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九年级中考专题复习：矩形中的折叠问题教学设计
深圳市布心中学 屈娟丽
教学内容分析：
本专题是九年级数学中考复习的重要内容，在整个初中几何知识体系中，承接了矩形的性质、轴对称变
换等前期所学知识，是对这些知识的综合运用与深化。同时，它也为后续学习更复杂的图形变换和动态几何
问题奠定基础，在中考中常以填空题、解答题等形式出现，具有较强的综合性和区分度。从教材横向内容来
看，专题围绕矩形折叠问题展开，通过“由折叠探角度”“由折叠探面积”“由折叠探线段”三个模块，结合具体
例题和巩固练习，系统梳理了折叠问题的本质、常用结论及解题方法，各模块之间层层递进，逐步深入，重
点突出了折叠的轴对称性质以及矩形性质在解题中的综合应用。
学情分析：
九年级学生已掌握矩形的性质、轴对称的概念等基础知识，但在面对矩形中的折叠问题时，对折叠前后
图形对应关系的转化能力、利用方程思想解决几何问题的意识还有待加强。学生的空间想象能力存在差异，
部分学生难以准确画出折叠后的图形，从而无法有效找到数量关系和位置关系。同时，学生对这类综合性问
题的学习兴趣较高，但在解题过程中容易因思路不清晰而产生畏难情绪，需要教师通过引导和有趣的问题情
境激发其自主探究的积极性，培养其分析问题和解决问题的能力。
教学目标：
1.通过观察、操作、分析矩形折叠的过程，理解折叠的本质是轴对称变换，能准确找出折叠前后的对应
边和对应角。
2.运用矩形的性质和折叠的性质，结合方程思想，解决矩形折叠中的角度计算、面积求解及线段探究等
问题，提高综合运用知识的能力。
3.经历自主探究、合作交流解决折叠问题的过程，体会转化思想在几何中的应用，培养空间想象能力和
逻辑推理能力。
教学重点：
1.理解折叠的本质是轴对称变换，掌握折叠前后图形的对应关系。
2.能利用矩形的性质和折叠的性质，将折叠问题转化为方程问题。
教学难点：
1.准确画出折叠后的图形，理清图形之间的数量关系和位置关系。
2.在解决最值问题时，如何确定动点的位置和运用相应的几何知识进行求解。
教学方法：
讲授法：在知识梳理和例题讲解环节，教师系统地讲解折叠的本质、常用结论以及解题方法，帮助学生
构建知识框架。
讨论法：在小组合作探究例题和巩固练习时，组织学生进行讨论，让学生在交流中碰撞思维，互相启
发，共同解决问题，提高学生的参与度和合作能力。
练习法：通过设计不同层次的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，掌握解题技巧，提高解题能力，
同时及时反馈学生的学习情况，以便教师调整教学策略。
学习目标：
1.通过观察、操作、分析矩形折叠的过程，理解折叠的本质是轴对称变换，能准确找出折叠前后的对应
边和对应角。
2.运用矩形的性质和折叠的性质，结合方程思想，解决矩形折叠中的角度计算问题。
3.经历自主探究、合作交流解决折叠问题的过程，体会转化思想在几何中的应用，培养空间想象能力和
逻辑推理能力。
教学过程：
一、知识回顾
教师活动：首先，老师拿出准备好的矩形纸片，并向学生展示。接着，在全体学生面前，老师将矩形纸片
ABCD 沿对角线 AC 进行折叠，使得点 D 落在新的位置点 F 处。完成折叠后，老师会拿着折叠好的纸片，提
问学生：“同学们，请大家仔细观察，在这次折叠过程中，折叠前后的图形中，有哪些部分是完全重合的呢？
点 D 和点 F 之间又存在着怎样的关系？”在折叠过程中，矩形的对应边和对应角是如何变化的，并特别强调
“折痕是对应点连线的垂直平分线”这一关键性质，引导学生们进行深入观察和思考。
学生活动：在观察过程中，积极思考老师提出的问题，并尝试用自己理解的语言来描述所观察到的折叠特
点。部分学生可能会举手发言，分享他们的发现和思考。
小结梳理：通过观察和讨论，老师将引导学生总结出：“折叠的本质是一种轴对称变换，折叠前后的图形是全
等的，这意味着对应的边是相等的，对应的角也是相等的。同时，折痕作为对称轴，它实际上是连接对应点
线段的垂直平分线。”
设计意图：本环节旨在通过直观的动手操作，有效激活学生们对轴对称和矩形性质已有的认知。这种具象化
的导入方式，能够迅速抓住学生的注意力，让他们对折叠变换产生浓厚的兴趣，为后续深入探究折叠的数学
性质和解决相关问题奠定坚实的基础。
二、合作探究：
模块一：由折叠探角度 E
A D
例 1：1.如图,将矩形纸片 ABCD折叠,使点 D与点 B重合,点 C落在点 C'处,
