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七年级数学（人教版）下学期期末压轴题训练
第十一章 不等式与不等式组
一、选择题
已知数满足：，则（ ）
A．1 B． C． D．
已知 ，则下列不等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
已知整式，其中n，为自然数，且．下列说法：
①当时，的最小值为4；
②若，，，为非负整数，满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
③若，，，为正整数，满足条件的所有整式M共有15个；
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
用表示不超过的最大整数，如，正整数小于，并满足等式，这样的正整数的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
已知方程组的解为非负数，为负数，给出下列结论：
①当时，方程组的解也是方程的解；
②当时，则的立方根为；
③；
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
关于y的一元一次不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
已知关于x，y的方程组的解都是正数，，，则p的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
如果关于的不等式组有且只有5个整数解，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（ ）
A． B． C． D．
数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数，如：，，，给出如下结论：其中正确的结论有（ ）
①；
②若，则的取值范围是；
③当时，的值为或；
④是方程的唯一一个解．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
若关于x的不等式组，下列说法不正确的是（ ）
A．若不等式组的解集是，则
B．若不是不等式组的一个解，那么
C．若不等式组只有3个整数解，则
D．若不等式组无解，则
二、填空题
若关于的不等式组有解且至多有个整数解，同时关于的一元一次方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为__________．
已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________．
定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以是不等式组的“关联方程”，若关于的方程是不等式组的“关联方程”，则的取值范围是____________．
对任意实数，常用表示不超过x的最大整数，如：，，，现有以下结论：①方程的解为或；②当时，的值为0或2；③；④若，则x的取值范围是；其中错误的结论有_____________．
数学家曾提出快速估算两个正分数的平均数的方法，即：已知，，，都是正整数，如果，那么．例如：，那么．若，且为整数，则________．
已知关于、的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且只有个整数解，则所有满足条件的整数的和为______．
三、解答题
已知关于，的方程组的解满足，，求的取值范围．
阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫作这个方程（组）的“友谊解”．例如：就是方程的一组“友谊解”；是方程组的一组“友谊解”．
(1)请直接写出方程的所有“友谊解”；
(2)关于x，y，k的方程组有“友谊解”吗？若有，请求出对应的“友谊解”；若没有，请说明理由．
某服装厂购进A型、B型两种尺寸的布料加工成T恤和长裤出售．已知一匹A型布料的进价比一匹B型布料多20元，且购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元．
每匹A型布料与B型布料的进价各是多少元？
根据生产计划，该厂决定用不超过3800元购进A型、B型布料共100匹，（两种布料购进的匹数均为整数）．已知一匹A型布料可制成3件T恤和2条长裤，一匹B型布料可制成2件T恤和3条长裤，且生产出来的T恤数量不少于长裤数量的．则该服装厂有几种进货方案？
某服装店从该厂购进一批足量的T恤和长裤进行销售．为提升购物体验，商家推出礼盒包装服务：每个礼盒仅能包装一件T恤或一条长裤，顾客可自主选择是否使用礼盒包装．已知每件T恤零售价65元，每条长裤零售价80元，每个礼盒售价15元．小罗用4280元购买了一批T恤和长裤，其中不用礼盒包装的T恤件数占总购买件数的．则用礼盒包装的长裤买了多少条？
设，是两个不相等的正整数，为质数，满足，且是整数．
求证：；
求的值；
求，的值．
对于实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b均为非零常数）．例如：，．已知，．
直接写出：______，______；
若关于x，y的方程组的解满足，且关于p的不等式组的解集为，求关于s的不等式的解集；
若关于x的不等式组有4个整数解，且，求m的取值范围．
