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第二十四章 数据的分析 人教版(2024)
24.2数据的离散程度
一、教学目标
1.能够运用样本方差估计总体方差，解决简单的实际问题；
2.能根据方差的计算结果做出简单的判断和预测.
二、教学重点及难点
重点：掌握运用样本方差估计总体方差的方法，能结合实际情境选择合适样本、计算样本方差，进而估计总体离散程度.
难点：理解“用样本方差估计总体方差”的合理性，能判断所选样本的代表性，突破对“样本估计总体”思想在离散程度中的深层理解.
三、教学过程
【复习导入】
教师提出：方差的计算公式是什么，并说明方差的意义.
学生思考并回答：方差的计算公式：；
方差的意义：方差越大(小)，数据的离散程度越大(小).
设计意图：以提问形式复习方差公式和实际意义，巩固上节课核心知识点.既检验学生基础掌握情况，又为本节课运用样本方差估计总体方差，解决简单的实际问题做好知识铺垫，起到温故知新、自然导入新课的作用.
【探究新知】
自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量-标准含量)．甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为500mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果(单位:mL)如下表所示.
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
教师提问1：如果有一瓶饮料含量的误差的绝对值超过10mL，此条灌装线的灌装质量为不合格，两条灌装线的灌装质量是否合格？
教师引导学生进行说明.
解：甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量500mL的误差如下表所示.
甲组误差/mL 1 -4 -2 -1 3 -2 5 -2 1 1
乙组误差/mL -4 -7 4 -5 0 6 4 5 -2 -1
从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为5mL、7mL，两者都小于10mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的.
教师提问2：哪条灌装线的灌装质量更好？
教师点拨：在饮料含量的误差的绝对值符合要求前提下，灌装饮料的实际含量与标准含量的差异越小，说明灌装线的质量越好.
学生在草稿纸上自主计算.作答完成后，教师公布答案，并规范解题步骤.学生进行校对.
解：甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为；
.两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量.
可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度，分别为：
；
.
可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小.根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好.
设计意图：结合饮料灌装实际生活情境，先以误差绝对值判定是否合格，再通过平均数、方差对比灌装稳定性.让学生学会用方差大小评判质量优劣，巩固方差刻画数据波动的应用，体会用样本估计总体的统计思想.
甲、乙两地同一天的气温记录如下表所示.
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
教师提出：两地的气温有什么差异？
教师引导学生进行计算、说明.
解：为了直观地观察两地气温的特点，以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中的数据用折线图进行表示，得到下图.
从上图可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地.
为进一步了解两地气温的差异，可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较.
两地气温的平均数分别为：；.
将两地气温按从小到大排列，可得
甲地：9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地：11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
可以发现两地气温的中位数都是16，
众数各有两个(甲地是16和21，乙地是15和17)且都出现两次，因为重复次数太少，所以不具有代表性.因此，从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显.
两地气温的方差分别为；
；
由可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定.
通过对上述实际问题的探究，归纳总结运用方差解决实际问题的一般步骤.
运用方差解决实际问题的一般步骤：
1.先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况；
2.在平均数相同或接近时，比较方差，方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度越大.
设计意图：借助甲、乙两地气温实例，综合运用平均数、中位数、众数、方差多角度分析数据差异.引导学生先从折线图直观感知，再从集中趋势、离散程度定量对比，归纳出用方差解决实际问题的通用步骤.巩固“平均数相近时，用方差判断波动与稳定性”的解题思路，提升综合数据分析与实际应用能力.
四、随堂练习
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.用样本方差估计总体方差；
2.根据方差的计算结果做出简单的判断.
六、板书设计
用样本方差估计总体方差

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