折痕为 EF.若∠FED=55°,那么∠ABE的度数为
F
B C
C'
例 2：如图,在矩形 ABCD 中,将矩形 ABCD沿 AE 折叠,点 D恰好落在 BC A D
边上的点 F处.若 AB=3,BC=5,点 E在 DC上,那么 sin∠EFC 的值
为 . E
B C
F
学生活动：学生们认真审视 PPT 上的例题和图形，并开始独立思考老师提出的问题。在经过初步思考后，他
们将以小组为单位展开热烈讨论。
小结梳理：老师将巡视各小组，鼓励学生利用矩形的性质以及折叠的性质来解决问题。
设计意图：通过例题，老师旨在引导学生将折叠的轴对称性质与矩形的几何性质巧妙地结合起来。这种结合
不仅能够加深学生对两种知识点的理解，更重要的是，能够有效培养他们严密的逻辑推理能力，为解决更复
杂的几何问题打下坚实的基础。
模块一：巩固练习
1．如图，在矩形 ABCD中，AD＝4，点 E在 CD上，且 DE＝3，连接 BE，将矩形 ABCD
沿直线 AE翻折，点 D恰好落在 BE上的点 F处，则 tan∠BAF的值是
2．如图所示为一张矩形纸片 ABCD，E为 AD的中点，点 F在边 BC上，把该纸片
沿 EF折叠，点 A，B的对应点分别为 G，H，GE与 BC交于点 O，HG的延长线
2
过点 C．若 = ，则 sin∠BCH的值是 ．
3
学生活动：学生们会先独立思考，并根据题目提示和折叠性质，标记出已知的
条件和折叠前后对应的线段及对应角的关系。随后，他们会以小组为单位，就解题思路进行交流讨论。他们
可能会尝试引入未知数，然后利用勾股定理在直角三角形中列出方程来求解。
小结梳理：老师将强调，解决这类角度问题的核心策略可以概括为“找对应、用性质、建关系”。具体而言，
首先要准确确定折叠前后的对应边和对应角；其次，要灵活运用矩形的直角、对边相等这些性质；最后，通
过角度的和差关系、余角或补角关系，或者借助三角函数的定义，来构建方程或等式，进而求解出未知的角
度或其三角函数值。
设计意图：本环节通过具体的巩固练习，进一步训练学生将折叠问题与直角三角形、勾股定理以及三角函数
结合的能力。通过小组合作，学生可以在交流中互相启发，共同寻找多种解题途径，从而提升他们解决综合
性几何问题的能力。
模块二：有折叠探面积
A D
例 3.如图,将矩形 ABCD沿对角线 AC翻折,点 B 落在点 F处,FC交 AD
于 E.若 AB=3,BC=5,图中阴影△AEC的面积= .
B C
E
F
例 4：如图,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=5,E是边 AD 上的一点,将△CDE
沿直线 CE翻折,得到△CFE.连结 BF,当 DE=1时,△CBF的面积
= .
学生活动：学生们将积极参与到解题步骤的归纳中，并在自己的笔记本上认真记录下这些通用步骤。对于老
师提出的拓展性问题，他们将积极思考，并尝试举出一些在折叠问题中常见的等腰三角形类型，例如以折痕
为底边的等腰三角形，并说明如何利用其性质进行简化计算。
小结梳理：老师会强调，通过归纳解题模型，不仅可以帮助学生形成结构化、系统化的思维方式，还能显著
提升他们解决几何问题的效率和准确性。
设计意图：此环节旨在帮助学生将前面所学的零散知识点和解题技巧系统化，形成一个清晰、可操作的解题
模型。通过对解题模型的提炼和拓展性问题的思考，学生不仅能提升解题效率，更能培养其从具体问题中抽
象出普遍规律的能力，这对于他们今后的数学学习至关重要。
模块二巩固练习：
3．在矩形 ABCD中，AD＝12，E是 AB边上的点，AE＝5，点 P在 AD边上，
将△AEP沿 EP折叠，使得点 A落在点 A′的位置，如图，当 A′与点 D的
距离最短时，△A′PD的面积为 ．
4．如图，矩形 ABCD中，E为边 AB上一点，将△ADE沿 DE折叠，使点 A的对应
点 F恰好落在边 BC上，连接 AF交 DE于点 N，连接 BN．若 BF AD＝15，tan∠BNF=
√5
，则矩形 ABCD的面积为 ．
2
学生活动：学生们将独立完成练习单上的题目，完成后，他们会以小组为单位，互相检查彼此的答案，并积
极讨论和分析在解题过程中遇到的错误原因和解决方法。
小结梳理：老师会邀请学生代表上台汇报他们的解题思路和结果。老师将针对学生在练习中暴露出的共性问
题进行重点点评和讲解。
设计意图：本环节旨在通过针对性的练习，让学生将所学的问题解题模型应用于实际。通过变式训练提升动
态几何分析能力.
