资源简介

罗湖区新质课堂教学设计
（初中学段数学学科）
课前：教学要素
主题 2026 年中考复习专题《四边形中对角互补解题探究》
授课教师 黄诗蕴 年级 九年级 课型 复习课
掌握四边形对角互补模型的基本特征，会用作垂线、旋转、四点共
内容
圆三种常用辅助线策略解决几何综合题；能在 90°、120°、任意
要求
课 角三种对角互补模型中迁移全等、相似、勾股定理等知识
标 从图形变化视角提炼模型，借助轴对称、旋转变换拆解结构；强调
教学
分 “条件 — 模型 — 辅助线 — 结论” 的解题链条；突出模型识别
提示
析 与方法迁移
学业 能快速识别对角互补模型；能选择合适辅助线完成证明与计算；能
要求 在综合题中整合模型、逻辑清晰地表达推理过程。
单 本节课为中考几何高频专题，对角互补模型是四边形压轴题的核心
元 载体，常与正方形、菱形、等腰三角形、圆等综合考查。教材中分
导 散在全等、旋转、特殊四边形、圆等章节，本节课将零散模型系统
引 教材分析 化，提炼三类基本图形（90°、120°、任意角），归纳统一解题口
诀与步骤，帮助学生突破 “不会看图、不会添线、找不到全等” 的
难点。
已有基础：学生掌握全等、相似、特殊四边形性质，会基础辅助线
（垂线、延长、截取）。
主要困难：看到对角互补 + 邻边相等无思路；不会从角互补联想作
学情分析
双垂、旋转、四点共圆；模型迁移能力弱，换图形就卡壳。
学习优势：对几何模型有好奇心，愿意通过口诀、图形化方法突破
难点；具备一定例题模仿与变式练习能力。
经历 “模型识别 — 辅助线构造 — 全等 / 相似证明 — 结论应
用” 的探究过程，提升几何直观、逻辑推理与模型迁移能力。理解
教学目标 对角互补四边形定义；掌握 90°、120°、任意角三类对角互补模
（或学习目标） 型的条件、结论与辅助线；能独立完成典型例题与变式练习。消除
几何压轴题畏难情绪，体会模型化思想的简洁性，增强中考备考信
心；培养严谨的推理习惯与合作探究意识。
重点：三类对角互补模型的识别、辅助线作法与核心结论；“对角
互补→作双垂 / 旋转 / 四点共圆” 的解题逻辑。难点：复杂图形
重点难点
中模型剥离；旋转辅助线的构造逻辑；任意角对角互补模型的相似
转化与四点共圆应用。
教学方法 基于情境、问题导向的 探究式 启发式 体验式 互动式
（打√） 其它
“学-思-创”新质课堂（做中学-学中思-思中创），培养学习力、
教学框架
思考力和创新力等。教学过程包括目标、情境、问题、任务、支架、
（推荐）
评价六要素。
支撑要素 问题链 任务单 学习单 “师-生-机”协同大模型智能体 AI
（打√） 助教 AI 伴学 视频 题库 教育云平台，其它要素
阶段性与总结性相结合“N+1”全流程评价：“N”指N个教学环节之
全流程评价
间的阶段性小结，起到梳理转乘与启发思维的效果。“1”指课堂总
（推荐）
学 结，起到启发兴趣与启发思维的效果。
习
N（过程性评价）：情境导入（模型识别）、探究展示（辅助线构造）、
评
新知建构（结论归纳）、学以致用（变式练习）四环节即时评价，含
价
评价方式 课堂提问、小组展示、练习反馈。
1（总结性评价）：课堂总结（知识 + 逻辑 + 素养）与当堂小测，
评价模型掌握程度与解题规范性。
课中：教学过程
一、模块一：四边形中含 90°对角互补模型
1、例题感知
例 1：【2025 秋 吉安县期末】
【问题初探】如图 1，课后习题课上，刘同学把一个足够大的三角板 GEF 放在正方形 ABCD
上，使三角板的直角顶点 E与正方形 ABCD 的顶点 A重合．三角板的一边交边 CD 于点 F，
另一边交 CB的延长线于点 G，求证：EF＝EG．
（1）刘同学认为通过证明△EGB 与△EFD 全等，可证 EF＝EG．请你帮助刘同学完成这个
证明；
【类比分析】（2）如图 2，刘同学移动三角板，使顶点 E始终在正方形 ABCD 的对角线
AC 上，其他条件不变．你认为 EF＝EG 是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，
请说明理由；
【学以致用】（3）如图 3，刘同学将“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”，且使三角板
EF
的一边经过点 B，其他条件不变，若 AB＝a，BC＝b，求 的值（用含有 a，b的代数式
EG
表示）．
例 2：【2026 元宝区校级模拟】