我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题：
方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（只填序号）
若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，
①当时，求的取值范围；
②当时，求的取值范围．
若关于的方程是关于的不等式组的关联方程，且所有符合要求的整数之和为14，求的取值范围．
定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的一个解，那么我们称这个一元一次方程为该不等式组的“约定方程”，例如方程的解为，不等式组的解集因为，所以方程是不等式组的“约定方程”．
方程是否为不等式组．的“约定方程”？并说明理由．
若关于的方程是不等式组的“约定方程”，求的取值范围．
若方程和方程都是关于的不等式组的“约定方程”，求的取值范围．
参考答案
1．A
【详解】解：∵若，则，，可得，与已知等式矛盾，
∴
∵若，则，
可得，与已知等式矛盾，
∴
综上可得
∴．
2．B
【详解】解：依题意，即
得，
化简得，
将代入①得，
解得，
将 代入，
得 ，
化简得 ，
解得 ，
∴ ，，
∵，
∴ ，
故A选项不符合题意；
∵，
∴ ，
故B选项符合题意；
则，
∵，
∴ ，
故C选项不符合题意；
则，
∵，
∴
∴，
故D选项不符合题意；
3．B
【详解】解：，
．
所有系数都是自然数，
，．
正数与零的绝对值等于本身，
，．
．
该式子结果固定为，最小值就是，故①正确．
单项式只有一项系数不为零，其余系数都为零，
系数总和为，
可取其余为，得单项式，
可取其余为，得单项式，
还能写出、等单项式，
符合条件的单项式不止一个，故②错误．
为自然数，即，
为正整数，即，，，，
几个最小为的数相加和为，
最多只能有个正整数，即最大为，最小为0．
当时，整式为常数项 ，
此时无 项，仅需满足：
，且 为正整数，
仅个：；
当时，式子为，，
依次列举：
，；
，；
，；
，；
共组．
当时，式子为，，，
依次列举：
；
；
；
；
；
；
共组．
当时，式子为，都大于等于，
依次列举：
；
；
；
；
共组．
当时，式子为，四个字母系数都最小为，
只能是，
仅有组．
总个数为，故③错误．
正确的有1个．
4．A
【详解】解：若，，有一个不是整数，
则或者或者，
∴，
∴，，都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且，
∴n的值为6，12，18，24，......，共有9个．
5．A
【详解】解：解方程组，
两式相加得，化简得，
两式相减得，化简得，
∵x为非负数，y为负数，
∴，
解得不等式组的解集为，故③正确．
① 当时，
左边，
右边，
左边右边，因此方程组的解满足，故①正确．
② 当时，
，
，
∴，
∵ ，
∴的立方根为，故②正确．
6．B
【详解】解：
解不等式①，两边同乘得：，
移项合并得：，
∴.
解不等式②得：.
∴不等式组的解集为.
∵不等式组有个整数解，
∴满足条件的整数解为，
∴．
7．D
【详解】解：解方程组得，
∵方程组的解都是正数，
∴，
解得，
∵，即，
∴
，
则，
∴，
∴．
8．B
【详解】解：解不等式，解得，
解不等式，解得
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有5个整数解，5个整数解为
∴，
解得，可得整数的可能取值为，
解二元一次方程组
将第二个方程乘2得，与第一个方程相加解得：
代入第二个方程得，
∵方程组有整数解，即均为整数，逐个验证：
，均为整数，符合；
，均为整数，符合；
，均为整数，符合；
，均为整数，符合；
，不是整数，不符合；
符合条件的所有整数的和为：．
9．B
【详解】解：① 举反例：取，则，，而，，因此①错误．
② 根据定义，若不超过的最大整数为，则的取值范围满足，因此②正确．；
③ 当时，分情况讨论：
当时，，，得，，和为；
当时，；
当时，，，得，，和为；因此的值为或，③正确；
④ 设，为整数，满足，方程整理得，代入不等式得，
解得，
因为为整数，
所以或，
当时，，代入方程验证成立；
当时，，代入方程也成立．
所以方程有两个解，不是唯一解，④错误．
综上，正确的结论为②③．
10．C
【详解】解：解不等式组，得，．
若不等式组的解集是，则，故选项A说法正确，不符合题意；
若不是不等式组的一个解，那么，故选项B说法正确，不符合题意；
若不等式组只有3个整数解，则，故选项C说法错误，符合题意；
若不等式组无解，则，故选项D说法正确，不符合题意．
11．
【详解】解：，
，
，
；
，
，
，
，
；
不等式组的解集是，
不等式组至多有个整数解，
不等式组的整数解至多可以为、、、，
，
解得：，
解一元一次方程，
，
解得：，
该一元一次方程的解为非负整数，且要求为整数，
，
，
综上可得解集为，
能取到的整数为、、、、、、、，
时， ，不是整数，不符合题意；
时，，是整数，符合题意；
时，，不是整数，不符合题意；，
时，，是整数，符合题意；
时，，不是整数，不符合题意；
时，，是整数，符合题意；
时，，不是整数，不符合题意；
时，，是整数，符合题意，
符合条件的所有整数有、、、，
则符合条件的所有整数和为．
12．19
【详解】解：解不等式，得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
∴，
解方程组，
由第一个方程得，
代入第二个方程得，
解得，
将代入 得，
