资源简介

隐圆中的最值问题 教学设计
一、课程基本信息
项目 内容
课程主题 隐圆模型破解几何最值问题
适用对象 中考复习培优学生（基础扎实，目标突破几何压轴题）
课程时长 80 分钟
配套资料 《隐圆破最值 自主学习单》
二、教学目标
1. 知识与技能
掌握定点定长、四点共圆、定角定弦三类核心隐圆模型的识别方法
能熟练运用 “化隐为显” 的思路，将隐藏的圆轨迹转化为显性的圆模型
能结合圆的性质、垂线段最短等知识点，解决复杂的动点线段 / 周长最值问题
2. 过程与方法
通过对典型例题的拆解，培养学生复杂问题的分步拆解能力
通过变式训练，提升学生的模型迁移能力，做到举一反三
体会数形结合、转化与化归的数学思想
3. 核心素养
培养学生的几何直观与逻辑推理能力
帮助学生建立几何最值问题的解题框架，突破中考压轴题瓶颈
三、教学重难点
教学重点：三类隐圆模型的识别与基础应用
教学难点：复杂压轴题中，多条件的拆解与隐圆模型的构造，实现 “化隐为显”
四、教学准备
课前发放《隐圆破最值 自主学习单》，完成预习部分的基础活动
教学 PPT、几何画板（用于演示动点轨迹，直观展示隐圆）
中考真题变式训练题组
五、教学过程（80 分钟）
环节 1：预习反馈 + 考情导入（10 分钟）
师生活动：
快速反馈自主学习单预习部分的完成情况：核对活动 1、2 的结论，回顾圆上动点到定点 / 定直线的最值规律 ——“过圆心的连线截得的线段，最长最短就是它”
中考考情导入：
几何最值是深圳中考填空压轴的高频考点，近 3 年考察占比达到 60%，很多同学遇到这类题会觉得 “动点太多，找不到轨迹”，今天我们就来学一个压轴题的破题利器 ——隐圆模型，把题目里藏起来的圆找出来，把复杂的最值问题变成我们熟悉的圆的性质问题。
设计意图：
通过预习反馈快速唤醒学生的旧知，用考情激发学生的学习动机，点明本节课的核心目标。
环节 2：核心模型梳理（15 分钟）
师生活动：
结合自主学习单的内容，带领学生快速梳理三类核心隐圆模型，重点讲识别标志：
模型 1：定点定长型
识别标志：动点到某定点的距离始终为定值
轨迹：以定点为圆心，定长为半径的圆
常见场景：翻折问题、旋转问题、中点定长问题（比如梯子下滑的中点轨迹）
模型 2：四点共圆型
识别标志：① 两个直角对同一条线段；② 四边形对角互补；③ 同侧等角对同一条线段
轨迹：四个点共圆，动点在圆上运动
模型 3：定角定弦型
识别标志：动点对某条定线段的张角始终为定值
轨迹：以定线段为弦，圆周角为定角的圆弧
设计意图：
培优学生有一定基础，不需要过多铺垫，快速梳理模型的识别标志，帮学生建立 “看到什么条件，想到什么模型” 的条件反射，为后续的压轴题拆解打基础。
环节 3：典例精讲 —— 菱形周长最值压轴题（25 分钟）
师生活动：
拿出我们之前分析的菱形压轴题（也就是自主学习单里的四点共圆模块的练习题），这是一道非常典型的隐圆应用压轴题，我们一步步来拆解它：
例题：在边长为 12 的菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，∠BAD=60°，E 为 AB 边上一动点，过点 E 作 EP⊥AD 于点 P，EQ//AC 交 BD 于点 Q，连接 PQ，△DPQ 周长的最小值为多少？
第一步：拆解条件，找定值
引导学生先看题目里的垂直条件：，（因为 AC⊥BD，EQ//AC），这两个都是直角！
先算周长的三个边：，有没有定值？
结合等边三角形 ABD 的性质，推导得出：，是定值！
提问：那周长的最小值，是不是就变成了求 PQ 的最小值？把三个变量的问题，变成了单变量的问题！
第二步：识别隐圆，化隐为显
提问：我们刚才得到了两个直角：，，这两个直角对着同一条线段 DE，这符合我们刚才讲的哪个隐圆模型？
学生回答：四点共圆！D、P、E、Q 四点共圆，直径是 DE！
用几何画板演示：当 E 在 AB 上动的时候，P 和 Q 的运动轨迹，以及这个隐藏的圆，让学生直观看到。
第三步：转化最值，求解答案
提问：在这个圆里，PQ 和 DE 是什么关系？
引导学生用正弦定理推导：
那 PQ 的最小值，就变成了 DE 的最小值！
提问：E 是 AB 上的动点，DE 的最小值是什么？
学生回答：点到直线的垂线段最短！D 到 AB 的高，也就是等边三角形的高，
最后算出 PQ 的最小值是 9，周长最小值就是 18+9=27。
设计意图：
这道题是隐圆模型的综合应用，通过分步拆解，教学生怎么把复杂的压轴题，拆成我们熟悉的小问题，一步步化繁为简，让学生体会 “化隐为显” 的核心思路，这是培优学生突破压轴题的关键能力。
环节 4：变式训练 + 模型迁移（20 分钟）
师生活动：
分组训练：给学生 10 分钟，完成自主学习单里的 2 道变式题，覆盖另外两类隐圆模型：
题 1（定点定长）：矩形翻折题，求 CP 的最小值（自主学习单模块一的例 1）
题 2（定角定弦）：正方形里的 AE=DF，求 CP 的最小值（自主学习单模块三的例 1）
小组展示 + 点评：10 分钟，让学生上台讲自己的解题思路，重点问：你是怎么找到隐圆的？哪个条件告诉你的？
点评的时候，重点强调：翻折的 AP=AB，就是定点定长；两个直角就是四点共圆，帮学生强化模型的识别。
设计意图：
通过不同模型的变式训练，让学生把刚才学到的方法迁移到不同的场景里，避免只会做一道题，做到举一反三，同时通过学生讲题，暴露问题，强化模型识别的能力。
环节 5：总结 + 当堂检测 + 作业布置（10 分钟）
师生活动：
课堂总结：
给学生总结隐圆破最值的三步法：
拆条件：先看有没有定值，把复杂最值拆成简单的线段最值
找隐圆：看有没有定点定长、对角互补、定角定弦，把隐藏的圆找出来
转最值：把线段最值转化为点到点、点到直线的最短距离
口诀：定长对定点，轨迹是个圆；对角要互补，四点共个圆；定角对定边，动点画弧弦
当堂检测：用 2023 年深圳中考的隐圆真题（自主学习单里的练 1），5 分钟完成，快速反馈，检验学生的掌握情况。
作业布置：
完成自主学习单里剩下的练习题，整理今天的错题
尝试用隐圆的思路，整理之前做过的几何最值压轴题，找一找里面的隐圆模型
六、板书设计
Plain Text
隐圆破最值
┌─────────────────┐ ┌─────────────────┐
│ 三类隐圆模型 │ │ 典例解题步骤 │
│ 1.定点定长 │ │ 1. 拆周长：DP+DQ=18 │
│ 2.四点共圆 │ │ 2. 找隐圆：四点共圆 │
│ 3.定角定弦 │ │ 3. 转最值：PQ∝DE │
└─────────────────┘ └─────────────────┘
核心：化隐为显，化繁为简

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