模块三：由折叠探线段
A E
例 5：如图,在矩形 ABCD 中，E为 AD上一点，沿 AC折叠，点 D恰好 D
落在对角线上的点 F处.若 AB＝3，BC＝4，则折痕 CE=______.
F
B C
例 6：如图,在矩形 ABCD 中,点 E为 AD的中点,将矩形沿 CE折叠,使点 D
落在矩形内的点 F 处,连结 BF,若 AB=4,BC=6,则 AF的长为 .
学生活动：学生们会先独立思考，并根据题目提示和折叠性质，标记出已知的条件和折叠前后对应的线段关
系。随后，他们会以小组为单位，就解题思路进行交流讨论。
小结梳理：师生共同总结解决这类题的解题技巧。
设计意图：强化折叠的本质就是轴对称，轴对称可以得全等，然后利用边角的关系，利用勾股定理，相似，
等面积法求出线段长度。
模块三巩固练习：
5.图，矩形 ABCD的对角线 AC和 BD交于点 O，AB＝3，BC＝4．将△ADC沿着
AC折叠，使点 D落在点 E处，连接 OE交 BC于点 F，AE交 BC于点 G，则 EF
＝ ．
6.在正方形 ABCD的对角线 AC上取一点 E，使得 AE＝2CE，连接 BE，将△BCE沿
BE翻折得到△BFE，连接 DF．若 BC＝4，则 DF的长为 ．
设计意图：通过独立完成和小组互助，学生能够及时发现并纠正自己在知识理解和应用上的偏差。教师的巡
视指导和及时反馈，确保了学生在练习中遇到的问题能够得到有效解决，从而真正做到学以致用，巩固所
学。
三、课堂小结：
教师活动：老师将引导学生共同回顾本节课所学的知识结构。首先，请同学们总结折叠的本质是什么，以及
它带来了哪些重要的性质。其次，思考在解决角度问题时，我们是如何运用这些性质和矩形的特性的。最
后，老师会引导学生思考，通过本节课的学习，我们在哪些方面发展了自己的数学学科素养，例如空间想象
能力和逻辑推理能力。
学生活动：学生们将积极参与回顾，尝试用自己的语言梳理本节课的知识要点。他们可能会通过小组讨论的
形式，共同总结折叠的轴对称性质，以及在解决角度问题时所采用的“找对应、用性质、建关系”的解题思
路。学生们还会分享自己在本节课中思维能力和解决问题能力上的提升。
设计意图：课堂总结环节旨在帮助学生将本节课所学的零散知识点进行系统化整合，形成一个清晰的知识网
络。通过对知识结构和逻辑关系的梳理，学生能更好地理解折叠问题的本质和解题策略。而对学科素养的总
结，则能引导学生认识到数学学习不仅仅是知识的积累，更是思维能力和解决问题能力的提升，从而激发他
们持续学习的内驱力。
四、作业布置：
1．如图，在矩形 ABCD中，AD＝6，点 E为 BC上的一个动点．
（1）如图①，连接 DE，将△DEC沿 DE折叠，点 C的对应点为 F，若 DF的延长线恰好经过点 B，AB＝4，则
CE的长为 ；
1
（2）如图②，连接 DE，将△DEC 沿 DE 折叠，点 C 的对应点为 F．若∠BEF= ∠DEF，则∠BEF 的度数
2
为 ；若点 E是 BC的中点，AB＝4，连接 BF，则 cos∠EBF的值为 ；
2
（3）如图③，连接 DE，将△DEC沿 DE折叠，点 C的对应点为 F，若点 F落在 AB上， = ，则 DC的长
3
为 ．
（4）如图④，点 G为 AD上一点，连接 GE，将矩形 ABCD沿 GE折叠，点 C落在 AD边上的点 F处，点 D的
对应点为 H，连接 CF交 EG于点 O，若 AB＝3，则 S△FOG的取值范围是 ；
（5）如图⑤，连接 DE，将△DEC沿 DE折叠，点 C的对应点为 F，延长 EF，若 EF的延长线恰好经过点 A，
√2
tan∠FDC= ，则矩形 ABCD的面积为 ；
4
（6）如图⑥，连接 DE，将△DEC沿 DE折叠，点 C的对应点为 F，若 EF交 AD于点 G，则 FG，BE，AG之
间的数量关系为 ；
（7）如图⑦，E为 BC的中点，点 P为 AD上一点，将矩形 ABCD沿 PE折叠，点 C的对应点为 F，点 D的对
