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第20讲 极值点偏移 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 1
三、典题精讲 3
考点一：加法型极值点偏移 3
考点二：减法型极值点偏移 12
考点三：乘积型与比值型极值点偏移 17
一、考情分析
近三年全国一卷未直接或间接考查本讲知识点.备考时建议将本讲作为基础储备掌握，重点熟练核心公式与基本题型即可，无需过多投入难题训练.
二、知识清单
1. 极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性.若函数在处取得极值，且函数与直线交于，两点，则的中点为，而往往.如下图所示.
极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为、，且，
（1） 若，则称函数在区间上极值点偏移.
（2） 若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏.
（3） 若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏.
2. 对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：
（1） 定函数（极值点为），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点.
（2） 构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证，则令.
（3） 判断单调性，即利用导数讨论的单调性.
（4） 比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系.
（5） 转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求.
3. 应用对数平均不等式证明极值点偏移
（1） 由题中等式中产生对数.
（2） 将所得含对数的等式进行变形得到.
（3） 利用对数平均不等式来证明相应的问题.
4. 比值代换
比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
5. 极值点偏移中的常见放缩不等式
在处理极值点偏移问题时，常利用基本初等函数的切线放缩不等式进行转化：
（1） 指数型放缩：（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）.
（2） 对数型放缩：（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）.
（3） 组合型放缩：（当且仅当时取等号）.
6. 极值点偏移的类型转化
极值点偏移问题通常分为加法型（如证明）和乘积型（如证明）.乘积型极值点偏移往往可以通过两边取对数，转化为加法型极值点偏移.例如，证明（其中），等价于证明.
三、典题精讲
考点一：加法型极值点偏移
考法1：构造对称函数证明加法型极值点偏移
例1.（2026·山东济宁·三模）设函数.
（1） 当时，求在点处的切线方程；
（2） 若函数存在零点，且.
(ⅰ) 求实数的取值范围；
(ⅱ) 设为的极值点，证明：.
【答案】（1） ；（2） (ⅰ) ；(ⅱ) 证明见解析.
【思路】（1） 求导，计算出处的导数值和函数值，代入点斜式方程即可.（2） (ⅰ) 求导后，分类讨论和时导函数的符号，确定函数的单调性与极值点，结合零点存在定理求出的范围；(ⅱ) 将证明转化为证明，利用极值点条件消去参数，构造单变量函数，通过求导证明其恒大于0.
【解析】（1） 当时，，
所以，，
所以，，
又，
所以，，
所以切线方程为.
（2） (ⅰ)
当时，，∴ 在上单调递增，且，
∴ 有唯一零点，不符合题目条件；
当时，记为的导函数，，
∴ 在上单调递增，
当时，；当时，，
∴ 存在唯一，使得，
∴ 当时，，∴ 在上单调递减，
当时，，∴ 在上单调递增，
又因为，若函数存在零点，且，则，
∴ ，
所以，；
(ⅱ) 由(ⅰ)可知：，且在上单调递增，
要证，
只需证，
即证，
又因为，即，所以，
即证，
只需证，
令，
∴ ，
∴
令
，
∵ ，
∴ 在上单调递增，
又因为，∴ ，即，
∴ 在上单调递增，
又因为，∴ ，
综上，.
【规律】处理极值点偏移问题时，若直接求解极值点困难，可利用极值点满足的导数方程消去参数，将双变量不等式转化为单变量函数的最值问题.构造差函数或比值函数是常用的转化手段.
例2.（2024·广东名校教研联盟·5月押题）已知函数，其中为自然对数的底数，.
（1） 当时，求的单调区间；
（2） 若存在两个不同的极值点，且.
(Ⅰ) 求实数的取值范围；
(Ⅱ) 证明.
【答案】（1） 单调递减区间为，单调递增区间为；（2） (Ⅰ) ；(Ⅱ) 证明见解析.
【思路】（1） 将代入函数解析式，求导后判断导函数的符号，即可得到单调区间.（2） (Ⅰ) 求导后，将极值点个数问题转化为方程有两个不同实根的问题，通过分离参数构造函数，利用导数求其最值，数形结合确定的范围；(Ⅱ) 利用极值点满足的方程，通过取对数将指数关系转化为对数关系，再利用换元法将双变量问题转化为单变量函数不等式证明.
【解析】（1） 当时，，定义域为，求导得.
由于(当且仅当时取等号)，故恒成立.
