资源简介

21.2.3三角形的中位线
一、教学目标
1.掌握三角形中位线的概念及三角形中位线的定理；
2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.
二、教学重点及难点
重点：掌握三角形中位线的概念及三角形中位线的定理.
难点：能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题..
三、教学过程
【新知导入】
教师通过ppt展示平行四边形性质与判定之间的关系.
教师提出：前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等研究平行四边形的有关问题.下面利用平行四边形研究三角形的有关问题.
设计意图：由平行四边形的研究方法自然过渡到三角形相关问题，搭建新旧知识的联系，引出三角形中位线的新知探究.
【探究新知】
教师提出：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，则线段DE就称为△ABC的中位线.
归纳总结，学生做笔记.
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
教师提出：一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
学生同桌之间进行讨论，形成共识后教师选取学生代表进行回答.
有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF.
设计意图：通过定义讲解、动手画图与讨论，让学生明确三角形中位线的概念，认识中位线数量与位置，为后续探究性质奠定基础.
教师提出：三角形的中位线与中线有什么联系和区别？
学生积极回答，教师对学生回答进行提炼、归纳总结.
相同之处：都和边的中点有关；
不同之处：三角形中位线的两个端点都是边的中点；
三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形的顶点.
设计意图：通过对比辨析中位线与中线的异同，帮助学生清晰区分概念，避免混淆，加深对三角形中位线定义的理解.
教师提出：如图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？
度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？
学生猜想：DE//BC且DE=BC
教师引导学生对猜想进行验证.
如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点.
求证：DE//BC且DE=BC.
我们既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半.
教师引导学生进行分析，阐明解题思路.
如图，将DE延长一倍(得到点F)后，可以将证明DE//BC，且DE=BC转化为证明DF//BC，且DF=BC，而这只要证明以B，C，F，D为顶点的四边形是平行四边形，进而只要证明四边形ADCF是平行四边形.由于DE=EF，E是AC的中点，所以四边形ADCF是平行四边形可以利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明.
证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.
∵AE=CE，DE=EF，∴AD=CF，AD//CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又D是AB的中点，
∴BD=CF，BD//CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF=BC，DF//BC．
又DE=DF
∴DE//BC，DE=BC.
通过证明得出结论，归纳总结，学生做笔记.
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
符号语言：∵在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE//BC，DE=BC.
设计意图：通过观察猜想、思路引导、严谨证明，引导学生自主推导三角形中位线定理，体会转化与构造平行四边形的几何思想，培养逻辑推理能力，掌握定理内容与符号语言.
【知识拓展】
已知△ABC的面积是S，顺次连接各边中点E，G，F，所得的四个三角形面积各是多少？
学生猜想：S△AEF＝S△EBG＝S△FGC＝S△GFE＝S．
教师引导学生进行验证.
解：根据三角形的中位线定理知，
EF＝BC＝BG，AE＝AB＝EB，AF＝AC＝EG，
故△AEF≌△EBG，
同理，△AEF≌△FGC，△GFE≌△AEF．
所以，S△AEF＝S△EBG＝S△FGC＝S△GFE＝S．
设计意图：结合三角形中位线定理探究面积关系，巩固定理应用，渗透全等与中位线结合的几何思想，拓展思维深度.
如果△ABC三边的长分别为a，b，c，那么顺次连接各边中点E，G，F，所得的四个三角形周长分别是多少？
学生猜想：所得的四个三角形周长均是(a＋b＋c)
教师引导学生进行验证.
解：根据三角形的中位线定理知，EF＝a，EG＝b，GF＝c．
故△EGF的周长＝a＋b＋c＝(a＋b＋c)．
同理，其他三角形的周长也是(a＋b＋c)
设计意图：运用三角形中位线定理探究周长关系，将定理与周长计算结合，加深对定理的理解与应用，提升几何推理与计算能力.
【例题练习】
求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
教师提出：你有什么解题思路吗？
学生积极回答，教师提炼思路.
题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形.
证明：连接AC.
∵AH=HD，CG=GD，
∴HG//AC，且HG=AC.
同理EF//AC，且EF=AC.
∴HG//EF且HG=EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
设计意图：以中点四边形为典型例题，巩固三角形中位线定理与平行四边形判定的综合应用，渗透转化思想，提升学生几何推理与建模能力.
四、随堂练习
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.三角形的中位线的概念；
2.三角形的中位线的定理.
六、板书设计
三角形的中位线
概念：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.

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