资源简介

二次函数综合题探究·教学设计
翠园东晓中学 丰婷
教学目标
1. 掌握二次函数核心性质，理解新定义函数题型，能建立函数模型解决生活实际综合问题。
2. 通过分层探究、合作交流，体会数形结合、转化建模的数学思想，提升综合解题探究能力。
3. 增强攻克二次函数综合题的信心，感受数学的应用性，养成主动探究、严谨思考的学习习惯。
教学过程
【模块一】二次函数性质探究
1．综合与实践
在学习完二次函数后，创新学习小组对一个二次函数C1：y＝x2﹣2kx+2k+3的顶点特征展开了如下探究：
（1）①列表：填写表格，表格中的a与b的值分别是a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ；
k的值 … k＝﹣1 k＝0 k＝1 k＝2 k＝3 …
C1的顶点横坐标 … ﹣1 a 1 2 3 …
C1的顶点纵坐标 … 0 3 4 b 0 …
②描点：随着k取不同值，请将C1的顶点描在下面的平面直角坐标系中；
③连线：用光滑的曲线顺次连接各点；
（2）①猜想：随着k取不同值，y＝x2﹣2kx+2k+3的顶点形成的图象C2的表达式是 　 　 ；
②请验证你的猜想；
（3）若抛物线C1与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0）（x1＜x2），请求出x1的取值范围．
本题主要考查学生对二次函数的图象与性质理解，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质．
【模块二】新定义函数
2．综合与探究
【定义】对于y关于x的函数，函数在x1≤x≤x2（x1＜x2）范围内有最大值m和最小值n，则m﹣n称为极差值，记作R[x1，x2]＝m﹣n．
【示例】如图（a），根据函数y＝2x的图象可知，在﹣1≤x≤2范围内，该函数的最大值是4，最小值为﹣2，即R[﹣1，2]＝4﹣（﹣2）＝6．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）直接写出反比例函数的R[1，3]的值为　 　 ；
（2）已知二次函数y＝x2+bx+5的图象经过点（2，﹣3）．
①求该函数的表达式；
②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象；
③求该函数的R[﹣1，4]的值．
（3）已知函数y1＝kx（k＞0），函数的图象经过点（0，0），且两个函数的相等，求k的值．
本题为二次函数综合运用，涉及到新定义、函数作图、函数的图象和性质等，分类求解是解题的关键．
【模块三】二次函数综合应用
3．综合与应用
如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点A（0，10）起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系．
（1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表：
水平距离x（m） 0 1 1.5
竖直高度y（m） 10 10 6.25
根据上述数据，求出y关于x的关系式；
（2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长；
（3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k（m），从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h（m）与时间t（s）之间满足h＝﹣5t2+k．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作．
问题解决：
①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y（m）与水平距离x（m）的关系为y＝ax2﹣ax+10（a＜0），若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是 　 　 ．
本题考查了学生待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，本题的关键是理清题目条件，熟练运用二次函数的性质解题．
巩固练习
1．定义：在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象关于直线x＝n（n为常数）对称，我们称这个函数为“H（n）函数”．“H（n）函数”满足以下性质：
①若点（x，y）在函数图象上，则点（2n﹣x，y）也在这个函数图象上；
②点（x，y）与点（2n﹣x，y）称为一对对应点，对应点的连线段称为对称弦．
例如：函数y＝x2的图象关于直线x＝0（y轴）对称，则称它是“H（0）函数”，若A（2，4）在它的图象上，则A'（﹣2，4）也在它的图象上，线段AA'为它的一条对称弦．
（1）在下列关于x的函数中，是“H（n）函数”的是 　 　 （填序号）；
①；②y＝|x|；③y＝x2﹣2x﹣3．
（2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“H（2）函数”，则
①h＝ 　 　 ；
②请用描点法在平面直角坐标系下作出y＝|x﹣h|的图象．
第一步：列表如下：
x ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 4 6 8
y 8 6 4 2 0 2 4 6
第二步：请在平面直角坐标系下完成余下作图步骤，并描述函数y＝|x﹣h|的增减性 　 　 ；
③函数y＝|x﹣h|与（m为常数，m＞0）相交于A（xA，yA）、B（xB，yB）两点，A在B的左边，xB﹣xA＝6，求m的值；
（3）已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）是“H（4）函数”，试判断该函数在2≤x≤5内是否存在长度为3的对称弦？直接写出你的判断 　 　 （填“存在”或“不存在”）．
本题考查学生二次函数的综合应用，主要考查新定义函数的理解，反比例函数、一次函数及二次函数的性质，理解题意，熟练掌握运用这些函数的性质是解题关键．
2．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉安全通道？在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）．
素材1 图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．
素材2 图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为OM＝4m，水柱最高点离地面3m．图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．OA为喷水管，B为水的落地点，记OB长度为喷泉跨度．
素材3 安全通道CD在线段OB上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入CD上方的矩形区域，则称这个矩形区域CDEF为安全区域．
问题解决
任务1 确定喷泉形状 在图2中，以O为原点，OM所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式．
任务2 确定喷泉跨度的最小值 若喷水管OA最高可伸长到2.25m，求出喷泉跨度OB的最小值．
任务3 设计通道位置及儿童的身高上限 现在需要一条宽为2m的安全通道CD，为了确保进入安全通道CD上的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人的最大身高为多少？（精确到0.1m）
本题考查学生二次函数的知识，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是解题的关键．
3．【概念理解】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数是y＝x﹣1，它的相关函数为y＝．
【尝试解决】
已知二次函数y＝x2﹣4x﹣2，请回答下列问题：
（1）这个二次函数的相关函数为y＝；
（2）当B（m，﹣3）在这个二次函数的相关函数的图象上时，求m的值；
【灵活应用】
（3）当﹣1≤x≤5时，求这个二次函数的相关函数的最小值是 　 　 ；
（4）当直线y＝﹣x+b与该二次函数的相关函数的图象只有两个交点时，b的取值范围是 　 　 ．（直接写出答案）
本题考查学生二次函数图象与性质，涉及新定义函数、已知函数值求自变量、函数作图、函数图象平移、函数最值及函数图象的交点等知识，读懂题意，理解相关函数定义并利用数形结合求解是解决问题的关键．
教学反思
本节课围绕二次函数综合题探究展开，以性质回顾、新定义解读、实际应用三大模块为核心，完成了预设教学目标。课堂上通过例题精讲、小组探究、互动答疑等环节，引导学生夯实二次函数核心性质，掌握新定义函数的转化解题思路，学会建立函数模型解决实际问题，有效落实了数形结合、数学建模等数学思想的渗透。
学生课堂参与度较高，能主动思考、积极交流解题思路，逐步突破综合题解题难点，对知识的迁移运用与逻辑推理能力得到锻炼，但仍有部分学生在复杂综合题的审题、条件转化上存在不足，解题规范性也需进一步强化。
后续教学中，将针对学生薄弱环节加强针对性训练，优化课堂探究节奏，注重解题思路的梳理与方法总结，帮助学生进一步提升二次函数综合题的解题能力，夯实数学核心素养
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