因此，在上单调递增，单调递增区间为.
（2） (Ⅰ) ，若有两个不同的极值点，则方程有两个不同的实数根，显然不是根，故可转化为有两个不同的实数根.
当时，单调递减，且；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
又时，，时，故在上从递减至，在上从增至.
因此，当时，直线与的图象有两个交点，分别位于和，对应两个不同的极值点(且).当时有一个交点，当时无交点，当时有一个交点.
故实数的取值范围是.
(Ⅱ) 由得，即，两边取对数得.
令，则，代入得，解得.
于是.
要证，即证，等价于.
设，则.
令，则，故在上单调递增，且，
所以，即.因此在上单调递增，又，故对恒成立.
从而原不等式成立，即.
【规律】证明加法型极值点偏移（或常数），常利用极值点条件进行代数变形，若出现指数或对数，可通过取对数或指数化简，再引入比值构造单变量函数，利用导数证明不等式恒成立.
例3.（2025·杭州二中·阶段测试）已知函数，.
（1） 求曲线在处的切线方程；
（2） 求在上的单调区间；
（3） 若，且，满足，求证：.
(参考数据：)
【答案】（1） ；（2） 增区间为，无减区间；（3） 证明见解析.
【思路】（1） 求导，计算出处的导数值和函数值，代入点斜式方程即可.（2） 两次求导，分析二阶导数的符号变化，确定一阶导数的最小值，从而判断一阶导数恒大于等于0，得出单调区间.（3） 利用函数的单调性，将转化为，构造对称差函数，通过求导证明其单调性，进而得出，结合单调性证得结论.
【解析】（1） ，
由题设且，则，所以切线方程为.
（2） 设，令，则，
在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
，，，
在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以，即，
故的增区间为，无减区间.
（3） 由（1），（2）知，在上单调递增，
若，必有，
若，必有，
若，必有，，矛盾，
令， ()，
，
则，
所以单调递增，，
在上，，单调递减，，
，，
所以，，
所以，，即，原不等式成立.
【规律】当题目给出的形式时，可直接构造对称差函数，通过研究的单调性与最值，将函数值的关系转化为自变量的关系，这是处理极值点偏移的经典方法.
例4.（2024·重庆南开中学·模拟预测）已知函数为其极小值点.
（1） 求实数的值；
（2） 若存在，使得，求证：.
【答案】（1） ；（2） 证明见解析.
【思路】（1） 求导，利用极小值点处导数为0列方程求出，再检验该点是否确为极小值点.（2） 根据（1）中求得的函数解析式及单调性，明确两个根的分布范围.要证，即证，利用函数在对应区间的单调性，转化为证明，即，构造差函数，求导证明其单调性即可.
【解析】（1） 的定义域为，
，依题意得，得，
此时，
当时，，，，故，在内单调递减，
当时，，，，故，在内单调递增，
故在处取得极小值，符合题意.
综上所述：.
（2） 由（1）知，，
不妨设，
当时，不等式显然成立；
当时，不等式显然成立；
当时，由（1）知在内单调递减，因为存在，使得，所以，
要证，只要证，
因为，所以，又在内单调递减，
所以只要证，又，所以只要证，
设，
则
，
令，则，
因为，所以，在上为减函数，所以，
即，
所以在上为减函数，
所以，即.
综上所述：.
【规律】对于含有三角函数的极值点偏移问题，依然遵循“构造对称差函数”的通法.关键在于准确判断导函数的符号，确定原函数的单调区间，从而保证由函数值的不等关系能够等价转化为自变量的不等关系.
考法2：结合对数平均不等式证明加法型极值点偏移
例5.（2026·山东名校联盟·5月评估）已知函数，若恰有两个极值点.
（1） 求的取值范围；
（2） 证明：.
【答案】（1） ；（2） 证明见解析.
【思路】（1） 求导，将极值点个数问题转化为二次方程有两个正根的问题，利用判别式和韦达定理列出不等式组求解.（2） 利用韦达定理将转化为只含参数的表达式，从而将原不等式转化为关于的单变量不等式，构造函数求导证明其恒成立.
【解析】（1） ，
若恰有两个极值点，
则有两个不相等的正根，
所以，解得，
所以的取值范围为.
（2） 由（1）知，，
，
要证，即证，即，
令，则，
令，则在上恒成立，
故在上单调递减，
又，
故存在，使，即，
则当时，，时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
则，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
由，则，
即，即，
即可得证：.
