资源简介

第六章 平行四边形 北师大版(2024)
6.2 平行四边形的判定
一、教学目标
1.经历从平行四边形对角线性质逆推、猜想并证明判定方法的过程，理解并掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理的推导逻辑，能通过三角形全等完成严谨证明.
2.能综合运用平行四边形的三种判定定理及定义，结合平行四边形的性质，完成平行四边形的判定证明与相关几何问题解决，规范书写推理过程.
3.体会“性质与判定的互逆关系”，通过观察、猜想、证明的探究过程，积累几何证明的分析思路经验，提升几何问题的分析与推理能力.
二、教学重点及难点
重点：平行四边形对角线互相平分的判定定理；综合运用多种判定方法和性质判定四边形为平行四边形.
难点：理解对角线判定定理的证明思路；灵活选择合适的判定方法解决综合几何问题.
三、教学过程
【知识回顾】
教师提问：我们已经学习了哪些平行四边形的判定方法？请用文字语言和符号语言分别表述.
【学生活动】独立回忆，举手回答，互相补充完善.
教师根据学生的回答，在黑板上梳理：
定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形.
边的判定 1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形.
边的判定 2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
几何语言：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形 ABCD 是平行四边形.
角的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形 ABCD 是平行四边形.
设计意图：复习旧知，巩固已学判定方法，为学习对角线判定做好知识铺垫，激发学生的学习兴趣.
【探究新知】
探究：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
教师提问：前面我们已经从边、角研究了平行四边形的判定.
请大家观察：将两根木条 AC、BD 的中点重叠固定，围成一个四边形，转动木条，这个四边形始终是平行四边形吗？
教师追问：由此你能猜想出对角线满足什么条件时，四边形是平行四边形？
【学生活动】观察操作，直观感知，提出猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
教师提问：我们的猜想是否正确？请完成证明.
已知：如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O，并且 OA＝OC，OB＝OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
【师生活动】学生独立思考证明思路，小组交流，尝试用 SAS 证明△AOD≌△COB，推导出一组对边平行且相等.
教师引导学生分析证明思路，并带领学生共同完成规范的证明过程.
答案预设：
证明：∵OA＝OC，OD＝OB，
∠AOD＝∠COB，
∴△AOD ≌ △COB.
∴AD＝CB，∠ADO＝∠CBO.
∴AD∥CB.
∴四边形 ABCD 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
教师归纳：
定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言：
∵ AO＝CO，BO＝DO，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
设计意图：让学生经历完整的几何定理探究过程，强化演绎推理能力；通过引导学生构造全等三角形，再次体会将四边形问题转化为三角形问题的核心转化思想；规范证明书写格式，训练严谨的几何表达能力，让学生真正理解定理的来源与依据，而不是单纯记忆结论.
【课堂活动】
教师提问：现在我们一共掌握了平行四边形的哪些判定方法？可以从哪几个角度分类？
【学生活动】小组讨论，按边、角、对角线分类整理.
教师板书完整体系：
从边看：
从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形(定义拓展).
从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形(判定定理 3).
【典型例题】
例2. 已知：如图，E，F 是 ABCD 对角线 AC 上的两点，且 AE＝CF.
求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
教师提问：要证明一个四边形是平行四边形，如果从对角线的角度考虑，需要满足什么条件？如果从对边的角度考虑呢？
【学生活动】小组讨论，交流思路：
从对角线角度：需要证明四边形 BFDE 的对角线互相平分，连接 BD，交 AC 于点 O，
即 OE＝OF，OB＝OD.
从对边角度：可以证明两组对边分别相等，或一组对边平行且相等.
证明：连接 BD，交 AC 于点 O.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD (平行四边形的对角线互相平分).
∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即 OE＝OF.
∴四边形 BFDE 是平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
教师提问：你还有其他证法吗？与同伴进行交流.
【学生活动】学生小组交流，尝试用“一组对边平行且相等”的方法证明，并独立写出完整的证明过程，随后在组内分享不同的推导步骤，对比不同方法的优劣.
答案预设：
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF (两直线平行，内错角相等).
∴△ADE ≌△CBF (SAS).
∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB.
∴∠DEF＝∠BFE，DE∥BF.
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
设计意图：通过典型例题，实现平行四边形性质与判定的综合运用，训练学生分析问题、选择方法的能力；通过一题多解，引导学生对比不同判定思路的优劣，培养发散思维与优化意识；规范推理步骤，强化几何语言表达，提升学生综合解决几何问题的能力.
【课堂互动】
教师提问：比较平行四边形的性质定理和判定定理，它们有怎样的关系？与同伴进行交流.
【学生活动】学生以小组为单位，结合已学的平行四边形性质定理与判定定理，围绕“两者有怎样的关系”展开讨论．先独立梳理每一组性质与对应的判定，从边、角、对角线三个维度对比命题的条件与结论；再在组内交流分享自己的发现，尝试用自己的语言描述性质与判定的逻辑关系.
教师总结：平行四边形的性质定理与判定定理互为逆定理.
性质：平行四边形→边、角、对角线的特征；
判定：边、角、对角线的条件→平行四边形.
两者在逻辑上方向相反，构成完整的推理闭环.
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.判定定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2.平行四边形性质定理与判定定理互为逆定理．

展开更多......

收起↑