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同步探究学案
课题 探究与发现：利用菱形的性质和判定尺规作图 单元 第二十一章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．能运用菱形的性质与判定进行尺规作图； 2．掌握作菱形、作角平分线、作垂直平分线等与菱形相关的作图方法； 3．理解作图背后的几何原理．
重点 掌握依托菱形作角平分线、线段垂直平分线、过直线外一点作垂线的尺规步骤．
难点 结合菱形的判定与性质，严谨说理、解释每种作图方法背后的几何原理．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说菱形的性质？ 2．说一说菱形的判定方法？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助菱形的性质与判定进行尺规作图。 例如，作一个给定角∠MON的平分线．我们假设O是菱形的一个顶点，菱形的一组邻边在角的两边上，那么这个菱形的过点O的对角线就是∠MON的平分线的一部分．由此可以得到利用菱形的性质和判定作给定角的平分线的作法． 作法：如图所示． （1）以∠MON的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交∠MON两边于点A，B； （2）分别以点A，B为圆心，OA（或OB）长为半径作弧，两弧相交于点P（非点O），则四边形OBPA为菱形（想一想为什么）； （3）作射线OP，则OP就是∠MON的平分线（想一想为什么）． 类似地，请你利用菱形的性质和判定作以下图形，并说明这样作图的道理． （1）作一条线段的垂直平分线； （2）过直线外一点作已知直线的垂线．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．阅读以下作图步骤： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点N，M； （2）分别以N，M为圆心，以长为半径在角的内部画弧交于点P； （3）作射线，连接，，如图所示． 根据以上作图，不一定可以推得的结论是（ ） A．平分 B．四边形为菱形 C． D． 2．如图，在菱形中，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点，连接与．则的度数为________． 3．如图，是菱形的一条对角线，点在射线上，点在平面内．请用尺规作图法将菱形补充完整．（保留作图痕迹，不写作法） 选做题： 4．阅读以下作图步骤： ①以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点C，D； ②分别以C，D为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部交于点 M； ③作射线，连接． 根据以上作图步骤，下列结论错误的是（　　） A． B． C．四边形是菱形 D． 【综合拓展类练习】 5．如图，在菱形中，，．按下列步骤作图： ①连接，以D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F； ②以C为圆心，长为半径画弧，交边于点G； ③以G为圆心，长为半径画弧，交②中所作的弧于点H； ④连接； ⑤延长交于点N，连接交于点M． (1)根据小雅的作图步骤①②③④，可得作图结论：____________，并证明结论成立； (2)求的长．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，已知，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点C，③分别连接，则四边形即为菱形，其依据是（ ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 2．如图，小强在作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点、为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧，相交于点、，则直线即为所求．连接、、、，则根据她的作图方法可知，四边形是________． 3．如图，在中，平分，请用尺规作图法，求作菱形，使点在边上，点在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 选做题： 4．如图，在中，作以为内角，四个顶点都在边上的菱形时，如下的作图步骤是打乱的． ①分别以点，为圆心，大于的长为半径在的两侧作弧，两弧相交于点，； ②作直线分别交，于点，，连接，； ③分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于内一点，连接并延长交边于点； ④以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，． 则正确的作图步骤是（ ） A．②④①③ B．④③②① C．②④③① D．④③①② 【综合拓展类作业】 5．如图，中，，是的一个外角，小明根据要求进行尺规作图，请你依据小明的作图痕迹回答下列各题． (1)填空：由作图可知，射线________是________的角平分线； (2)填空：由作图可知，直线________是________的垂直平分线； (3)判断四边形的形状并说明理由．
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第二十一章 四边形
探究与发现：利用菱形的性质和判定尺规作图
1．能运用菱形的性质与判定进行尺规作图；
2．掌握作菱形、作角平分线、作垂直平分线等与菱形相关的作图方法；
3．理解作图背后的几何原理．
1．说一说菱形的性质？
（1）角：菱形的对角相等．
（2）边：菱形对边平行且四条边都相等．
（3）对角线：菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
（4）对称性：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线就是它的对称轴．
2．说一说菱形的判定方法？
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（3）四条边相等的四边形是菱形．
前面学习了菱形的性质和判定，利用菱形的性质和判定，可以帮助我们完成一些尺规作图．