如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°， = ，CD⊥AB于点 D，点 E是直线 AC上一

动点，连接 DE，过点 D作 FD⊥ED，交直线 BC于点 F．
1 1 m n E AC （ ）如图 ，若 ＝ ，点 在线段 上，求出 的值，并写出证明过程；

（2）①如图 2，若点 E AC 在线段 上，则 = （用含 m，n的

代数式表示）；
②当点 E在直线 AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图 3的情形给出证
明；
（3）若 = 5， = 2 5， = 4 2，请直接写出 CE的长．
正方形模型应用正方形 ABCD，E 在对角线 AC 上，EF⊥AE 交 BC 于 F，证 EF=EG（变
式）。
学生活动：小组讨论→口述辅助线→板演证明。
教师支架：对角互补 + 邻边相等→旋转 / 双垂。
2. 痛点共鸣
学生自由发言，教师总结共性问题：没思路、不会添线、找不到全等。引出课题：四边
形对角互补模型 —— 中考几何得分密码。
3. 模型定义
对角互补四边形：一组对角和为 180°的四边形。核心特征：对角互补 + 邻边相等（高
频考法）。
4.小结梳理
对角互补是条件，邻边相等是关键；解题三口诀：
对角互补，作双垂，全等立现！
对角互补，等线段，旋转全等立现！
对角互补，四点共圆！
5.设计意图
以真题痛点激发需求，明确定义与口诀，快速聚焦模型核心，消除畏难情绪。
二、模块二：四边形中含 60°或 120°对角互补模型
1、例题感知
例 1:【23-24·湖北咸宁·期中】
【问题提出】（1）如图 1，在四边形 ABCD中， BAD 60 ， BCD 120 ，AB AD，
连接 AC．试探究 BC、CD、 AC之间的数量关系．
小明的思路是：他发现 BAD和 BCD互补，推得 B ADC 180 ，于是想到延长CD到
点 E，使DE BC，连接 AE．从而得到 B ADE，然后证明 ADE≌ ABC，不难得
到 BC、CD、 AC之间的数量关系是______；
【问题变式】（2）如图 2，四边形 ABCD中， BAD 120 ， BCD 60 ， AB AD，
连接 AC，若 AC 2 3，求四边形 ABCD的面积．（直接写出结果）
例 2：【2024·吉林长春·模拟预测】
在菱形 ABCD中，P是对角线 AC上一点．
【感知】如图①，过点 P作 ⊥ 交 BC 于点M，作 ⊥ 交 CD于 N，易
证 = ．（不需要证明）
【应用】如图②，∠ = 120 ，∠ + ∠ = 180 ，∠EPF的两边分别交边 BC、
CD于点 E、F（E、F不与荾形顶点重合），连结 EF．
（1）判断△ 的形状，并说明理由；
（2）若 PC=2AP，则△ 面积最小值时，△ 与△ABC的面积之比为______．
【拓展】如图②， BCD 120 ，∠ + ∠ = 180 ，∠EPF的两边分别交边 BC、
49
CD于点 E、F（E、F不与荾形顶点重合），连结 EF，当 AC=10，PC=8，且 =
菱形 200
时，线段 CE的长为______．
2.小结梳理
90° 1模型：双垂线→全等 / 相似，结论含 2、 面积。
2
120° 模型：旋转 60°→等边 + 全等，结论含 3、线段和差。
核心逻辑：角互补→角相等→全等 / 相似；边相等→旋转构造。
3.设计意图
分类探究 90°、120° 高频模型，从条件、辅助线、结论三方面拆解；通过例
题落实方法，培养模型识别与辅助线构造能力。
