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巧识手拉手模型，秒解相似与全等·自主学习单
深圳市桂园中学 张海芳
知识技能梳理
“手拉手”模型是深圳中考几何压轴题的热点题型，近五年深圳中考及模考中，该模型频繁出现，且考查趋势不断升级——不再局限于单一的全等证明，而是逐步向与相似、勾股定理、最值问题的综合应用转变，更倾向于考查“手拉手相似”（即旋转相似）。这类题目通常会有从复杂图形中抽离“手拉手模型”和添加辅助线构造“手拉手模型”两种考法。这类题往往会通过“中点”或其他线段构造第二层手拉手关系，对学生“图中找图”的模型识别能力提出了更高要求。通过本节课的梳理学习，助力学生掌握手拉手模型的核心技能，精准对接深圳中考考点，在二轮复习中实现高效提分，为中考几何冲刺奠定坚实基础。
学习过程
模块一：手拉手全等模型
【特征】：有公共顶点的两个等腰三角形，顶角相等.
因为顶点相连的四条边，形象的可以看做两双手，所以通常称为手拉手模型.
如图，已知等腰△OAB,OA=OB,等腰△OCD绕点O逆时针旋转，E 为AC、BD 的交点。
结论：①△OAC ≌ △OBD
②AC=BD （拉手线段相等）
③∠AEB=∠AOB （拉手线段所在直线的夹角=等腰三角形顶角）
④ 连接OE,则OE平分∠AED或OE平分∠AED 的补角
例1：已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将线段AD绕点A逆时针方向旋转60°（即∠DAE＝60°）得到AE，连接DE．
（1）如图1，猜想△ADE是什么三角形？
（2）如图2，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论．
例2：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD＝AC，点E在边BC上，连接DE与AC相交于点F，连接AE，∠DAC＝2∠BAE．记△CEF的面积为m，△ABE的面积为n，则△ADF的面积为 　 　 ．
【探究】：下面三类“手拉手”会得到哪些结论呢
①任意等腰三角形手拉手
②等边三角形手拉手
③等腰直角三角形手拉手(正方形手拉手等)
【模型推广】等边三角形手拉手全等和等腰直角三角形手拉手全等
1、等边三角形手拉手全等
结论：①△OAC ≌ △OBD
②AC=BD （拉手线段相等）
③∠AEB=∠AOB = 60°
④ 连接OE,则OE平分∠AED 或OE平分∠AED的补角
等腰直角三角形手拉手全等
结论： ①△OAC ≌ △OBD
②AC=BD （拉手线段相等）
③∠AEB=∠AOB = 90°
④ 连接OE,则OE平分∠AED 或 OE平分∠AED的补角
【模型推广】正方形手拉手全等
结论：
①△AGD ≌ △AEB
②DG=BE
③BE⊥DG
模块二：手拉手相似模型
【特征】有公共顶点的两个三角形，公共顶角相等，顶角两边对应成比例。
如图，在△OAB中,CD∥AB，△OCD绕点O逆时针旋转，E为直线AC和直线BD 的交点。
结论：①△OAC ∽△OBD
②
③∠AEB=∠AOB
例1：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,D是BC上的一点，E是AC上的一点，且DC=DE,将△DEC绕着点C逆时针旋转至如图所示，连接AE，BD相交于点F，则∠BFE的度数为___.
例2：[问题背景]
（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．
[尝试应用]
（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求①＝　 ．②的值．
[拓展延伸]
（3）如图③，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，，直接写出AD的长 　 ．
【模型推广】长方形手拉手相似
①△AGD ∽ △AEB
②
③BE⊥DG
模块三：手拉手模型核心方法与拓展应用
【特征】左手拉右手，右手拉左手，称为“反向手拉手”模型。
如图，在等腰三角形ABC和等腰三角形ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BE，CD.
思路点拨：将“反向手拉手”模型转化为“手拉手”模型.
方法如下:作出△ABC关于AC对称的△AB'C，连接EB'. 证明△AB'E≌△ACD
例1:如图,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,连接BE 和CD,点O是BE的中点,连接AO,若AO=1,求CD的长度.
例2:如图1，在正方形ABCD中，点G是边BC上一点，以CG为边作正方形CEFG，连接AF，DG．
（1）的值是 　　 ，直线DG，AF所夹锐角的度数是 　　 ．
（2）如图2，正方形CEFG绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由．
模块一巩固练习
1、（识别手拉手全等）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，△AP′C是由△BPC绕着点C旋转得到的，PA＝，PB＝1，∠BPC＝135°．则PC＝　 　．
2、（构造手拉手全等）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为线段AC上除A，C外的任意一点，若点D为△ABC外一点，且∠ADB＝45°，判断BD，DC的位置关系．
3、（构造手拉手全等）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝12，以AC为腰，点A为顶点作等腰△ACD，且∠DAC＝120°，则BD的长为　 　．
4、已知：△ABC是等边三角形，点O是直线BC上方的一点，连接AO，BO，CO，并且∠BOC＝60°．
（I）如图1，BO交AC于点M，若CO⊥BC，求证：∠CAO＝∠ACO；
（Ⅱ）如图2，CO交AB于点N，作AD⊥CO于点D，求的值．
模块二巩固练习
如图，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，AB=BC，AE=EF．若，求CF的长。
2、（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，填空：的值为 　 　 ；∠AMB的度数为 　 　 ．
（2）类比探究
如图2，在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝1，AD＝ED＝，DG＝3，连接AG，BF，求的值．
3、和中，，．
【初步感知】
（1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程）
【深入探究】
（2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
【迁移应用】
（3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长．
4、如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝12，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
【问题发现】①当α＝0°时，＝ 　　 ；②当α＝180°时，＝ 　　 ；
【拓展探究】试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
【问题解决】当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
模块三巩固练习
1、问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 　　 ．
探索：（1）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）如图②，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE交AC与点F，求CF的最大值；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．
2、 （1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD＝CE，②∠DCE＝120°；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；
②连接BE，若BE＝10，BC＝6，直接写出AE的长．
3、综合与实践
【问题呈现】
（1）如图①，和△ADE都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________．
（2）如图②，在△ABC中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，．
【类比探究】
①如图②，点在线段上时，求证：．
【拓展提升】
②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长．
4、如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）发现
当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，
①线段DG与BE之间的数量关系是　　 ；
②直线DG与直线BE之间的位置关系是　　 ．
（2）探究
如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG⊥BE．
（3）应用
在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，则线段DG是多少？（直接写出结论）

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