【规律】当极值点是二次方程的根时，优先考虑使用韦达定理整体代换，将双变量的对称式转化为关于参数的单变量表达式，从而将极值点偏移问题转化为常规的函数最值证明问题.
例6.（2024·广州从化区·模拟预测）已知函数.
（1） 讨论函数的单调性；
（2） 若是方程的两不等实根，求证：.
【答案】（1） 当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2） 证明见解析.
【思路】（1） 求导，对参数进行分类讨论，判断导函数的符号，得出单调区间.（2） 将方程转化为，换元令，转化为有两个实根.要证，即证，利用对数平均不等式进行放缩证明.
【解析】（1） 由题意得，函数的定义域为.
由得：，
当时，在上单调递增；
当时，由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2） 因为是方程的两不等实根，，
即是方程的两不等实根，
令，则，即是方程的两不等实根.
令，则，所以在上递增，在上递减，，
当时，；当时，且.
所以，即.
令，要证，只需证，
先证，令，
只需证，只需证，
令，
所以在上单调递减，所以.
因为，所以，
所以，即，所以.
【规律】对于形如的平方型极值点偏移，常通过换元转化为一次型的极值点偏移.在证明过程中，若能分离出的形式，可直接应用对数平均不等式进行放缩，大大简化证明过程.
考法3：结合切线证明加法型极值点偏移
例7.（2026·广东佛山·质量检测）已知函数.
（1） 讨论的单调性；
（2） 若存在两个极值点，求；
（3） 若存在两个零点，在处分别作曲线的两条切线，证明：与的交点在轴上.
【答案】（1） 当时，在和单调递增；当时，在和单调递增，在和单调递减；（2） ；（3） 证明见解析.
【思路】（1） 求导，将导函数分子看作二次函数，通过讨论参数的取值范围，分析二次函数的根的分布，从而确定原函数的单调区间.（2） 利用极值点满足的二次方程，结合韦达定理整体代换，化简求值.（3） 先证明若为零点则也为零点，得出.写出两条切线方程，利用导函数的表达式证明，从而说明两切线在处纵坐标相等.
【解析】（1） 函数定义域为，，
记，则，
当时，，又，，
所以有两个正根，满足，
所以当或时，，
当或时，，
所以在和单调递增，
在和单调递减；
当时，恒成立，所以恒成立，故恒成立，
所以在和单调递增；
当时，，由韦达定理可知，的两根为负，
所以在和恒成立，
所以在和恒成立，
所以在和单调递增.
综上，当时，在和单调递增，
在和单调递减；
当时，在和单调递增.
（2） 由（1）知，极值点满足，由韦达定理可得，
所以
，
即.
（3） 因为，
所以若为零点，则也是的零点，所以，
切线，切线，
因为，
所以，
所以当时，两切线的纵坐标相等，即两切线的交点在轴上.
【规律】极值点偏移问题常与切线、零点等综合考查.利用函数的对称性（如）可以快速得到零点之间的乘积关系.在处理切线交点问题时，将切线方程写出并令，比较纵坐标是否相等是常规思路.
【考点一 方法总结】
1. 构造对称函数法（差函数法）：证明，可构造，通过判断的单调性及符号，结合的单调性得出结论.
2. 对数平均不等式法：将极值点偏移问题转化为双变量不等式，通过代数变形分离变量，利用对数平均不等式放缩证明.
3. 切线放缩法：利用函数在某点处的切线作为放缩的桥梁，将复杂的超越函数转化为一次函数或二次函数进行证明.
4. 整体代换法：当极值点是二次方程的根时，优先考虑使用韦达定理整体代换，将双变量的对称式转化为关于参数的单变量表达式，从而将极值点偏移问题转化为常规的函数最值证明问题.当题目给出的形式时，可直接构造对称差函数.
考点二：减法型极值点偏移
考法4：构造函数证明减法型极值点偏移
例8.（2026·安徽江淮十校·4月模拟）已知函数.
（1） 若仅有一个零点时，求的取值范围；
（2） 函数，且.
(ⅰ) 讨论的单调性；
(ⅱ) 若存在，使得，证明：.
【答案】（1） ；（2） (ⅰ) 见解析；(ⅱ) 证明见解析.
