资源简介

《图形的旋转——几何综合题突破》教学设计
一、基本信息
授课学科：初中数学
授课年级：九年级（中考复习阶段）
课时安排：2 课时（90 分钟，可拆分 2 节 45 分钟常规课）
授课类型：中考专题复习课
教学内容：图形旋转三大经典模型（手拉手、半角、对角互补）及几何综合题解题突破
二、教学目标
（一）知识与技能
理解图形旋转的基本性质：旋转前后图形全等，只改变位置，不改变形状、大小。
熟练掌握手拉手模型、半角模型、对角互补模型的结构特征、条件与常用结论。
能识别综合题中的旋转模型，运用旋转构造全等 / 相似，解决线段长度、最值、角度、面积等中考高频题型。
（二）过程与方法
通过模型梳理、典例剖析、分层练习，培养学生识图建模、构造辅助线、转化线段 / 角度的几何思维。
经历 “识别模型 — 旋转构造 — 推理计算” 的解题流程，提升几何综合分析与逻辑推理能力。
结合隐圆、最值、函数等知识，体会几何知识融合的解题思路。
（三）情感态度与价值观
破除学生对几何综合题的畏难情绪，感受旋转 “化分散为集中” 的几何魅力。
培养严谨的解题习惯、合作探究意识，树立中考备考信心。
三、教学重难点
重点：三大旋转模型的识别、结论运用，利用旋转构造全等 / 相似解题。
难点：复杂综合题中主动构造旋转辅助线；旋转结合隐圆、最值、动态点问题的综合分析。
四、教学准备
教具：PPT 课件、几何画板（动态演示图形旋转过程）、学习单（原文自主学习单）。
预习任务：学生提前浏览学习单，回忆旋转基本性质。
五、教学方法
讲授法、模型归纳法、典例精讲法、小组合作探究法、讲练结合法。
六、教学过程
第一课时：旋转基础模型 + 手拉手模型综合突破（45 分钟）
（一）课堂导入（5 分钟）
设问引入：中考几何压轴题常出现图形旋转，大家知道旋转的核心性质是什么？旋转在解题中最大的作用是什么？
教师总结：旋转保全等、保边长、保角度，核心作用是平移、集中分散的线段和角，是连接全等、相似、隐圆的核心工具。
板书课题：图形的旋转 —— 几何综合题突破，明确本节课复习方向：三大经典模型 + 中考题型突破。
（二）知识技能梳理：旋转基础与三大模型（10 分钟）
结合学习单内容，师生共同梳理，配合几何画板动态演示图形：
旋转基本定义与性质
定点为旋转中心，定角为旋转角；旋转前后图形全等，所有对应点绕中心做同心圆运动。
三大核心模型精讲（结合图形标注条件、结论）
手拉手模型（共顶点旋转）
条件：共顶点、顶角相等、对应边成比例；
结论：出新相似 / 全等三角形、线段比等于相似比、夹角等于原顶角、角平分线结论。
核心用法：共顶点等腰 / 相似三角形，优先考虑手拉手旋转。
半角模型
常见载体：正方形、等腰三角形；条件：大角是小角的 2 倍；
核心思路：旋转将两条分散线段拼接，转化到同一个三角形中。
对角互补模型
条件：邻边相等 + 对角互补；结论：可旋转构造全等三角形，知二推一。
即时小结：三大模型是中考旋转题的 “题眼”，做题第一步先识别模型。
（三）模块一：手拉手模型 —— 典例剖析 + 实战练习（25 分钟）
1. 典例精讲（15 分钟）
例题 1：等腰 Rt△ABC，∠BAC=90°，∠ADB=45°，BD=4，，求 AD 长。
师生共同分析：
识别图形：等腰直角三角形（共顶点等线段），符合手拉手旋转特征；
辅助线思路：以 A 为旋转中心，将△ABD 逆时针旋转 90°，构造全等三角形；
逐步推导角度、线段关系，结合勾股定理列方程计算。
教师板书完整解题步骤，强调：旋转中心、旋转方向、旋转角度的选择依据。
2. 实践练习（10 分钟）
选用2025 深圳中考真题（矩形 + 旋转题型），学生独立完成，小组互查。
学生自主解题，教师巡视，针对识图、辅助线问题个别指导；
抽取学生分享解题思路，教师点评易错点：旋转前后线段相等、中点条件的转化。
（四）课堂小结 + 作业布置（5 分钟）
小结：手拉手模型解题三步法：①找共顶点等线段 ②确定旋转方向与角度 ③利用全等 / 勾股计算。
作业：整理本课时例题解题步骤，预习旋转相似综合题型。
第二课时：旋转相似、半角 & 隐圆综合 + 压轴题突破（45 分钟）
