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24.2.3 列举所有机会均等的结果
1．会用树状图或列表法在一次试验中涉及多个因素时，不重复不遗漏地列举所有可能的结果，从而正确地计算问题的概率．
2．进一步提高运用分类思想解题的能力，掌握有关数学技能．
一、情境导入
学生甲与学生乙玩一种转盘游戏．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字“1”、“2”、“3”、“4”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则重转一次．在该游戏中乙获胜的概率是多少？
二、合作探究
探究点：用树状图或列表法求概率
【类型一】摸球问题
一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出小球的号码之积为偶数的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析：先列表列举出所有可能的结果，再根据概率计算公式计算．列表分析如下：
1 2
1 (1，1) (1，2)
2 (1，2) (2，2)
由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有4种等可能的情况，号码之积为偶数共有3种：(1，2)，(1，2)，(2, 2)，∴P＝，故选D.
【类型二】转盘问题
有两个构造完全相同(除所标数字外)的转盘A、B，游戏规定，转动两个转盘各一次，指向大的数字获胜．现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？
解析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果．其中A大于B的有5种情况，A小于B的有4种情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：选择A转盘．画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，A大于B的有5种情况，A小于B的有4种情况，
∴P(A大于B)＝，P(A小于B)＝，∴选择A转盘．
方法总结：树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【类型三】学科间综合题
如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是(　　)
A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.95
解析：先用列表法表示出所有可能的结果，再根据概率计算公式计算．列表表示所有可能的结果如下：
灯泡1发光 灯泡1不发光
灯泡2发光 (发光，发光) (不发光，发光)
灯泡2不发光 (发光，不发光) (不发光，不发光)
　　根据上表可知共有4种等可能的结果，其中至少有一个灯泡发光的结果有3种，∴P(至少有一个灯泡发光)＝，故选择C.
方法总结：求事件A的概率，首先列举出所有可能的结果，并从中找出事件A包含的可能结果，再根据概率公式计算．
【类型四】游戏公平性的判断
小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔(不放回)，若两人所取笔的颜色相同，则小明胜，否则，小军胜．
(1)请用树状图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果；
(2)请计算小明获胜的概率，并指出本游戏规则是否公平，若不公平，你认为对谁有利？
解析：(1)设红笔为A1，A2, A3, 黑笔为B1，B2, 根据抽取过程不放回，可列表或作树状图，表示出所有可能结果；(2)根据树状图或列表得出两人所取笔颜色相同的情况，求出小明和小军获胜的概率，比较概率大小判断是否公平，概率越大对谁就有利．
解：(1)根据题意，设红笔为A1，A2, A3, 黑笔为B1，B2, 作树状图如下：
一共有20种可能．
(2)从树状图可以看出，两次抽取笔的颜色相同的有8种情况，则小明获胜的概率大小为＝，小军获胜的概率大小为，显然本游戏规则不公平，对小军有利．
方法总结：用树状图法分别求出两个人获胜的概率，进行比较．若相等，则游戏对双方公平；若不相等，则谁胜的概率越大，对谁越有利．
三、板书设计
用树状图或列表法求概率：
树状图：面对多步完成的事件时，通常选择树状图求概率
列表法：对于一次实验需要分两个步骤完成的，一般用列表法．
教学过程中，强调在生活、学习中的很多方面均用到概率的知识，学习概率要从身边的现象开始.24.2 随机事件的概率
1.概率及其意义
1．知道随机事件发生的可能性是有大小的．
2．理解、掌握概率的意义及计算．
3．会进行简单的概率计算及应用．
一、情境导入
一个箱子中放有红、黄、黑三个小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出黑色小球为赢，这个游戏是否公平．
二、合作探究
探究点一：可能性的大小
【类型一】可能性大小的意义的理解
气象台预报“本市明天降雨可能性是80%”．对此信息，下列说法正确的是(　　)
A．本市明天将有80%的地区降雨
B．本市明天将有80%的时间降雨
C．本市明天肯定下雨
D．本市明天降水的可能性比较大
解析：一个事件的发生的可能性的范围在0～1，80%应该是比较大，所以“本市明天降雨可能性是80%”是指“本市明天降雨的可能性比较大”．故选D.