【思路】（1） 分离参数得到，构造函数求导分析其单调性与极值，结合极限思想画出草图，数形结合求出的范围.（2） (ⅰ) 求导后，对参数进行分类讨论，确定单调区间；(ⅱ) 结合(ⅰ)的单调性，明确三个根的分布.构造差函数证明，再构造差函数证明，两式相加即可得证.
【解析】（1） 由得：，
令，则，
∴ 的递减区间为，递增区间为，
且，
∴ 函数与的图象如图，
故当仅有一个零点时，的取值范围为.
（2） (ⅰ) ，
∴
①当时，的递减区间为；
递增区间为.
②当，的递减区间为；
递增区间为.
③当，的递减区间为；
递增区间为.
(ⅱ) 由(ⅰ)知，设，
其中，
则
∴ 在单调递增，
∵ ，∴ ，即，
∵ ，∴ ，
∵ 在单调递增且，
∴ ，即……①
再设，其中，
则.
∵ ，∴ 且
∴
∴ ，∴ 在单调递增，
∵ ，∴ ，即，
∵ ，∴ ，∵ 在单调递增
且，∴ ，即……②
由①、②得：
∵ ∴ .
【规律】对于存在三个相等函数值（即三个交点）的偏移问题，通常需要两两分组，分别构造对称差函数进行证明.通过寻找合适的对称轴（如极值点或特定常数），将三变量问题转化为两个双变量的偏移问题.
例9.（2026·安徽黄山·质量检测）已知函数.
（1） 若，讨论函数的单调性；
（2） 若函数有三个零点，且.
(Ⅰ) 求实数的取值范围；
(Ⅱ) 若三个零点成等差数列，求这三个零点.
【答案】（1） 见解析；（2） (Ⅰ) ；(Ⅱ) ，，.
【思路】（1） 去掉绝对值符号，分段求导，对参数进行分类讨论，判断各段导函数的符号，综合得出单调性.（2） (Ⅰ) 结合（1）的单调性，利用极值点和端点处的函数值符号，列出不等式组求出的范围；(Ⅱ) 利用零点满足的方程，结合等差数列的性质，通过代数变形求出公差，进而求出三个零点的具体值.
【解析】（1） 由，
①当时，，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，若，则，即在上单调递增；
若，则，
令，
若，即时，
当时，；当时，；
当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
若，即时，当时，；
当时，，
由的连续性知在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增.
（2） (Ⅰ) ①当时，由（1）知在上单调递增，则至多只有一个零点，与题不符；
②当时，由得，则在上只有一个零点，与题不符；
③当时，在上单调递减，而在上恒成立，且，
则函数无零点，与题不符；
④当，在上单调递增且，
所以在上恰有一个零点，
又时，，若使有3个零点，则，
即，即，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
(Ⅱ) 令，即，
因为为函数的三个零点，且由（2）知，
所以有：，由于同号，两式相除得，
令等差数列的公差为，所以，得，
同理，由异号，所以，所以，得，
所以，得，解得.
代入，得，
，.
【规律】含有绝对值的函数问题，首要步骤是分段去绝对值.在处理多个零点成等差数列的问题时，利用零点满足的方程，结合等差中项性质，通过指数或对数运算求出公差是关键.
例10.（2026·湖南衡阳八中·适应性考试）已知函数.
（1） 讨论的极值点个数；
（2） 若有两个极值点，直线过点.
(ⅰ) 证明：；
(ⅱ) 证明：.
【答案】（1） 当时，极值点个数为；当时，极值点个数为2；（2） (ⅰ) 证明见解析；(ⅱ) 证明见解析.
【思路】（1） 求导后，将极值点个数问题转化为导函数零点个数问题，通过讨论参数的取值范围，分析导函数的符号变化，从而确定极值点个数.（2） (ⅰ) 利用极值点满足的方程，得出，将割线斜率转化为关于的表达式，再利用换元法构造函数证明不等式；(ⅱ) 将截距用表示，结合化简，转化为证明关于的不等式.
【解析】（1） 因为定义域为，且，
当时，恒成立，
在上单调递增，极值点个数为；
当时，对于函数，，
所以恒成立，
所以在上单调递增，极值点个数为；
当时，由得，或，
由得，或；由得，.
所以单调递减区间为，单调递增区间为.
所以为极大值点，为极小值点，极值点个数为.
综上，当时，极值点个数为；当时，极值点个数为2.
（2） (ⅰ) 由（1）知，，不妨设，
则，，
所以，
要证成立，
只需证明，
只需证明，
令，则，
所以在上单调递减，
所以，
所以成立.