例如，作一个给定角∠MON的平分线．我们假设O是菱形的一个顶点，菱形的一组邻边在角的两边上，那么这个菱形的过点O的对角线就是∠MON的平分线的一部分．由此可以得到利用菱形的性质和判定作给定角的平分线的作法．
作法：如图所示．
（1）以∠MON的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交∠MON两边于点A，B；
（2）分别以点A，B为圆心，OA（或OB）长为半径作弧，两弧相交于点P（非点O），则四边形OBPA为菱形；
（3）作射线OP，则OP就是∠MON的平分线．
想一想为什么？
想一想为什么？
由作图可知：OA=OB=AP=BP，四条边相等的四边形是菱形，因此四边形OBPA是菱形．
根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组内角，OP是菱形OBPA的对角线，所以OP平分∠MON，即射线OP为角平分线．
类似地，请你利用菱形的性质和判定作以下图形，并说明这样作图的道理．
（1）作一条线段的垂直平分线；
（2）过直线外一点作已知直线的垂线．
作一条线段的垂直平分线
作法：如图所示．
（1）分别以线段AB的端点A、B为圆心，大于AB的同等长度为半径在AB两侧画弧，上下弧依次交于C、D两点；
（2）连接CD，直线CD即为线段AB的垂直平分线．
原理：由作图可知AC=BC=AD=BD，四边相等的四边形是菱形，四边形ACBD是菱形；依据菱形性质：菱形对角线互相垂直平分，CD⊥AB且平分AB，故CD是AB垂直平分线．
过直线外一点作已知直线的垂线
作法：如图所示．
（1）以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于M、N两点；
（2）分别以M、N为圆心，PM等长为半径，
在线l另一侧画弧，两弧交于点Q；
（3）连接PQ，直线PQ就是所求垂线．
原理：由作图可知PM=PN=QM=QN，四边形PMQN四边相等，是菱形；
菱形对角线互相垂直，PQ⊥MN，即PQ⊥l．
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
利用菱形的性质和判定尺规作图
过直线外一点作已知直线的垂线
作一个角的平分线
作一条线段的垂直平分线
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第十五课时《探究与发现：利用菱形的性质和判定尺规作图》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是菱形性质与判定的拓展应用课，在学生系统学习平行四边形、菱形的定理之后，实现几何定理与尺规作图的有机融合．本课依托菱形“四边相等、对角线平分一组对角、对角线互相垂直平分”的核心性质，把角平分线、线段垂直平分线、过定点作垂线三类基础尺规作图转化为构造菱形的问题，既是对菱形判定定理的巩固深化，也是对接七年级基础作图知识，完善初中尺规作图知识框架．通过探究作图原理，打通“几何定理—动手作图—逻辑说理”的学习链条，渗透数形结合与转化思想，提升学生几何实操与推理论证能力，为后续特殊四边形综合实践、几何探究题型夯实基础，在整章知识中起到学以致用、融会贯通的拓展作用．
学习者分析 学生已熟记菱形的性质与判定定理，在七年级学过基础尺规作图操作，能独立完成画弧、截取等作图步骤，但大多只记住作图步骤，不理解作图背后的几何依据．学生习惯于按步骤机械画图，很难主动把线段、角的作图和菱形构造建立关联，在说理环节难以精准利用菱形判定证明四边形是菱形，进而解释作图合理性．需要借助例题分步拆解作图流程，由角平分线作图迁移另外两类作图，依托图形辨析原理，完成从机械操作到明理溯源的转变．
教学目标 1．能运用菱形的性质与判定进行尺规作图； 2．掌握作菱形、作角平分线、作垂直平分线等与菱形相关的作图方法； 3．理解作图背后的几何原理．
教学重点 掌握依托菱形作角平分线、线段垂直平分线、过直线外一点作垂线的尺规步骤．
教学难点 结合菱形的判定与性质，严谨说理、解释每种作图方法背后的几何原理．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．能运用菱形的性质与判定进行尺规作图； 2．掌握作菱形、作角平分线、作垂直平分线等与菱形相关的作图方法； 3．理解作图背后的几何原理．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说菱形的性质？ 答案：（1）角：菱形的对角相等． （2）边：菱形对边平行且四条边都相等． （3）对角线：菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角． （4）对称性：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线就是它的对称轴． 2．说一说菱形的判定方法？ 答案：（1）有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形． （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）四条边相等的四边形是菱形． 导言：前面学习了菱形的性质和判定，利用菱形的性质和判定，可以帮助我们完成一些尺规作图．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 复习回顾菱形的性质与判定，夯实理论基础，由定理自然过渡到实际应用，引出借助菱形尺规作图的探究主题．搭建“几何定理—实操作图”的知识桥梁，启发学生体会知识实用价值，激发动手探究作图原理的兴趣．环节三：新知讲解教师活动3： 例如，作一个给定角∠MON的平分线．我们假设O是菱形的一个顶点，菱形的一组邻边在角的两边上，那么这个菱形的过点O的对角线就是∠MON的平分线的一部分．由此可以得到利用菱形的性质和判定作给定角的平分线的作法． 作法：如图所示． （1）以∠MON的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交∠MON两边于点A，B； （2）分别以点A，B为圆心，OA（或OB）长为半径作弧，两弧相交于点P（非点O），则四边形OBPA为菱形（想一想为什么）； 预设：由作图可知：OA=OB=AP=BP，四条边相等的四边形是菱形，因此四边形OBPA是菱形． （3）作射线OP，则OP就是∠MON的平分线（想一想为什么）． 预设：根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组内角，OP是菱形OBPA的对角线，所以OP平分∠MON，即射线OP为角平分线． 