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26.1 二次函数的概念
教学设计
课题 26.1 二次函数的概念 授课人
教学目标 1.理解二次函数的概念：y=ax2+bx+c（a, b, c为常数，a≠0 ）. 2.（2022新课标）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 3.掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围. 4.通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，拓展学生的数学思维，增强学好数学的信心.
教学重点 对二次函数概念的理解.
教学难点 由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
情境导入 形如ax＋b＝0（a≠0）的方程叫做一元一次方程，令y＝ax＋b，则y＝ax＋b（a≠0）为一次函数. 经过上一章的学习，我们知道形如ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的方程叫做一元二次方程.如果我们令y＝ax2＋bx＋c，你会给y＝ax2＋bx＋c（a≠0）命名吗？ 通过创设情境，引导学生复习一元一次方程、一次函数、一元二次方程等概念，为后面学习二次函数的有关内容做好铺垫
探究新知 1.二次函数 1.问题：如图，正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数解析式是什么？它是一次函数吗？有什么特点？ y=6x2 不是一次函数 变量是2次方 学生思考后回答，教师点拨：这是我们今天需要学习和研究的“二次函数”数学模型. 2.我们再来看下面的问题 （1）n个球队参加比赛，每两个队之间都要进行一场比赛，场数m与球队数n之间有什么关系？每个队要与几个队各比赛一场？ 对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数。 m＝n2－n （2）某产品今年的年产量是20 t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将由计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ y＝20x2＋40x＋20 教师提问：（1）以上问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？列出问题中的函数解析式； （3）观察上面的函数解析式，分析解析式有什么特点. 让学生独立思考完成解答，教师适当地引导与点拨，共同得到问题的结论． 教师归纳总结：在上面的问题中，y＝6x2，m＝n2－n，y＝20x2＋40x＋20都是用自变量的二次式表示的． 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数． 3.教师指导学生观察二次函数的定义，交流、讨论二次函数的特征，并进行总结： ①等式左边是函数y，右边是关于自变量的整式； ②a，b，c都是常数，a≠0； ③等式右边自变量的最高次数为2，一次项和常数项可以为0，但是必须保留二次项； ④自变量x的取值范围是全体实数． 归纳：二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c是常数项. 通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数的概念，让学生在实践中感悟，提高学生利用函数思想解决实际问题的能力。 此环节让学生在实际问题出发的基础上理解二次函数的概念，达到真正理解并掌握的目的。
典例精析 【例1】下列函数中，哪些是二次函数？ （1） y＝x 1 （2） y＝3x2 （3） y＝(x 1)2 x2 （4） y＝＋3x （5） y＝ax2＋4x＋1 答案：（2）是，（1）（3）（4）（5）不是. 【方法总结】 二次函数必须同时满足三个条件： （1）函数解析式是整式． （2）化简后自变量的最高次数是2． （3）二次项系数不为0． 【例2】若y＝(m－2) xm －2＋4是二次函数，求m的值和函数解析式． 【解】由题意得 ∴ ∴m＝－2， y＝－4x2＋4． 【方法总结】要确定二次函数中待定字母的值，需根据二次函数自变量的最高次数是2,二次项系数不为0,列出关于所求字母的方程或不等式(组),解方程或不等式(组),即可确定字母的值. 【例3】(1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式. (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x.写出两年后产品的年销售量y(单位：万件)关于x的函数解析式. 【解】(1)圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以S=2πr +2πr·r,即S=4πr . (2)一年后产品的年销售量为8(1-x)万件，两年后的年销售量为8(1－x)(1－x)万件，所以y=8(1－x) ,即 y=8x －16x+8. 【方法总结】 列二次函数解析式的一般步骤 （1）审：找出已知量和未知量，分析它们之间的关系； （2）找：找到两个未知量之间的关系，用等式表示； （3）列：根据等量关系列出函数解析式，注意自变量的取值范围. 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。
随堂检测 1．已知二次函数y＝x2＋3x－5，当x＝2时，y＝_____． 解析：当x＝2时，y＝22＋3×2－5＝4＋6－5＝10－5＝5． 2．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝　　　　． 解析：∵一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， ∴二月份研发资金为a×(1＋x)， ∴三月份的研发资金y＝a×(1＋x)×(1＋x)＝a(1＋x)2． 3．正方形的边长为5 cm，若正方形的边长增加x cm时，其面积增加y cm2． （1）写出y与x的函数关系式； （2）当正方形的边长分别增加2 cm，3 cm时，正方形的面积分别增加多少？ 解：（1）y＝(5＋x)2－52＝x2＋10x．　 （2）当x＝2时，y＝22＋10×2＝24； 当x＝3时，y＝32＋10×3＝39． 所以当正方形的边长分别增加2 cm，3 cm时，正方形的面积分别增加24 cm2，39 cm2．　 4．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元（x＞50），每月销售这种篮球获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）超市计划下月销售这种篮球获利8 000元，又要吸引更多的顾客，则这种篮球的售价应定为多少元？ 解：（1）设篮球售价为x元，则销量减少了10(x－50)个． 根据题意，得 10(x－50)＜500，即x＜100． 所以y＝[500－10(x－50)](x－40)＝－10x2＋1 400x－40 000（50＜x＜100）． （2）当y＝8 000时， 即－10x2＋1 400x－40 000＝8 000， 解方程，得x＝60或80． 结合题意要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.
课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1. 方法层面 学习了二次函数的概念，通过对比一次函数、正比例函数的定义，抓住函数解析式的结构特征判断函数类型，感受类比归纳、分类辨析的数学学习方法，理清各类函数的本质区别. 2. 知识内容层面 掌握二次函数的标准定义、一般形式、成立条件和相关概念，明确判定规则与常见形式. 3. 概念联系与区别 联系：二次函数与一次函数、正比例函数同属整式函数，自变量取值范围通常为全体实数，都是刻画变量之间对应关系的函数模型； 区别：一次函数最高次数为1，解析式形如（）；二次函数最高次数为2，必须满足二次项系数不为0，二者结构、图象、性质均不相同； 核心易错点：忽略的条件；解析式未整理就盲目判断；误把含分式、根式的解析式当成二次函数；混淆二次项系数与一次项系数. 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳二次函数的概念． 巩固所学知识，加深对二次函数相关概念的理解.
作业布置
板书设计 二次函数的概念 1.二次函数的概念 2.二次函数的一般形式 3.列二次函数的解析式.
教学反思

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