(ⅱ) 由得，
要证成立，
只需证明，
因为，
所以只需证明，
只需证明，
只需证明，即，
因为成立，所以成立.
【规律】减法型极值点偏移通常涉及或的范围证明.同样可采用构造对称函数法，或利用换元法将双变量转化为单变量函数求最值.当极值点满足时，可大幅简化代数变形过程.
【考点二 方法总结】
1. 减法型极值点偏移通常涉及或的范围证明.
2. 同样可采用构造对称函数法，如构造或利用换元法将双变量转化为单变量函数求最值.当极值点满足时，可大幅简化代数变形过程.
3. 对于存在三个相等函数值（即三个交点）的偏移问题，通常需要两两分组，分别构造对称差函数进行证明.通过寻找合适的对称轴（如极值点或特定常数），将三变量问题转化为两个双变量的偏移问题.含有绝对值的函数问题，首要步骤是分段去绝对值.在处理多个零点成等差数列的问题时，利用零点满足的方程，结合等差中项性质，通过指数或对数运算求出公差是关键.
考点三：乘积型与比值型极值点偏移
考法5：证明乘积型极值点偏移
例11.已知函数，.
（1） 当时，和有相同的最小值，求的值；
（2） 若有两个零点，求证：.
【答案】（1） ；（2） 证明见解析.
【思路】（1） 分别求出两函数的最小值，令其相等求出参数.（2） 将有两个零点转化为有两个零点，要证，即证.利用零点方程消去参数，转化为证明，换元令，构造单变量函数求导证明.
【解析】（1） 问题转化为有两个零点，证明，进而只需要证明，也即是，从而令，构造函数求出最值即可证出结论.
由.
所以.
所以.
令，则为上的增函数，且.
所以在上单调递减，上单调递增.
所以.
又.
所以.令，则
所以为上的增函数.
又.
令，因为在上单调递增，且，而，因此函数与直线有唯一交点，
故方程在上有唯一解，
所以存在唯一，使得.
即，故，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以.
所以.
故而.
（2） 由题意有两个零点.
所以，即.
所以等价于：有两个零点，证明.
不妨令.
由.
要证，只需要证明.
即只需证明：.
只需证明：，即.
令.
只需证明：.
令.
则，即在上为增函数.
又.
所以.
综上所述，原不等式成立.
【规律】证明乘积型极值点偏移，可通过取对数转化为加法型极值点偏移.在消参后，常利用比值换元法，令，将双变量问题转化为关于的单变量函数不等式进行证明.
考法6：结合极值点偏移求最值或参数范围
例12.（2026·山东德州·一模）已知函数，若，则的最大值为
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】根据题意列出方程组，利用换元法将方程统一，得出.将目标代数式转化为只含的表达式，再整体换元令，转化为求单变量函数的最大值，求导分析单调性即可.
【解析】由题意可得，则，
由，则，
令，则，
令，可知函数在上单调递增，
所以当有唯一解，即，即，可得，
所以，
令，则，所以，
令，则，
令，即，解得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，也是最大值，为，
所以的最大值为.
对应选项B.
【规律】在处理极值点偏移与最值结合的问题时，核心是“减元”.通过极值点或交点满足的方程，寻找变量之间的关系，将多变量的目标函数转化为单变量函数，再利用导数求最值.
例13.（2026·安徽铜陵·模拟）已知函数.
（1） 时，对任意，有“”是“”的充分条件，求的取值范围；
（2） 若对任意，函数有两个零点.
（i） 求的范围；
（ii） 在（1）的条件下，求当两个零点距离最小时的值.
【答案】（1） ；（2） （i） ；（ii） .
【思路】（1） 将充分条件转化为函数单调递增，求导后分离参数，构造函数求最值.（2） （i） 将零点问题转化为方程有两根，分离参数构造函数，利用导数求最值确定的范围；（ii） 利用零点方程消去参数，将表示为关于的函数，再将目标转化为求单变量函数的极值，通过多次求导分析单调性得出结论.
【解析】（1） 当时，，
又任意，有“”是“”的充分条件，
所以，所以在上单调递增，
所以对恒成立，
所以对恒成立，
令，，所以在上单调递减，
所以，所以.
（2） （i） 因为，
所以有两个不相等的根，且两根均不为零，故.
令，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以最小值为，
所以对任意都成立，
设，，
当时，；当时，，
所以当时，取最大值为，
所以；
（ii） 由（1）中条件及结论可得，
结合（i）中结论可得.
