资源简介

26.4　实际问题与二次函数
第2课时 最大利润问题
教学设计
课题 26.4 第2课时　最大利润问题 授课人
教学目标 1.（2022新课标）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 2.能够熟练掌握利用二次函数求最大利润的问题. 3.能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．会用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题.
教学重点 用二次函数的知识分析解决有关利润的实际问题.
教学难点 通过问题中的数量变化关系列出函数解析式.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
情境导入 一种商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出25件.已知该商品的进价为每件40元，请问： ①题中调整价格的方式有哪些？②如何表示价格和利润之间的关系？③如何确定x的取值范围？④如何定价才能使每星期的销售利润最大？ 通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫
探究新知 探究点 实际问题与商品利润 某商品现在的售价为每件60元，经过市场调查，商家决定提高售价，同时销售数量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系为y＝－10x＋900，已知该商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 师生活动：教师引导学生回顾复习售价、进价、利润三者之间的关系，学生回答． 教师展示问题：那么该如何定价呢？ 学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题. 师生活动：教师引导学生总结解题过程． 1．问题：①该如何定价呢？②问题中的变量是什么？ 提示：①学生分组讨论如何利用函数模型解决问题．②利润随着价格的变化而变化． 学生先独立思考，教师给予引导． 2．教师展示解答过程，指导学生进行对比： 问题1：销售额为多少？成本为多少？ 问题2：如何表示利润？[利润＝售价×数量－进价×数量，利润＝(售价－进价)×数量] 问题3：可否写出利润的函数解析式？ 经过上述3个问题的分析，设利润为w元，可得w＝(x－40)(－10x＋900)＝－10x2＋1 300x－36 000. 问题4：根据题目要求可否得到自变量x的取值范围？ ∴60≤x≤90. 问题5：当x＝________时，w最大． 因为a＝－10<0，所以函数有最大值． 当x＝－＝65时，y有最大值，为6 250. 3．教师指导、点拨，重点强调： ①怎样用函数观点来认识问题；②怎样建立函数模型；③怎样找到两个变量之间的关系；④从利润问题中体会函数模型对解决实际问题的价值． 4．师生总结： 教师指导学生总结解答问题的步骤和方法，学生代表进行说明，全班互相交流，师生共同确定解题思路： ①确定自变量和函数． ②利用“总利润＝单位利润×数量”列函数解析式． ③确定自变量的取值范围． ④利用顶点坐标公式求出问题中的最大利润. 通过具体例子，让学生列出关系式，让学生在实践中感悟，提高学生利用函数思想解决问题的能力.
典例精析 【例】王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需要支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？ 【解】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)， 根据题意得 解得 故y与x之间的函数关系式是y＝－0.5x＋110． （2）设合作社每天获得的利润为w元， 由（1）可知游客居住房间数为y＝－0.5x＋110， 则w＝x(－0.5x＋110)－20(－0.5x＋110)＝－0.5x2＋120x－2 200 ＝－0.5(x－120)2＋5 000． 因为60≤x≤150，所以当x＝120时，w取得最大值，此时w＝5 000， 故当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5 000元． 【方法总结】 利用二次函数解决利润最大问题的一般策略 (1)明确利润、单价、销售量之间的关系，根据题意列出二次函数的解析式. (2)讨论最大值时，可转化为顶点式y=a(-h) +k,并利用二次函数的性质确定最大值. 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流.
随堂检测 1．某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30)出售，可卖出(600－20x)件，为使利润最大，则每件售价应定为________元． 答案：25. 2．进价为80元/件的某衬衣定价为100元/件时，每月可卖出2 000件；售价每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出该衬衣的总件数y（件）与衬衣售价x（元/件）之间的函数关系式为____________________，每月利润w（元）与衬衣售价x（元/件）之间的函数关系式为____________________________. （以上关系式只列式不化简）． 答案：y＝2 000－5(x－100) w＝[2000－5(x－100)](x－80) 3．一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次．第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元．产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件．如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？ 解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则 w＝[12＋2(x－1)][80－4(x－1)] ＝(10＋2x)(84－4x) ＝－8x2＋128x＋840 ＝－8(x－8)2＋1 352． 因为x≤9，故当x＝8时，w有最大值，且w最大＝1 352． 答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1 352元． 4．某种商品每天的销售利润 y（元）与销售单价x（元）之间满足关系： y＝ax2＋bx－75．其图象如图． （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ 解：（1）由题中条件可求y＝－x2＋20x－75． ∵－1＜0，对称轴为x＝10， ∴当x＝10时，y值最大，最大值为25． 即销售单价定为10元时，销售利润最大为25元． （2）由对称性知y＝16时，x＝7或13． 故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.
课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？ 1. 方法层面 学习了利用二次函数解决最大利润实际问题，紧扣建模思想、数形结合、最值求解的核心思路，将商品销售、单价调整、销量变动的生活实际场景，转化为二次函数模型，通过求函数顶点最值解决销售最优利润问题，体会从实际到数学、再从数学到实际的转化方法，掌握销售类应用题的建模、求解、验根全流程. 2. 知识内容层面 掌握二次函数最大利润问题的核心公式、建模思路、解题步骤和实际意义检验. 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳最大利润问题的方法． 巩固所学知识，加深对二次函数解决实际问题的理解.
作业布置
板书设计 最大利润问题 最大利润问题 建立函数关系式； 确定自变量的取值范围； 确定最大利润.
教学反思

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