方法总结：某事发生的可能性大小是指其发生的概率大小．
【类型二】利用面积关系判断可能性大小
在如图所示(A，B，C三个区域)的图形中随机撒一把豆子，豆子落在________区域的可能性最大(填A或B或C)．
解析：先分别算出A，B，C三部分的面积，面积最大的就是豆子落入可能性最大的．SC＝π×22＝4π，SB＝π(42－22)＝12π，SA＝π(62－42)＝20π，由此可见，A的面积最大，则豆子落入可能性最大，故填A.
探究点二：概率
【类型一】概率的简单计算
小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析：总共有20种情况，抽中数学题有5种可能，所以是＝，故选择C.
方法总结：等可能性事件的概率的计算公式：P(A)＝，其中m是总的结果数，n是该事件成立包含的结果数．
【类型二】利用面积求概率
一儿童行走在如图所示的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析：观察这个图可知：阴影区域(3块)的面积占总面积(9块)的，故其概率为.故选A.
方法总结：当某一事件A发生的可能性大小与相关图形的面积大小有关时，概率的计算方法是事件A所有可能结果所组成的图形的面积与所有可能结果组成的总图形面积之比，即P(A)＝.概率的求法关键是要找准两点：(1)全部情况的总数；(2)符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
三、板书设计
教学过程中，强调简单的概率的计算应确定事件总数及事件A包含的数目．事件A发生的概率P(A)的大小范围是0≤P(A)≤1.2.频率与概率
1．进一步理解有限等可能事件概率的意义．
2．会用树状图或列表法求出一次试验中涉及多个因素时，不重复不遗漏地求出所有可能的结果，从而正确地计算问题的概率．
3．理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律，能结合具体情境掌握如何用频率估计概率．
一、情境导入
养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个鱼塘里养的是同一种鱼)，先捕上100条做上标记，然后放回塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条，发现其中带标记的鱼有10条，塘里大约有鱼多少条？
二、合作探究
探究点一：用树状图或列表法分析随机事件的所有等可能结果
【类型一】用树状图求概率
一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析：用树状图或列表法列举出所有可能情况，然后由概率公式计算求得．画树状图(如图所示)：
∴两次都摸到白球的概率是＝，故选C.
【类型二】用列表法求概率
从0，1，2这三个数中任取一个数作为点P的横坐标，再从剩下的两个数中任取一个数作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y＝－x2＋x＋2上的概率为________．
解析：用列表法列举点P坐标可能出现的所有结果数和点P落在抛物线上的结果数，然后代入概率计算公式计算．用列表法表示如下：
0 1 2
0 —— (0，1) (0，2)
1 (1，0) —— (1，2)
2 (2，0) (2，1) ——
共有6种等可能结果，其中点P落在抛物线上的有(2，0)，(0，2)，(1，2)三种，故点P落在抛物线上的概率是＝，故答案为.
方法总结：用列表法求概率时，应注意利用列表法不重不漏地表示出所有等可能的结果.
探究点二：用频率估计概率
【类型一】用频率估计概率
掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是(　　)
A．可能有5次正面朝上
B．必有5次正面朝上
C．掷2次必有1次正面朝上
D．不可能10次正面朝上
解析：掷一枚质地均匀的硬币1次，出现正面或反面朝上的概率都是，因此，平均每两次中可能有1次正面向上或有1次反面向上．选项B、C、D不一定正确，选项A正确，故选A .
方法总结：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，当试验次数很多时，它具有一定的稳定性，即稳定在某一常数附近，而偏离的它可能性很小．
【类型二】推算影响频率变化的因素
“六·一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是________个．
解析：因为大量重复摸球实验后，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，说明红球大约占总数的0.2，所以球的总数为1000×0.2＝200，故答案为：200.
方法总结：解题的关键是知道在大量重复摸球实验后，某个事件发生的频率就接近于该事件发生的概率．概率与频率的关系是：(1)试验次数很大时，频率稳定在概率附近；(2)用频率估计概率．
【类型三】 频率估计概率的实际应用
为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有________条鱼．
解析：设鱼塘中估计有x条鱼，则5∶200＝30∶x，解得：x＝1200，故答案为：1200.