（一）复习回顾（3 分钟）
提问：手拉手模型的核心特征是什么？旋转的核心作用？快速回顾上节课内容，衔接新知。
（二）模块二：旋转相似综合 + 最值问题（18 分钟）
本模块聚焦旋转 + 相似 + 线段最值（中考高频压轴题型），共 3 道例题，分层讲解：
例题 1（旋转相似 + 隐圆求最值）
△ABC 绕点 A 旋转得△ADE，连接 DB、EC 交于 F，求 AF 最大值。
分析：旋转得相似三角形，推导角度不变，判定点 F 在定圆上运动（隐圆）；
解题关键：圆外一点到圆上点的最值 —— 直径为最长线段，结合圆的性质求解。
教师重点讲解：动态点找轨迹（隐圆） 的判断方法。
例题 2（正方形 + 旋转 + 最短路径）
正方形边长为 2，P 在对角线 BD 上：
(1) 求最小值；(2) 求最小值。
第 (1) 问：利用正方形对称性直接求解；
第 (2) 问：讲解费马点模型，通过旋转 60° 转化三条线段，化折为直求最短路径。
小组讨论：旋转角度为什么选 60°？总结多条线段和最值的旋转技巧。
例题 3（动态等腰直角三角形 + 线段最值）
正方形 + 动点 E + 等腰 Rt△AEF，求 PN 最大值。
学生独立思考，教师引导：结合旋转证全等、转化垂线段，利用动点范围求最值。
（三）模块三：半角模型 & 隐圆综合压轴题（20 分钟）
结合学习单两道综合大题，分题型突破，侧重逻辑推理与分类讨论：
1. 题型 1：正方形嵌套正方形 + 半角综合题（三小问）
已知正方形 ABCD、DEFG，求证垂直、求线段比值、判断线段存在性。
(1) 证明：利用旋转证三角形全等，推导角度垂直；
(2) 已知正切值，求线段比：结合半角模型、相似三角形、三角函数求解；
(3) 探究 EM 能否为：利用勾股定理 + 取值范围，反证法判断，强调分类讨论思想。
2. 题型 2：坐标系 + 角平分线 + 反比例函数 + 面积最值
平面直角坐标系中，△AOB 外角平分线、反比例函数结合，分三问：求角度与坐标、三角形面积、面积最大值。
融合知识点：角平分线性质、旋转构造全等、反比例函数 k 的几何意义、二次函数求最值；
教师点拨：坐标系中的旋转，可结合坐标变换分析线段与角度。
3. 题型 3：四边形 + 半角模型 + 面积最值
四边形，求△AEF 面积最小值、△CEF 面积最大值。
模型识别：典型半角模型，以 A 为中心旋转△ADF，拼接线段；
思路：旋转构造全等，将面积问题转化为二次函数最值问题。
（四）整体课堂总结（3 分钟）
三大旋转模型适用场景：
共顶点等腰 / 相似→手拉手；
大角含半角（正方形、等腰三角形）→半角模型；
邻边相等 + 对角互补→对角互补模型。
综合题通用解题流程：识图辨模型→作旋转辅助线→证全等 / 相似→结合勾股、函数、圆计算。
中考备考提醒：旋转题常融合隐圆、最值、动态点、三角函数，注重知识综合运用。
（五）课后作业（1 分钟）
完成学习单所有剩余习题，标注每道题对应的旋转模型；
整理错题，归纳 “旋转辅助线” 常见画法；
选做 1 道本地历年中考旋转压轴题，强化训练。
七、板书设计
图形的旋转 —— 几何综合题突破
一、旋转性质
旋转→图形全等，保边长、角度，集中线段 / 角
二、三大核心模型
手拉手：共顶点、顶角相等→证相似 / 全等
半角模型：大角 = 2 倍小角→旋转拼接线段
对角互补：邻边相等 + 对角互补→构造全等
三、解题步骤
辨模型 → 定旋转（中心 / 角度）→ 证全等 / 相似 → 计算（勾股 / 圆 / 函数）
四、典型题型
线段长度计算
线段和最值（费马点、隐圆）
角度、垂直证明
面积最值问题
八、教学反思（课后填写）
学生是否能快速识别三大旋转模型？识图薄弱点集中在哪里？
辅助线构造是本节课难点，多数学生能否独立想到旋转思路？是否需要增加基础辅助线专项训练？
综合压轴题（隐圆、面积最值、坐标系结合）学生接受度如何，是否需要拆分知识点分步讲解？
课堂讲练时间分配是否合理，小组合作探究的效果是否达到预期？

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