三、模块三：四边形中含 α对 180°-α对角互补模型
1、例题感知
例 1：（2022 春 青秀区校级期末）
如图，在四边形 ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点 E、F分别在射线 CB、
DC 上，且∠ = 1∠ ，当 BC＝4，DC＝7，CF＝1 时，则△CEF 的周长等
2
于 ．
例 2：（2026 光明区二模）
我们把对角互补且存在一组对边相等的四边形称为对等补四边形，此时该四边形的另一
组对边平行．
例如图 1所示，若∠A+∠C＝180°，AB＝CD，则称四边形 ABCD为对等补四边形，
且有 AD∥BC．
（1）以下图形属于对等补四边形的有 （填序号）；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
（2）如图 2，四边形 ABCD为对等补四边形（AB＝CD），小明发现当∠A＝90°时，
四边形 ABCD恰好为矩形，请你帮他证明这一结论；
（3）如图 3，四边形 ABCD为对等补四边形，AB＝CD＝5，BC＝11，对角线 AC平
分角∠BCD，求线段 AC的长度；
（4）在问题（3）的条件下，平面内存在点 E使得四边形 ABEC为对等补四边形，
线段 DE与线段 AC交于点 Q，请直接写出线段 DQ的长．
2.小结梳理
三类模型统一解题逻辑：
看角：对角互补→优先作双垂、证相似；或四点共圆、导角。
看边：邻边相等→优先旋转、证全等。
记口诀：互补双垂，等线旋转，共圆导角。
3.设计意图
从特殊角上升到任意角，归纳通用辅助线策略，构建完整模型体系；培养学生从
特殊到一般的思维，提升模型迁移能力。
五、课堂总结
知识线索：对角互补四边形定义→90° 模型→120° 模型→任意角模型→三类辅助
线策略。
逻辑线索：条件识别→模型匹配→辅助线构造→全等 / 相似证明→结论应用。
素养线索：几何直观、逻辑推理、模型思想、迁移应用、严谨表达。
六、作业布置
模块一：四边形中含 90°对角互补模型
1、（2021秋 海口期末）如图，O为矩形 ABCD的中心，∠MON＝90°，∠MON绕点
O旋转，它的两边分与 AB、BC交于 E、F．若 AB＝4，AD＝6，OE＝y，OF＝x，则
y与 x的关系是（ ）
A．y＝x B．y= 6 C y= 2． x D．y= 3x
3 2
2．（2025春 张店区校级期中）如图，正方形 ABCD中，E是对角线 BD上一点，连接
AE，过点 E作 EF⊥AE，交边 BC于点 F．若 AB＝4，FE＝FC，则 DE＝
3．（2025 河北模拟）如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，Rt△MPN，
∠MPN＝90°，点 P在 AC上，PM交 AB与点 E，PN交 BC与点 F，当 PE＝2PF时，
AP＝ ．
4、（2025 呼和浩特二模）问题背景
问题 1如下：如图，正方形 ABCD的对角线相交于点 O，点（又是正方形 A1B1C1O的一
个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形 A1B1C1O绕点 O怎样转动、两个
1
正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 想一想，这是为什么．（此问题不
4
需要作答）
类比探究：将正方形 A1B1C1O沿 OB方向平移．
【实验猜想】
将点 O平移到 OB的中点 P时，如图 2，PM⊥DC于点M，PN⊥BC于点 N，请你猜想