方法总结：求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想．
板书设计
1.用树状图或列表法分析随机事件的所有等可能结果
2.概率与频率的关系：(1)试验次数很大时，频率稳定在概率附近；(2)用频率估计概率．
教学过程中，强调频率与概率的联系与区别．会用频率估计概率解决实际问题.24.1 在重复试验中观察随机现象
1．通过对生活中各种事件的概率的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件做出准确的判断．
2．知道事件发生的可能性是有大小的．
一、情境导入
在一些成语中也蕴含着事件类型，例如瓮中捉鳖、拔苗助长、守株待兔、水中捞月所描述的事件分别属于什么类型事件呢？
二、合作探究
探究点：事件的分类
【类型一】必然事件的识别
下列事件是必然事件的是(　　)
A．如果|a|＝|b|，那么a＝b
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．圆的半径为3，圆外一点到圆心的距离是5，过这点引圆的切线，则切线长为4
D．三角形的内角和是360°
解析：由于互为相反数的两个数绝对值也相等，因此绝对值相等的两个数可能不相等，A选项错误；平分的弦若是直径，那么两条直径互相平分，很明显，它们不一定互相垂直，B选项错误；直接利用勾股定理计算可得，C选项正确；三角形内角和等于180°，D选项错误，故选择C.
方法总结：一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件．
一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是(　　)
A．摸出的4个球中至少有一个是白球
B．摸出的4个球中至少有一个球是黑球
C．摸出的4个球中至少有两个是黑球
D．摸出的4个球中至少有两个是白球
解析：∵袋子中只有3个白球，而有5个黑球，∴摸出的4个球可能都是黑球，因此选项A是不确定事件；摸出的4个球可能都是黑球，也可以3黑1白、2黑2白、1黑3白，不管哪种情况，至少有一个球是黑球，∴选项B是必然事件；摸出的4个球可能为1黑3白，∴选项C是不确定事件；摸出的4个球可能都是黑球或1白3黑，∴选项D是不确定事件，故选B.
方法总结：事件类型的判断首先要判断该事件发生与否是不是确定的．若是确定的，再判断其是必然发生的(必然事件)，还是必然不发生的(不可能事件)；若是不确定的，则该事件是不确定事件．
【类型二】随机事件的识别
下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④度量四边形的内角和，结果是360°.其中是随机事件的是________．(填序号)
解析：书的页码可能是奇数，也有可能是偶数，所以事件①是随机事件；100℃的气温人不能生存，所以不可能测得这样的气温，所以事件②是不可能事件，属于确定事件；骰子六个面的数字分别是1、2、3、4、5、6，因此事件③是随机事件；四边形内角和总是360°，所以事件④是必然事件，属于确定事件．故答案是：①③.
【类型三】不可能事件的识别
下列事件中不可能发生的是(　　)
A．打开电视机，中央一台正在播放新闻
B．我们班的同学将来会有人当选为劳动模范
C．在空气中，光的传播速度比声音的传播速度快
D．天上掉馅饼
解析：“天上掉馅饼”这个事件一定不会发生，所以它是一个不可能事件．故选D.
【类型四】判断一个事件的类型
下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是不确定事件？
(1)从一副扑克牌中任意抽出一张牌，花色是红桃；
(2)在一年出生的367名学生中，至少有两个人的生日在同一天；
(3)好梦成真；
(4)任意买一张电影票，座位号是偶数；
(5)太阳从西边升起；
(6)当室外温度低于－10℃时，将一碗清水放在室外会结冰．
解析：(1)一副扑克牌中，有4种花色，也就是说“抽出一张牌，花色是红桃”可能发生，也可能不发生；(2)一年最多366天，367名学生中，每天出生一个只能出生366个，还有一名同学是哪天出生，哪天至少出生2名同学，所以“一年出生的367名学生中，至少有两个人的生日在同一天”一定发生；(3)“好梦成真”只是人的一种愿望，可能会发生，也可能不发生；(4)电影票的座位号有奇数，也有偶数，即“任意买一张电影票，座位号是偶数”可能发生，也可能不发生；(5)太阳都是从东边升起，绝不会从西边升起，即“太阳从西边升起”一定不发生；(6)水在0℃就开始结冰，低于0℃一定会结冰，即当室外温度低于－10℃时“将一碗清水放在室外会结冰”一定发生．
解：(5)是不可能的事件；(2)(6)是必然事件；(1)(3)(4)是不确定事件．
三、板书设计
教学过程中，结合生活实际，对身边事件发生的情况作出判断，分类，巩固所学概念.

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