资源简介

探究函数中平行四边形存在性问题
罗湖未来学校 周伟
一、基本信息
学科：初中数学
学段：九年级（中考备考）
课时：2 课时（90 分钟）
授课教师：周伟
授课主题：探究函数中平行四边形的存在性问题
教材依据：中考数学函数与几何综合专题（数形结合、分类讨论核心素养专题）
二、教学目标
知识与技能：熟练掌握中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式的推导与应用；能解决函数背景下平行四边形（含矩形、菱形）的单动点、双动点存在性问题。
过程与方法：经历 “几何问题代数化” 的转化过程，深化数形结合思想；通过分类讨论解题，培养思维的严谨性、周密性，形成模型化解题思维。
情感态度与价值观：提升数学核心素养，增强中考备考信心；培养主动探究、合作交流的意识，感受数学逻辑的简洁美。
三、教学重难点
重点：平行四边形顶点坐标公式的应用；函数背景下平行四边形存在性问题的解题模型。
难点：双动点问题的分类讨论；矩形、菱形特殊平行四边形的存在性推导逻辑。
四、教学准备
教具：多媒体课件（PPT）、几何画板（动态演示动点轨迹、平行四边形形成过程）
学具：草稿纸、直尺、坐标系画图工具
五、教学过程（90 分钟）
（一）温故知新，导入新课（10 分钟）
复习中点坐标公式
提问：已知点，，线段中点的坐标是什么？
学生回答后板书：。
推导平行四边形顶点坐标公式
结合 PPT 图示（平行四边形，对角线交于），引导学生观察：平行四边形对角线互相平分，即对角线中点重合。
推导得出：，（平行四边形顶点坐标核心公式）。
导入课题：中考常考函数（一次函数、抛物线）背景下平行四边形存在性问题，今天我们通过三类题型，探究解题方法与模型。
（二）模块探究，突破重难点（70 分钟）
模块一：平行四边形 “单动点” 题型（20 分钟）
例题 1（一次函数背景）
题目：直线交轴于，直线交轴于，两直线交于，是否存在点，使为平行四边形顶点？
步骤：
① 求定点坐标：先算出三点坐标；
② 分类讨论：以分别为对角线，代入顶点坐标公式求；
③ 直接写结果，总结：单动点问题，定三点、分对角线、套公式。
例题 2（平行四边形基础背景）
题目：平行四边形，，，，为中点，是否存在点，使为平行四边形顶点？
学生独立思考 2 分钟，指名回答的坐标，教师用几何画板验证，强化公式应用。
模块二：平行四边形 “双动点” 题型（20 分钟）
例题 1（抛物线 + 对称轴动点）
题目：抛物线，在对称轴上，抛物线上是否存在，使为平行四边形顶点？
引导：双动点（在抛物线、在对称轴），仍用对角线中点重合，设坐标、列方程、结合函数解析式求解。
例题 2（直线 + 抛物线双动点）
题目：直线交坐标轴于，抛物线过，（直线上）、（抛物线上）为动点，为平行四边形时，求坐标。
小组讨论 3 分钟，梳理解题逻辑：设动点坐标→列平行四边形方程→联立函数解析式求解→验证合理性。
模块三：矩形和菱形题型（30 分钟）
例题 1（矩形存在性）
题目：抛物线，、，在上，为平面内点，为矩形时，求坐标。
点拨：矩形是特殊平行四边形，对角线相等且平分，先套平行四边形公式，再结合 “直角 / 对角线相等” 列补充条件。
例题 2（菱形存在性）
题目：抛物线，、，在对称轴上，为平面内点，为边的菱形，求坐标。
总结：菱形是特殊平行四边形，四边相等，以平行四边形公式为基础，加 “边长相等” 条件分类求解。
（三）课堂总结，构建模型（5分钟）
核心公式：平行四边形顶点坐标公式，（对角线中点重合）。
解题模型
单动点：定三点→分对角线→套公式；
双动点：设坐标→列方程→联函数→验结果；
矩形 / 菱形：平行四边形基础上，加 “直角 / 对角线相等”“四边相等” 条件。
思想方法：数形结合、分类讨论、模型化思想。
（四）当堂检测，巩固提升（15分钟）
快速提问：抛物线背景下，已知三点求平行四边形第四个点，关键步骤是什么？（学生齐答：分类讨论对角线、用中点公式），布置课后同类题型练习。
六、板书设计
探究函数中平行四边形的存在性问题
1. 核心公式
中点坐标：
平行四边形：；
2. 题型模型
单动点：定三点→分对角线→套公式
双动点：设坐标→列方程→联函数
矩形：平行四边形 + 直角 / 对角线相等
菱形：平行四边形 + 四边相等
3. 思想：数形结合、分类讨论
七、教学反思
需关注学生对 “分类讨论” 的完整性，避免漏解；
双动点问题难度较高，后续可增加基础变式题，逐步提升；
多借助几何画板动态演示，帮助学生直观理解动点与平行四边形的关系，降低抽象思维难度。

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