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第二十四章 数据的分析 人教版(2024)
24.4数据的分组
一、教学目标
1.理解组内离差平方和的定义、计算公式及核心意义，能准确计算两组数据的组内离差平方和；
2.掌握组间离差平方和的概念、推导逻辑及计算方法，明确其与组内离差平方和的关联；
3.学会运用“组内离差平方和最小”原则对数据进行合理分组，解决实际分类问题.
二、教学重点及难点
重点：理解并掌握组内离差平方和、组间离差平方和的概念与计算方法，能依据组内离差平方和最小的原则对数据进行合理分组.
难点：理解组内离差平方和与组间离差平方和的内在联系、推导逻辑，深刻领会组内离差平方和最小原则的原理并灵活运用其解决实际数据分组问题.
三、教学过程
【新知导入】
在社会生活中，分类现象普遍存在.例如，超市里各种商品按用途不同分类摆放，宾馆根据硬件设施、服务水平等分成不同的星级，等等.在实际问题中，当面临的对象复杂多样时，分类往往可以为我们处理问题带来方便.对于一组取值多样的数据，对其进行合理分组，也有助于我们解决问题.
设计意图：从生活中常见的分类实例切入，贴近学生生活实际，激发学习兴趣，让学生感知分类与分组的现实意义；自然迁移到数学中数据分组的必要性，顺势引出本节课课题，同时渗透分类思想，为后续学习数据分组、利用离差平方和原则合理分组做好认知铺垫.
【探究新知】
一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下：
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
你认为哪一部分应聘者应当进入面试？
教师提出：选择笔试成绩好的应聘者进入面试，那么笔试成绩怎样才算好呢？标准是什么呢？
学生积极回答，教师梳理归纳学生的回答
可以有不同的标准.例如，前三名或85分及以上等.不管哪种标准，目的都是把笔试成绩分成好和差两组.
教师点拨：上述标准都没有考虑数据自身的特点，这可能导致两个很接近的笔试成绩被分到不同的组.例如，83分与85分的差距很小，若以“85分及以上”为好成绩的标准，则85分属于好成绩，而83分属于差成绩.而从公司确定面试应聘者的角度看，把笔试成绩相对接近的分到同一组，是一种较合理的做法.因此，笔试成绩可以根据组内差异最小的原则进行分组.
设计意图：创设公司招聘、划定面试入围成绩的真实生活情境，贴合学生认知，引发学生主动思考分组标准的制定依据；通过开放设问鼓励学生自主提出不同划分方案，充分调动课堂参与性；再通过实例对比指出人为定标准的弊端，顺势引出组内差异最小的分组原则，自然生成新知，让学生体会数据分组要尊重数据本身特征，理解依据组内离差平方和最小原则分组的合理性与实际价值，同时为后续学习组内离差平方和、数据分组方法做好思维铺垫.
教师说明：将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成绩都挨在了一起.因此，要使分组后的组内差异最小，只需在已排序数据的基础上寻找分组方法.
可以发现，10个笔试成绩按顺序排列形成9个间隔，如图所示.
每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组，共有9种分法.
教师提问：怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？
学生思考并回答，教师对学生的回答进行反馈，总结观点.
利用离差平方和可以刻画一组数据的离散程度，进而对数据进行分组.离差平方和越大，数据的离散程度越大.
设计意图：引导学生理解排序后数据间隔与分组的关系，引出用离差平方和刻画组内数据差异与离散程度的方法.建立数据分组与离散程度统计量的关联，为后续最优分组探究提供理论依据.
教师提出：下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组.
教师引导学生进行计算、说明.
一般地，设有n个数据x1，x2，…，xn，其平均数记为，则离差平方和为
，
如果把这组数据分为两组，前m(m，
那么，
其中称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度；
记.
是m个第一组数据平均数、(n-m)个第二组数据平均数关于总体数据平均数的离差平方和，称为组间离差平方和，表示两个组间的差异.既可以按最小来分组，也可以按最大来分组.
设计意图：给出离差平方和、组内离差平方和、组间离差平方和的定义与公式，引导学生明晰两个统计量各自的含义.同时点明数据分组的两种判定依据，完善统计分组的理论依据，为后续实际数据最优分组计算奠定知识基础.
教师提出：根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差较小的应聘者分在同一组.
教师引导学生进行计算.
利用计算器或信息技术工具，可以计算这9种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）.如下表所示.
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0 799.6 799.6
第2个间隔 18 503.5 521.5
第3个间隔 50.7 271.4 322.1
第4个间隔 152.8 170.8 323.6
第5个间隔 228.8 54.8 283.6
第6个间隔 411.3 26 437.3
第7个间隔 587.4 4.7 592.1
第8个间隔 819.5 2 821.5
第9个间隔 1026.2 0 1 026.2
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小.
因此，分法为{58，64，68，75，76}和{83，85，89，90，92}.
设计意图：依托笔试成绩分组实例，借助信息技术计算多组分法的组内离差平方和.引导学生观察对比数据，依据组内离差平方和最小的原则确定最优分组，让学生掌握利用统计量进行合理数据分组的方法，体会统计知识在实际分类问题中的应用价值.
【例题练习】
10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如下表所示.
城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明
平均高温/℃ 3 3 -3 -11 10 21 22 12 9 17
根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这10个城市分为两组.
解：将表中的数据按从小到大排列，可得：-11，-3，3，3，9，10，12，17，21，22
将它们分成两组共有9种情况，分别计算组内离差平方和
(结果保留小数点后一位)，如下表所示.
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0 584.2 584.2
第2个间隔 32 380.9 412.9
第3个间隔 98.7 285.7 384.4
第4个间隔 132 158.8 290.8
第5个间隔 228.8 113.2 342
第6个间隔 308.8 62 370.8
第7个间隔 397.4 14 411.4
第8个间隔 562 0.5 562.5
第9个间隔 789.6 0 789.6
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小.
因此，按组内离差平方和最小的分法为{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}和{上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}.
教师提出：结合地理课所学知识，说一说这样分组合理吗？
学生分析并回答：合理.这样分组大致沿秦岭——淮河分为南北方.
设计意图：以城市平均高温为例，巩固组内离差平方和最小的分组原则.通过排序、列举所有分组、计算对比数值，让学生熟练掌握利用统计量进行最优数据分组的解题流程，强化知识迁移与实际应用能力.
通过上述探究，归纳总结应用组内离差平方和最小原则进行数据分组的步骤，学生做笔记.
应用组内离差平方和最小原则进行数据分组的步骤：
(1)将数据由小到大排列；
(2)从m＝1开始，分类讨论所有可能的分组情况；
(3)分别计算全部数据和分组后数据的平均数；
(4)计算两组的组内离差平方和(或组间离差平方和)；
(5)组内离差平方和最小(或组间离差平方和最大)的分组即为最合理的分组.
设计意图：引导学生归纳整理利用组内离差平方和最小原则分组的标准化步骤，梳理成清晰流程便于记录记忆.帮助学生形成规范解题范式，固化统计分组的方法思路，提升归纳概括与学以致用的能力
四、随堂练习
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.组内离差平方和；
2.组间离差平方和；
3.根据组内离差平方和最小的原则分组.
六、板书设计
数据的分组

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