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22.2函数的表示(课时3)
一、教学目标
1.全面理解函数的三种表示方法；
2.能用适当的方法表示简单实际问题中的变量之间的函数关系.
二、教学重点及难点
重点：理解并掌握函数的三种表示方法以及它们的优缺点.
难点：能选择适当的方法表示实际问题中变量之间的函数关系.
三、教学过程
【新知导入】
教师提出：通过前面的学习，我们知道要表示一个具体的函数，可以用哪些方法表示呢？
学生回答：①写函数解析式；②列表格；③画函数图象.
教师阐述：这三种表示函数的方法，分别称为解析法、列表法和图象法.
教师提出：这三种方法各有什么优缺点呢？解题时应该如何选用呢？
设计意图：回顾函数的三种表示方法，以问题引发认知冲突，激发学生探究欲望，自然引入新课，为对比分析三种方法的优缺点及灵活选用做好铺垫.
【探究新知】
教师提出：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数关系的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.你能试着说出它的优缺点吗？
学生积极回答，教师对学生的回答进行反馈，并给出标准答案.
表示法 优点 缺点
解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系. 很难直观地看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析式法表示出来，如气温与时间的函数关系.
设计意图：引导学生结合解析式特点自主分析优缺点，通过对比归纳，加深对解析法的理解.为后续灵活选用函数三种表示方法解决问题奠定基础.
教师阐述：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法.
用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫作图象法.
教师提出：你能试着分别说出列表法、图象法的优缺点吗？
学生积极回答，教师梳理归纳学生的回答，给出标准答案.
表示法 优点 缺点
解析法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接找到与它对应的函数值. 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律.
解析法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质. 从自变量的值常常难以找到对应函数的准确值.
设计意图：引导学生对比分析列表法与图象法的优缺点，完整梳理三种函数表示法的特点，帮助学生系统掌握知识，培养归纳对比与理性分析的数学思维.
教师提出：从全面性、准确性、直观性及形象性四个方面来判断函数三种表示方法的优缺点，填写下表：
表示方法 全面性 准确性 直观性 形象性
列表法
解析法
图象法
学生积极回答，共同完成表格.
教师说明：在遇到实际问题时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用.
设计意图：通过多维度对比表格，引导学生系统梳理三种函数表示法的特点，深化对不同方法优势与局限的理解，培养科学选择解题方法的能力，树立灵活运用数学工具的意识.
一个水库的水位在最近5h内持续上涨，下表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度.
t/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
教师提出：在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？
学生在草稿纸上进行作图，通过图象进行判断、给出答案.
如图，描出表中数据对应的点.可以看出，这6个点在同一直线上.
教师追问：由图象你能发现水位变化有什么规律吗？
学生积极回答，教师对学生的回答进行反馈，给出答案.
结合表中数据，可以发现每小时水位上升0.3m.
由此猜想如果画出这5h内其他时刻(如t=2.5h等)及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的.
设计意图：通过描点作图观察点的位置规律，结合表格数据分析水位变化特征，让学生直观感知均匀变化的函数关系，培养数形结合、观察归纳与合理猜想的能力.
教师提出：水位高度y是否为时间t的函数？
学生回答：由于水位在最近5h内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y都有唯一的值与其对应，所以y是t的函数.
教师追问1：你能写出一个符合表中数据的函数解析式吗？
学生同桌之间进行讨论，形成共识后教师选取学生代表进行回答.
开始时水位高度为3m，以后每小时水位上升0.3m.故函数解析式为y=0.3t+3(0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数.
它表示经过t h水位上升0.3tm，即水位y为(0.3t+3)m.
教师追问2：你能画出这个函数的图象吗？
学生在草稿纸上进行作图，完成后，教师通过ppt展示正确图象，学生对比自己所作的图象，进行判断.
其函数的图象是图中点A(0，3)和点B(5，4.5)之间的线段AB.
教师追问3：这个函数能表示水位的变化规律吗？
教师引导学生进行回答：①如果在这5h内，水位一直匀速上升，即升速0.3m/h，那么函数y=0.3t+3(0≤t ≤5)就精确地表示了这种变化规律.
②即使在这5h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3m是确定的，因此这个函数也可以近似地表示水位的变化规律.
设计意图：通过层层追问，引导学生判断函数关系、推导解析式、绘制图象，并分析解析式对实际规律的表示效果，让学生经历“数据—解析式—图象—实际意义”的完整过程，深化对函数三种表示方法内在联系的理解，培养建模与数形结合思想.
教师提出：如果这种上涨规律还会持续2h，那么2h后水位高度将为多少米？
学生小组之间进行讨论，形成共识后教师选取学生代表进行回答.
如果水位的变化规律不变，则可利用函数y=0.3t+3进行预测.再过2h，即t=5+2=7(h)时，
水位高度为：y=0.3×7+3=5.1(m)
教师追问：还有其他的方法吗？
学生积极回答，教师对学生的回答进行反馈，并给出正确答案.
把图中的函数图象(线段AB)向右延伸到t=7所对应的位置，从图象也能看出这时的水位高度约为5.1m.
设计意图：通过实际预测问题，引导学生分别运用解析式计算和图象延伸两种方法求解，体会函数不同表示方法的灵活应用，感受数形结合在解决实际问题中的便捷性与一致性，提升综合运用函数知识解决问题的能力.
四、随堂练习
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.三种函数表示方法的优缺点；
2.综合应用三种函数的表示方法解决实际问题.
六、板书设计
函数的三种表示方法

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