因为为的两个非零实数根，
故，，
不妨设，则，故，
故，故，故，
所以，
设，，.
，当时，；当时，.
在上为减函数，在上为增函数，
故当时，且.
而，
设，则，
故在上为减函数，故，故，
故在上为减函数，且时，，时，，
故在上的值域为.
又中，且，
故在上为减函数，
而，时，，故的值域为.
故取最小值当且仅当取最大值，
即当且仅当取最小值即当且仅当取最小值即.
所以最小时，.
【规律】比值换元法和差值换元法是处理极值点偏移的利器.当方程中含有时，常令；当方程中含有时，常令.通过换元将双变量转化为单变量，是突破代数变形瓶颈的关键.
【考点三 方法总结】
1. 乘积型极值点偏移（如证明），可通过取对数转化为加法型极值点偏移，再利用构造对称函数法或对数平均不等式证明.
2. 比值换元法：令或差值换元法令，将双变量问题转化为关于的单变量函数，利用导数求最值.通过换元将双变量转化为单变量，是突破代数变形瓶颈的关键.
3. 在处理极值点偏移与最值结合的问题时，核心是“减元”.通过极值点或交点满足的方程，寻找变量之间的关系，将多变量的目标函数转化为单变量函数，再利用导数求最值.
第 2 页，共 17 页第20讲 极值点偏移 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 1
三、典题精练 3
考点一：加法型极值点偏移 3
考点二：减法型极值点偏移 4
考点三：乘积型与比值型极值点偏移 5
一、考情分析
近三年全国一卷未直接或间接考查本讲知识点.备考时建议将本讲作为基础储备掌握，重点熟练核心公式与基本题型即可，无需过多投入难题训练.
二、知识清单
1. 极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性.若函数在处取得极值，且函数与直线交于，两点，则的中点为，而往往.如下图所示.
极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为、，且，
（1） 若，则称函数在区间上极值点偏移.
（2） 若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏.
（3） 若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏.
2. 对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：
（1） 定函数（极值点为），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点.
（2） 构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证，则令.
（3） 判断单调性，即利用导数讨论的单调性.
（4） 比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系.
（5） 转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求.
3. 应用对数平均不等式证明极值点偏移
（1） 由题中等式中产生对数.
（2） 将所得含对数的等式进行变形得到.
（3） 利用对数平均不等式来证明相应的问题.
4. 比值代换
比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
5. 极值点偏移中的常见放缩不等式
在处理极值点偏移问题时，常利用基本初等函数的切线放缩不等式进行转化：
（1） 指数型放缩：（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）.
（2） 对数型放缩：（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）.
（3） 组合型放缩：（当且仅当时取等号）.
6. 极值点偏移的类型转化
极值点偏移问题通常分为加法型（如证明）和乘积型（如证明）.乘积型极值点偏移往往可以通过两边取对数，转化为加法型极值点偏移.例如，证明（其中），等价于证明.
三、典题精练
考点一：加法型极值点偏移
考法1：构造对称函数证明加法型极值点偏移
例1.（2026·山东济宁·三模）设函数.
（1） 当时，求在点处的切线方程；
（2） 若函数存在零点，且.
(ⅰ) 求实数的取值范围；
(ⅱ) 设为的极值点，证明：.
例2.（2024·广东名校教研联盟·5月押题）已知函数，其中为自然对数的底数，.
（1） 当时，求的单调区间；
（2） 若存在两个不同的极值点，且.
(Ⅰ) 求实数的取值范围；
(Ⅱ) 证明.
例3.（2025·杭州二中·阶段测试）已知函数，.
（1） 求曲线在处的切线方程；
（2） 求在上的单调区间；
（3） 若，且，满足，求证：.
(参考数据：)
例4.（2024·重庆南开中学·模拟预测）已知函数为其极小值点.
（1） 求实数的值；
（2） 若存在，使得，求证：.
考法2：结合对数平均不等式证明加法型极值点偏移
例5.（2026·山东名校联盟·5月评估）已知函数，若恰有两个极值点.
（1） 求的取值范围；
（2） 证明：.
例6.（2024·广州从化区·模拟预测）已知函数.
（1） 讨论函数的单调性；
（2） 若是方程的两不等实根，求证：.
考法3：结合切线证明加法型极值点偏移
例7.（2026·广东佛山·质量检测）已知函数.
