资源简介

25.2　降次——解一元二次方程
25.2.1　配方法
第2课时　配方法
教学设计
课题 25．2.1　第2课时　配方法 授课人
教学目标 1.（2022新课标）理解配方法,能用配方法解数字系数的一元二次方程. 2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤，体会转化的数学思想. 3．会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程. 4.通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神，会用数学的眼光观察世界．
教学重点 掌握配方法解一元二次方程.
教学难点 把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
情境导入 李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……你能按照他的想法求出这个方程的解吗？从中你能得到什么启示？ 学生带着问题去学习，引入完全平方公式，并由此引出本节课的学习探究.
探究新知 用配方法解一元二次方程 大家都知道，任何一个能变形为x2＝p或(x＋n)2＝p形式的一元二次方程，都可以用直接开平方法解. 我们已经会解(x＋3)2＝5.因为它的左边是含有x 的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.那么，能否将方程x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解呢？ 师生活动：学生先独立思考，再相互交流，最后阐述解法，引出配方法解一元二次方程. (1)探究解一元二次方程：x2＋6x＋4＝0. (2)什么叫配方法？用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤是什么？ 教师指导学生观察方程x2＋6x＋4＝0与(x＋3)2＝5的区别和联系，找两名学生说出自己的想法． 方程(x＋3)2＝5可转换为x2＋6x＋4＝0，根据两个方程之间的联系讨论怎样把方程x2＋6x＋4＝0转化为方程(x＋3)2＝5，并解方程． 师生活动：学生思考、讨论，发表意见，进行整理，师生合作写出解答过程： 解：移项，得x2＋6x＝－4，(移项要变号) 配方，得x2＋6x＋9＝－4＋9，(思考：为什么方程两边加9，添加：一次项系数一半的平方) 整理，得(x＋3)2＝5，(方程左边写成完全平方形式) 开方，得x＋3＝±，(利用直接开平方法解方程) 所以x1＝－3，x2＝－－3. 归纳：用配方法解方程的一般步骤： （1）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项． （2）要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的) （3）方程变形为(x+m)2=n的形式． （4）如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解． 总结：通过配方成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 练习：①x2＋2x＋__1__＝(x＋__1__)2； ②x2－4x＋__4__＝(x－__2__)2； ③x2＋__12x__＋36＝(x＋6)2； ④x2＋10x＋__25__＝(x＋__5__)2. 观察并思考：各式中的常数项与一次项的系数有什么关系？要把一个二次项系数为1的二次三项式变成一个完全平方式，常数项该如何变化？ 常数项是一次项系数一半的平方． 思考：观察方程2x2＋1＝3x，与上面我们所解的方程有什么不同？怎样求解？你能总结出配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤吗？ 化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数． 师生活动：先让学生回答这个方程与上面我们所解的方程有什么不同，再动员学生思考如何把这个方程转化为上面我们所解的方程类型． 总结：配方法解一元二次方程的步骤：移项，二次项系数化为1，配方，开方，降次求解． 练习：一元二次方程2x2－4x＋1＝0可配方成(x－1)2＝－＋1后求解.　　 通过问题引发学生思考，引导学生探究. 通过问题解决，呈现配方法的过程，总结配方法及其解题步骤.
典例精析 【例1】(教材p7例2) 解下列方程： (1)x2-8x+1＝0；（2）2x2+1=3x；（3）3x2-6x+4＝0， 【解】（1）移项得， 配方，得， 即(x-4)2＝15， 由此可得x＝4±， ∴x1＝4+，x2＝4-． （2）移项，得2x2﹣3x＝﹣1， 二次项系数化为1，得x2， 配方，得x2，即（x）2， 由此可得x或x， ∴x1＝1或x2． （3）移项，得3x2-6x＝-4， 二次项系数化为1，得x2-2x＝-， 配方，得x2-2x＋1＝-＋1，即（x＋1）2＝-， 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1) 都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 【方法总结】一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化为（x+n） =p的形式，那么就有（1）p＞0时，方程由两个不等的实数根；（2）p=0时，方程由两个相等的实数根；（3）p＜0时，方程无实数根. 【针对训练】 1.解方程： (1)x2－x－＝0；(2)3x2＋6x－4＝0； 【解】(1)移项，得x2－x＝. 配方，得x2－x＋＝＋，即＝2. ∴x－＝±，x1＝＋，x2＝－. (2)移项，得3x2＋6x＝4. 系数化为1，得x2＋2x＝. 配方，得x2＋2x＋1＝＋1， 即(x＋1)2＝.∴x＋1＝±， x1＝－1＋，x2＝－1－. 【例2】用配方法求最值. (1)2x2－4x＋5的最小值；；(2)－3x2＋6x－7的最大值． 【解】(1)原式＝2(x－1)2＋3． 当x＝1时，有最小值3． （2）原式＝－3(x－1)2－4． 当x＝1时，有最大值－4． 【方法总结】ax2＋bx＋c(a，b，c均为常数)型代数式求最值或证明恒为正（负）等问题时，都要想到运用配方法，将含字母部分配成a(x＋m)2＋n的形式来解决． 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 通过例题，加强学生对利用配方法解一元二次方程的能力，发展学生计算能力.
随堂检测 1．方程x2－4＝0的解是（　　） A．x＝2　　 B．x＝－2　　C．x＝±2　　D．x＝±4 答案：C. 2．方程2x2－3m－x＋m2＋2＝0有一根为x＝0，则m的值为（　　） A．1　　 B．1 C．1或2 D．1或－2 答案：C. 3．解方程：(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8． 解：方程化简，得x2＋2x＋5＝8． 移项，得x2＋2x＝3． 配方，得x2＋2x＋1＝3＋1， 即(x＋1)2＝4． 开平方，得x＋1＝±2． 解得x1＝1，x2＝－3． 4．用配方法解x2－4x＝1． 解：配方，得x2－4x＋(－2)2＝1＋(－2)2， 即(x－2)2＝5． 开平方，得x－2＝±． 解得x1＝2＋，x2＝2－． 5．解方程：3x2＋8x－3＝0． 解：两边同除以3，移项得x2＋x＝1． 配方，得x2＋x＋＝＋1，即(x＋)2＝． 开方，得x＋＝±， 即x＋＝或x＋＝－． 所以x1＝，x2＝－3． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.
课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1.方法层面：学习了配方法，体会 “配方降次” 的核心思想，通过构造完全平方式将一元二次方程转化为可直接开平方的形式，感受化归与转化的数学方法。 2.知识内容层面：掌握配方法的完整步骤：移项→化二次项系数为 1→配方→开方求解；理解完全平方式的结构 (x+m)2=x2+2mx+m2，归纳配方法在解方程、代数式变形中的应用。 3.概念联系与区别：明确配方法是直接开平方法的延伸，适用于所有一元二次方程；强调 “配方时两边同时加一次项系数一半的平方” 这一关键操作，以及与直接开平方法、公式法的逻辑关联：配方法是推导求根公式的基础，而直接开平方法是配方法的特殊形式。 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳配方法的概念及解题步骤． 巩固所学知识，加深对配方法及其解题步骤的理解.
作业布置 《课时训练》p5—p6练习题
板书设计 配方法 1.定义 2.利用配方法解一元二次方程的一般步骤 （1）移项； （2）二次项系数化为1； （3）配方； （4）开方.
教学反思

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