3√2
应点为 D'，将△ABE沿 AE折叠，点 B恰好落在点 F处，若 AB= ，则 PD的长为 ．
2
设计意图：
巩固对矩形折叠性质的理解，熟练掌握角度、面积及线段问题的解题方法。培养学生独立思考、分析问题和
解决问题的能力，提升数学核心素养。
五：板书设计：
探线段
设计意图：板书设计采用思维导图的形式，清晰呈现了矩形折叠问题专题的知识体系。
六、课后反思
本次专题复习“矩形中的折叠问题”，整体教学效果达到了预期目标，学生在理解折叠本质、运用性质解
决问题方面取得了显著进步。
教学亮点：
通过老师现场折叠矩形纸片，学生们直观感受了折叠的轴对称特性，对折叠的“对应边相等、对应角相
等”等性质有了深刻的理解。例如，当我在课堂上提问“折叠前后，点 D 和点 F 有什么关系”时，很多学生都
能迅速指出它们是对称点，这为后续知识点的展开奠定了良好的基础。
在“探角度”和“探面积”模块中，我采用了层层递进的问题链引导学生思考。例如，在分析例 3 求面积问
题时，我先引导学生思考“折叠后△AFC 和△ADC 有什么关系？AE 和 CE 相等吗？”，通过对全等和等腰三角
形的判断，自然地引出了设未知数、列方程的思路，学生们在我的引导下，独立找到了通过勾股定理建立方
程的关键，这使得解题过程不再是简单的套用公式，而是深入的思维探究。
在整个教学过程中，始终强调将几何问题转化为代数问题，通过设未知数、列方程来解决。在解决例 4
时，有学生一开始卡在如何求 BF 的长度上，我引导他们思考：“如果设 AE=x，那么 DE、EF、BF 如何用 x
表示？有没有直角三角形可以用勾股定理？”经过点拨，学生们成功在 Rt△AEF 中列出方程，解决了问题，充
分体现了方程思想在几何解题中的强大作用。
反思不足：
在“探线段”模块中，虽然我通过动态演示和几何原理的讲解，试图帮助学生理解，但在巩固练习中，部
分学生在面对巩固练习 7 这类综合性较强的最值问题时，仍然表现出一定的困惑，特别是如何准确判断动点
轨迹和运用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”原理时，思路不够清晰。例如，在处理巩固练习 7(5)中 EF 的
延长线恰好过点 A 的条件时，很多学生未能将其转化为点 A、F、E 三点共线，进而利用相似三角形或坐标
法进行求解，说明学生对动态几何问题的分析能力和转化思想的灵活运用仍需加强。
在实际操作环节，虽然大部分学生能初步画出折叠后的图形，但对于复杂折叠图形中新增的辅助线和隐
含的垂直平行关系，部分学生在画图时仍不够准确，这直接影响了他们对图形数量关系和位置关系的判断。
对于一些空间想象力较弱的学生来说仍然是一个挑战。
虽然鼓励了小组讨论和交流，但在某些环节，学生的讨论还停留在表面，未能深入探讨多种解题途径和
策略，教师引导的深度和广度仍有提升空间。
教学改进措施：
在后续的教学中，我会增加更多不同情境下的动点问题变式训练，特别是结合生活实例，让学生体会最
值问题在实际生活中的应用。同时，我会更详细地讲解如何通过建立坐标系来解决动态几何中的最值问题，
提供更多的解题工具。
我会设计专门的画图练习，要求学生在画折叠图形时，不仅要画出折叠后的图形，还要标注出折叠前后
的对应点、对应线段和对应角，并用不同颜色的笔标示出辅助线，帮助他们规范作图，从而更清晰地分析图
形关系。可以利用几何画板等工具进行示范，让学生模仿。
在未来的课堂中，我会为小组讨论设置更具探究性的任务，并明确讨论目标，引导学生深入思考问题的
本质，鼓励他们提出不同的解题思路并进行比较分析。我也会更多地参与到小组讨论中，进行精准点拨，确
保学生在讨论中有所收获。
针对在最值问题和复杂图形绘制上有困难的学生，我会进行课后个性化辅导，提供额外的练习和指导，
帮助他们逐步突破学习难点。

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