（1） 讨论的单调性；
（2） 若存在两个极值点，求；
（3） 若存在两个零点，在处分别作曲线的两条切线，证明：与的交点在轴上.
【考点一 方法总结】
1. 构造对称函数法（差函数法）：证明，可构造，通过判断的单调性及符号，结合的单调性得出结论.处理极值点偏移问题时，若直接求解极值点困难，可利用极值点满足的导数方程消去参数，将双变量不等式转化为单变量函数的最值问题.对于含有三角函数的极值点偏移问题，依然遵循“构造对称差函数”的通法.关键在于准确判断导函数的符号，确定原函数的单调区间，从而保证由函数值的不等关系能够等价转化为自变量的不等关系.
2. 对数平均不等式法：将极值点偏移问题转化为双变量不等式，通过代数变形分离变量，利用对数平均不等式放缩证明.对于形如的平方型极值点偏移，常通过换元转化为一次型的极值点偏移.在证明过程中，若能分离出的形式，可直接应用对数平均不等式进行放缩，大大简化证明过程.
3. 切线放缩法：利用函数在某点处的切线作为放缩的桥梁，将复杂的超越函数转化为一次函数或二次函数进行证明.极值点偏移问题常与切线、零点等综合考查，利用函数的对称性可以快速得到零点之间的乘积关系.在处理切线交点问题时，将切线方程写出并令，比较纵坐标是否相等是常规思路.
4. 整体代换法：当极值点是二次方程的根时，优先考虑使用韦达定理整体代换，将双变量的对称式转化为关于参数的单变量表达式，从而将极值点偏移问题转化为常规的函数最值证明问题.当题目给出的形式时，可直接构造对称差函数.
考点二：减法型极值点偏移
考法4：构造函数证明减法型极值点偏移
例8.（2026·安徽江淮十校·4月模拟）已知函数.
（1） 若仅有一个零点时，求的取值范围；
（2） 函数，且.
(ⅰ) 讨论的单调性；
(ⅱ) 若存在，使得，证明：.
例9.（2026·安徽黄山·质量检测）已知函数.
（1） 若，讨论函数的单调性；
（2） 若函数有三个零点，且.
(Ⅰ) 求实数的取值范围；
(Ⅱ) 若三个零点成等差数列，求这三个零点.
例10.（2026·湖南衡阳八中·适应性考试）已知函数.
（1） 讨论的极值点个数；
（2） 若有两个极值点，直线过点.
(ⅰ) 证明：；
(ⅱ) 证明：.
【考点二 方法总结】
1. 减法型极值点偏移通常涉及或的范围证明.
2. 同样可采用构造对称函数法，如构造或利用换元法将双变量转化为单变量函数求最值.当极值点满足时，可大幅简化代数变形过程.
3. 对于存在三个相等函数值（即三个交点）的偏移问题，通常需要两两分组，分别构造对称差函数进行证明.通过寻找合适的对称轴（如极值点或特定常数），将三变量问题转化为两个双变量的偏移问题.含有绝对值的函数问题，首要步骤是分段去绝对值.在处理多个零点成等差数列的问题时，利用零点满足的方程，结合等差中项性质，通过指数或对数运算求出公差是关键.
考点三：乘积型与比值型极值点偏移
考法5：证明乘积型极值点偏移
例11.已知函数，.
（1） 当时，和有相同的最小值，求的值；
（2） 若有两个零点，求证：.
考法6：结合极值点偏移求最值或参数范围
例12.（2026·山东德州·一模）已知函数，若，则的最大值为
A. B. C. D.
例13.（2026·安徽铜陵·模拟）已知函数.
（1） 时，对任意，有“”是“”的充分条件，求的取值范围；
（2） 若对任意，函数有两个零点.
（i） 求的范围；
（ii） 在（1）的条件下，求当两个零点距离最小时的值.
【考点三 方法总结】
1. 乘积型极值点偏移（如证明），可通过取对数转化为加法型极值点偏移，再利用构造对称函数法或对数平均不等式证明.
2. 比值换元法：令或差值换元法令，将双变量问题转化为关于的单变量函数，利用导数求最值.通过换元将双变量转化为单变量，是突破代数变形瓶颈的关键.
3. 在处理极值点偏移与最值结合的问题时，核心是“减元”.通过极值点或交点满足的方程，寻找变量之间的关系，将多变量的目标函数转化为单变量函数，再利用导数求最值.
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