并直接写出 的值．

【拓展运用】

将点 O平移到线段 OB上的任意点 P（不与 O，B重合）时，记 = ．


（1）如图 3，求证： = ；

（2）如图 4，点 F在边 BC上（不与 C，B重合），连接 FP并延长与 BA的延长线交
于点 Q，当 BQ＝4BF且∠FPC＝45°时，求 k的值．
模块二：四边形中含 60°或 120°对角互补模型
1、如图，△ABC是边长为 4的等边三角形，D是 BC的中点，E、F分别是 AB、AC边
上的点，且∠EDF＝120°，BE+CF＝
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点 D为 BC边的中点，∠EDP分别交 AB、AC边于
点 E、F，且∠EDF+∠A＝180°．其中∠A＝60°，作∠EDF的角平分线 DQ，交 AC
于点 P，交 BA的延长线于点 Q（如图 3），若 BE＝2，CF＝1，线段 PQ的长为___________
3、在菱形 ABCD中，∠C＝60°，点 E在边 BC上，连接 AE，点 F在线段 AE上，且
AF＝AB，点 G在 AB边上，连接 DF，FG，使∠DFG＝120°，若 AG＝6，EF＝2，菱
形 ABCD的边长____________．
4、【2021 商丘三模】
在菱形 ABCD中，∠A＝60°．
问题提出：（1）如图 1，点 P为对角线 BD的中点，射线 PE交 AB于点M，绕点 P将
射线 PE逆时针旋转 60°得到射线 PF，交射线 BC于点 N，则 PM与 PN的数量关系
为 ，线段MB，NB，PB的数量关系为 ．
深入探究：（2）如图 2，若点 P为射线 BD上一点，且 BD＝2PD，射线 PE交 AB延长
线于点M，绕点 P将射线 PE逆时针旋转 60°得到射线 PF，交 BC延长线于点 N，（1）
的结论是否成立，请说明理由；
拓展延伸：（3）如图 3，菱形 ABCD对角线的交点为点 O，点 P在线段 OB上，射线
PE交直线 AB于点M，绕点 P将射线 PE逆时针旋转 60°得到射线 PF，交直线 BC于
点 N，若 AD＝6，AP＝2 7，当 BN＝1时，请直接写出 AM的值．
模块三：四边形中含 α对 180°-α对角互补模型
1.如图，已知四边形 ABCD的对角互补，且∠BAC＝∠DAC，AB＝15，AD＝12．过顶
C CE AB E 点 作 ⊥ 于 ，则 的值为（ ）

A．9 B． 73 C．7.2 D．6
2 3、如图，点 O是四边形 ABCD对角线 AC、BD的交点，∠BAD与∠ACB互补， = ，
5
AD＝6，AB＝7，AC＝5，则 BC的长为 ．
3．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点 F，∠AED和∠AGD互补，若 S△ADG
＝40，S△AED＝22，则△EDF的面积为 ．
4．（2025 罗湖区校级模拟）我们定义：有两条边相等，一组对角互补的四边形称为“奇
妙”四边形，其中相等的这组边称为“奇妙”边．
（1）下列选项中一定是“奇妙”四边形的是 .（填写序号）
①平行四边形②矩形③菱形④正方形
（2）如图，在四边形 ABCD中，DB平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，请说明四边形 ABCD
是“奇妙”四边形：
（3）已知在“奇妙”四边形 ABCD中，“奇妙”边为两相邻边，其中一条“奇妙”边 = 3，
对角线 BD= 6，∠ADC＝60°，求该“奇妙”四边形的周长．
七、板书设计
课后：教学反思
亮点：模型分类清晰，口诀简洁易记；动态演示 + 分层练习，学生参与度高；痛点直
击，有效消除畏难情绪。
不足：部分学生对旋转辅助线构造逻辑理解不深；任意角模型的四点共圆应用不够熟练；
课堂时间紧张，提升题讲解不够充分。
改进措施：课后增加旋转模型微课；补充四点共圆专项练习；下次课预留更多时间进行
错题精讲与方法总结，强化模型迁移能力。

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