方程组的解为正整数，且为整数，
∴是的正因数，的正因数有，
当时，，不满足，舍去；
当时，，不满足，舍去；
当时，，满足条件，此时 均为正整数；
当 时，，满足条件，此时均为正整数；
所有满足条件的整数的和为，故答案为．
13．
【详解】解：解方程得．
解不等式得，
解不等式得，
因此不等式组的解集为．
因为是该不等式组的“关联方程”，
所以方程的解在不等式组的解集范围内，
可得，
解得．
14．②③
【详解】解：对于①：设（为整数），则，
方程 变形得
，
代入不等式得：
解左边不等式得 ，
解右边不等式得 ，
∴ ，
∵为整数，
∴或，
当时， ，当时， ，因此①正确．
对于②：当时， ，
当时，，
当时，，故②错误．
对于③：取， ，，而 ， ，故③错误．
对于④：根据的定义，若（为整数），则不超过的最大整数为，因此的取值范围是 ，故④正确．
综上，错误的结论是②③．
15．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，即，
解得：，
∴，
∵为整数，
∴．
16．
【详解】解：，
由②，得，
把③代入①，得，
∴，
∵方程组的解为整数，
∴或或，
∴，，，，，，
，
解不等式④，得，
解不等式⑤，得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有个整数解，
∴，
解得，
∵，，，，，，
∴满足条件的整数的值为，
∴所有满足条件的整数的和为．
17．解，
，得，
化简，得，
把代入①，
得，
即，
∵，，
代入得，
解第一个不等式得： ，
解第二个不等式得：，
取两个解集的公共部分，得的取值范围．
18．（1）解：由，得，
x，y为正整数，
，
解得：，
∴正整数只能取或，
当时，，符合要求；
当时，，符合要求；
∴方程的所有“友谊解”为： 或；
（2）解：，
，得，
整理得，
将代入①，得，
x，y，k都是正整数，
，
解得：，
又∵和均为正整数，
∴必须是4的倍数，
在的正整数中，只有符合要求，
代入得，
再代入①得，
∴方程组有“友谊解”，对应的“友谊解”为：．
19．（1）解：设每匹B型布料的进价是元，则A型布料的进价是元，
则，
解得，
∴，
答：每匹A型布料的进价是元，每匹B型布料的进价是元；
（2）解：设购进A型布料匹，则购进B型布料匹，由题意可得，
，
解得，
∵两种布料购进的匹数均为整数，
∴或或，
答：该服装厂有3种进货方案；
（3）解：设购买商品件数为则不用礼盒包装的T恤为件，设包装的T恤为件，包装的长裤为条，不用礼盒包装的长裤为条，其中为正整数，均为非负数，根据题意可得，
，
即，
由题意可得，
把代入并整理得到，，
即，
解得，
由及,可得，
代入得到，
由得到，解得，
∴，
代入，符合题意，
答：用礼盒包装的长裤买了14条．
20．（1）解：∵a，是两个不相等的正整数，
，都是正整数，．
是整数，
，
，
，
即．
假设，
则有．
与连续整数，
是偶数，
为质数，
，
，
，，
，
与条件“是整数”矛盾，
；
（2）解：设其中，为正整数，
则有，
，
．
是质数，
．
且，
此时，整理得，
方程无解．
且，
此时，与条件“、为不相等的正整数”矛盾；
，
此时，
，
．
为整数，
也是整数，
正整数．
，
正整数，
，
，
，与为正整数矛盾；
且，
此时，
整理得，
解得，，
与为正整数矛盾；
且，
此时，
，
，
，
，
与“是大于的正整数”矛盾；
，
此时，
整理得，
则
．
是大于的正整数，
是小于的正整数，
整数，
，
，
．
综上所述：；
（3）解：由（2）可知，
只有当时，存在正整数、及质数，使得条件成立，
此时，整理得，
则
．
是大于的正整数，
是小于的正整数，
整数，
，
．
21．（1）解：∵，，．
∴ ，解得 ，
（2）解：由（1）可得：，，则，
∵关于x，y的方程组，
∴，
可得：，即，
∵
∴，解得：，
∵关于p的不等式组，
∴，解得：，
∵关于p的不等式组的解集为，
∴，即，
∴，
∵关于s的不等式，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴，即．
（3）解：∵，
∴，即，
关于x的不等式组可化为：，
解不等式①可得：；
解不等式②可得：，即
∵关于x的不等式组有4个整数解，
∴，
∵有四个整数解，
∴设最小的整数解为k，最大的整数解为，则
，整理得：，
∵方程组有解，
∴，解得：，
当时，由不等式①可得：；由不等②可得：，此时不等式组的解集为；
当时，由不等式①可得：；由不等②可得：，此时不等式组的解集为；
综上，m的取值范围为．
22．（1）解：解，得；
解，得；
解，得；
解不等式组，得，
∵和在的范围内，不在的范围内，
故不等式组的“关联方程”是①③；
（2）解：①当时，方程化为，解得，
不等式组化为，解得，
由题意，，
解得3，
②当时，方程化为，解得，
解不等式组得，
由题意，，
解得；
（3）解：解方程，得，
解不等式组，得，
由题意，，
∴，
∵所有符合要求的整数之和为14，
又或，
∴或.
23．（1）解：解方程得，
不等式组的解集为
，
方程是不等式组的“约定方程”；
（2）解方程得，
不等式组的解集为，
关于的方程是不等式组的“约定方程”，
；
解得；
（3）解方程得，
解方程得，
解不等式①得，
解不等式②得，
当时，不等式组的解集为，
方程的解和均不满足，不符合题意；
当时，不等式组的解集为，
上述两方程都是不等式组的约定方程，
解得，
的取值范围为．

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