类似地，请你利用菱形的性质和判定作以下图形，并说明这样作图的道理． （1）作一条线段的垂直平分线； 预设： 作法：如图所示． ①分别以线段AB的端点A、B为圆心，大于AB的同等长度为半径在AB两侧画弧，上下弧依次交于C、D两点； ②连接CD，直线CD即为线段AB的垂直平分线． 原理：由作图可知AC=BC=AD=BD，四边相等的四边形是菱形，四边形ACBD是菱形；依据菱形性质：菱形对角线互相垂直平分，CD⊥AB且平分AB，故CD是AB垂直平分线． （2）过直线外一点作已知直线的垂线． 预设： 作法：如图所示． ①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于M、N两点； ②分别以M、N为圆心，PM等长为半径，在线l另一侧画弧，两弧交于点Q； ③连接PQ，直线PQ就是所求垂线． 原理： 由作图可知PM=PN=QM=QN，四边形PMQN四边相等，是菱形； 菱形对角线互相垂直，PQ⊥MN，即PQ⊥l． 学生活动3： 活动意图说明： 以角平分线尺规作图为范例，依托菱形性质与判定拆解作图步骤，引导学生理解作图原理；再迁移探究线段垂直平分线、定点作垂线的画法，实现定理落地实操，渗透转化思想，锻炼动手作图与逻辑说理的综合能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：探究与发现：利用菱形的性质和判定尺规作图一、作一个角的平分线 二、作一条线段的垂直平分线 三、过直线外一点作已知直线的垂线 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．阅读以下作图步骤： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点N，M； （2）分别以N，M为圆心，以长为半径在角的内部画弧交于点P； （3）作射线，连接，，如图所示． 根据以上作图，不一定可以推得的结论是（ ） A．平分 B．四边形为菱形 C． D． 答案：C 2．如图，在菱形中，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点，连接与．则的度数为________． 答案：或 3．如图，是菱形的一条对角线，点在射线上，点在平面内．请用尺规作图法将菱形补充完整．（保留作图痕迹，不写作法） 解：作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，连接、、，即可得到所求菱形．如图所示． 选做题： 4．阅读以下作图步骤： ①以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点C，D； ②分别以C，D为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部交于点 M； ③作射线，连接． 根据以上作图步骤，下列结论错误的是（　　） A． B． C．四边形是菱形 D． 答案：D 【综合拓展类练习】 5．如图，在菱形中，，．按下列步骤作图： ①连接，以D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F； ②以C为圆心，长为半径画弧，交边于点G； ③以G为圆心，长为半径画弧，交②中所作的弧于点H； ④连接； ⑤延长交于点N，连接交于点M． (1)根据小雅的作图步骤①②③④，可得作图结论：____________，并证明结论成立； (2)求的长． 解：（1）根据作图可知， 证明：∵，， ∴， ∴，即； 故答案为：，； （2）根据作图可知， ∵四边形是菱形， ∴，，． ∵， ∴是等边三角形， ∴，． 在中，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 根据勾股定理得， 即， 解得，负值舍去．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，已知，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点C，③分别连接，则四边形即为菱形，其依据是（ ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 答案：A 2．如图，小强在作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点、为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧，相交于点、，则直线即为所求．连接、、、，则根据她的作图方法可知，四边形是________． 答案：菱形 3．如图，在中，平分，请用尺规作图法，求作菱形，使点在边上，点在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图，作线段的垂直平分线，分别交，于点，，交于点O，连接，， 则，，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， 即菱形为所求． 选做题： 4．如图，在中，作以为内角，四个顶点都在边上的菱形时，如下的作图步骤是打乱的． ①分别以点，为圆心，大于的长为半径在的两侧作弧，两弧相交于点，； ②作直线分别交，于点，，连接，； ③分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于内一点，连接并延长交边于点； ④以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，． 则正确的作图步骤是（ ） A．②④①③ B．④③②① C．②④③① D．④③①② 答案：D 【综合拓展类作业】 5．如图，中，，是的一个外角，小明根据要求进行尺规作图，请你依据小明的作图痕迹回答下列各题． (1)填空：由作图可知，射线________是________的角平分线； (2)填空：由作图可知，直线________是________的垂直平分线； (3)判断四边形的形状并说明理由． 解：（1）射线（也可）是的角平线； （2）直线是的垂直平分线； （3）四边形是菱形，理由如下： ， ， 射线是的角平分线， ， ， ， 是的垂直平分线， ，，， ， ， 为等腰三角形， ， ， 四边形AECF是菱形．
教学反思 课堂依托角平分线作图范例展开探究，多数学生可以模仿完成三类尺规作图，但不少学生只会画图，说理时不能灵活选用菱形判定定理解释缘由，知识迁移能力薄弱．后续课堂可增加对比练习，区分常规作图与菱形法作图的异同，借助板书梳理作图与菱形性质的对应关系，增设口头说理训练，强化学生“以图溯源、据理作答”的能力．
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