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25.2.2　公式法
第1课时　一元二次方程根的判别式
教学设计
课题 25.2.2　第1课时 一元二次方程根的判别式 授课人
教学目标 1．理解一元二次方程求根公式的推导过程． 2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程． 3．能够理解一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理. 4．通过运用公式法解一元二次方程，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，并会用数学的语言表达世界.
教学重点 一元二次方程求根公式的推导，利用根的判别式进行相关的判定和计算.
教学难点 一元二次方程求根公式法的推导.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
情境导入 张老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，同学们都带着愕然、怀疑的目光看向老师，只见张老师微笑地点了点头，你知道小强是如何快速做出判断的吗？下面让我们一起探究今天的新知吧！ 学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究.
探究新知 一元二次方程根的判别式 如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2= 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得x2+x=- 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2 即（x+）2= ∵b2-4ac≥0且4a2>0 ∴≥0 直接开平方，得：x+=± 即x= ∴x1=，x2= 归纳：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“△”表示，即△=b2-4ac. 通过问题引发学生思考，引导学生探究. 通过问题解决，利用配方法推导一元二次方程的根，总结判别式的概念.
典例精析 【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2＋x－4＝0； （2）4y2＋9＝12y； （3）5(t2＋1)－6t＝0． 【解】（1）这里a＝2，b＝1，c＝－4， ∵Δ＝b2－4ac＝12－4×2×(－4)＝33＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）把原方程化为一般形式，得 4y2－12y＋9＝0． 这里a＝4，b＝－12，c＝9． ∵Δ＝b2－4ac＝(－12)2－4×4×9＝0， ∴原方程有两个相等的实数根． （3）把原方程化为一般形式，得 5t2－6t＋5＝0． 这里a＝5，b＝－6，c＝5． ∵Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×5×5＝－64＜0， ∴原方程没有实数根． 【方法总结】给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根． 【例2】已知关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）选择一个k的正整数值，并求出方程的根． 【解】（1）∵关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－3)2－4k＞0，即9－4k＞0， 解不等式，得k＜． ∵kx2－3x＋1＝0是一元二次方程，∴k≠0， 故k的取值范围是k＜且k≠0． （2）取不等式k＜的一个正整数解k＝2， 则方程为2x2－3x＋1＝0． 应用配方法解这个方程，得x1＝1，x2＝． 【方法总结】应用判别式求字母的取值范围的思路 利用根的判别式求待定字母的取值范围时，首先要根据方程的根的情况判断b —4ac与0的大小关系，然后利用题目中的条件列出关于所求字母的不等式(组),最后求解. 【拓展提升】 有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2－12x＋k＝0的两根，求k的值． 【解】（1）当另两边长都为等腰三角形的腰长时，方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即(－12)2－4k＝0， 解得k＝36． 此时方程为x2－12x＋36＝0， 解得x1＝x2＝6． 长为3，6，6的线段能构成等腰三角形． （2）当3为等腰三角形的腰长时，x＝3是方程的根． 把x＝3代入方程，得9－36＋k＝0，∴k＝27， ∴方程为x2－12x＋27＝0，解得x1＝3，x2＝9． ∵3＋3＜9， ∴长为3，3，9的线段不能构成三角形， ∴k＝27不符合要求． 综上，k的值为36． 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 通过例题，加强学生对利用根的判别式判断一元二次方程的根的能力.
随堂检测 1．一元二次方程x2－5x＋7＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 　　　　　　 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 　　　　 D．有两个实数根 答案：A. 2．若关于x的一元二次方程x2－4x＋5＝a有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＜1　　 B．a＞1　　　C．a≤1　　　D．a≥1 解析：整理方程，得x2－4x＋5－a＝0， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴Δ＝16－4×1×(5－a)≥0， 解得a≥1， ∴a的取值范围为a≥1． 答案：D. 3．关于x的方程m2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ． 解析：∵a＝m2，b＝2m＋1，c＝1，方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(2m＋1)2－4m2＝1＋4m＞0，∴m＞－． 又二次项系数不为0， ∴m≠0，即m＞－且m≠0． 答案：m＞－且m≠0. 4．若关于x的方程kx2－4x＋2＝0有实数根，则k的取值范围为_________． 解析：分两种情况讨论． （1）若方程为一元一次方程，则k＝0， 方程化为－4x＋2＝0，解得x=. （2）若方程为一元二次方程，则k≠0且Δ≥0， 即(－4)2－4×k×2≥0且k≠0， 解得k≤2且k≠0， 综上所述，k的取值范围为k≤2． 答案：k≤2. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.
课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1.方法层面：学习了利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，体会 “代数运算预判结论” 的思想，通过计算判别式的值，无需解方程即可直接判断根的类型，感受从 “具体求解” 到 “抽象判断” 的数学方法。 2.知识内容层面：掌握一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根的判别式 Δ=b2 4ac，明确： Δ>0 方程有两个不相等的实数根 Δ=0 方程有两个相等的实数根 Δ<0 方程没有实数根理解判别式的推导来源（配方法），归纳判别式在判断根的情况、求参数取值范围中的应用。 3.概念联系与区别：明确根的判别式是配方法的直接产物，与一元二次方程的一般形式紧密关联；强调 “a≠0” 是判别式存在的前提，若a=0，则方程退化为一元一次方程；区分 “判别式判断根的存在性”与“求根公式求解根”的逻辑关系：判别式是求根公式的前提，求根公式是判别式与根的具体表达. 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳配方法的概念及解题步骤． 巩固所学知识，加深对根的判别式的理解.
作业布置 《课时训练》p7—p8练习题
板书设计 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式 Δ＞0 方程有两个不相等的实数根 Δ＝0 方程有两个相等的实数根 Δ＜0 方程没有实数根.
教学反思

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