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
性质：边 —— 四条边都相等；对角线 —— 互相垂直.
引入新课：我们知道，菱形的定义和性质是研究菱形判定方法的基础.今天我们就来学习如何判定一个四边形是菱形.
设计意图：通过复习菱形的定义和性质，唤醒学生已有的知识经验，为探索菱形的判定方法做好铺垫，同时让学生明确本节课的学习目标.
【探究新知】
探究 1：菱形的定义判定法
教师引导：根据菱形的定义，我们可以得到第一种判定菱形的方法.
板书：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
符号语言：
在 ABCD 中，
∵ AB=BC，
∴ ABCD 是菱形.
强调：这个判定方法需要同时满足两个条件：① 是平行四边形；② 有一组邻边相等.
设计意图：从定义出发，直接得到第一种判定方法，让学生理解定义既是性质也是判定，这是几何图形判定的基本逻辑起点.
探究 2：菱形的判定定理 1
逆向思考：菱形的性质 "四条边都相等" 的逆命题是什么？
学生回答：如果一个四边形的四条边都相等，那么这个四边形是菱形.
动手操作：作一个四条边都相等的四边形 ABCD.
作两条相等的线段 AB、AD；
分别以点 B 和点 D 为圆心、AB 长为半径作弧，两弧相交于点 C；
连结 BC、CD.
观察猜想：你所画的四边形是菱形吗？
证明猜想：
已知：在四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵ AB=CD，AD=BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
又∵ AB=BC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）.
板书：四条边都相等的四边形是菱形.
符号语言：
在四边形 ABCD 中，
∵ AB=BC=CD=AD，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
思考：有三条边相等的四边形是菱形吗？为什么？
学生画图讨论后得出结论：不是，因为三条边相等不能保证第四条边也相等，也不能保证是平行四边形.
设计意图：通过 "逆向思考 — 动手操作 — 观察猜想 — 演绎证明" 的过程，让学生经历菱形判定定理 1 的形成过程，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力.通过思考 "三条边相等的四边形是否是菱形"，加深学生对判定定理条件的理解.
【典型例题】
例：如图，在矩形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点.
求证：四边形 EFGH 是菱形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC.
∵ E、F、G、H 分别是各边的中点，
∴ AE=BE=CG=DG，AH=HD=BF=FC.
在△AEH 和△BEF 中，
∴ △AEH≌△BEF（SAS）.
∴ EH=EF.
同理可证：EF=FG，FG=GH.
∴ EH=EF=FG=GH.
∴ 四边形 EFGH 是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）.
师生活动：先让学生独立思考，尝试写出证明过程，然后小组交流讨论，最后教师展示规范的证明过程，并强调证明的关键步骤和书写格式.
设计意图：通过典型例题的讲解，让学生掌握菱形判定定理 1 的应用，学会规范书写几何证明过程，提高学生的逻辑推理能力.
四、当堂检测
下列说法正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 四条边都相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线相等的平行四边形是菱形
在 ABCD 中，AB=5，BC=3，添加一个条件 ，使 ABCD 是菱形.
在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE∥AC 交 AB 于点 E，DF∥AB 交 AC 于点 F.
求证：四边形 AEDF 是菱形.
师生活动：学生独立完成，教师巡视指导，然后集体订正答案，针对学生出现的问题进行讲解.
设计意图：通过当堂检测，及时了解学生对本节课知识的掌握情况，巩固所学内容，发现并解决学生学习中存在的问题.
五、课堂小结
今天我们学习了菱形的两种判定方法：
定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
判定定理 1：四条边都相等的四边形是菱形.
教师强调：在证明一个四边形是菱形时，要根据已知条件选择合适的判定方法.如果已知是平行四边形，可考虑用定义法；如果已知是一般四边形，可考虑用判定定理 1.

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