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2026年罗湖区中考备考“百师助学”课程
《三角形中的折叠问题》教学设计
翠园东晓中学 杨紫韵
【问题背景分析】
从命题角度：折叠依托轴对称出题，是本地中考几何固定考点，命题灵活，融合直角三角形、等腰、相似、旁心等多个知识点，命题方向集中于线段求值、线段比例、面积比值三类问题，分为显性折叠（折痕过 / 不过顶点）与隐性折叠（以角平分线、中垂线为条件伪装）两种考法。
从学生学情：学生具备三角形、勾股定理、相似三角形前置知识储备，但缺少模型整合能力，折叠后边角对应关系容易混淆，不会从变换中锁定不变条件，面对中点折叠衍生旁心、需要补图的隐藏折叠题型普遍无从下手。
【教学目标】
数学抽象与几何直观：依托折叠轴对称具象操作，提炼折叠全等的不变量，能根据题干条件区分两种折叠形态，遇到角平分线、中垂线条件，通过补图还原隐藏折叠模型，建立图形变换直观认知。
逻辑推理：在边角推导中规范推理步骤，熟练利用旁心性质、一线三等角完成等角转化，形成 “找全等 — 推边角 — 寻相似 / 建方程” 的推理逻辑链。
运算能力：结合勾股定理、相似比例，精准完成线段长度、面积比值的列式与计算，掌握不同情形下面积比的转化算法。
模型观念与应用意识：归纳中点折叠 + 旁心固定几何模型，对标深圳中考命题规律，学会归类同类考题，克服压轴题畏难情绪，能用模型快速破题。
【疑难点的分析】
重点：活用折叠全等性质，熟练运用中点折叠旁心模型计算线段与面积。
难点：灵活选用旁心结论，实现无关联三角形的面积转化。
【学习过程】
一、知识预备：
（一）三角形的旁心相关知识点
1、定义：三角形一个内角的平分线与另外两个内角的外角平分线相交于一点，这个交点即为三角形的旁心。
2、核心性质：
①在中，设边对应的旁心为，则；
同理，，。
②设的三边为，，，AE=AD。
（二）折叠问题中旁心的情形：等腰三角形中，当折痕经过底边的中点，常常出现旁心
①等边△ABC, D是BC中点, E是AB上一点. △BDE沿着DE折叠得△FDE, EF交AC于点G.
注意：观察右图，导角可得：D是△AEG的旁心，则GD平分∠EGC.
如上图，由旁心，进一步可以得到： 且∠EDG=60°
于是有一线三等角模型，从而有: BE×CG=BD×CD=BD .
②等腰△ABC, D是BC中点
此时D 是 △AEG 的旁心，一线三等角，恒成立
③等边△ABC, D是BC中点
此时D 为 △AEG 的旁心
④等腰直角△ABC, D是BC中点
此时D为 △AEG的旁心，∠EDG=45°，由一线三等角：BE X CG = BD2， C△AEG = AB
二、模块教学
模块一：一般三角形中的折叠问题
典例精析 例1：（2025江苏常州中考）如图，在△ABC中，tan C，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F，若CF＝5，EF＝2，则AC＝ ．
【总结归纳】利用翻折性质作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，结合勾股定理解直角三角形。
练习1．（2025山西省中考）综合与探究
问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB＞BC，点D在边AB上，AD＞BD．沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB′与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB′E，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边形BDB'E的形状，并说明理由；
拓展延伸：（2）如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A′落在射线DB′上，且折痕与边AC交于点F，然后展平．连接A′E交边AC于点G，连接A′F．
①若AD＝2BD，判断DE与A′E的位置关系，并说明理由；
②若∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，当△A′FG是以A′F为腰的等腰三角形时，请直接写出A′F的长．
模块二：等腰三角形中的折叠问题（折痕过顶点）
从特殊三角形开始，进行探究.现在有一张等边三角形的纸片，可以怎么折叠
若要经过某一个顶点，那么通常就是两种方式(若D恰好在中点就过于简单不做讨论) 给定D的位置设定为三等分点，求其它的线段比或者面积比.
典例精析
例2:等边△ABC, D是BC的三等分点, △ABD沿着AD折叠得△AED.
①D是靠近B的三等分点,求
②D是靠近C的三等分点,求
【总结归纳】。
①在求线段长时，可以利用解形或者相似(相交弦)列方程，若求两个共边三角形的面积比时，只需求其底边之比.若求两个相似三角形面积比时，只需求对应边之比，如求，要用相似比、面积比解决问题；
②若求两个既不共边也不相似的三角形的面积比时，除了单独求出来，也可以找它们共同的纽带，如求 ，这两个三角形既不共边，也不相似，可以由△ACF这个“纽带”联系起来，只需先求：或是把S△ABD转化为S△ADE.
练习2：等腰Rt△ABC, F为BC中点, D是AB上一点.△BCD沿着CD折叠，点B的对应点E，刚好落在AF上.若AB=2,求S△ADE.
练习3: 等腰△ABC中, AB=AC, D是AC上一点.满足AD=2CD=2,△ABD沿着BD折叠得
△EBD.若DE⊥BC,求BC.
模块三：等腰三角形中的折叠问题（折痕不过顶点）
为了特殊一点，将点D放在中点位置（常常出现旁心）
典例精析
例3：等边△ABC，D是BC中点，E是靠近A的三等分点.△BDE沿着DE折叠得△FDE.EF,DF分别交AC于点G, M.求
【总结归纳】学会利用旁心的相关知识点，结合勾股定理、相似、一线三等角解决问题。
练习4:等边△ABC, D是BC中点, E是AB上一点, AE=7BE=7.△BDE沿着DE折叠得△FDE.延长EF, CA交于点 G.求AG.
练习5：等腰Rt△ABC ，AB =AC = 12 ，D 是BC 中点， E 是靠近A 的四等分点.△BDE 沿着DE 折叠得 △FDE.求 S△EDG .
练习6: 等腰△ABC中, AB=AC, ∠A为锐角, D是AB上一点,满足AD=10.
E是AC上一点, △ADE沿着DE折叠得△FDE.若EF⊥BC,求AE.
五、等腰三角形中的折叠问题的变形
1、直角三角形的折叠和等腰三角形的折叠有很强的联系.
如果把等腰三角形分成全等的两个直角三角形，则变成了直角三角形中的折叠问题。所以遇到直角三角形的折叠问题，可以补图成前面的等腰三角形问题。
2、根据前面的例1，若题目给出的条件是角平分线，不妨把它补全进行尝试。
【总结归纳】抽图和补形，是解决几何问题的两个核心技巧。一般而言，抽图——去掉原题中无关紧要的线条——有利于简化图形，明确目标；补形——基于某种逻辑，人为添加辅助线——可以利用一些事先研究的好的结构、结论

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